新高一预习：题型分类细讲精练04 解不等式及不等式恒成立（人教数学A版2019必修第一册）

这是一份新高一预习：题型分类细讲精练04 解不等式及不等式恒成立（人教数学A版2019必修第一册），文件包含专题04解不等式及不等式恒成立人教A版2019必修第一册解析版docx、专题04解不等式及不等式恒成立人教A版2019必修第一册原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。

专题4 解不等式及不等式恒成立

目录
一、热点题型归纳
【题型一】解一元一次 不等式 1
【题型二】一元二次不等式 3
【题型三】解分式不等式 6
【题型四】绝对值不等式 7
【题型五】不等式的整数解 8
【题型六】不等式组求参 10
【题型七】 恒成立求参：一元二次讨论型 12
【题型八】 恒成立求参：均值型 13
【题型九】恒成立求参：绝对值型 14
【题型十】恒成立：分离常数型 15
【题型十一】恒成立：分类讨论 16
培优第一阶——基础过关练 18
培优第二阶——能力提升练 20
培优第三阶——培优拔尖练 23


【题型一】解一元一次 不等式
【典例分析】
（2021·全国·高一课时练习）设a、b为实数，解关于x不等式：．
【答案】答案见解析
【分析】将不等式化为，讨论、的取值，利用一元一次不等式的解法即可求解.
【详解】．
①当时，解为；
②当时，解为；
③当，时，解为；
④当，时，无解．
综上所述，当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当，时，不等式解集为；
当，时，解集为.


【提分秘籍】
基本规律
1.形如，为一次函数,图形为直线，k>0，增，k<0为减，k=0为水平线（常数函数）
2.一元一次不等式，如果一次项系数有参数，需要分类讨论

【变式训练】
1.（2022·全国·高一专题练习）若是关于x的不等式的一个解，则a的取值范围是______．
【答案】
【分析】直接把代入即可解得.
【详解】是关于x的不等式的一个解，，解得：．
故答案为：
2.（2021·全国·高一课时练习）若关于的不等式的整数解共有个，求实数的取值范围．
【答案】
【分析】解出不等式组，然后根据整数解共有4个来确定m的范围﹒
【详解】
由①得，，由②得，，
∴不等式组的解集是
∵不等式的整数解共有4个，
∴﹒
3.（2022·广东·深圳市第二高级中学高一开学考试）如图，一次函数的图象过点，则不等式的解是（　　）


A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由一次函数过点可得，再根据一元一次不等式的解法即可得解.
【详解】解：因为一次函数的图象过点，
所以，即，
则不等式，即为，
又，所以，所以.故选：C.

【题型二】一元二次不等式
【典例分析】
（2022·全国·高一专题练习）已知不等式的解为，求和的值，并解不等式．
【答案】，；不等式的解集为
【分析】利用根与系数关系求得，根据一元二次不等式的解法求得不等式的解集.
【详解】依题意，和是方程的两根，
所以，解得，.
不等式，即，即，
，解得或，
所以不等式的解集为.

【提分秘籍】
基本规律
一元二次函数知识：
①一般式顶点式：y＝ax2＋bx＋c＝a＋.
②顶点是，对称轴是：x＝－.
③方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)求根公式：x＝
是方程的两个根.一元二次不等式的解集为或，也就是我们俗称的“两根之间或者大于大根小于小根”
【变式训练】
1.（2022·全国·高一专题练习）已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a＜0．
(1)当a＝2时，解关于x的不等式；
(2)当a＞0时，解关于x的不等式．
【答案】(1)；(2)答案见解析
【分析】（1）将不等式化为（2x+1）（x﹣1）＜0即可求得结果；
（2）将不等式化为（x﹣1）（ax+a﹣1）＜0，当a＞0时，不等式变为，计算（x﹣1）（ax+a﹣1）＝0的两根，根据两根大小关系讨论不等式解集．
（1）
当a＝2时，不等式2x2﹣x﹣1＜0可化为：（2x+1）（x﹣1）＜0，
∴不等式的解集为；
（2）
不等式ax2﹣x+1﹣a＜0可化为：（x﹣1）（ax+a﹣1）＜0，
当a＞0时，，
的根为：，
①当时，，∴不等式解集为，
②当时，，不等式解集为∅，
③当时，1，∴不等式解集为{x|x＜1}，
综上，当时，不等式解集为，
当a时，不等式解集为，
当时，不等式解集为{x|x＜1}．2.
2.（2021·黑龙江·大庆中学高二开学考试）已知关于x的不等式的解集为或．
(1)求a，b的值．
(2)当时，解关于x的不等式．
【答案】(1).
(2)时，不等式的解集为：；
时，不等式的解集为：，
时，不等式的解集为：.

【分析】（1）结合根与系数关系可直接求解；
（2）将a，b代入不等式化简得，
分类讨论参数与2的关系即可求解.
（1）因为的解集为或，所以，解得
（2）因为的解集为或，所以，解得,
代入得：，即，所以当时，不等式的解集为：，
当 时，不等式的解集为：，当时，不等式的解集为：.
3.（2023·全国·高三专题练习）解关于x的不等式
【答案】答案不唯一，具体见解析
【分析】原不等式可化为然后分，和三种情况求解不等式
【详解】解：关于x的不等式可化为
（1）当时，，解得．
（2）当，所以
所以方程的两根为-1和，
当，即时，不等式的解集为或}，
当，即时，不等式的解集为．
当，即时，不等式的解集为或}，．
（3）当时，
因为方程的两根为—1和，
又因为，所以．
即不等式的解集是，
综上所述：当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为或
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为或}，
【题型三】解分式不等式
【典例分析】
（2022·全国·高一专题练习）当时，关于的分式不等式的解区间为________．
【答案】
【分析】由题设可得，根据已知条件判断的大小关系，即可求解区间.
【详解】由，
当时，有，
∴解区间为．
故答案为：.


【提分秘籍】
基本规律
解分式不等式，一般是移项（一侧为零），通分，化商为积，化为一元二次求解，或者高次不等式，再用穿线法求解
分式不等式的解法“化商为积，注意分母”：
（1）先化简成右边为零的形式（或），等价于一元二次不等式（或）再求解即可；
（2）先化简成右边为零的形式（或），再利用分子分母同号（或者异号），列不等式组求解即可.


【变式训练】
1.（2022·全国·高一专题练习）解关于的不等式（其中）
【答案】答案见解析
【分析】首先移项通分化简不等式为，根据的范围讨论与2的大小关系，即可得到不等式的解集.
【详解】解：，
又由知
当时，则集合；
当时，原不等式解集为空集；
当时，则集合；
综上：当时，；
当时，为空集；
当时，.
2.（2019·福建·厦门双十中学高一开学考试）若数使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为（    ）
A．10 B．12 C．14 D．9
【答案】D
【分析】根据分式方程的解为正数即可得出且，根据不等式组的解集为，即可得出，找出且中所有的整数，将其相加即可得出结论.
【详解】解：分式方程的解为且，
关于的分式方程的解为正数，且，且.
不等式组整理得，关于的不等式组的解集为，
.且.符合条件的所有整数为､､0､1､2､4､5，它们的和为9.故选：D.
3.2022·全国·高一课时练习）解关于的不等式．
【答案】或
【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式即可求解
【详解】
，解得或，所以不等式的解集为或，



【题型四】绝对值不等式
【典例分析】
（2022·上海交大附中高三开学考试）不等式的解为______
【答案】
【分析】由题设，讨论的范围求得，即可得解集.
【详解】由题设有，
当或时，不合题设；
当时，满足题设；
所以，可得.
故答案为：.

【提分秘籍】
基本规律
绝对值不等式解法：
分类讨论。讨论点是每个绝对值的对应的零点。

【变式训练】
1.（2021·全国·高一课时练习）若关于x的不等式无实数解，则实数a的取取值范围是_______．
【答案】
【分析】利用绝对值三角不等式的性质求出，进而可得答案.
【详解】由绝对值三角不等式可知：,
即，
因为关于x的不等式无实数解
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
2.（2022·全国·高一专题练习）解关于的不等式：
【答案】或
【分析】对绝对值符号里的式子分两种情况讨论，将不等式化为两个不等式组，分别求出各不等式组的解，即可得到原不等式的解集；
【详解】解：原不等式可化为下面两个不等式组来解①或② ，不等式组①的解为，
不等式组②的解为，原不等式的解集为或.

【题型五】不等式的整数解
【典例分析】
（2022·全国·高一单元测试）设，若关于x的不等式的解集中的整数解恰有3个，则（    ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意，，不等式的解集为，又，则解集中的整数为，，0，进而列出不等式求解即可得答案.
【详解】解：关于x的不等式，即，
∵，的解集中的整数恰有3个，∴，
∴不等式的解集为，又，∴解集中的整数为，，0．
∴，即，∴， ∵，
∴，解得，综上，．故选：C．
【变式训练】
1.（2023·全国·高三专题练习）满足不等式整数解个数为______．
【答案】5100
【分析】利用穿针引线法得到整数解的规律，然后利用等差数列的前n项和公式求解.
【详解】利用穿针引线法解不等式．如图示：

满足不等式整数解有：
在有个；在有个；……
在有个．
由此归纳得：在区间内有个．
所以整数解的个数为．故答案为：5100
2.（2022·福建·泉州五中高一开学考试）若关于的不等式组有且只有四个整数解，则实数的取值范围是（    ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】按照解一元一次不等式组步骤，进行计算可得，然后根据题意可得，进行计算即可解答．
【详解】解：，解不等式①得，解不等式②得，
依题意原不等式组的解集为，不等式组有且只有四个整数解，，
，故选：C．
3.（2022·浙江·台州市书生中学高一开学考试）已知不等式组有解但没有整数解，则的取值范围为___________.
【答案】
【分析】求出不等式的解后根据无整数解可得
【详解】原不等式组可化为：即，
因为无整数解，故即.
故答案为：
【题型六】不等式组求参
【典例分析】
（2022·湖南·长郡中学高一开学考试）整数使得关于的二元一次方程组的解为正整数（均为正整数），且使得关于的不等式组无解，则所有满足条件的的和为（    ）
A．9 B．16 C．17 D．30
【答案】C
【分析】解出二元一次方程组的解，由a为整数且方程组的解为正整数确定出a的值，再由不等式组无解，确定出满足题意a的值，即可得到答案
【详解】解：当时，代入方程组得易得无实数解，与题意矛盾，舍去；
当时，由方程组解得，∵a为整数，x，y为正整数，∴a−3=1或2或5或10，
解得：a=4或5或8或13，不等式组整理得：，∵不等式组无解，
∴，解得，∴满足题意a的值为4或5或8，则所有满足条件的的和为4＋5＋8＝17，
故选：C
【变式训练】
1.（2022·全国·高一专题练习）若关于、的二元一次方程组的解满足不等式，，则的取值范围是（    ）
A． B． C．无解 D．
【答案】D
【分析】解方程组求得，然后由，可得．
【详解】解：，得，，解得，得，，
解得，，，，解不等式得，，解不等式得，，
所以，不等式组的解集是．故选：D．
2.（2022·全国·高一专题练习）已知关于x的不等式组的解集是．
(1)求的值；
(2)若关于x的方程的解是负数，求m的取值范围．
【答案】(1)(2)且
【分析】（1）解不等式求得且，结合不等式解集可得方程组，求得答案；
（2）解分式方程可得，由题意列出不等式组，求得答案.
（1）
由题意，解不等式①得： ，解不等式②得：，
原不等式组的解集为，∴，解得 ，.
（2）由题意得：方程两边同时乘以得：,
解得：,方程的解是负数,,且.
3.（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的值可能为（    ）
A． B． C． D．5
【答案】ABD
【分析】根据一元二次不等式可求两个不等式的解，根据不等式组的解只有一个整数解，结合两不等式的解的交集，即可确定第二个不等式端点需要满足的关系，即可列不等式求解.
【详解】解不等式，得或
解方程，得
（1）当，即时，不等式的解为：
此时不等式组的解集为，依题意，则，即；
（2）当，即时，不等式的解为：，要使不等式组的解集中只有一个整数，
则需满足：，即；
所以k的取值范围为.
故选：ABD.





【题型七】 恒成立求参：一元二次讨论型
【典例分析】
（2022·黑龙江·哈师大附中高一开学考试）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（  ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】讨论二次项系数是否为零，结合判别式符号可得答案.
【详解】当时，原式化为，显然恒成立；
当时，不等式对一切恒成立，
则有且，解得.
综上可得，.
故选：C


【提分秘籍】
基本规律
一元二次恒成立型：
1. 开口方向。
2. 判别式

【变式训练】
1.（2022·安徽宣城·高二开学考试）关于的一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用二次不等式恒成立列出不等式组求解即可.
【详解】因为不等式为一元二次不等式，所以,
若一元二次不等式恒成立，
则，可得，此时不等式恒成立.
故选：C
2.（2022·全国·高一单元测试）对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】当时，得到恒成立，当时，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意，对任意实数，不等式恒成立，
当时，不等式即为，不等式恒成立；
当时，若不等式恒成立，
则满足，解得，
综上，实数的取值范围为．
故选：B．

【题型八】 恒成立求参：均值型
【典例分析】
（2023·全国·高三专题练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式可求得的最小值，由此可得的范围.
【详解】当时，（当且仅当时取等号），，即的取值范围为.
故选：D.

【提分秘籍】
基本规律
利用均值不等式求最小值最大值。

【变式训练】
1.（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式对任意实数x＞0恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．{a|﹣1≤a≤4} B．{a|a≤﹣2或a≥5} C．{a|a≤﹣1或a≥4} D．{a|﹣2≤a≤5}
【答案】A
【分析】利用基本不等式求出不等式x的最小值为4，转化为4≥a2﹣3a，由此解得实数a的取值范围．
【详解】解：∵x＞0，∴不等式x24，当且仅当x＝2时，表达式取得最小值为4，
由关于x的不等式xa2﹣3a对任意实数x＞0恒成立，
可得 4≥a2﹣3a，解得﹣1≤a≤4，
故选：A．
2.（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））若对满足的任意正数及任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用基本不等式“1”的妙用求得的最小值，即可转化为二次不等式恒成立问题，利用判别式求得实数的取值范围即可.
【详解】∵正数满足，
∴，，
当且仅当，即，时，等号成立，
∴，即对任意实数恒成立，
∴，解得．故选：A．
3.（2022·全国·高一课时练习）若，不等式有解，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【分析】因为，对式子的分子分母同除以，利用基本不等式求得其最大值，令，结合不等式解出实数m的取值范围.
【详解】∵，∴，当且仅当，即时取等号，
∴，∴，即，得，所以实数m的取值范围是．
故答案为：



【题型九】恒成立求参：绝对值型
【典例分析】
（2021·全国·高三专题练习）若关于的不等式在（﹣∞，1]上恒成立，则实数的取值范围为
A．[1，+∞） B．（﹣∞，1] C．[3，+∞） D．（﹣∞，3]
【答案】A
【分析】由题意可得m≥（|x+1|﹣|x﹣2|）max，讨论x＜﹣1，﹣1≤x≤1时，求得|x+1|﹣|x﹣2|的最大值，由恒成立思想可得所求m的范围．
【详解】关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|≤m在（﹣∞，1]上恒成立，即为m≥（|x+1|﹣|x﹣2|）max，
由﹣1≤x≤1时，|x+1|﹣|x﹣2|=x+1+x﹣2=2x﹣1∈[﹣3，1]；x＜﹣1时，|x+1|﹣|x﹣2|=﹣x﹣1+（x﹣2）=﹣3．
则|x+1|﹣|x﹣2|的最大值为1，可得m≥1，故选A．

【提分秘籍】
基本规律
1.分类讨论求最值。
2.利用绝对值公式：||a|-|b|||ab||a|+|b|。

【变式训练】
1.（2021·北京·中央民族大学附属中学高三阶段练习）不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为对任意 x恒成立，所以．
2.（2021·宁夏·石嘴山市第三中学高二期末（理））已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用绝对值三角不等式求出的最小值，即可.
【详解】解：因为，所以.
要使不等式对一切恒成立，只需，
所以.故选：A.
3.（2021·上海市杨浦高级中学高一期中）不等式对任意恒成立，则空数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用绝对值的几何意义求解.
【详解】由题意得，因为 ，所以.
故选：B.

【题型十】恒成立：分离常数型
【典例分析】
（2022·吉林一中高二期末）若使关于的不等式成立，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据题意，，使关于的不等式成立，则，即，，再结合对勾函数找到最大值即可求出实数的取值范围．
【详解】解：，使关于的不等式成立，
则，即，，
令，，则对勾函数在上单调递增，
所以，故 故答案为：

【提分秘籍】
基本规律
一元二次型函数恒成立型，注意变量取值范围能否满足分离常数。

【变式训练】
1.（2021·全国·高一专题练习）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先分离变量可得在时恒成立，然后利用均值不等式求最值即可.
【详解】解：当时，不等式恒成立，等价于在时恒成立，
即等价于；
而因为，故,当且仅当，即时取得最大值.
故.故选：D.
2.（2021·河南·信阳高中高一阶段练习）已知函数恒成立，则实数a的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】将不等式化简，参变分离，利用换元法构造新函数并求出值域，可得实数a的取值范围．
【详解】，即
当时，不等式恒成立，；
当时，，则
令，则
即，解得。故选：B

【题型十一】恒成立：分类讨论
【典例分析】
（安徽省合肥市肥东县高级中学2020-2021学年高一上学期期中）设函数，函数，若存在，使得与同时成立，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】
先计算，解得或，分别讨论和两种情况，根据函数的单调性计算得到答案.
【详解】
函数的图象的开口向上，且存在，使得成立
所以，解得或．
①当时，若存在，使得成立，则，
此时函数的图象的对称轴为直线，且
故函数在上单调递增．又，所以不成立．
②当时，若存在，使得成立，则
此时函数需满足，解得．
综上所述：实数的取值范围是．
故答案为
【提分秘籍】
基本规律
1.“轴动区间定”和“轴定区间动”
2.分类讨论时，要注意开口，判别式，对称轴以及端点值的正负等等

【变式训练】
1.（江苏省无锡市第一中学2019-2020学年高二上学期11月阶段性检测）若对任意的，成立，则实数a的取值范围为______.
【答案】.
【分析】
若对任意的，成立，则函数在区间上的最小值大于等于0，按照二次函数的对称轴分类求出最值即可.
【详解】
若对任意的，成立，则函数在区间上的最小值大于等于0，
，
当时，在上单调递增，，解得，所以，
当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，解得，
所以，
综上，的取值范围是，故答案为：.
2.已知函数，设关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．

【答案】B
【分析】
分别讨论和，利用不等式之间的关系，求解集，利用条件，确定不等式关系，即可求实数的取值范围．
【详解】
由得，即，
①若，则不等式等价为，即，若，则，
即，解得，，．
②若，则不等式等价为，即，
若，则，，，解得或，．
综上：或．故选：B


分阶培优练


培优第一阶——基础过关练
1.（2022·湖南·衡阳市第六中学高一开学考试）已知是关于的不等式的一个解，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把“x=3”代入不等式即可解得.
【详解】将“x=3”代入不等式可得，解得：.
故选：B
2.（2022·四川·仁寿一中高一开学考试）解关于的不等式
【答案】（1）；．
【分析】将不等式转化为即可得解；
【详解】由可得：，所以，故解集为：；
解得
所以不等式的解集为．
3.（2022·江苏南通·高一开学考试）不等式的解是（    ）
A． B．
C．且 D．
【答案】C
【分析】将不等式化简即可求得答案，注意分母不为0.
【详解】不等式即为，即不等式的解为：且.
故选：C.
4.（2022·全国·高一专题练习）以下不等式中，与不等式同解的不等式是（   ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用绝对值不等式的解法即得.
【详解】∵，∴.故选：C.
5.（2022·全国·高一专题练习）若关于的一元一次不等式组有个整数解，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】求出不等式组的解，然后根据整数的情形得出的范围．
【详解】解：解不等式 ，得： ， 解不等式 ，得： ，
则不等式组的解集为 ， 不等式组有 个整数解，
不等式组的整数解为 、 ， 则 ， 解得 ， 故答案为： ．
6.（2022·全国·高一专题练习）已知不等式组解为，则的值为________.
【答案】1
【分析】根据已知求出的值即得解.
【详解】解：，解不等式①得，解不等式②得，
∴原不等式组的解为，∵该不等式组的解为-2 所以且，
∴ a=3，b=4，∴.
故答案为：1
7.（2022·全国·高一课时练习）若关于x的一元二次不等式的解集为，则实数m满足（    ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】B
【分析】一元二次不等式的解集为，即，求解关于实数的不等式即可.
【详解】解：由于关于x的一元二次不等式的解集为，
所以，解得．
故选：B．
8.（2021·全国·高一专题练习）若关于的不等式在区间上恒成立，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式进行求解即可.
【详解】因为，所以，当且仅当时取等号，即当时取等号，因此要想关于的不等式在区间上恒成立，
只需.故选：B
9.（2019·浙江·高二学业考试）若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用绝对值三角不等式求出的最小值，将恒成立问题转化为最值问题，即可求出实数a的取值范围.
【详解】，又对恒成立，
.故选：D.
10.（2020·四川省泸县第二中学高二期中（理））当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】问题转化为在，恒成立，令，根据对勾函数的单调性求出的最小值，从而求出的范围即可．
【详解】解：当时，不等式恒成立，即在，恒成立，
令，由对勾函数的性质可知函数在，上单调递增，
故的最小值是（2），故，故选：D．
培优第二阶——能力提升练
1.（2021·全国·高一课时练习）解关于的不等式：，其中，且．
【答案】当时，；当时，；当且时，﹒
【分析】a2为正，可以去分母整理不等式，然后分类讨论一次项系数进行求解﹒
【详解】原不等式整理得，
当时，；
当时，；
当且时，﹒
2.（2022·全国·高一专题练习）解关于的不等式 ．
【答案】分类讨论，答案见解析.
【分析】利用含参一元二次方程不等式的解法求解.
【详解】方程中，
①当即时，不等式的解集是，
②当，即时，不等式的解集是，
③当即时，
由解得：，
时，不等式的解集是或，
综上，时，不等式的解集是，
时，不等式的解集是，
时，不等式的解集是或，
3.（2021·上海市七宝中学高一阶段练习）不等式的解为___________.
【答案】
【分析】先将分式不等式转化为整式不等式，再结合二次不等式求解.
【详解】∵，则
∴
不等式的解为
故答案为：.
4.（2021·上海·上外附中高一期中）解关于的不等式：．
【答案】
【分析】分，和三种情况求解即可
【详解】当时，不等式可化为，
，得或，
所以，
当时，不等式可化为，
，得，
所以，
当时，不等式可化为，
，得，
所以，
综上，不等式的解集为
5.（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式恰有1个正整数解，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】先解带有参数的一元二次不等式，再对进行分类讨论，使得恰有1个正整数解，最后求出的取值范围
【详解】不等式等价于.令，解得或.
当时，不等式的解集为，要想恰有1个正整数解，则；
当时，不等式无解，所以不符合题意；
当时，不等式的解集为，则.
综上，的取值范围是.
故答案为：
6.（2022·全国·高一专题练习）已知关于的不等式组．
(1)当时，解此不等式组；
(2)若不等式组的解集中恰含三个奇数，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）当时，解不等式组即可得解；
（2）解原不等式组可得出，计算出解集的中点值，可确定解集中三个奇数的值，由此可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
（1）
解：当时，不等式组即为，解得.
（2）
解：当时，，
解不等式组可得.
，所以，、的平均值为，
且原不等式组的解集中恰含三个奇数，则这三个奇数应为、、，
所以，，解得.
7.（2020·浙江·高一期末）命题“恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是（    ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【解析】先求出命题“恒成立”是真命题时实数a的取值范围，分和讨论即可，然后可得命题“恒成立”是假命题时实数a的取值范围．
【详解】解：若命题“恒成立”是真命题，
当时，，恒成立；
当时，，解得，
综合得．
所以当命题“恒成立”是假命题时，有或．
故选：D．
8.（2020·宁夏大学附属中学高二期中（理））已知关于的不等式在上恒成立，则实数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．.
【答案】C
【解析】分离参数得，小于或等于在的最小值即可.
【详解】由题意知：对恒成立，
令，只需 则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，
所以，实数的最大值为，
故选：C
9.（2020·广东·珠海市第一中学高一阶段练习）若，关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≥m恒成立，则实数m的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由绝对值三角不等式求得|x﹣1|+|x+2|的最小值为3，从而求得m的范围．
【详解】∵关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≥m在R上恒成立，故|x﹣1|+|x+2|的最小值大于或等于m．
而由|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|＝3，当且仅当（x﹣1）（x+2），可得|x﹣1|+|x+2|的最小值为3，故有m≤3，故选：A．
10.（2023·全国·高三专题练习）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用参变分离，转化为求函数在的最大值，即可求解.
【详解】若不等式对一切恒成立，则，即，在单调递增，，所以.故选：C


培优第三阶——培优拔尖练
1.（2021·全国·高一课时练习）设a为实数，解关于x的不等式组：．
【答案】答案见解析
【分析】化简不等式组，对进行分类讨论，由此求得不等式组的解集.
【详解】原不等式组等价于，
当，即时，原不等式组的解集为；
当，即时，原不等式组的解集为．
2.
（2022·全国·高一专题练习）当a≤0时，解关于x的不等式．
【答案】答案见解析
【分析】不等式化简为（ax＋1）（x－2）≥0，分类讨论a＝0，，及，求出不等式的解集，即可求出答案.
【详解】解：由可得（ax＋1）（x－2）≥0
①当a＝0时，原不等式即x－2≥0﹐解得x≥2﹔
②当a<0时，（ax＋1）（x－2）≥0，
方程（ax＋1）（x－2）＝0的两根为，
当时，原不等式解为：x＝2﹔
当时，，原不等式的解为；，
当时，，原不等式的解为：，
综上，当a＝0时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为：；
当时，原不等式的解为：．
3.（2022·全国·高一专题练习）不等式的解是___________.
【答案】
【分析】将分式不等式化为，则有即可求解集.
【详解】由题设，，
∴，可得，
原不等式的解集为.
故答案为：.
4.（2021·全国·高一课时练习）若关于x的不等式与同解，则实数________．
【答案】2
【分析】把作为一个未知数解不等式，两个不等式变形后比较可得．
【详解】由得，，，
所以，．故答案为：2．
5.（2023·全国·高三专题练习）关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由已知及一元二次不等式的性质可得，讨论a结合原不等式整数解的个数求的范围，
【详解】由恰有2个整数解，即恰有2个整数解，
所以，解得或，
①当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为1和2，
则，即，解得；
②当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为，
则，即，解得.
综上所述，实数的取值范围为或.
故选：B.
6.（2022·全国·高一专题练习）已知：关于x的不等式组．
(1)当时，求该不等式组的解集；
(2)若不等式组有且仅有3个整数解，求a的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）分别解得不等式的解集，即可得不等式组的解集；
（2）由不等式组解集中有且仅有3个整数解，可得到关于a的不等式，即可求得答案.
（1）
当a=5时，不等式组为,由①得 ,由②得,∴不等式组的解集是 ；
（2）,由①得,由②得,∵不等式组有且仅有3个整数解,即为6,7,8,∴,
故,
7.．（2022·全国·高一单元测试）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】由对一切实数都成立，结合函数的性质分类讨论进行求解.
【详解】解：对一切实数都成立，
①时，恒成立，
②时，，解得，
综上可得，，
故选：C.
8.（2020·河北·沧州市一中高一阶段练习）若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式“1”的代换求的最小值，根据不等式恒成立有即可，进而求的取值范围.
【详解】∵由题意知：当且仅当时等号成立，
∴恒成立，只需即可，解得，
故选：B
9.（2022·浙江·高三专题练习）若关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围为（   ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由不等式恒成立转化为，即转化为求的最小值.
【详解】
，当时，等号成立，即的最小值是，
因为不等式对任意恒成立，
所以，即.故选：B
10.（2010·福建宁德·高二期末（理））对一切实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是
A． B．[－2，2] C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：不等式恒成立转化为,
,所以的最大值为-2,所以.
考点：不等式恒成立，基本不等式求最值.
点评：本小题属于不等式恒成立问题，应考虑变量与参数分离，然后转化为函数最值来解，本小题在求的最值时，可考虑使用基本不等式.