2022-2023学年江苏省无锡市梁溪区九年级（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年江苏省无锡市梁溪区九年级（上）期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了已知是方程的一个根，则的值为，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省无锡市梁溪区九年级（上）期中数学试卷
一.选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
2.用配方法解一元二次方程，将其化成的形式，则变形正确的是
A． B． C． D．
3．已知是方程的一个根，则的值为　　
A． B．4044 C． D．2022
4．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是　　
A．相交 B．相切 C．相离 D．平行
5．下列说法正确的是　　
A．经过三点可以作一个圆
B．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等
C．等弧所对的圆心角相等
D．相等的圆心角所对的弧相等
6．如图，线段与相切于点，线段与相交于点，，，则半径长为　　

A． B．5 C．6 D．10
7．如图，是圆的直径，弦平分，过点的切线交于点，，则下列结论错误的是　　

A． B． C． D．
8．如图，的半径为1，是的内接等边三角形，点、在圆上，四边形为矩形，这个矩形的面积是　　

A．2 B． C． D．
9．欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根是　　

A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
10．如图，将边长为的正六边形在直线上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当第一次滚动到图2位置时，顶点所经过的路径的长为　　

A． B． C． D．
二.填空题（共8小题，每题3分，共24分）
11．关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是 　　．
12．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 　　．
13．某圆锥的母线长是2，底面半径是1，则该圆锥的侧面积是 　　．
14．某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比1月份的利润增加4.2万元，设该产品利润平均每月的增长率为，则可列方程为　　．
15．如图，为的内切圆，点，分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为21，边的长为6，的周长为　 　．

16．是的外接圆，连接，，则的度数为 　　，
17．如图，在边长为2的正方形中，以点为圆心、的长为半径画弧，再以为直径画半圆．若阴影部分①的面积为，阴影部分②的面积为，则的值为　　．

18．如图，的半径为4，定点在上，动点，也在上，且满足，为的中点，则点、在圆上运动的过程中，线段的最大值为 　　，此时　　．

三.解答题（共9小题，共计96分）
19．（10分）如图，是的弦，是外一点，，交于点，交于点，且．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．

20．（10分）解方程：（1）；
（2）．
21．（10分）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：不论为何值，方程总有实数根；
（2）若该方程有两根为，，且，求的值．
22．（10分）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆，交于点，交于点，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．

23．（10分）如果一元二次方程的两根，均为正数，其中且满足，那么称这个方程有“友好根”．
（1）方程　　“友好根”（填：“有”或“没有” ；
（2）已知关于的有“友好根”，求的取值范围．

24．（12分）某药店销售普通口罩和口罩，今年8月份的进价如表：

普通口罩
口罩
进价（元包）
8
20
（1）计划口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包口罩总售价相同，求普通口罩和口罩每包售价．
（2）按（1）中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包．该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价．
（3）疫情期间，该药店进货2万包口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了包该款口罩，剩余的口罩向市民销售．若这2万包口罩的利润率等于，则口罩每包售价是　　元．（直接写出答案，售价为整数元）
25．（10分）（1）在图①中，已知，点在上，过点作的切线；
（2）在图②中，已知，点在外，过点作的切线．
（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）

26．（12分）如图，在矩形中，，．点为边上的一个动点（不与、重合），是的外接圆．
（1）若，交于点、，求的长度．
（2）若的长度为，与的位置关系随着的值变化而变化，试探索与的位置关系及对应的的取值范围．

27．（12分）在平面直角坐标系中，对于与，给出如下定义：若与有且只有两个公共点，其中一个公共点为点，另一个公共点在边上（不与点，重合），则称为的“点关联三角形”．
（1）如图，的半径为1，点．为的“点关联三角形”
①在，，这两个点中，点可以与点 　　重合；
②点的横坐标的最小值为 　　；
（2）的半径为1，点，点是轴负半轴上的一个动点，点在轴下方，是等边三角形，且为的“点关联三角形”．设点的横坐标为，求的取值范围；
（3）的半径为，直线与在第一象限的交点为，点．若平面直角坐标系中存在点，使得是等腰直角三角形，且为的“点关联三角形”，直接写出的取值范围．

参考答案与解析
选择、填空题答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
D
B
A
C
B
C
B
B
A
11.-2 12. 13. 14. 15.9
16.或 17. 18.
19.解：（1）与相切，
理由：连接，
，.
，.
，.
在中，，
，即，.
又是半径，与相切.
（2），，，
.
，是等边三角形，
，
，
，
，.
图中阴影部分的面积．
20．解：（1），
，，，
，
，
解得，.
（2），
，
，
或，
解得，．
21.（1）证明：，，，
，
，不论为何值，方程总有实数根．
（2）解：，是关于的一元二次方程的两个实数根，
，.
，即，
，
整理，得，解得，，
的值为0或．
22.解：（1）如图，连接．

，，．
，，
，
．
又，．
（2）如图，过点作，垂足为．

，，，．
又，
，．
，，．
23.解：（1）没有
（2）
，，
当时，，，
当时，，.
一元二次方程有“友好根”，
，均为正数，且满足，
若，，则，
解得.
若，，则无解.
综上，的取值范围是．
24.解：（1）设普通口罩每包的售价为元，口罩每包的售价为元.
依题意，得解得
答：普通口罩每包的售价为12元，口罩每包的售价为28元．
（2）设普通口罩每包的售价降低元，则此时普通口罩每包的售价为元，日均销售量为包，
依题意，得，
整理，得，
解得，（不合题意，舍去），
．
答：此时普通口罩每包的售价为10元．
（3）32
25.解：（1）如图①，为所作.

（2）如图②，为所作.

26.（1）解：如图，过点作于点，延长交于点，连接.

四边形是矩形，
，是的直径．
，
四边形是矩形，
，，．
，是的中位线，
，.
在中，，，
在中，，．
（2）解：如图，当与相切于点时，连接并反向延长交于点．

由（1）易得，，.
在中，，即，解得.
当时，与相离，
当时，与相切，
当时，与相交．
27.解：（1）①
②
（2）如图，

为的“点关联三角形”，
线段和除过点为不能有交点，
当线段除点外不与有交点，
当与相切时，
轴，此时，点的横坐标为1，
当线段除点外不与有交点，
即点在处，记作点，，
，，，.
为等边三角形，
，，
在△中，，.
过点作轴于，
，，
，
在上取一点，连接，使，，
在△中，则，，
，
在△中，根据勾股定理，得，
，，
，
的取值范围为.
（3）当点在圆内时，当时，始终存在等腰是的“点关联三角形”，即，
直线与在第一象限的交点为，，.
如图，

当点在圆外时，当时，存在等腰为的“点关联三角形”，
如图，

过点作轴的平行线，过点作于，作轴于，
，四边形是矩形.
，，
，.
点在直线上，
点到，轴的距离相等是，
在轴上，即点也在轴负半轴上，
，
当点在上时，，，
，.
当与相切时，则，
，
点与点重合，此时，，
，即或．