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江苏省无锡市梁溪区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)
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这是一份江苏省无锡市梁溪区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省无锡市梁溪区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是( )
A. x2+1x2=4 B. ax2+bx+c=0
C. (x-1)(x+3)=4 D. 4x2-xy+7=0
2. 用配方法解一元二次方程x2-8x+5=0，将其化成(x+a)2=b的形式，则变形正确的是( )
A. (x+4)2=11 B. (x-4)2=21 C. (x-8)2=11 D. (x-4)2=11
3. 已知m是方程x2-2x-2022=0的一个根，则2m2-4m的值为( )
A. -4044 B. 4044 C. -2022 D. 2022
4. 已知⊙O的半径是一元二次方程x2-5x-6=0的一个根，圆心O到直线l的距离d=5，则直线l与⊙O的位置关系是( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 平行
5. 下列说法正确的是( )
A. 经过三点可以作一个圆
B. 三角形的外心到这个三角形的三边距离相等
C. 等弧所对的圆心角相等
D. 相等的圆心角所对的弧相等
6. 如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB=12，AC=8，则⊙O半径长为( )
A. 10 B. 5 C. 6 D. 10
7. 如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD=25°，则下列结论错误的是( )
A. AE⊥DE
B. AE//OD
C. DE=OD
D. ∠BOD=50°
8. 如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D、E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是( )
A. 2
B. 3
C. 32
D. 32
9. 欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a2，AC=b，再在斜边AB上截取BD=a2，则该方程的一个正根是( )
A. AC的长 B. AD的长 C. BC的长 D. CD的长
10. 如图，将边长为a的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径的长为( )
A. 4+233πa B. 8+433πa C. 4+33πa D. 4+236πa
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 关于x的一元二次方程(k-1)x2+6x+k2+k-2=0有一个根是0，则k的值是______．
12. 关于x的一元二次方程x2-2x+a=0有两不等实根，则a的取值范围是______．
13. 某圆锥的母线长是2，底面半径是1，则该圆锥的侧面积是______．
14. 某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比1月份的利润增加4.2万元，设该产品利润平均每月的增长率为x，则可列方程为______．
15. 如图，⊙I为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线，若△ABC的周长为21，BC边的长为6，△ADE的周长为______．
16. ⊙O是△ABC的外接圆，连接OB，∠ABO=28°，则∠C的度数为______，
17. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心、AD的长为半径画弧，再以BC为直径画半圆．若阴影部分①的面积为S1，阴影部分②的面积为S2，则S2-S1的值为______．
18. 如图，⊙O的半径为4，定点P在⊙O上，动点A，B也在⊙O上，且满足∠APB=30°，C为PB的中点，则点A、B在圆上运动的过程中，线段AC的最大值为______，此时∠ACB=______．
三、解答题（本大题共9小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP=CB．
(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若∠A=30°，OP=1，求图中阴影部分的面积．
20. (本小题10.0分)
解方程：(1)x2-3x-1=0；
(2)(x-5)2+2x(x-5)=0．
21. (本小题10.0分)
已知关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+2(m+1)=0．
(1)求证：不论m为何值，方程总有实数根；
(2)若该方程有两根为x1，x2，且x12+x22=5，求m的值．
22. (本小题10.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．
(1)若∠ABC=20°，求∠DEA的度数；
(2)若AC=3，AB=4，求CD的长．
23. (本小题10.0分)
如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1，x2均为正数，其中x1>x2且满足1
(2)已知关于x的x2-(t-1)x+t-2=0有“友好根”，求t的取值范围．
24. (本小题12.0分)
“新冠“疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品．某药店销售普通口罩和N95口罩，今年8月份的进价如表：
普通口罩
N95口罩
进价(元/包)
8
20
(1)计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价．
(2)按(1)中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包．该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价．
(3)疫情期间，该药店进货2万包N95口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了a包(6000≤a≤7000)该款口罩，剩余的N95口罩向市民销售．若这2万包口罩的利润率等于10%，则N95口罩每包售价是______元．(直接写出答案，售价为整数元)
25. (本小题10.0分)
(1)在图①中，已知⊙O1，点P在⊙O1上，过点P作⊙O1的切线l1；
(2)在图②中，已知⊙O2，点Q在⊙O2外，过点Q作⊙O2的切线l2．
(用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法)
26. (本小题12.0分)
如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6.点E为CD边上的一个动点(不与C、D重合)，⊙O是△BCE的外接圆．
(1)若CE=2，⊙O交AD于点F、G，求FG的长度．
(2)若CE的长度为m，⊙O与AD的位置关系随着m的值变化而变化，试探索⊙O与AD的位置关系及对应的m的取值范围．
27. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC与⊙O，给出如下定义：若△ABC与⊙O有且只有两个公共点，其中一个公共点为点A，另一个公共点在边BC上(不与点B，C重合)，则称△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．
(1)如图，⊙O的半径为1，点C(0,2).△AOC为⊙O的“点A关联三角形”
①在P1(-1,0)，P2(22,22)这两个点中，点A可以与点______重合；
②点A的横坐标的最小值为______；
(2)⊙O的半径为1，点A(1,0)，点B是y轴负半轴上的一个动点，点C在x轴下方，△ABC是等边三角形，且△ABC为⊙O的“点A关联三角形”.设点C的横坐标为m，求m的取值范围；
(3)⊙O的半径为r，直线y=x与⊙O在第一象限的交点为A，点C(4,0).若平面直角坐标系xOy中存在点B，使得△ABC是等腰直角三角形，且△ABC为⊙O的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.当a=0时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
D.方程是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2.【答案】D
【解析】解：方程x2-8x+5=0，
移项得：x2-8x=-5，
配方得：x2-8x+16=11，即(x-4)2=11．
故选：D．
方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：由题意得：
把x=m代入方程x2-2x-2022=0中，
则m2-2m-2022=0，
∴m2-2m=2022，
∴2m2-4m=4044，
故选：B．
直接把x=m代入方程中，进行计算即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵x2-5x-6=0，
∴x1=-1，x2=6，
∵⊙O的半径为一元二次方程x2-5x-6=0的根，
∴r=6，
∵d
故选：A．
先求方程的根，可得r的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解．
本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
5.【答案】C
【解析】解：A、经过不共线的三点可以作一个圆，所以A选项错误；
B、三角形的外心到这个三角形的三个顶点的距离相等，所以B选项错误；
C、等弧所对的圆心角相等，所以C选项正确；
D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以D选项错误．
故选：C．
根据确定圆的条件对A进行判断；根据三角形外心的定义对B进行判断；根据圆心角、弦、弧的关系对C、D进行判断．
本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．原式考查了圆心角、弦、弧的关系和三角形的外接圆．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了切线的性质和勾股定理的应用，解题关键点是得出直角三角形ABO，主要培养了学生运用性质进行推理的能力．
连接OB，根据切线的性质求出∠ABO=90°，在△ABO中，由勾股定理即可求出⊙O的半径长．
【解答】
解：如图，连接OB，
∵AB切⊙O于B，∴OB⊥AB，∴∠ABO=90°，
设⊙O的半径长为r，
由勾股定理得：r2+122=(8+r)2，
解得r=5．
故选B．
7.【答案】C
【解析】解：∵弦AD平分∠BAC，∠EAD=25°，
∴∠OAD=∠ODA=25°．
∴∠BOD=2∠OAD=50°．
故选项D不符合题意；
∵∠OAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD//AC，即AE//OD，故选B不符合题意；
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE．
∴DE⊥AE.故选项A不符合题意；
如图，过点O作OF⊥AC于F，则四边形OFED是矩形，
∴OF=DE．
在直角△AFO中，OA>OF．
∵OD=OA，
∴DE
故选：C．
根据切线的性质得到OD⊥DE，证明OD//AC，由此判断A、B选项；过点O作OF⊥AC于F，构造直角△AFO，利用圆周角定理判断C选项；利用三角形外角性质求得∠BOD的度数，从而判断D选项．
本题主要考查了切线的性质和圆周角定理．如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
8.【答案】B
【解析】解：连结BD、OC，如图，
∵四边形BCDE为矩形，
∴∠BCD=90°，
∴BD为⊙O的直径，
∴BD=2，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠BOC=2∠A=120°，
而OB=OC，
∴∠CBD=30°，
在Rt△BCD中，CD=12BD=1，BC=3CD=3，
∴矩形BCDE的面积=BC⋅CD=3．
故选：B．
连接BD、OC，根据矩形的性质得∠BCD=90°，再根据圆周角定理得BD为⊙O的直径，则BD=2；由ABC为等边三角形得∠A=60°，于是利用圆周角定理得到∠BOC=2∠A=120°，易得∠CBD=30°，在Rt△BCD中，根据含30°的直角三角形三边的关系得到CD=12BD=1，BC=3CD=3，然后根据矩形的面积公式求解．
本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、等边三角形的性质和矩形的性质．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
表示出AD的长，利用勾股定理求出即可．
【解答】
解：欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：
画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a2，AC=b，再在斜边AB上截取BD=a2，
设AD=x，根据勾股定理得：(x+a2)2=b2+(a2)2，
整理得：x2+ax=b2，
则该方程的一个正根是AD的长，
故选B．
10.【答案】A
【解析】解：连A1A5，A1A4，A1A3，作A6C⊥A1A5，如图，
∵六边形A1A2A3A4A5A6为正六边形，
∴A1A4=2a，∠A1A6A5=120°，
∴∠CA1A6=30°，
∴A6C=12a，A1C=32a，
∴A1A5=A1A3=3a，
当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径分别是以A6，A5，A4，A3，A2为圆心，
以a，3a，2a，3a，a为半径，圆心角都为60°的五条弧，
∴顶点A1所经过的路径的长=60⋅π⋅a180+60⋅π⋅3a180+60⋅π⋅2a180+60⋅π⋅3a180+60⋅π⋅a180，
=4+233πa．
故选：A．
连A1A5，A1A4，A1A3，作A6C⊥A1A5，利用正六边形的性质分别计算出A1A4=2a，A1A5=A1A3=3a，而当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径分别是以A6，A5，A4，A3，A2为圆心，以a，3a，2a，3a，a为半径，圆心角都为60°的五条弧，然后根据弧长公式进行计算即可．
本题考查了弧长公式：l=n⋅π⋅R180；也考查了正六边形的性质以及旋转的性质．
11.【答案】-2
【解析】解：∵方程(k-1)x2+6x+k2+k-2=0为一元二次方程，
∴k-1≠0，
∴k≠1．
将x=0代入(k-1)x2+6x+k2+k-2=0，得：k2+k-2=0，
解得：k1=-2，k2=1(不合题意，舍去)．
故答案为：-2．
根据一元二次方程的定义可得出k-1≠0，进而可得出k≠1，将x=0代入原方程可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，结合k≠1即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，代入x=0求出k的值是解题的关键．
12.【答案】a<1
【解析】解：根据题意，得
Δ=-22-4×1×a=4-4a>0，
解得：a<1．
故答案为：a<1．
根据一元二次方程根的判别式得到Δ=4-4a>0，然后解不等式即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．
13.【答案】2π
【解析】解：圆锥的侧面积=12×2×2π×1=2π，
故答案为：2π．
由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以根据扇形的面积公式可得圆锥的侧面积．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14.【答案】20(1+x)2=20+4.2
【解析】解：依题意得：20(1+x)2=20+4.2，
故答案为：20(1+x)2=20+4.2．
根据该公司销售该种产品1月份及3月份获得的利润，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15.【答案】9
【解析】解：∵△ABC的周长为21，BC=6，
∴AC+AB=21-6=15，
设⊙I与△ABC的三边AB、BC、AC的切点为M、N、Q，切DE为P，
∵DM=DP，BN=BM，CN=CQ，EQ=EP，
∴BM+CQ=BN+CN=BC=6，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+AE+DP+PE
=AD+DM+AE+EQ=AB-BM+AC-CQ=AC+AB-(BM+CQ)
=15-6=9，
故答案为9．
根据三角形内切圆的性质及切线长定理可得DM=DP，BN=BM，CN=CQ，EQ=EP，则BM+CQ=6，所以△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+AE+DM+EQ，代入求出即可．
本题考查了切线长定理，理解定理，找出图形中存在的相等的线段是关键．
16.【答案】62°或118°
【解析】解：如图，
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=28°，
∴∠AOB=124°，
∴∠C=12∠AOB=62°，
∴∠C'=180°-62°=118°，
故答案为：62°或118°．
分两种情形画出图形分别求解即可解决问题．
本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解．
17.【答案】3π2-4
【解析】
【分析】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：S=nπr2360是解题的关键．
根据图形得到S2-S1=扇形ADC的面积+半圆BC的面积-正方形ABCD的面积，根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：由图形可知，扇形ADC的面积+半圆BC的面积+阴影部分①的面积-正方形ABCD的面积=阴影部分②的面积，
∴S2-S1=扇形ADC的面积+半圆BC的面积-正方形ABCD的面积
=90π×22360+12π×12-22
=3π2-4，
故答案为：3π2-4．
18.【答案】23+2 45°
【解析】解：如图，连接OA，OP，OB，延长BA到H，使得AH=BA，连接PH．
∵BA=AH，BC=CP，
∴AC//PH，AC=12PH，
∴当PH的值最大时，AC的值最大，
∵∠AOB=2∠APB=60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO=AH=AB，
∴∠HOB=90°，
∴OH=3OB=43，
∵PH≤OH+OP，
∴PH≤43+4，
∴当P、O、H共线时，PH最大，PH的最大值为43+4，
∴AC的最大值为23+2，
∵AC//PH，
∴∠ACB=∠BPH，
∵OP=OB，∠HOB=90°，P、O、H共线，
∴∠BPO=45°，
∴∠ACB=45°
故答案为：23+2，45°．
如图，连接OA，OP，OB，延长BA到H，使得AH=BA，连接PH.证明AC=12PH，求出PH的最大值即可解决问题．
本题考查点与圆的位置关系，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，具体的规划是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
19.【答案】解：(1)直线BC与⊙O相切，
理由：连接OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵CP=CB，
∴∠CPB=∠CBP，
在Rt△AOP中，∵∠OAP+∠APO=90°，
∴∠OBA+∠CBP=90°，
即：∠OBC=90°，
∴OB⊥BC，
又∵OB是半径，
∴直线BC与⊙O相切；
(2)∵∠A=30°，∠AOP=90°，
∴∠APO=60°，
∴∠CPB=∠APO=60°，
∵CP=CB，
∴△PBC是等边三角形，
∴∠PCB=∠CBP=60°，
∴∠OBP=∠POB=30°，
∴OP=PB=PC=BC=1，OC=2，
∴OB=OC2-BC2=3，
∴图中阴影部分的面积=S△OBC-S扇形OBD=12×1×3-30⋅π×(3)2360=32-π4．
【解析】本题考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
(1)根据等边对等角得到∠OAB=∠OBA，∠CPB=∠CBP，推出∠OBA+∠CBP=90°，即OB⊥BC，于是得到结论；
(2)根据三角形的内角和定理得到∠APO=60°，推出△PBC是等边三角形，得到∠PCB=∠CBP=60°，求得BC=1，OC=2，根据勾股定理得到OB=3，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
20.【答案】解：(1)x2-3x-1=0，
∵a=1，b=-3，c=-1，
∴b2-4ac=(-3)2-4×1×(-1)=13>0，
∴x=-b±b2-4ac2a=3±132，
解得x1=3+132，x2=3-132；
(2)(x-5)2+2x(x-5)=0，
(x-5)(x-5+2x)=0，
(x-5)(3x-5)=0，
x-5=0或3x-5=0，
解得x1=5，x2=53．
【解析】(1)利用求根公式求解即可；
(2)利用提公因式法因式分解求解即可．
本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式以及提公因式法因式分解是解答本题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵a=1，b=-(m+3)，c=2(m+1)，
∴Δ=b2-4ac=[-(m+3)]2-4×1×2(m+1)=m2-2m+1=(m-1)2，
∵(m-1)2≥0，即Δ≥0，
∴不论m为何值，方程总有实数根．
(2)解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+2(m+1)=0的两个实数根，
∴x1+x2=m+3，x1⋅x2=2(m+1)，
∵x12+x22=5，即(x1+x2)2-2x1⋅x2=5，
∴(m+3)2-2×2(m+1)=5，
整理得：m2+2m=0，
解得：m1=0，m2=-2，
∴m的值为0或-2．
【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2-4ac，可得出Δ=(m-1)2≥0，进而可证出论m为何值，方程总有实数根；
(2)利用根与系数的关系可得出x1+x2=m+3，x1⋅x2=2(m+1)，结合x12+x22=5，可得出关于m的一元二次方程，结合即可求出m的值．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：(1)牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；(2)根据根与系数的关系及x12+x22=5，找出关于m的一元二次方程．
22.【答案】解：(1)如图，连接AD．
∵∠BAC=90°，∠ABC=20°，
∴∠ACD=70°．
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=70°，
∴∠CAD=180°-70°-70°=40°，
∴∠DAE=90°-40°=50°．
又∵AD=AE，
∴∠DEA=∠ADE=12(180°-50°)=65°．
(2)如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．
∵∠BAC=90°，AC=3，AB=4，
∴BC=5．
又∵12⋅AF⋅BC=12⋅AC⋅AB，
∴AF=12×3×412×5=125，
∴CF=32-(125)2=95．
∵AC=AD，AF⊥CD，
∴CD=2CF=185．
【解析】(1)连接AD，求出∠DAE，再利用等腰三角形的性质解决问题即可．
(2)如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F.利用面积法求出AF，再利用勾股定理求出CF，可得结论．
本题考查垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23.【答案】(1)没有；
(2)x2-(t-1)x+t-2=0
由已知△=(t-1)2-4×1×(t-2)=(t-3)2>0，
∴x=(t-1)±(t-3)22，
∴当t>3时，x1=t-2，x2=1，
当t<3时，x1=1，x2=t-2，
∵一元二次方程ax2+bx+c=0有“邻近根”，
∴x1，x2均为正数，x1>x2且满足1
∵(x-2)(x-3)=0，
∴x1=3，x2=2，
这时x1>0，x2>0，但x1-x2<1，
∴不满足x1>x2且满足1
故答案为：没有；
(2)x2-(t-1)x+t-2=0
由已知△=(t-1)2-4×1×(t-2)=(t-3)2>0，
∴x=(t-1)±(t-3)22，
∴当t>3时，x1=t-2，x2=1，
当t<3时，x1=1，x2=t-2，
∵一元二次方程ax2+bx+c=0有“邻近根”，
∴x1，x2均为正数，x1>x2且满足1
24.【答案】解：(1)设普通口罩每包的售价为x元，N95口罩每包的售价为y元，
依题意，得：y-x=167x=3y，
解得：x=12y=28．
答：普通口罩每包的售价为12元，N95口罩每包的售价为28元．
(2)设普通口罩每包的售价降低m元，则此时普通口罩每包的售价为(12-m)元，日均销售量为(120+20m)包，
依题意，得：(12-m-8)(120+20m)=320，
整理，得：m2+2m-8=0，
解得：m1=2，m2=-4(不合题意，舍去)，
∴12-m=10．
答：此时普通口罩每包的售价为10元．
(3)32．
【解析】解：(1)(2)见答案；
(3)设N95口罩每包售价是n元，
依题意，得：(20000-a)n-20×20000=20×20000×10%，
∴a=20000-440000n．
∵6000≤a≤7000，
∴6000≤20000-440000n≤7000，
∴2207≤n≤44013．
又∵a和n均为正整数，
∴n=32．
故答案为：32．
(1)设普通口罩每包的售价为x元，N95口罩每包的售价为y元，根据“N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设普通口罩每包的售价降低m元，则此时普通口罩每包的售价为(12-m)元，日均销售量为(120+20m)包，根据每天的利润=每包的利润×日均销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
(3)设N95口罩每包售价是n元，根据利润=销售收入-进货成本，即可用含n的代数式表示出a值，结合a的取值范围可得出n的取值范围，再结合a，n均为正整数，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(3)根据各数量之间的关系，用含n的代数式表示出a值．
25.【答案】解：(1)如图①，l1为所作；
(2)如图②，l2为所作
【解析】(1)过P点作O1P的切线得到直线l1；
(2)连接QO2，作QO2的垂直平分线得到中点O，然后以O点为圆心，OQ为半径作圆交⊙O2于A、B，则直线QA、QB满足条件．
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定．
26.【答案】(1)解：过点O作OM⊥FG于点M，延长MO交BC于点N，连接OG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴BE是⊙O的直径．
∵∠C=∠D=∠DMN=90°，
∴四边形MNCD是矩形，
∴MN⊥BC，MN=CD=AB=4，
∴BN=CN．
∵OB=OE，
∴ON是△BCE的中位线，
∴ON=12CE=1，
∴OM=4-1=3，
在Rt△BCE中，BE=BC2+CE2=210，
∴OG=12BE=10，
在Rt△OMG中，MG=OG2-OM2=1，
∴FG=2MG=2．
(2)解：如图1中，当⊙O与AD相切于点M时，连接OM并反向延长交BC于点N．
由(1)易得ON=12CE=12m，OB=OM=4-12m，BN=3，
在Rt△BON中，ON2+BN2=OB2，即(12m)2+32=(4-12m)2，
解得m=74，
∴当0
当74
(2)如图1中，当⊙O与AD相切于点M时，连接OM并反向延长交BC于点N.求出相切时，m的值即可判断．
本题考查直线与圆的位置关系，矩形的性质，垂径定理，三角形的外心等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
27.【答案】解：(1)如图1，
当点A在y轴右侧时，过点C作⊙O的切线CA，交⊙O于A，连接OA，
则OA=1，OC=2，
则AC=3，
过点A作AH⊥y轴于H，
则S△AOC=12AC⋅OA=12OC⋅AH，
∴AH=AC⋅OAOC=3×12=32，
∴0≤xA≤32，
当点A在y轴左侧时，由对称性得，-32≤xA<0，
即-32≤xA≤32，
①∵点P1的横坐标为-1，
而-1<-32，
∴点A不能与点P1重合，
∵点P2的横坐标为22，
而22<32，
∴点A能与点P2重合，
故答案为：P2；
②点A的横坐标的最小值为-32，
故答案为：-32；
(2)如图2，
∵△ABC为⊙O的“点A关联三角形”，
∴线段AC和AB除过点A为不能⊙O有交点，
当线段AC除点A外不与⊙O有交点，
当AC与⊙O相切时，
∴AC⊥x轴，此时，点A的横坐标为1，
当线段AB除点A外不与⊙O有交点，
即点B在(-1,0)处，记作点B'，
∴OB'=1，
∵A(1,0)，
∴OA=1，
∴OA=OB'，
∴∠OB'A=45°，
∵△ABC为等边三角形，
∴B'C'=AB'，∠AB'C'=60°，
在Rt△A'OB'中，AB'=2，
∴B'C'=2，
过点C'作C'G⊥y轴于G，
∴∠B'GC'=90°，∠C'B'G=180°-45°-60°=75°，
∴∠B'C'G=15°，
在C'G上取一点M，连接B'M，使B'M=C'M，
∴∠B'MG=30°，
在Rt△B'GM中，则GM=3B'G，B'M=2B'G，
∴C'G=GM+C'M=(3+2)B'G，
在Rt△B'GC'中，根据勾股定理得，B'G2+C'G2=B'C'2，
B'G2+[(3+2)B'G]2=(2)2，
∴B'G=2-32，
∴C'G=(3+2)⋅2-32=(2-3)(2+3)22=1+32，
∴m的取值范围为1≤m<1+32；
(3)当点C在圆内时，当∠BAC=90°时，始终存在等腰Rt△ABC是⊙O的“点A关联三角形”，即r>4，
∵直线y=x与⊙O在第一象限的交点为A，
∴A(22r,22r)，
如图3，
当点C在圆外时，当∠BAC=90°时，存在等腰Rt△ABC为⊙O的“点A关联三角形”，
如图4，
过点B作y轴的平行线BR，过点A作AR⊥BR于R，作AT⊥x轴于T，
∵∠ORA=∠OTA=90°=∠ROT，
∴四边形ORAT是矩形，
∵AB=AC，
∴△ABR≌△ACT(AAS)，
∴AR=AT，BR=CT，
∵点A在直线y=x上，
∴点A到x，y轴的距离相等是AT，
∴R在y轴上，即点B也在y轴负半轴上，
∴OT=OR=22r，
当点B在⊙O上时，RB=r+22r，CT=4-22r，
∴r+22r=4-22r，
∴r=4(2-1)，
当AB与⊙O相切时，则∠OAC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴点B与点O重合，此时r=22OC=22
∴4(2-1)4．
【解析】此题是圆的综合题，主要考查了新定义，圆的切线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，找出分界点是解本题的关键．
(1)当点A在y轴右侧时，过点C作⊙O的切线CA，交⊙O于A，连接OA，利用面积求出AH，得出0≤xA≤32，当点A在y轴左侧时，由对称性得，-32≤xA<0，即可求出点A的横坐标的范围，即可求出①②的答案；
(2)先求出B'C'=2，过点C'作C'G⊥y轴于G，构造直角三角形，表示出GM=3B'G，BM=2B'G，进而用勾股定理求出B'G=2-32，即可求出答案；
(3)当点C在圆内时，当∠BAC=90°时，始终存在等腰Rt△ABC是⊙O的“点A关联三角形”，即r>4，当点C在圆外时，当∠BAC=90°时，存在等腰Rt△ABC为⊙O的“点A关联三角形”，过点B作y轴的平行线BR，过点A作AR⊥BR于R，作AT⊥x轴于T，判断出四边形ORAT是矩形，得出△ABR≌△ACT，进而判断出点B也在y轴负半轴上，利用点B在圆上，求出r的范围．
2022-2023学年江苏省无锡市梁溪区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是( )
A. x2+1x2=4 B. ax2+bx+c=0
C. (x-1)(x+3)=4 D. 4x2-xy+7=0
2. 用配方法解一元二次方程x2-8x+5=0，将其化成(x+a)2=b的形式，则变形正确的是( )
A. (x+4)2=11 B. (x-4)2=21 C. (x-8)2=11 D. (x-4)2=11
3. 已知m是方程x2-2x-2022=0的一个根，则2m2-4m的值为( )
A. -4044 B. 4044 C. -2022 D. 2022
4. 已知⊙O的半径是一元二次方程x2-5x-6=0的一个根，圆心O到直线l的距离d=5，则直线l与⊙O的位置关系是( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 平行
5. 下列说法正确的是( )
A. 经过三点可以作一个圆
B. 三角形的外心到这个三角形的三边距离相等
C. 等弧所对的圆心角相等
D. 相等的圆心角所对的弧相等
6. 如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB=12，AC=8，则⊙O半径长为( )
A. 10 B. 5 C. 6 D. 10
7. 如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD=25°，则下列结论错误的是( )
A. AE⊥DE
B. AE//OD
C. DE=OD
D. ∠BOD=50°
8. 如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D、E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是( )
A. 2
B. 3
C. 32
D. 32
9. 欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a2，AC=b，再在斜边AB上截取BD=a2，则该方程的一个正根是( )
A. AC的长 B. AD的长 C. BC的长 D. CD的长
10. 如图，将边长为a的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径的长为( )
A. 4+233πa B. 8+433πa C. 4+33πa D. 4+236πa
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 关于x的一元二次方程(k-1)x2+6x+k2+k-2=0有一个根是0，则k的值是______．
12. 关于x的一元二次方程x2-2x+a=0有两不等实根，则a的取值范围是______．
13. 某圆锥的母线长是2，底面半径是1，则该圆锥的侧面积是______．
14. 某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比1月份的利润增加4.2万元，设该产品利润平均每月的增长率为x，则可列方程为______．
15. 如图，⊙I为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线，若△ABC的周长为21，BC边的长为6，△ADE的周长为______．
16. ⊙O是△ABC的外接圆，连接OB，∠ABO=28°，则∠C的度数为______，
17. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心、AD的长为半径画弧，再以BC为直径画半圆．若阴影部分①的面积为S1，阴影部分②的面积为S2，则S2-S1的值为______．
18. 如图，⊙O的半径为4，定点P在⊙O上，动点A，B也在⊙O上，且满足∠APB=30°，C为PB的中点，则点A、B在圆上运动的过程中，线段AC的最大值为______，此时∠ACB=______．
三、解答题（本大题共9小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP=CB．
(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若∠A=30°，OP=1，求图中阴影部分的面积．
20. (本小题10.0分)
解方程：(1)x2-3x-1=0；
(2)(x-5)2+2x(x-5)=0．
21. (本小题10.0分)
已知关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+2(m+1)=0．
(1)求证：不论m为何值，方程总有实数根；
(2)若该方程有两根为x1，x2，且x12+x22=5，求m的值．
22. (本小题10.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．
(1)若∠ABC=20°，求∠DEA的度数；
(2)若AC=3，AB=4，求CD的长．
23. (本小题10.0分)
如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1，x2均为正数，其中x1>x2且满足1
(2)已知关于x的x2-(t-1)x+t-2=0有“友好根”，求t的取值范围．
24. (本小题12.0分)
“新冠“疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品．某药店销售普通口罩和N95口罩，今年8月份的进价如表：
普通口罩
N95口罩
进价(元/包)
8
20
(1)计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价．
(2)按(1)中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包．该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价．
(3)疫情期间，该药店进货2万包N95口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了a包(6000≤a≤7000)该款口罩，剩余的N95口罩向市民销售．若这2万包口罩的利润率等于10%，则N95口罩每包售价是______元．(直接写出答案，售价为整数元)
25. (本小题10.0分)
(1)在图①中，已知⊙O1，点P在⊙O1上，过点P作⊙O1的切线l1；
(2)在图②中，已知⊙O2，点Q在⊙O2外，过点Q作⊙O2的切线l2．
(用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法)
26. (本小题12.0分)
如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6.点E为CD边上的一个动点(不与C、D重合)，⊙O是△BCE的外接圆．
(1)若CE=2，⊙O交AD于点F、G，求FG的长度．
(2)若CE的长度为m，⊙O与AD的位置关系随着m的值变化而变化，试探索⊙O与AD的位置关系及对应的m的取值范围．
27. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC与⊙O，给出如下定义：若△ABC与⊙O有且只有两个公共点，其中一个公共点为点A，另一个公共点在边BC上(不与点B，C重合)，则称△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．
(1)如图，⊙O的半径为1，点C(0,2).△AOC为⊙O的“点A关联三角形”
①在P1(-1,0)，P2(22,22)这两个点中，点A可以与点______重合；
②点A的横坐标的最小值为______；
(2)⊙O的半径为1，点A(1,0)，点B是y轴负半轴上的一个动点，点C在x轴下方，△ABC是等边三角形，且△ABC为⊙O的“点A关联三角形”.设点C的横坐标为m，求m的取值范围；
(3)⊙O的半径为r，直线y=x与⊙O在第一象限的交点为A，点C(4,0).若平面直角坐标系xOy中存在点B，使得△ABC是等腰直角三角形，且△ABC为⊙O的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.当a=0时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
D.方程是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2.【答案】D
【解析】解：方程x2-8x+5=0，
移项得：x2-8x=-5，
配方得：x2-8x+16=11，即(x-4)2=11．
故选：D．
方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：由题意得：
把x=m代入方程x2-2x-2022=0中，
则m2-2m-2022=0，
∴m2-2m=2022，
∴2m2-4m=4044，
故选：B．
直接把x=m代入方程中，进行计算即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵x2-5x-6=0，
∴x1=-1，x2=6，
∵⊙O的半径为一元二次方程x2-5x-6=0的根，
∴r=6，
∵d
故选：A．
先求方程的根，可得r的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解．
本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
5.【答案】C
【解析】解：A、经过不共线的三点可以作一个圆，所以A选项错误；
B、三角形的外心到这个三角形的三个顶点的距离相等，所以B选项错误；
C、等弧所对的圆心角相等，所以C选项正确；
D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以D选项错误．
故选：C．
根据确定圆的条件对A进行判断；根据三角形外心的定义对B进行判断；根据圆心角、弦、弧的关系对C、D进行判断．
本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．原式考查了圆心角、弦、弧的关系和三角形的外接圆．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了切线的性质和勾股定理的应用，解题关键点是得出直角三角形ABO，主要培养了学生运用性质进行推理的能力．
连接OB，根据切线的性质求出∠ABO=90°，在△ABO中，由勾股定理即可求出⊙O的半径长．
【解答】
解：如图，连接OB，
∵AB切⊙O于B，∴OB⊥AB，∴∠ABO=90°，
设⊙O的半径长为r，
由勾股定理得：r2+122=(8+r)2，
解得r=5．
故选B．
7.【答案】C
【解析】解：∵弦AD平分∠BAC，∠EAD=25°，
∴∠OAD=∠ODA=25°．
∴∠BOD=2∠OAD=50°．
故选项D不符合题意；
∵∠OAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD//AC，即AE//OD，故选B不符合题意；
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE．
∴DE⊥AE.故选项A不符合题意；
如图，过点O作OF⊥AC于F，则四边形OFED是矩形，
∴OF=DE．
在直角△AFO中，OA>OF．
∵OD=OA，
∴DE
故选：C．
根据切线的性质得到OD⊥DE，证明OD//AC，由此判断A、B选项；过点O作OF⊥AC于F，构造直角△AFO，利用圆周角定理判断C选项；利用三角形外角性质求得∠BOD的度数，从而判断D选项．
本题主要考查了切线的性质和圆周角定理．如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
8.【答案】B
【解析】解：连结BD、OC，如图，
∵四边形BCDE为矩形，
∴∠BCD=90°，
∴BD为⊙O的直径，
∴BD=2，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠BOC=2∠A=120°，
而OB=OC，
∴∠CBD=30°，
在Rt△BCD中，CD=12BD=1，BC=3CD=3，
∴矩形BCDE的面积=BC⋅CD=3．
故选：B．
连接BD、OC，根据矩形的性质得∠BCD=90°，再根据圆周角定理得BD为⊙O的直径，则BD=2；由ABC为等边三角形得∠A=60°，于是利用圆周角定理得到∠BOC=2∠A=120°，易得∠CBD=30°，在Rt△BCD中，根据含30°的直角三角形三边的关系得到CD=12BD=1，BC=3CD=3，然后根据矩形的面积公式求解．
本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、等边三角形的性质和矩形的性质．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
表示出AD的长，利用勾股定理求出即可．
【解答】
解：欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：
画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a2，AC=b，再在斜边AB上截取BD=a2，
设AD=x，根据勾股定理得：(x+a2)2=b2+(a2)2，
整理得：x2+ax=b2，
则该方程的一个正根是AD的长，
故选B．
10.【答案】A
【解析】解：连A1A5，A1A4，A1A3，作A6C⊥A1A5，如图，
∵六边形A1A2A3A4A5A6为正六边形，
∴A1A4=2a，∠A1A6A5=120°，
∴∠CA1A6=30°，
∴A6C=12a，A1C=32a，
∴A1A5=A1A3=3a，
当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径分别是以A6，A5，A4，A3，A2为圆心，
以a，3a，2a，3a，a为半径，圆心角都为60°的五条弧，
∴顶点A1所经过的路径的长=60⋅π⋅a180+60⋅π⋅3a180+60⋅π⋅2a180+60⋅π⋅3a180+60⋅π⋅a180，
=4+233πa．
故选：A．
连A1A5，A1A4，A1A3，作A6C⊥A1A5，利用正六边形的性质分别计算出A1A4=2a，A1A5=A1A3=3a，而当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径分别是以A6，A5，A4，A3，A2为圆心，以a，3a，2a，3a，a为半径，圆心角都为60°的五条弧，然后根据弧长公式进行计算即可．
本题考查了弧长公式：l=n⋅π⋅R180；也考查了正六边形的性质以及旋转的性质．
11.【答案】-2
【解析】解：∵方程(k-1)x2+6x+k2+k-2=0为一元二次方程，
∴k-1≠0，
∴k≠1．
将x=0代入(k-1)x2+6x+k2+k-2=0，得：k2+k-2=0，
解得：k1=-2，k2=1(不合题意，舍去)．
故答案为：-2．
根据一元二次方程的定义可得出k-1≠0，进而可得出k≠1，将x=0代入原方程可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，结合k≠1即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，代入x=0求出k的值是解题的关键．
12.【答案】a<1
【解析】解：根据题意，得
Δ=-22-4×1×a=4-4a>0，
解得：a<1．
故答案为：a<1．
根据一元二次方程根的判别式得到Δ=4-4a>0，然后解不等式即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．
13.【答案】2π
【解析】解：圆锥的侧面积=12×2×2π×1=2π，
故答案为：2π．
由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以根据扇形的面积公式可得圆锥的侧面积．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14.【答案】20(1+x)2=20+4.2
【解析】解：依题意得：20(1+x)2=20+4.2，
故答案为：20(1+x)2=20+4.2．
根据该公司销售该种产品1月份及3月份获得的利润，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15.【答案】9
【解析】解：∵△ABC的周长为21，BC=6，
∴AC+AB=21-6=15，
设⊙I与△ABC的三边AB、BC、AC的切点为M、N、Q，切DE为P，
∵DM=DP，BN=BM，CN=CQ，EQ=EP，
∴BM+CQ=BN+CN=BC=6，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+AE+DP+PE
=AD+DM+AE+EQ=AB-BM+AC-CQ=AC+AB-(BM+CQ)
=15-6=9，
故答案为9．
根据三角形内切圆的性质及切线长定理可得DM=DP，BN=BM，CN=CQ，EQ=EP，则BM+CQ=6，所以△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+AE+DM+EQ，代入求出即可．
本题考查了切线长定理，理解定理，找出图形中存在的相等的线段是关键．
16.【答案】62°或118°
【解析】解：如图，
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=28°，
∴∠AOB=124°，
∴∠C=12∠AOB=62°，
∴∠C'=180°-62°=118°，
故答案为：62°或118°．
分两种情形画出图形分别求解即可解决问题．
本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解．
17.【答案】3π2-4
【解析】
【分析】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：S=nπr2360是解题的关键．
根据图形得到S2-S1=扇形ADC的面积+半圆BC的面积-正方形ABCD的面积，根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：由图形可知，扇形ADC的面积+半圆BC的面积+阴影部分①的面积-正方形ABCD的面积=阴影部分②的面积，
∴S2-S1=扇形ADC的面积+半圆BC的面积-正方形ABCD的面积
=90π×22360+12π×12-22
=3π2-4，
故答案为：3π2-4．
18.【答案】23+2 45°
【解析】解：如图，连接OA，OP，OB，延长BA到H，使得AH=BA，连接PH．
∵BA=AH，BC=CP，
∴AC//PH，AC=12PH，
∴当PH的值最大时，AC的值最大，
∵∠AOB=2∠APB=60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO=AH=AB，
∴∠HOB=90°，
∴OH=3OB=43，
∵PH≤OH+OP，
∴PH≤43+4，
∴当P、O、H共线时，PH最大，PH的最大值为43+4，
∴AC的最大值为23+2，
∵AC//PH，
∴∠ACB=∠BPH，
∵OP=OB，∠HOB=90°，P、O、H共线，
∴∠BPO=45°，
∴∠ACB=45°
故答案为：23+2，45°．
如图，连接OA，OP，OB，延长BA到H，使得AH=BA，连接PH.证明AC=12PH，求出PH的最大值即可解决问题．
本题考查点与圆的位置关系，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，具体的规划是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
19.【答案】解：(1)直线BC与⊙O相切，
理由：连接OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵CP=CB，
∴∠CPB=∠CBP，
在Rt△AOP中，∵∠OAP+∠APO=90°，
∴∠OBA+∠CBP=90°，
即：∠OBC=90°，
∴OB⊥BC，
又∵OB是半径，
∴直线BC与⊙O相切；
(2)∵∠A=30°，∠AOP=90°，
∴∠APO=60°，
∴∠CPB=∠APO=60°，
∵CP=CB，
∴△PBC是等边三角形，
∴∠PCB=∠CBP=60°，
∴∠OBP=∠POB=30°，
∴OP=PB=PC=BC=1，OC=2，
∴OB=OC2-BC2=3，
∴图中阴影部分的面积=S△OBC-S扇形OBD=12×1×3-30⋅π×(3)2360=32-π4．
【解析】本题考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
(1)根据等边对等角得到∠OAB=∠OBA，∠CPB=∠CBP，推出∠OBA+∠CBP=90°，即OB⊥BC，于是得到结论；
(2)根据三角形的内角和定理得到∠APO=60°，推出△PBC是等边三角形，得到∠PCB=∠CBP=60°，求得BC=1，OC=2，根据勾股定理得到OB=3，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
20.【答案】解：(1)x2-3x-1=0，
∵a=1，b=-3，c=-1，
∴b2-4ac=(-3)2-4×1×(-1)=13>0，
∴x=-b±b2-4ac2a=3±132，
解得x1=3+132，x2=3-132；
(2)(x-5)2+2x(x-5)=0，
(x-5)(x-5+2x)=0，
(x-5)(3x-5)=0，
x-5=0或3x-5=0，
解得x1=5，x2=53．
【解析】(1)利用求根公式求解即可；
(2)利用提公因式法因式分解求解即可．
本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式以及提公因式法因式分解是解答本题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵a=1，b=-(m+3)，c=2(m+1)，
∴Δ=b2-4ac=[-(m+3)]2-4×1×2(m+1)=m2-2m+1=(m-1)2，
∵(m-1)2≥0，即Δ≥0，
∴不论m为何值，方程总有实数根．
(2)解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+2(m+1)=0的两个实数根，
∴x1+x2=m+3，x1⋅x2=2(m+1)，
∵x12+x22=5，即(x1+x2)2-2x1⋅x2=5，
∴(m+3)2-2×2(m+1)=5，
整理得：m2+2m=0，
解得：m1=0，m2=-2，
∴m的值为0或-2．
【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2-4ac，可得出Δ=(m-1)2≥0，进而可证出论m为何值，方程总有实数根；
(2)利用根与系数的关系可得出x1+x2=m+3，x1⋅x2=2(m+1)，结合x12+x22=5，可得出关于m的一元二次方程，结合即可求出m的值．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：(1)牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；(2)根据根与系数的关系及x12+x22=5，找出关于m的一元二次方程．
22.【答案】解：(1)如图，连接AD．
∵∠BAC=90°，∠ABC=20°，
∴∠ACD=70°．
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=70°，
∴∠CAD=180°-70°-70°=40°，
∴∠DAE=90°-40°=50°．
又∵AD=AE，
∴∠DEA=∠ADE=12(180°-50°)=65°．
(2)如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．
∵∠BAC=90°，AC=3，AB=4，
∴BC=5．
又∵12⋅AF⋅BC=12⋅AC⋅AB，
∴AF=12×3×412×5=125，
∴CF=32-(125)2=95．
∵AC=AD，AF⊥CD，
∴CD=2CF=185．
【解析】(1)连接AD，求出∠DAE，再利用等腰三角形的性质解决问题即可．
(2)如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F.利用面积法求出AF，再利用勾股定理求出CF，可得结论．
本题考查垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23.【答案】(1)没有；
(2)x2-(t-1)x+t-2=0
由已知△=(t-1)2-4×1×(t-2)=(t-3)2>0，
∴x=(t-1)±(t-3)22，
∴当t>3时，x1=t-2，x2=1，
当t<3时，x1=1，x2=t-2，
∵一元二次方程ax2+bx+c=0有“邻近根”，
∴x1，x2均为正数，x1>x2且满足1
∵(x-2)(x-3)=0，
∴x1=3，x2=2，
这时x1>0，x2>0，但x1-x2<1，
∴不满足x1>x2且满足1
故答案为：没有；
(2)x2-(t-1)x+t-2=0
由已知△=(t-1)2-4×1×(t-2)=(t-3)2>0，
∴x=(t-1)±(t-3)22，
∴当t>3时，x1=t-2，x2=1，
当t<3时，x1=1，x2=t-2，
∵一元二次方程ax2+bx+c=0有“邻近根”，
∴x1，x2均为正数，x1>x2且满足1
24.【答案】解：(1)设普通口罩每包的售价为x元，N95口罩每包的售价为y元，
依题意，得：y-x=167x=3y，
解得：x=12y=28．
答：普通口罩每包的售价为12元，N95口罩每包的售价为28元．
(2)设普通口罩每包的售价降低m元，则此时普通口罩每包的售价为(12-m)元，日均销售量为(120+20m)包，
依题意，得：(12-m-8)(120+20m)=320，
整理，得：m2+2m-8=0，
解得：m1=2，m2=-4(不合题意，舍去)，
∴12-m=10．
答：此时普通口罩每包的售价为10元．
(3)32．
【解析】解：(1)(2)见答案；
(3)设N95口罩每包售价是n元，
依题意，得：(20000-a)n-20×20000=20×20000×10%，
∴a=20000-440000n．
∵6000≤a≤7000，
∴6000≤20000-440000n≤7000，
∴2207≤n≤44013．
又∵a和n均为正整数，
∴n=32．
故答案为：32．
(1)设普通口罩每包的售价为x元，N95口罩每包的售价为y元，根据“N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设普通口罩每包的售价降低m元，则此时普通口罩每包的售价为(12-m)元，日均销售量为(120+20m)包，根据每天的利润=每包的利润×日均销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
(3)设N95口罩每包售价是n元，根据利润=销售收入-进货成本，即可用含n的代数式表示出a值，结合a的取值范围可得出n的取值范围，再结合a，n均为正整数，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(3)根据各数量之间的关系，用含n的代数式表示出a值．
25.【答案】解：(1)如图①，l1为所作；
(2)如图②，l2为所作
【解析】(1)过P点作O1P的切线得到直线l1；
(2)连接QO2，作QO2的垂直平分线得到中点O，然后以O点为圆心，OQ为半径作圆交⊙O2于A、B，则直线QA、QB满足条件．
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定．
26.【答案】(1)解：过点O作OM⊥FG于点M，延长MO交BC于点N，连接OG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴BE是⊙O的直径．
∵∠C=∠D=∠DMN=90°，
∴四边形MNCD是矩形，
∴MN⊥BC，MN=CD=AB=4，
∴BN=CN．
∵OB=OE，
∴ON是△BCE的中位线，
∴ON=12CE=1，
∴OM=4-1=3，
在Rt△BCE中，BE=BC2+CE2=210，
∴OG=12BE=10，
在Rt△OMG中，MG=OG2-OM2=1，
∴FG=2MG=2．
(2)解：如图1中，当⊙O与AD相切于点M时，连接OM并反向延长交BC于点N．
由(1)易得ON=12CE=12m，OB=OM=4-12m，BN=3，
在Rt△BON中，ON2+BN2=OB2，即(12m)2+32=(4-12m)2，
解得m=74，
∴当0
当74
(2)如图1中，当⊙O与AD相切于点M时，连接OM并反向延长交BC于点N.求出相切时，m的值即可判断．
本题考查直线与圆的位置关系，矩形的性质，垂径定理，三角形的外心等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
27.【答案】解：(1)如图1，
当点A在y轴右侧时，过点C作⊙O的切线CA，交⊙O于A，连接OA，
则OA=1，OC=2，
则AC=3，
过点A作AH⊥y轴于H，
则S△AOC=12AC⋅OA=12OC⋅AH，
∴AH=AC⋅OAOC=3×12=32，
∴0≤xA≤32，
当点A在y轴左侧时，由对称性得，-32≤xA<0，
即-32≤xA≤32，
①∵点P1的横坐标为-1，
而-1<-32，
∴点A不能与点P1重合，
∵点P2的横坐标为22，
而22<32，
∴点A能与点P2重合，
故答案为：P2；
②点A的横坐标的最小值为-32，
故答案为：-32；
(2)如图2，
∵△ABC为⊙O的“点A关联三角形”，
∴线段AC和AB除过点A为不能⊙O有交点，
当线段AC除点A外不与⊙O有交点，
当AC与⊙O相切时，
∴AC⊥x轴，此时，点A的横坐标为1，
当线段AB除点A外不与⊙O有交点，
即点B在(-1,0)处，记作点B'，
∴OB'=1，
∵A(1,0)，
∴OA=1，
∴OA=OB'，
∴∠OB'A=45°，
∵△ABC为等边三角形，
∴B'C'=AB'，∠AB'C'=60°，
在Rt△A'OB'中，AB'=2，
∴B'C'=2，
过点C'作C'G⊥y轴于G，
∴∠B'GC'=90°，∠C'B'G=180°-45°-60°=75°，
∴∠B'C'G=15°，
在C'G上取一点M，连接B'M，使B'M=C'M，
∴∠B'MG=30°，
在Rt△B'GM中，则GM=3B'G，B'M=2B'G，
∴C'G=GM+C'M=(3+2)B'G，
在Rt△B'GC'中，根据勾股定理得，B'G2+C'G2=B'C'2，
B'G2+[(3+2)B'G]2=(2)2，
∴B'G=2-32，
∴C'G=(3+2)⋅2-32=(2-3)(2+3)22=1+32，
∴m的取值范围为1≤m<1+32；
(3)当点C在圆内时，当∠BAC=90°时，始终存在等腰Rt△ABC是⊙O的“点A关联三角形”，即r>4，
∵直线y=x与⊙O在第一象限的交点为A，
∴A(22r,22r)，
如图3，
当点C在圆外时，当∠BAC=90°时，存在等腰Rt△ABC为⊙O的“点A关联三角形”，
如图4，
过点B作y轴的平行线BR，过点A作AR⊥BR于R，作AT⊥x轴于T，
∵∠ORA=∠OTA=90°=∠ROT，
∴四边形ORAT是矩形，
∵AB=AC，
∴△ABR≌△ACT(AAS)，
∴AR=AT，BR=CT，
∵点A在直线y=x上，
∴点A到x，y轴的距离相等是AT，
∴R在y轴上，即点B也在y轴负半轴上，
∴OT=OR=22r，
当点B在⊙O上时，RB=r+22r，CT=4-22r，
∴r+22r=4-22r，
∴r=4(2-1)，
当AB与⊙O相切时，则∠OAC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴点B与点O重合，此时r=22OC=22
∴4(2-1)
【解析】此题是圆的综合题，主要考查了新定义，圆的切线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，找出分界点是解本题的关键．
(1)当点A在y轴右侧时，过点C作⊙O的切线CA，交⊙O于A，连接OA，利用面积求出AH，得出0≤xA≤32，当点A在y轴左侧时，由对称性得，-32≤xA<0，即可求出点A的横坐标的范围，即可求出①②的答案；
(2)先求出B'C'=2，过点C'作C'G⊥y轴于G，构造直角三角形，表示出GM=3B'G，BM=2B'G，进而用勾股定理求出B'G=2-32，即可求出答案；
(3)当点C在圆内时，当∠BAC=90°时，始终存在等腰Rt△ABC是⊙O的“点A关联三角形”，即r>4，当点C在圆外时，当∠BAC=90°时，存在等腰Rt△ABC为⊙O的“点A关联三角形”，过点B作y轴的平行线BR，过点A作AR⊥BR于R，作AT⊥x轴于T，判断出四边形ORAT是矩形，得出△ABR≌△ACT，进而判断出点B也在y轴负半轴上，利用点B在圆上，求出r的范围．
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