第02讲 函数的对称性与周期性-【高考备考题型讲义】备战2024年高考数学常考题型分类讲义（新高考专用）

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第2讲 函数的对称性与周期性
【考点分析】
1.函数的对称性、周期性是高考命题热点，近两年新高考都考了一道选择题，分值5分，知识点比较灵活，需要全面掌握常见对称性，周期性的结论
考点一：函数常见对称性结论
①若函数对于任意的均满足，则函数关于直线对称．
②若函数对于任意的均满足则关于点对称．
考点二：函数常见周期性结论
若函数对于任意的都满足，则为的一个周期，且
几个常见周期性结论
①若函数满足，则．
②若函数满足，则．
③若函数满足，则．
④若函数满足，则．
⑤若函数的图象关于直线，都对称，则为周期函数且是它的一个周期．
⑥函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周
⑦函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数．
⑧若函数满足，则函数是以为周期的周期函数．
【题型目录】
题型一：利用周期性求函数值
题型二：利用周期性求函数解析式
题型三：根据函数的对称性、周期性、奇偶性写函数
题型四：根据函数的对称性、奇偶性、周期性综合运用
【典型例题】
题型一：利用周期性求函数值
【例1】设是定义在上周期为2的函数，当时，，其中．若，则的值是 ．
答案：1
解析：是定义在上周期为2的函数，当时，
，，
，
【例2】设为定义在上的奇函数，，当时，，则__________
答案：
解析：，是周期为4的函数，所以

【例3】定义在上的函数对任意，都有，则等于
A. B. C. D.

答案：D
解析：，所以是周期为4的函数，

【例4】（重庆南开高一上期中）已知定义在上的奇函数满足,且,则的值为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：所以，所以，，所以
【例5】（2022·云南昭通·高一期末）已知函数是定义在上的周期函数，且周期为2，当时，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用函数的周期性，则，又根据函数在的解析式，求解的值，即可得的值.
【详解】解：由题可知
所以
又当时，，所以
即.
故选：C.
【题型专练】
1.（2021·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）已知是R上的奇函数，且，当时，，则（       ）
A．3 B． C．255 D．
【答案】B
【分析】根据题意可知是周期函数，根据周期以及奇函数即可求解.
【详解】由可得，，故是以4为周期的周期函数，故，
故选：B
2.（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在上的偶函数，且，若当时，，则（       ）
A．0 B．1
C．6 D．216
【答案】C
【分析】由可得函数周期为6，进而，最后求出答案.
【详解】根据题意，偶函数满足，即，是周期为6的周期函数，则，当时，，则，故
故选：C
3.（重庆南开高一上期末）函数的定义域为，且，.若对任意实数，都有，则（ ）
A B. -1 C. 0 D. 1
答案：D
解析：由题意知，令，可得，因，所以所以，所以，所以，所以
4．（2022·云南红河·高一期末）已知是定义在R上的奇函数，，都有，若当时，，则（       ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】是定义在R上的奇函数得，有得到是周期函数，利用函数周期性可得答案.
【详解】是定义在R上的奇函数，，得，当时，，，都有，是周期为4的周期函数，
.
故选：C.
5．（2022·黑龙江·大庆中学高二期末）是定义在上的奇函数，且满足，又当时，，则______．
【答案】
【分析】依题意可得，即可得到是以为周期的周期函数，再根据对数的运算及奇函数的性质计算可得.
【详解】解：因为，所以，即，
所以是以为周期的周期函数，
又
所以，
又是定义在上的奇函数，所以，且当时，，
所以.
故答案为：
题型二：利用周期性求函数解析式
【例1】已知定义在实数集R上的函数满足：（1）；（2）；（3）当时解析式为，当时，求函数的解析式。
答案：
解析：，所以是偶函数，又因，所以关于对称，所以，设，则，所以，因，所以；当时，，因此
因此当时，函数的解析式为
【例2】（2022·全国·高一专题练习）已知是定义在上周期为的函数，当时，，那么当时， ______.
【答案】
【分析】根据周期性求函数解析式即可.
【详解】解：因为当时，,是定义在上周期为的函数
所以，，
故答案为：
【例3】（2021·山东师范大学附中高三期中）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有.当时，.
(1)当时，求的解析式；
(2)计算.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）利用奇函数和判断出为周期为4 的函数，用代入法求出解析式；
（2）利用函数的周期即可求值.
(1)，，是周期为4的周期函数.
当时，，由已知得.
又是奇函数，，，
又当时，，，
又是周期为4的周期函数，，
从而求得时，.
(2)，，，，又是周期为4的周期函数，
.
又，.
【题型专练】
1.（2021·上海南汇中学高三期中）设是定义在R上以2为周期的奇函数，当时，，则函数在上的解析式___________．
【答案】
【分析】设是时函数图象上的任意一点，然后利用周期和奇偶性将转化到区间上，进而代入解析式化简即可.
【详解】因为函数的周期为2，设是时函数图象上的任意一点，则点在时函数的图象上，而函数是R上的奇函数，则点在时的图象上，所以，即在上的解析式.
故答案为：.
2.（2021·吉林·梅河口市第五中学高三阶段练习（文））函数满足是，且，当时，，则当时，的最小值为___________.
【答案】##
【分析】由题设递推关系可得，令结合已知区间解析式即可求时的解析式，再应用二次函数的性质求最小值.
【详解】由题设，，若，则，
∴，即，
∴上，当时的最小值为.
故答案为：
3.（2021·江苏·高一专题练习）设是定义在上以2为周期的奇函数，当时，，则函数在[4，6]上的解析式是__________
【答案】
【分析】根据函数的周期及函数为奇函数，分段求解函数的解析式即可.
【详解】因为是定义在上以2为周期的奇函数且时，，
设，则，
所以，
设，则，,
故.
综上可得，函数在上的解析式是，
故答案为：
4.（2021·北京市十一学校高一期中）若定义在R上的奇函数满足，且时，则：
（1）__________；
（2）当时，_________.
【答案】         
【分析】（1）由题可得，再结合条件可求；
（2）由题可求当时，，再结合函数的周期性即求.
【详解】∵定义在R上的奇函数满足，
∴，，
∴，即函数是以4为周期的周期函数，
又时，
∴，
∴当时，，
∴，
∴当时，，
∴.
故答案为：（1）；（2）
题型三：根据函数的对称性、周期性、奇偶性写函数
【例1】（2023·全国·高三专题练习）写出一个最小正周期为3的偶函数___________.
【答案】（答案不唯一）
【分析】利用余弦函数的性质，结合已知函数性质写出满足要求的函数解析式即可.
【详解】由余弦函数性质知：为偶函数且为常数，
又最小正周期为3，则，即，
所以满足要求.
故答案为：(答案不唯一)
【例2】（2022·江苏·金陵中学高三学业考试）写出一个满足以下三个条件的函数：______．
①定义域为R；②不是周期函数；③是周期为的函数．
【答案】（答案不唯一）
【分析】由的周期为，结合正余弦函数的性质确定的解析式形式，即可得符合要求的函数式.
【详解】的解析式形式：或均可．
如：定义域为R，不是周期函数，且是周期为的函数.
故答案为：（答案不唯一）
【例3】（2022·全国·高三专题练习）写出一个同时满足下列性质①②③的函数：__________.①定义域为；②为偶函数；③为奇函数.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意和函数的奇偶性和周期性可知是关于轴对称、关于中心对称、以4为周期的函数，进而直接得出结果.
【详解】由为偶函数，知关于轴对称；
由为奇函数，知关于中心对称，所以关于轴对称；
所以，
则以4为周期，故可取.
故答案为：.
【题型专练】
1（2022·广东茂名·二模）请写出一个函数_______，使之同时具有以下性质：①图象关于y轴对称；②，．
【答案】(答案不唯一)
【分析】根据题设函数性质的描述，只需写出一个周期为4的偶函数，结合余弦函数的性质即可写出函数解析式.
【详解】由题设，写出一个周期为4的偶函数即可，
所以满足题设要求.
故答案为：(答案不唯一)
2.（2022·北京通州·高三期末）最小正周期为2的函数的解析式可以是______．（写出一个即可）
【答案】
【分析】根据正弦型三角函数的周期公式即可找出
【详解】根据正弦型三角函数的周期公式，最小正周期为2的函数的解析式可以是．
故答案为：．
3.（2022·全国·高三专题练习（理））函数满足以下条件：①的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线；②，；③当且，；④恰有两个零点，请写出函数的一个解析式________
【答案】 （答案不唯一）
【分析】由题意可得函数是偶函数，且在上为增函数，函数图象与轴只有2个交点，由此可得函数解析式
【详解】因为，，所以是偶函数，
因为当且，，
所以在上为增函数，
因为恰有两个零点，
所以图象与轴只有2个交点，
所以函数的一个解析式可以为，
故答案为： （答案不唯一）
题型四：根据函数的对称性、奇偶性、周期性综合运用
【例1】（2022·贵州铜仁·高二期末（理））已知函数的定义域为，且满足：，又为偶函数，当时，，则的值为（       ）
A．4 B． C．0 D．2
【答案】C
【分析】由，可得，再根据条件得到周期后即可求解.
【详解】由，可知函数关于点中心对称，即有；
由为偶函数，可知函数关于对称，即有.
于是有，从而可得，因此可得函数的周期为4.
所以，.
再由，令，有，即.
所以.
故选：C
【例2】（2022·陕西·长安一中高一期末）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则函数的周期是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由奇函数性质可得，由偶函数性质可得，化简整理可得，即可求出周期.
【详解】因为为奇函数，所以，
因为为偶函数，所以，则，
则，即，
所以，即，则，
所以的周期是4.
故选：C.
【例3】（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（       ）
A． B．0 C． D．1
【答案】D
【分析】根据奇偶性的性质化简可得是以4为周期的函数，即可求出.
【详解】因为是定义在上的奇函数，故可得，
又为偶函数，故可得，
则，故以4为周期，
故.
故选：D.
【例4】（2022·山东日照·高二期末）已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，且与的图像关于y轴对称，则（       ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．2是一个周期 D．关于直线对称
【答案】A
【分析】根据函数奇偶性，对称性、周期性的定义一一判断即可；
【详解】解：根据题意，是定义域为的奇函数，则关于点成中心对称，
是定义域为的偶函数，则关于对称，
与的图像关于y轴对称，则关于对称，
所以关于原点中心对称，故是奇函数，故A正确.
是奇函数，且与的图像关于y轴对称，故是奇函数，故B错误.
是定义域为的奇函数，则，①
关于对称，故，可得，联立①得，
故，可得，
故，函数是周期为4的周期函数，由题意可得出4是函数的周期，故C错误.
因为4是函数的周期，关于点中心对称，
所以是的中心对称，关于y轴对称为，为的对称中心，故D错误.
故选：A
【例5】已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，下列有关命题的说法错误的是（ ）
A．函数是周期函数
B．函数为上的偶函数
C．的图象关于点对称函数
D．为上的单调函数
答案：D
解析：，是周期为3的函数，故A正确；因为为奇函数，所以，令可得，
，即，又因，所以，所以为上的偶函数，所以B对，D错，因为奇函数，所以它关于原点对称，故把向左平移单位，得到的图象，所以的图象关于点对称，所以C对。
【例6】（2021新高考2卷8）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：是偶函数，，所以关于对称，因为为奇函数，所以，所以关于对称，所以，又因为奇函数，所以，又因，令，得，所以
【例7】若函数的定义域为R，且，则（ ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【详解】因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．
因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．
故选：A．
【题型专练】
1.（2022·四川雅安·高二期末（文））已知函数是上的偶函数，且，当时，，则的值为（       ）
A．1 B．2 C． D．0
【答案】A
【分析】由偶函数可得，由可得对称性，再化简整理可得周期，进而根据性质转换到，再代入解析式求解即可.
【详解】由题，因为偶函数，所以，又，所以,即，所以是周期函数，，故
故选：A
2．（2022·河南新乡·高二期末（理））已知是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，若，则（       ）
A．－8 B．－4 C．0 D．4
【答案】B
【分析】结合条件证得的周期为8，即可求出结果.
【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，
所以，所以，所以的周期为8，
所以，故．
故选：B.
3．（2022·湖南·高二期末）已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（       ）
A．1 B．-1 C．2 D．-3
【答案】B
【分析】根据对称性可得函数具有周期性，根据周期可将.
【详解】因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，所以，又由，得，所以，所以，所以，故的周期为4，所以．
故选:B．
4.函数的定义域为，若与都是奇函数，则（ ）
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. D. 是奇函数
答案：D
解析：是奇函数，，所以关于对称，因为为奇函数，所以，所以关于对称，所以，所以为奇函数。
5.（2021全国卷甲卷理科12）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ）

答案：D
解析：是奇函数，，所以关于对称，是偶函数，，所以关于对称，所以，又因为奇函数，所以，所以，因令，得，因，所以，所以，又因，解得，所以当时，，所以
6.已知是定义在上的函数，且对任意都有，若函数的图象关于点对称，且，则
答案：
解析：，令，得，解得，所以，所以关于对称，因为的图象关于点对称，所以关于对称，所以，且为奇函数，所以
7.（2020•岳麓区校级模拟）若对任意的，都有，且，，则的值为　　．
答案：
解析：若对任意的，都有，所以，得，所以
，所以，所以，所以
8.（2022·河北深州市中学高三阶段练习多选）已知函数对，都有，且，则（       ）
A．的图像关于直线对称
B．的图像关于点中心对称
C．
D．
【答案】ABC
【分析】A选项根据题目条件立即得出，BCD选项通过已知条件合理的进行“取代”，推出函数周期后便容易得出结果.
【详解】因为，所以关于对称，A选项正确；又，令去取代，所以，再令取代，所以，所以的周期为4，由可得：，所以的图像关于对称，结合的周期为4，所以的图像关于点中心对称，故B正确；定义在上的奇函数满足，令中，可得，所以，故C正确；，故D不正确.
故选：ABC.
9.（2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期末多选）已知是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，则下列结论正确的是（       ）
A．函数的图象关于直线对称
B．当时，的零点有6个
C．
D．若，则
【答案】AC
【分析】根据函数奇偶性的性质化简整理即可得出.
【详解】对A，因为函数为偶函数，所以的图象关于直线对称，故A正确；
对B，因为的变化情况不确定，所以无法确定零点个数，故B错误；
对C，因为为奇函数，所以，因为函数为偶函数，所以，则，所以，故C正确；
对D，由C选项可得是周期为4的函数，因为为奇函数，所以，
所以，，，
所以，故D错误.
故选：AC.
10．（2022·山西省长治市第二中学校高二期末多选）已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，下列有关命题的说法正确的是（       ）
A．为周期函数 B．为上的偶函数
C．为上的单调函数 D．的图象关于点对称
【答案】ABD
【分析】由周期性的定义可判断A，由奇偶性的定义可判断B，由偶函数的单调性的特点可判断C，由奇函数的对称性结合图像平移可判断D
【详解】对于：函数，


是周期为的函数，故正确；
对于B：，

即
又的周期为，


又是奇函数，
,令，则
是偶函数，即是偶函数，故B正确；
对于C：由B知是偶函数，
在和上的单调性相反，
在上不单调，故C错误；
对于D：函数为奇函数，
的图象关于点对称，
的函数图象是由的图象向右平移个单位得到的，
的函数图象关于点对称，故D正确．
故选：ABD
11.（2022·辽宁·瓦房店市高级中学高二期末多选）已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列说法正确的是（       ）
A．是偶函数 B．是周期函数
C． D．时，
【答案】AB
【分析】首先判断函数的奇偶性与周期性，根据奇偶性求出函数在上的解析式，最后根据周期性求出.
【详解】解：因为定义在上的函数满足，所以是偶函数，故A正确；
又，所以是以为周期的周期函数，故B正确；
设，则，所以，又是偶函数，
则，即当时，故D错误；
，故C错误；
故选：AB