第01讲 函数的概念与性质-【高考备考题型讲义】备战2024年高考数学常考题型分类讲义（新高考专用）

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第1讲 函数的概念与性质
【考点分析】
1.函数的定义域、值域、解析式是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单的基本方法.
2.函数的单调性、奇偶性是高考命题热点，每年都会考一道选择或者填空题，分值5分，一般与指数，对数结合起来命题
【题型目录】
题型一：函数的定义域
题型二：同一函数概念
题型三：函数单调性的判断
题型四：分段函数的单调性
题型五：函数的单调性唯一性
题型六：函数奇偶性的判断
题型七：已知函数奇偶性，求参数
题型八：已知函数奇偶性，求函数值
题型九：利用奇偶性求函数解析式
题型十：给出函数性质，写函数解析式
题型十一：奇函数+常数模型（）
题型十二：中值定理（求函数最大值最小值和问题，，中指定义域的中间值）
题型十三：.单调性和奇偶性综合求不等式范围问题
题型十四：值域包含性问题
题型十五：函数性质综合运用多选题
【典型例题】
题型一：函数的定义域
【例1】（2021·奉新县第一中学高一月考）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：对于函数，有，解得.
因此，函数的定义域为.故选：C.

【例2】函数的定义域为
【答案】
【详解】由题意知，得，所以，所以．
【例3】(2020·集宁期中)已知函数的定义域是，则函数的定义域（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为函数的定义域是，所以，所以，函数的定义域为，令，解得
【例4】若函数的定义域为，则的范围为__________。
【答案】
【详解】由题意知对恒成立，所以当时，，解得，不成立，当时，，即，解得，
【例5】（2021·全国高三专题练习（理））若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：由题意知能取到所有大于0的实数，所以当时，，所以的值域为，满足题意，当时，，即，解得，综上可知
【题型专练】
1.（2019·江苏如皋）函数的定义域为（ ）.
A． B． C． D．
答案：C
解析：由题意知，得，所以，所以．
2.（2021·江苏）已知函数的定义域是，则函数的定义域是
A． B． C． D．
答案：D
解析：由，得，所以，所以．故选：D.
3.（2018·重庆一中高二期末（理））已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
答案：A 因为函数的定义域是，所以
4.（2019·全国）若函数的定义域为，且函数的定义域为，则实数的取值范围是______．
答案： 因为函数的定义域是，所以，所以，所以函数的定义域为，函数的定义域为，相当于当时，的值域为，由的图象可得的取值范围是为
5.若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
(A)　　 (B) 　 　(C) 　 　(D)

答案：B 由题意知在上恒成立
当时，，恒成立，满足题意
当时，则，解得
综上可知实数的取值范围是
题型二：同一函数概念
【例1】（2021·广东·深圳第二外国语学校高一期末）下列函数与是同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】的定义域为R，
A.定义域为，定义域不同，
B.与的表达式不同，
C.与解析式相同，定义域都为R，
D. 定义域为，定义域不同. 故选：C
【题型专练】
1.（2021·重庆巴蜀中学高一期中多选）下列函数中，与是同一个函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【详解】函数的定义域为，对应关系为，
对于A选项：的定义域为，定义域不相同，不是同一函数，故选项A不正确；
对于B选项：化简为，定义域为R，故为相同函数；故选项B正确；
对于C选项：化简为，定义域为R，故为相同函数；故选项C正确；
对于D选项：化简为，故定义域和对应关系均不相同，不是同一函数，故选项D不正确；
故选：BC
题型三：函数单调性的判断
【例1】下列函数中，满足“对于任意，都有”的是

答案：C
解析：因为“对于任意，都有”，所以在上为增函数
【例2】已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
答案：A
解析：的对称轴为，因为在区间上是减函数，所以，解得
【例3】（2021·新疆高一期末）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：对于函数，有，解得或，
故函数的定义域为，
内层函数在上单调递减，在上单调递增，
外层函数为减函数，
【例4】已知函数在上为增函数，则实数的取值范围为_____．
答案：
解析：令，则，因为的对称轴为，且在上为增函数，所以，解得
由题意知在内递增，所以．又在上恒大于0，所以，即．
综上，实数a的取值范围是：．故答案为：.
【题型专练】
1.（2022·全国·高三专题练习（文））函数的单调递增区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复合函数的单调性即得.
【详解】由题知的定义域为，
令，则，函数单调递增，
当时，关于单调递减，关于单调递减，
当时，关于单调递增，关于单调递增，
故的递增区间为．
故选：D．
2.（2021·贵州·凯里一中）已知函数，，且时，关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：，且时，关于，的不等式恒成立，
即当时，，所以在上是减函数，所以，解得．故选：A．
3.函数在上是减函数,则实数的取值范围为________.
答案：
解析：令，则，因为的对称轴为，由题意知在内递减，所以在上为增函数，所以，解得，又在上恒大于0，所以，即．
综上，实数a的取值范围是：．故答案为：.
4.（2019年重庆七中高一上期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：令，则，由题意知在内递减，所以在上为增函数，所以且，解得，又在上恒大于0，所以，即．
综上，实数a的取值范围是：．故答案为：.

题型四：分段函数的单调性
【例1】（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）已知函数是R上的增函数，则a的取值范围为（       ）
A．[-4，0) B．[-4，-2] C． D．
【答案】B
【分析】依题意可得函数在各段均是增函数且在断点的左侧的函数值不大于断点右侧的函数值，即可得到不等式组，解得即可；
【详解】解：因为且在上单调递增，
所以，解得，即
故选：B
【例2】（2021·广东·深圳市第二高级中学）已知函数，当，，且时，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：因为当，，且时，，
所以在定义域内为单调减函数，因此，解得：，
所以实数的取值范围是.故选：C.
【题型专练】
1.（2021·河南焦作·）如果函数满足对任意，都有成立，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】解：由题意可知：对任意，都有成立
是上的减函数解得实数的取值范围是.
故选：D
2.（重庆巴蜀）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，2） B． C． D．（0，1）
答案：C
解析：因为在定义域内为单调增函数，因此，解得：，

题型五：函数的单调性唯一性
【例1】已知定义在上的函数单调递增，且对任意，恒有，则的值为_______．
答案：2
解析：因函数单调递增，所以为定值，设，由题意知，又因，令，得，所以，所以，所以
【例2】（2019年重庆巴蜀）若是定义域为上的单调递减函数，且对任意实数都有无理数，则
A．3 B． C． D．
答案：B
解析：因是定义域为上的单调递减函数，所以为定值，设，由题意知，又因，令，得，所以，所以，所以
【题型专练】


1.（2019年重庆南开）已知定义在上函数为单调函数,且对任意的实数 ,都有,则 ( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：因是定义在上得单调函数，所以为定值，设，由题意知，又因，令，得，所以，所以，所以
题型六：函数奇偶性的判断
【例1】（2014·新课标全国卷Ⅰ）设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数
答案：C
解析：若为奇函数，则为偶函数，若为偶函数，则仍为偶函数
奇函数奇函数=偶函数，偶函数偶函数=偶函数，奇函数偶函数=偶函数
所以选C

【例2】下列对函数奇偶性判断正确的是（ ）
A. 奇函数 B. 是奇函数
C. 既不是奇函数也不是偶函数D. 既是奇函数又是偶函数
答案：AD
解析：对A ，所以为奇函数对B当时，，所以
当时，，所以，所以为偶函数

对C 定义域：，即，所以
所以，所以，所以函数为奇函数
对D 定义域：，解得，所以，所以既是奇函数又为偶函数
【题型专练】
1.(2020•全国Ⅱ)设函数，则（ ）
A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减
答案：A
解析： ，所以为奇函数且在为增函数
2.(2020重庆巴川中学高一月考多选)已知函数是定义在上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是
A. B. C. D.
答案：AB
解析：对A 设，则 ，所以为奇函数
对B 因为为奇函数，是定义在上的奇函数，奇函数+奇函数=奇函数
对C 定义域：，奇函数除奇函数=偶函数
对D 定义域：，所以为非奇非偶函数
题型七：已知函数奇偶性，求参数
【例1】已知为奇函数，则________。
答案：
解析：法一：因为为奇函数，所以，所以，解得

法二：特殊值法：因为为奇函数，所以，所以，解得
法三：定义法：因为为奇函数，所以，所以，解得


【例2】设函数是偶函数，则实数a的值为________．
答案：
解析：因为为偶函数，所以为奇函数，所以，解得
【题型专练】
1.已知为偶函数，则 ________。
答案：
解析：法一：特殊值法：因为为偶函数，所以，所以，解得
法二：定义法：因为为偶函数，所以，所以，解得
2.（2021新高考1卷）已知函数是偶函数，则__________．

答案：
解析：因为为偶函数，所以为奇函数，所以，解得
题型八：已知函数奇偶性，求函数值
【例1】已知为奇函数，且当时，，则
答案：
解析：因为奇函数，所以
【例2】已知函数是偶函数，且则
答案：
解析：设，因为为偶函数，所以，即，所以
【例3】已知函数与分别是定义域上的奇函数与偶函数，且，则（ ）
A． B． C．-3 D．
答案：A
解析：令，则①，令，则
因与分别是定义域上的奇函数与偶函数，所以②，由①②解得
【题型专练】
1.(2021•武侯模拟)设函数若是奇函数，则的值是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：设，则，所以
又因是定义域上的奇函数，所以，所以，所以
所以，所以
2.（2021·四川绵阳·（文））已知函数对任意实数，满足，当时，（为常数），则（ ）
A． B． C． D．
答案：B
【详解】由，可得为奇函数
由当时，，则，解得
所以当时，
所以
故选：B
题型九：利用奇偶性求函数解析式
【例1】已知函数在是奇函数，且当时，，则时，的解析式为_______________
答案：
解析：设，则，所以
又因是定义域上的奇函数，所以，所以，
所以
【例2】已知为偶函数，，求解析式？
答案：
解析：设，则，所以
又因是定义域上的偶函数，所以，所以，
【例3】（2022韶关期中）若函数，分别是上的奇函数、偶函数，且满足，
则有　　
A． B．
C． D．
答案：D
解析：令，则，因与分别是定义域上的奇函数与偶函数，所以①，又因②，由①②解得，所以为增函数，所以
【题型专练】
1.（2021·台州市书生中学高一开学考试）已知是定义在上的奇函数，当时，，则___________，在上的解析式为___________.
答案：，
解析：
设，则，所以
又因是定义域上的奇函数，所以，所以，
所以
当时，，所以
题型十：给出函数性质，写函数解析式
【例1】（2021·北京·）已知函数同时满足下列条件：①定义域为；②是偶函数；③在上是减函数，则的一个解析式是___________.
【答案】或（答案不唯一）.
【详解】解：根据题意，可知函数同时满足三个条件，若，可知为二次函数，定义域为，
开口向下，对称轴为，则是偶函数，且在上是减函数，故同时满足三个条件，所以的一个解析式是；若，可知此时函数的定义域为，
根据一次函数和分段函数，可知偶函数，且在上是减函数，
故同时满足三个条件，所以的一个解析式是.
故答案为：或（答案不唯一）.
【例2】（2021·河南·温县第一高级中学（理））请写出一个同时满足以下三个条件的函数（1）是偶函数；（2）在上单调递减；（3）的值域是.则______.
【答案】，，等（答案不唯一）
【详解】令，
1、，为偶函数；
2、在上单调递减，易知在上单调递减；
3、，则.
∴满足题设.
故答案为：

【题型专练】
1.（2022重庆巴蜀高三第一次月考）请写出一个同时满足下列三个条件的函数:
（1） 是偶函数；（2）在上单调递减；（3）的值域是
则________
答案：或者（答案不唯一，符合题意即可）
2.请写出一个最小正周期为的偶函数，则________
答案：（答案不唯一，符合题意即可）
题型十一：奇函数+常数模型（）
【例1】已知且，求的值____
答案：
解析：设，则为奇函数，则，所以
所以，所以，所以
【例2】已知函数，且，则_________
答案：
解析：设，则为奇函数，则，所以
所以，所以，所以
【例3】（2019·山西高三月考（理））函数，则（ ）
A．0 B． C．4 D．1
答案：C
解析：设，则为奇函数，所以，所以，，因，所以
【题型专练】
1.已知函数，则_______；
答案：
解析：设，则为奇函数，所以，所以，，因，所以

2.已知函数，则=（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
答案：D
解析：，设，则为奇函数，所以，所以，，因，所以

3.已知函数，若定义在上的奇函数，有，则　　
A．2 B．0 C． D．
答案：A
解析：因为为奇函数，也为奇函数，设，则为奇函数，所以，所以，，因
，又因为奇函数，所以
4.已知函数 满足条件，其中，
则（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：因，则

，因
，所以
，所以
题型十二：中值定理（求函数最大值最小值和问题，，中指定义域的中间值）
【例1】已知的最大值,最小值为,求的值
答案：
解析：设，则为奇函数，则，所以，，所以（奇函数的最大值最小值互为相反数），
【例2】（2015全国卷2理科）设函数的最大值为M，最小值为m，则M+m=____

答案：
解析：，设，则为奇函数，则，所以，，所以
（奇函数的最大值最小值互为相反数），
【题型专练】
1.（2019年重庆二外高一上期末）若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

答案：B
解析：，设，则为奇函数，则，所以，，所以
（奇函数的最大值最小值互为相反数），，所以
题型十三：.单调性和奇偶性综合求不等式范围问题
【例1】（2021年重庆18中高一月考）已知定义在R上的奇函数，且为减函数，又知，则的取值范围为
A. B. C. D.
答案：A
解析：是定义在R上的奇函数，且为减函数，并且，所以，所以，即，解得
【例2】（重庆巴蜀中学高一）已知是定义在上的奇函数，且对任意，若都有成立，则关于的不等式的解为_________
答案：
解析：对任意，若都有成立，所以设，则在上为奇函数，且为增函数，
因，所以，所以，即，解得
【例3】已知奇函数在单调递增，且，则不等式的解集是_____
答案：
解析：由题可知的大致图象如图：

∴该不等式的解集为
【例4】（2020·阜新市第二高级中学高一期末）若函数是定义在上的偶函数，在上是单调递增的，且，则使得的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：因为函数是定义在上的偶函数，在上是单调递增的，且，所以等价于，又因在上递减，所以，解得
【例5】设函数在上为增函数，，且为偶函数，则不等式的解集为 .
答案：
解析：因为偶函数，且在上为增函数，，所以等价于，所以，解得

【题型专练】
1.（2020重庆7中高一期中）已知函数，为定义在上奇函数且单调递减.若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：对，则在上为奇函数，且为减函数，
因，所以，所以，即，解得
2.（2020重庆九校高一月考） 已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：因为函数是偶函数，且在上单调递减，所以函数在上单调递增，
又因，所以，
不等式等价于或，即或，
所以或，即不等式的解集为.
3.（2019巴蜀高一月考）已知定义在上的函数的图像经过点，且在区间单调递减，又知函数为偶函数，则关于的不等式的解为

答案：B
解析：因为定义在上的函数的图像经过点，所以。又因为偶函数，所以设，则为偶函数，且在上为减函数，，所以等价于，所以，解得
4.（2016·安徽高三月考（文））若偶函数在内单调递增，则不等式的解集是
A． B． C． D．
答案：D
解析：因为为偶函数，所以，又因在上递增，所以，解得
5.（2021·广西·玉林市育才中学（理））已知是定义在R上的奇函数，对任意两个正数，，都有，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为对任意两个正数，，都有，所以在上，单调递减；又因为是定义在R上的奇函数，则在上，单调递减；如图所示：
由于当时，有，得当时，有，得
综上所述：满足的x的取值范围是
故选：B

6.设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为
答案：
解析：由题可知的大致图象如图：

因为奇函数，所以
∴该不等式的解集为
7.定义上单调递减的奇函数满足对任意，若恒成立，求的范围 .
答案：
解析：因为是定义上的奇函数，所以， 又因单调递减
所以对任意恒成立，所以对任意恒成立，所以
设，对称轴，所以当时，，所以
8.若函数对于任意的，恒成立，则
答案：
解析：因为，所以是定义上的奇函数，且为增函数，所以， 又因单调递增
所以对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，设，则 ，即，解得


9.已知定义在上的函数，若函数为偶函数，且对任意 ()，都有，若，则实数的取值范围是 (　　)
A． B． C. D．
答案：A
解析：设，则为偶函数，且在上为减函数，所以，
所以，解得
题型十四：值域包含性问题
【例1】（2021·四川·石室中学（文））已知，，若对，，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】∵，∴，当且仅当，即时取等号.∴当时，.∴对，，使得等价于对于任意恒成立，即对于任意恒成立
∴对任意恒成立∵函数在上为增函数∴，即.
故选：B.
【题型专练】
1.（2021·福建省厦门第二中学）函数（），，对，，使成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】解：若对，，使成立，只需函数的值域为函数的值域的子集即可.函数，，的值域为.
当时，递增，可得其值域为，要使，需，解得，综上，的取值范围为.故选：C.
题型十五：函数性质综合运用多选题
【例1】（2022·全国·高一单元测试）已知函数，则（       ）
A．在单调递增
B．在单调递增，在单调递减
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于点对称
【答案】BC
【分析】由题可得函数的定义域，化简函数，分析函数的单调性和对称性，从而判断选项.
【详解】函数的定义域满足 ，即，
即函数的定义域是，
∵，
设，则函数在单调递增，在单调递减，
又函数单调递增，
由复合函数单调性可知函数在单调递增，在单调递减，故A错误，B正确；
因为,,
所以，即函数图象关于直线对称，故C正确；
又，，
所以，所以D错误．
故选：BC．
【例2】（2022·广东·中山一中高三阶段练习）关于函数说法正确的是（       ）
A．定义域为 B．图象关于轴对称
C．图象关于原点对称 D．在内单调递增
【答案】ACD
【分析】由即可求出其的定义域；利用可判断为奇函数；求利用复合函数的单调性即可判断在内的单调性.
【详解】因为,
所以，
所以定义域为，故A正确；
因为，
所以图象关于原点对称，故B错误，C正确;
又在上单调递减，
所以在上单调递增，
又在上单调递增，
所以在上单调递增，故D正确.
故选：ACD.
【例3】（2022·全国·高三专题练习）若是奇函数，则下列说法正确的是（       ）
A．一定是偶函数 B．一定是偶函数
C． D．
【答案】AB
【分析】根据奇函数和偶函数的定义可判断A，B；计算可判断C；计算可判断D.
【详解】∵是奇函数，∴.
A中，，∴是偶函数，故A正确；
B中，令，则，
∴是偶函数，故B正确；
C中，，故C错误；
D中，不―定成立，故D错误.
故选：AB.
【例4】（2022·全国·高一学业考试）已知函数，则下列结论正确的是（       ）
A．函数的图象关于原点对称
B．函数在R上不具有单调性
C．函数的图象关于y轴对称
D．当a＞1时，函数的最大值是0
【答案】AC
【分析】判断函数的奇偶性可判断A; 判断函数的单调性可判断B; 判断函数的奇偶性可判断C; 判断函数的单调性可判断D;
【详解】∵，∴为奇函数，的图象关于原点对称，A正确；
当a＞1时，在R上为增函数，当0＜a＜1时，在R上为减函数，B错误;
是偶函数，其图象关于y轴对称，C正确；
当a＞1时，,
故在上为减函数，在上为增函数，∴当时，取得最小值0，D错误．
故选：AC．
【例5】（2022·全国·高一单元测试）已知，都是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，则下列说法正确的是（       ）
A．为偶函数 B．
C．为定值 D．
【答案】ACD
【分析】可利用奇偶性定义求出两个解析式，A项根据奇偶性定义判断；B项可利用解析式求解；C项利用解析式计算可求解；D项分析f(x)正负情况，化简求解.
【详解】因为，所以，又是奇函数，是偶函数，所以，解得，.
对于A，，故为偶函数，A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，当时，，；
当时，，，所以，故D正确.
故选：ACD.
【例6】（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）在复习了函数性质后，某同学发现：函数为奇函数的充要条件是的图彖关于坐标原点成中心对称：可以引申为：函数为奇函数，则图象关于点成中心对称.现在已知函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．对任意，都有
【答案】BCD
【分析】若定义域为，通过对称中心可代入函数，整理可得A和C选项，结合题意可得关于原点对称，得D选项正确，将1代入可求得B选项
【详解】函数的图象关于成中心对称，且由函数可得定义域为，所以，所以，故A错误，C正确；
结合题意可得关于原点对称，所以对任意，都有，故D正确；
代入1得，且所以，故B正确
故选：BCD
【题型专练】
1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，下面说法正确的有（　　）
A．的图象关于原点对称
B．的图象关于y轴对称
C．的值域为
D．，且，
【答案】AC
【分析】根据函数奇偶性的定义和判定方法，可判定A正确，B不正确；化简函数为，结合，求得的取值范围，可判定C正确；结合函数的单调性，可判定D错误.
【详解】对于A中，由，可得函数为奇函数，函数的图象关于原点对称，故选项A正确，选项B错误；
对于C中，设，可得，所以，即，解得，
即函数的值域为，所以C正确；
对于D中，对，且，，可得函数为减函数，
而为单调递增函数，所以D错误.
故选：AC.
2．（2022·福建漳州·高二期末）已知函数，则下列说法正确的是（       ）
A．的值域为R
B．是偶函数
C．的图象关于直线对称
D．
【答案】BCD
【分析】求得的值域判断选项A；求得的奇偶性判断选项B；求得的对称轴判断选项C；求得的大小关系判断选项D.
【详解】，因为，
所以的值域为.A错；
的定义域是R，且，则是偶函数.B对；
的图象可看成的图象向左平移一个单位长度，
又的图象关于y轴对称，则的图象关于直线对称.C对；
令，则，
当时，，单调递增，且
又为上增函数，所以在上单调递增，
因为，所以，
又是偶函数，则，则.D对.
故选：BCD.
3．（2022·江苏淮安·高二期末）对于函数，下列说法正确的有（       ）
A．在其定义域上为偶函数
B．在上单调递减，在上单调递增
C．的值域为
D．有解集为
【答案】AD
【分析】分段函数需要考虑定义域的范围，对于含有绝对值的简单的分段函数，可以先判断奇偶性再画图像更容易.
【详解】画出函数图像，如图,

,为偶函数，关于轴对称，所以A正确；
在时的函数图像不是连续递增，所以B不正确；
当时，代入函数得，所以C不正确；
当时，代入得或，结合图像可知，选项D正确.
故选：AD.
4.（2022·山东青岛·高二期末）已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意a，都满足，则下述正确的是（       ）
A． B． C．是奇函数 D．若，则
【答案】ACD
【分析】对取特殊值代入已知表达式即可求解
【详解】令，则，故A正确；
令，则，则，故B错误；
令，则，所以，
又令，则，
所以是奇函数，故C正确；
令，则，
所以，故D正确；
故选：ACD
5．（2022·广东深圳·高一期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（       ）
A．的最小值为 B．在上单调递减
C．的解集为 D．存在实数满足
【答案】ACD
【分析】根据偶函数的性质求出函数解析式，即可画出函数图象，即可判断；
【详解】解：函数是定义在上的偶函数，当时，，
设，则，所以，因为是偶函数，所以，
所以，
所以，
函数图象如下所示：

可得时，在时取得最小值，由偶函数的图象关于轴对称，可得在上取得最小值，故A正确；
在上单调递减，在上单调递增，故B错误；
由或，解得或，综上可得的解集为，故C正确；
由，，即存在实数满足，故D正确；
故选：ACD．
6．（2022·湖南·周南中学高二期末）已知函数，则下列结论中正确的是（       ）
A．函数的定义域是
B．函数是偶函数
C．函数在区间上是减函数
D．函数的图象关于直线对称
【答案】BD
【分析】求出函数定义域为，A选项错误；利用定义证明函数是偶函数，B选项正确；函数在区间上是增函数，故C选项错误；可以证明f (x)的图象关于直线对称，故D选项正确.
【详解】解：函数，
由可得，故函数定义域为，A选项错误；
的定义域为，设所以
即是偶函数，B选项正确；
，
当时，是减函数，外层也是减函数，所以函数在区间上是增函数，故C选项错误；
由，可得f (x)的图象关于直线对称，故D选项正确.
故选：BD
7．（2022·湖北·高一阶段练习）.函数对任意总有，当时，，，则下列命题中正确的是（       ）
A．是偶函数
B．是上的减函数
C．在上的最小值为
D．若，则实数的取值范围为
【答案】CD
【分析】函数是奇函数，所以选项A错误；函数是上的增函数，所以选项B错误；在上的最小值为，所以选项C正确；实数的取值范围为，所以选项D正确.
【详解】解：取，，则，解得，
令，则，
即，函数是奇函数，所以选项A错误；
令，且，则，
因为当时，，所以，
则，
即，函数是上的增函数，所以选项B错误；
因为函数是上的增函数，所以函数在上的最小值为，
，，
，
故，在上的最小值为，所以选项C正确；
，即，
因为函数是上的增函数，
所以，所以，所以实数的取值范围为，所以选项D正确.
故选：CD.
8．（2022·全国·高一）设，表示不超过的最大整数，例如：，，已知函数，则下列叙述中正确的是（       ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在上是增函数 D．的值域是
【答案】BC
【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用函数奇偶性的定义可判断B选项；利用函数单调性的性质可判断C选项；求出函数的值域，利用题中定义可判断D选项.
【详解】根据题意知，，
，，
所以，且，
所以，函数既不是奇函数，也不是偶函数，A错；
，
所以，函数为奇函数，B对；
因为函数为上的增函数，则函数为上的减函数，
故函数上的增函数，C对；
因为，则，所以，，故，
所以，函数的值域为，D错.
故选：BC.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则下列说法正确的有（       ）
A． B．在上单调递减
C．关于直线对称 D．的最小值为1
【答案】ACD
【分析】通过题目信息求出的解析式，然后利用函数性质进行判断.
【详解】由题，将代入得，因为分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以可得，将该式与题干中原式联立可得.
对于A：，故A正确；
对于B：由，，所以不可能在在上单调递减，故B错误；
对于C： 为偶函数，关于轴对称，表示向右平移1101个单位，故关于对称，故C正确；
对于D：根据基本不等式，当且仅当时取等，故D正确.
故选：ACD
10．（2022·江苏南通·模拟预测）若函数同时具有性质：①对于任意的，，②为偶函数，则函数可能为（       ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】首先判断B为奇函数，再利用基本不等式判断A、C，利用特殊值判断D；
【详解】解：对于B：，
故为奇函数，故B错误，A，C，D为偶函数；
对于A，，故A对
对于C，
，故C对
对于D，，时，，故D错，
故选：AC．