2023年安徽省马鞍山市雨山区花园初级中学中考数学适应性试卷（含解析）

这是一份2023年安徽省马鞍山市雨山区花园初级中学中考数学适应性试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年安徽省马鞍山市雨山区花园初级中学中考数学适应性试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −13 的相反数是(    )
A. 13 B. 3 C. −13 D. − 3
2. 如图所示的几何体是由五个大小相同的小正方体搭成的．其俯视图是(    )


A.
B.
C.
D.
3. 下列计算正确的是(    )
A. a3⋅a3=a9 B. (a3)3=a6 C. a6÷a3=a2 D. a3+a3=2a3
4. 下面四个交通标志中，是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
5. 一个不透明的袋子中装有2个红球、3个白球和4个黄球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是(    )
A. 29 B. 13 C. 49 D. 12
6. 如图所示，直线a/​/b，点A在直线a上，点B在直线b上，AC=BC，∠C=120°，∠1=43°，则∠2的度数为(    )

A. 57° B. 63° C. 67° D. 73°
7. 5月1日至7日，我市每日最高气温如图所示，则下列说法错误的是(    )
A. 中位数是33℃
B. 众数是33℃
C. 平均数是1977℃
D. 4日至5日最高气温下降幅度较大


8. 如图，根据△ABC中的尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是(    )
A. AF=BF
B. AE=12AC
C. ∠DBF+∠DFB=90°
D. ∠BAF=∠EBC


9. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为(    )
A. x−9=2(y+9)y+9=x−9 B. x+9=2(y−9)y+9=x−9
C. x+9=2yy+9=x D. x−9=2yy+9=x−9
10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(−1,0)，对称轴为直线x=1.现有下列说法：
①ac>0；
②4a+c<0；
③4ac>b2；
④若(2,y1)与(−12,y2)是抛物线上的两个点，则y1 ⑤关于x的方程ax2+bx+c+1=0有两个不相等的实数根.其中正确的是(    )
A. ②④ B. ②⑤ C. ②③ D. ④⑤
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 航天科技集团所研制的天问一号探测器由长征五号运载火箭发射，并成功着陆于火星，距离地球约192000000千米.将数据192000000用科学记数法表示为______ ．
12. 分解因式：ax2−4a=          ．
13. 从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是86.5分，方差分别是S甲2=1.5，S乙2=2.6，S丙2=3.5，S丁2=3.68，你认为派______去参赛更合适．
14. 若关于x的一元二次方程x2−4x+m−1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______ ．
15. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等腰三角形，OA=AB=5，点B到x轴的距离为4.若将△OAB绕点O逆时针旋转90°得到ΔOA′B′，则点B′的坐标为______ ．


16. 如图，点A是反比例函数y=kx(x<0)图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4，则k=______．

17. 如图，在边长为6的等边三角形ABC中，E为边BC上一点，且BE=2，过点E作EF⊥AC于点F，G为EF的中点，D为边AB上一动点，连接DG.当点D运动到边AB的三等分点时，DG的长为______ ．


18. 如图，在▱ABCD中，AB=16，BC=13，tanA=125，E为AD上一点，连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△A′BE.若A′B与CD交于点F且BF=BC，则DE的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
化简：(1+a2−a)÷4−a2a2−4a+4，并在−2，0，2中选择一个合适的a值代入求值．
20. (本小题12.0分)
北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣.某校通过抽样调查的方法统计了对花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪(每人必选且限选一项)这四个项目最感兴趣的人数，并制作了如下所示的不完整的统计图：

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共调查了______ 名学生；若该校共有2000名学生，估计对花样滑冰项目最感兴趣的学生有______ 名；
(2)补全条形统计图；
(3)该校将从这四个项目中抽出两项来做重点推介，若把花样滑冰记为A，短道速滑记为B，自由式滑雪记为C，单板滑雪记为D，请用列表或画树状图的方法求抽到的项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率．
21. (本小题12.0分)
某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．
(1)求该商家第一次购进机器人多少个？
(2)若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20%(不考虑其它因素)，那么每个机器人的标价至少是多少元？
22. (本小题12.0分)
在小明家附近有一座废旧的烟囱，为了乡村振兴，美化环境，政府现决定用爆破的方式拆除该烟囱.如图，为确定安全范围，需测量烟囱的高度AB，因为不能直接到达烟囱底部B处，测量人员将高为1.2m的测角器放在与烟囱底部B处成一直线的C，D两处，分别测得烟囱顶部A处的仰角∠B′C′A=60°，∠B′D′A=30°，同时量得CD的长为60m.求烟囱AB的高度.(结果精确到0.1m.参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)

23. (本小题12.0分)
某服装店销售一种T恤衫，每件进价为40元.经过市场调查，该T恤衫每周的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足如下的一次函数关系：当销售单价为60元时，每周的销售量为400件；当销售单价为80元时，每周的销售量为200件．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)当销售单价定为多少时，该服装店每周销售这种T恤衫所获得的利润最大？最大利润是多少？
24. (本小题12.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长BA交⊙O于点F．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AEDE=23，AF=10，求⊙O的半径．

25. (本小题12.0分)
已知在Rt△ABC中，AC=BC=6，D是边AB的中点，E是边BC所在直线上任意一点，连接DE，以DE为边在DE的左侧作正方形DEFG，连接CD，CF．

(1)当点E运动到如图1所示的位置且CE<12BC时，线段CD，CF与CE之间的数量关系为______ ；
(2)如图2，当点E在线段CB的延长线上时，(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的结论，并证明．
(3)当∠EDC=15°时，请直接写出CG的长．
26. (本小题14.0分)
如图，已知抛物线y=ax2+bx−3(a≠0)与x轴交于A(−2,0)，B(6,0)两点，与y轴交于点C.点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP与BC交于点M．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当PMAM=12时，求出点P的坐标；
(3)当PMAM最大时，N为直线BC上的一点，G为y轴上的一点，以点B，P，N，G为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：−13的相反数是13，
故选：A．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．

2.【答案】B 
【解析】解：从上面看，底层左边是一个小正方形，上层是三个小正方形，
故选：B．
根据三视图的定义解答即可．
本题主要考查了三视图，熟练掌握从上面看到的图形是俯视图是解答本题的关键．

3.【答案】D 
【解析】解：∵a3⋅a3=a6≠a9，
∴选项A不符合题意；
∵(a3)3=a9≠a6，
∴选项B不符合题意；
∵a6÷a3=a3≠a2，
∴选项C不符合题意；
∵a3+a3=2a3，
∴选项D符合题意；
故选：D．
利用同底数幂的乘法法则，幂的乘方的法则，同底数幂的除法法则，合并同类项法则对每个选项进行分析，即可得出答案．
本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项，掌握同底数幂的乘法法则，幂的乘方的法则，同底数幂的除法法则，合并同类项法则是解决问题的关键．

4.【答案】A 
【解析】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：A．
根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

5.【答案】A 
【解析】解：∵一个不透明的袋子中装有2个红球、3个白球和4个黄球，
∴从中任意摸出1个球，一共有9种可能性，其中摸到红球的可能性有2种，
∴从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是29，
故选：A．
根据题意可知，从中任意摸出1个球，一共有9种可能性，其中摸到红球的可能性有2种，从而可以计算出相应的概率．
本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．

6.【答案】D 
【解析】解：∵AC=BC，∠ACB=120°，
∴∠CBA=∠CAB=180°−∠ACB2=30°，
∵a/​/b，
∴∠2=∠CBA+∠1=30°+43°=73°．
故选：D．
由AC=BC，∠C=120°，可得∠CBA=30°，再由a/​/b，可得∠2=∠CBA+∠1=73°．
本题主要考查等腰三角形的性质，平行线的性质．

7.【答案】A 
【解析】解：A、7个数排序后为23，25，26，27，30，33，33，位于中间位置的数为27，所以中位数为27℃，故A错误，符合题意；
B、7个数据中出现次数最多的为33，所以众数为33℃，正确，不符合题意；
C、平均数为17(23+25+26+27+30+33+33)=1977，正确，不符合题意；
D、观察统计图知：4日至5日最高气温下降幅度较大，正确，不符合题意，
故选：A．
分别确定7个数据的中位数、众数及平均数后即可确定正确的选项．
考查了统计的知识，解题的关键是了解如何确定一组数据的中位数、众数及平均数，难度不大．

8.【答案】B 
【解析】解：由作图痕迹可知：DF垂直平分线段AB，
∴AF=BF，∠DBF+∠DFB=90°
选项A、C正确，不合题意；
由作图痕迹可知：BE平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBE，
∵AF=BF，
∴∠ABF=∠BAF，
∴∠BAF=∠CBE，
选项D正确，不合题意；
故选：B．
由作图可知：DF垂直平分线段AB，BE平分∠ABC，再利用三角形内角和定理解决问题即可．
本题考查基本作图，掌握线段垂直平分线的性质和角分线的性质是解题关键．

9.【答案】B 
【解析】解：设甲有x只羊，乙有y只羊，
根号题意得，x+9=2(y−9)y+9=x−9．
故选：B．
根据“甲+9=2(乙−9)”、“乙+9=甲−9”可以列出相应的方程组，本题得以解决．
此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答此题的关键是弄清题意，设出未知数，再根据数量关系列出方程组解决问题．

10.【答案】B 
【解析】解：①由图象可知：a<0，c>0，
∴ac<0，
故①错误．
∵−b2a=1，
∴b=−2a．
∵当x=−1时，y=0，即a−b+c=0．
∴3a+c=0，
∴4a+c=a<0，
故②正确；
∵该抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0．
∴4ac 故③错误；
∵(2,y1)与(−12,y2)是抛物线上的两个点，对称轴为直线x=1，
∴(2,y1)关于对称轴的对称点为(0,y1)，
∵抛物线开口向下，−12<0<1，
∴y1>y2．
故④错误；
由图象可知，抛物线与直线y=−1有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c+1=0有两个不相等的实数根，
故⑤正确．
故选：B．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．

11.【答案】1.92×108 
【解析】解：192000000用科学记数法表示为1.92×108．
故答案为：1.92×108．
利用科学记数法的定义即可求解．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．

12.【答案】a(x+2)(x−2) 
【解析】解：ax2−4a，
=a(x2−4)，
=a(x+2)(x−2)．
先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

13.【答案】甲 
【解析】解：∵S甲2=1.5，S乙2=2.6，S丙2=3.5，S丁2=3.68，
∴S甲2 ∴在平均成绩相等的情况下，甲的成绩最稳定，
∴派甲去参赛更合适，
故答案为：甲．
根据方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好可得答案．
此题主要考查了方差，关键是掌握方差越小，稳定性越大．

14.【答案】m<5 
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−4x+m−1=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=(−4)2−4×1⋅(m−1)>0，
整理得，20−4m>0，
解得：m<5．
故答案为：m<5．
根据“当Δ=b2−4ac>0时，方程有两个不相等的两个实数根”求解即可．
本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式是解题关键．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：①当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ<0时，方程无实数根．

15.【答案】(−4,8) 
【解析】解：过点B作BN⊥x轴，过点B′作B′M⊥y轴，
∴∠B′MO=∠BNO=90°，
∵OA=AB=5，点B到x轴的距离为4，
∴AN=3，
∴ON=8，

∵将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，
∴∠BOB′=90°，OB=OB′，
∴∠BOA′+∠B′OA′=∠BOA+∠BOA′，
∴∠BOA=∠B′OA′，
∴△NOB≌△MOB′(AAS)，
∴OM=ON=8，B′M=BN=4，
∴B′(−4,8)，
故答案为：(−4,8)．
过点B作BN⊥x轴，过点B′作B′M⊥y轴，先求出ON=8，再证明△AOB≌△A′OB′(AAS)，推出OM=ON=8，B′M=BN=4，从而求出点B′的坐标．
本题考查了坐标与图形变化−旋转、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握这几个知识点的综合应用，其中作出辅助线证明三角形全等是解题关键．

16.【答案】−4 
【解析】解：连接OA，如图所示：

∵AB⊥y轴，
∴AB/​/OC，
∵D是AB的中点，
∴S△ABC=2S△ADO，△ABC的面积为4，
∵S△ADO=|k|2=2，
∴|k|=4，
根据图象可知，k<0，
∴k=−4．
故答案为：−4．
连接OA，则有S△ABC=2S△ADO，根据k的几何意义，可得|k|2=2，根据图象可知k<0，即可求出k的值．
本题考查了反比例函数k的几何意义，由三角形面积求k的值注意符号是关键．

17.【答案】3或 7 
【解析】解：当D靠近A点时，如图，

作DM⊥AC于M，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=6，∠A=∠C=∠B=60°，
∴AD=13AB=2，
∴AM=12AD=1，DM= 3AM= 3，
∵BE=2，
∴EC=BC−BE=4，
∴CF=12EC=2，EF= 3FC=2 3，
∵G是FE中点，
∴FG=12FE= 3，
∵EF⊥AC，DM⊥AC，DM=FG= 3，
∴四边形DGFM是矩形，
∴DG=FM，
∵FM=AC−AM−CF=6−1−2=3，
∴DG=3；
当D靠近B点时，如图，

连接DE，
∵BD=13AB=2，
∴BE=BD=2，
∵∠B=60°，
∴△DBE是等边三角形，
∴DE=DB=2，∠DEB=60°，
∵∠CEF=90°−∠C=30°，
∴∠DEG=180°−60°−30°=90°，
∵EG= 3，
∴DG= DE2+EG2= 7，
∴DG的长是3或 7．
故答案为：3或 7．
分两种情况：当D靠近A点时，如图①，可以证明四边形DGFM是矩形，得到DG=FM，而FM=AC−AM−CF=6−1−2=3，即可得到DG=3；当D靠近B点时，如图②，可以证明△DBE是等边三角形，推出△DEG是直角三角形，由勾股定理即可求出DG的长．
本题考查等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，关键是要分两种情况讨论．

18.【答案】20823 
【解析】解：设A′E与CD交于点N，过B作BG⊥CD于点G，过N作NH⊥A′B于点H，延长AD与BA′交于点M，如图，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=16，BC=13=AD，∠A=∠EA′B=∠C，
∵BF=BC=13，tanC=tanA=BGCG=125，
设BG=12k，则CG=5k，CG2+BG2=BC2，即(5k)2+(12k)2=132，
解得k=1(负值舍去)，
∴CG=FG=5，BG=12，
∴DF=16−10=6，
由折叠的性质得A′B=AB=16，∠C=∠A=∠EA′B，
∴A′F=16−13=3，
∴∠C=∠CFB=∠A′FN=∠EA′B，
∴A′N=FN，A′H=FH=12A′F=32，
∵tan∠EA′B=NHA′H=125，
∴NH=185，
∴A′N=FN= A′N2−A′H2=3910，
∴DN=16−CG−FG−FN=2110，
设AE=x，则DE=13−x，A′E=x，
∵DF/​/AB，
∴△MDF∽△MAB，
∴DFAB=MFMB，即616=MA′+3MA′+16，
解得MA′=245，
∵∠EDN+∠A=180°，∠MA′E+∠EA′B=∠MA′E+∠A=180°，
∴∠EDN=∠EA′M，
∴△EDN∽△EA′M，
∴DNMA′=DEEA′，即2110245=13−xx，
解得x=20823，
即AE=20823，
故答案为：20823．
作出如图的辅助线，利用等腰三角形的性质及三角函数的关系先后求得CG=FG=5，BG=12，DF=6，利用勾股定理求得A′N=3910，DN=2110，证明△MDF∽△MAB，求得MA′=245，再证明△EDN∽△EA′M，利用相似三角形的性质即可求解．
本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

19.【答案】解：原式=2−a+a2−a⋅(a−2)2(2−a)(2+a)
=22−a⋅(a−2)2(2−a)(2+a)
=22+a，
当a=−2或2时，原式没有意义，
当a=0时，
原式=22+0=1． 
【解析】本题考查了分式化简求值，熟练掌握分式有意义的条件是解题关键．
原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．

20.【答案】100  800 
【解析】解：(1)∵调查的学生中，爱好花样滑冰运动的学生有40人，占调查人数的40%，
∴一共调查了40÷40%=100(人)，
若该校共有2000名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有2000×40%=800(人)，
故答案为：100，800；
(2)∵一共调查了100名学生，爱好单板滑雪的占10%，
∴爱好单板滑雪的学生数为100×10%=10(人)，
∴爱好自由式滑雪的学生数为100−40−20−10=30(人)，
补全条形统计图如下：

(3)列表如下，
　
A
B
C
D
A
/
(B,A)
(C,A)
(D,A)
B
(A,B)
/
(C,B)
(D,B)
C
(A,C)
(B,C)
/
(D,C)
D
(A,D)
(B,D)
(C,D)
/
从这四个运动项目中抽出两项运动的所有机会均等的结果一共有12种，
抽到项目中恰有一个项目是自由式滑雪记C的结果有6种，
∴P(抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C)=612=12．
答：抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率是12．
(1)由爱好花样滑冰运动的40人，占调查人数的40%，可求出调查人数，用爱好花样滑冰运动的学生占调查人数的40%，可估计2000名学生中，爱好花样滑冰运动的学生人数；
(2)求出爱好单板滑雪、爱好自由式滑雪的学生数，补全条形统计图即可；
(3)列表求出12种等可能的结果，找出恰有一个项目是自由式滑雪C的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查统计与概率问题，解题的关键是用列表法或画树状图法，不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

21.【答案】解：(1)设该商家第一次购进机器人x个，
依题意得：11000x+10=240002x，
解得x=100．
经检验x=100是所列方程的解，且符合题意．
答：该商家第一次购进机器人100个．
(2)设每个机器人的标价是a元．
则依题意得：(100+200)a−11000−24000≥(11000+24000)×20%，
解得a≥140．
答：每个机器人的标价至少是140元． 
【解析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用．解答分式方程时，一定要注意验根．
(1)设该商家第一次购进机器人x个，根据“第一次用11000元购进某款拼装机器人，用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元”列出方程并解答；
(2)设每个机器人的标价是a元．根据“全部销售完毕的利润率不低于20%”列出不等式并解答．

22.【答案】解：由题意得：
BB′=DD′=CC′=1.2米，D′C′=DC=60米，
∵∠AC′B′是△AD′C′的一个外角，
∴∠D′AC′=∠AC′B′−∠AD′B′=30°，
∴∠AD′C′=∠D′AC′=30°，
∴D′C′=AC′=60米，
在Rt△AC′B′中，∠AC′B′=60°，
∴AB′=AC′⋅sin60°=60× 32=30 3(米)，
∴AB=AB′+BB′=30 3+1.2≈53.2(米)，
∴烟囱AB的高度约为53.2米． 
【解析】根据题意可得BB′=DD′=CC′=1.2米，D′C′=DC=60米，然后利用三角形的外角可得∠AD′C′=∠D′AC′=30°，从而可得D′C′=AC′=60米，再在Rt△AC′B′中，利用锐角三角函数的定义求出AB′的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．

23.【答案】解：(1)设y与x的关系式为y=kx+b，
把(60,400)与(80,200)代入，
得：60k+b=40080k+b=200，解得：k=−10b=1000，
∴y与x之间的函数关系式为y=−10x+1000；
(2)由题意可得：
w=(x−40)(−10x+1000)
=−10x2+1400x−40000
=−10(x−70)2+9000，
∵−10<0，
∴当x=70时，w最大，w最大=9000(元)，
答：销售单价定为70元时，服装店每周销售这种T恤衫所获得的利润最大，最大利润是9000元． 
【解析】(1)利用待定系数法求解可得；
(2)根据所获得总利润=每件利润×销售数量列出函数解析式，配方成顶点式可得答案．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，根据销售问题中关于利润的相等关系列出函数解析式及二次函数的性质．

24.【答案】(1)证明：如图1，
连接OD，则OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠OCD，
∴∠B=∠ODC，
∴OD/​/AB，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥DE，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；

(2)解：如图2，连接AD，
∵AEDE=23，
∴设AE=2m，DE=3m，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=∠BED=90°，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得，AD= AE2+DE2= 13m，
∵AC为直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°=∠AED，
∴∠A=∠A，
∴△ABD∽△ADE，
∴ABAD=ADAE=BDDE，
∴AB 13m= 13m2m=BD3m，
∴AB=132m，BD=3 132m，
∵AB=AC，∠ADC=90°，
∴DC=3 132m，BC=2BD=3 13m，
连接AF，则∠ADB=∠F，
∵∠B=∠B，
∴△ADB∽△CFB，
∴ABBC=BDBF，
∵AF=10，
∴BF=AB+AF=132m+10，
∴132m3 13m=3 132m132m+10，
∴m=4，
∴AD=4 13，CD=6 13，
在Rt△ADC中，根据勾股定理得，AC= AD2+CD2=26，
∴⊙O的半径为12AC=13． 
【解析】(1)连接OD，进而判断出OD/​/AB，即可得出结论；
(2)设AE=2m，DE=3m，进而表示出AD= 13m，再判断出△ABD∽△ADE，得出比例式，进而表示出AB=132m，BD=3 132m，再判断出△ADB∽△CFB，得出比例式建立方程求出m，最后根据勾股定理求出AC=26，即可求出答案．
此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出相似三角形是解本题的关键．

25.【答案】CD= 2CE+CF 
【解析】解：(1)如图①，过点E作EH⊥BC交CD于H，则∠CEH=90°，

∵在Rt△ABC中，AC=BC，且D为AB的中点，
∴∠ECH=45°，
∴CE=HE，HC= 2CE，
∵四边形DEFG为正方形，
∴∠DEF=90°，FE=DE，
即∠DEH+∠HEF=90°，
又∵∠FEC+∠HEF=90°，
∴∠FEC=∠DEH，
在△FEC和△DEH中，
CE=HE∠FEC=∠DEHFE=DE，
∴△FEC≌△DEH(SAS)，
∴CF=HD，
∵CD=HC+HD，
∴CD= 2CE+CF；
(2)不成立，此时CF= 2CE−CD，
证明如下：过点E作EH⊥CE交CD延长线于H，

∴∠CEH=90°，
∵在Rt△ABC中，AC=BC，且D为AB的中点，
∴∠DCB=45°，
∴∠ECH=∠DCB=45°，
∴EC=EH,CH= 2CE，
∵∠FEC=90°−∠DEC=∠DEH，
∴∠FEC=∠DEH，
在△FEC和△DEH中，
CE=EH∠FEC=∠DEHFE=DE，
∴△FEC≌△DEH(SAS)，
∴CF=HD，
∴CF=CH−CD= 2CE−CD；
(3)由题意可知AC=BC=6，∠EDC=15°，
∴∠DEB=∠EDC+∠DCB=15°+45°=60°，AB= 62+62=6 2，CD=BD=12AB=3 2，
当点E在线段BC上时，过点D作DM⊥BC，

∴CM=BM=12BC=3=DM，
∵BD=CD，∠B=∠DCG=45°，∠BDE=90°−CDE=∠CDG，
∴△BDE≌△CDG(AAS)，
∴BE=CG，
在Rt△DEM中，∠DEB=60°，DM=3，
∴EM=DMtan60∘= 3，
∴CG=BE=3+ 3；
当点E在BC延长线上时，过点D作DN⊥BC，

同理CN=BN=12BC=3=DN，BE=CG，∠DEN=45°−15°=30°，
在Rt△DEN中，∠DEN=30°，DN=3，
∴EN= 3DN=3 3，
∴CG=BE=3+3 3；
综上，CG的长为3+ 3或3+3 3．
(1)过点E作EH⊥BC交CD于H，根据SAS证△FEC≌△DEH，得CF=DH，又CH= 2CE，即可得出线段CD，CF，CE之间的数量关系；
(2)过点E作EH⊥CE交CD延长线于H，同(1)，即可得出线段CD，CF，CE之间的数量关系；
(3)分两种情况讨论，当点E在线段BC上和点E在BC延长线上时，解直角三角形即可求解．
本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．

26.【答案】解：(1)把A(−2,0)，B(6,0)代入y=ax2+bx−3得，
4a−2b−3=036a+6b−3=0，
解得a=14b=−1，
∴抛物线的解析式为y=14x2−x−3；
(2)分别过点A、P作x轴的垂线，交直线BC于点H、Q，则PQ//AH，

∵抛物线的解析式为y=14x2−x−3，
∴C(0,−3)，
设直线BC的解析式为y=kx−3，
∴0=6k−3，解得k=12，
∴直线BC的解析式为y=12x−3，
∴H(−2,−4)，
∴AH=4，
设点P的坐标为(m,14m2−m−3)，则Q(m,12m−3)，
∴PQ=12m−3−(14m2−m−3)=32m−14m2，
∵PQ//AH，
∴△PQM∽△AHM，
∴PMAM=PQAH=12，
∴PQ=12AH=2，即32m−14m2=2，
解得m=4或m=2，
∴点P的坐标为(4,−3)或(2,−4)；
(3)由(2)知△PQM∽△AHM，∴PMAM=PQAH=32m−14m24=−116(m−3)2+916，
∴当m=3时，PMAM取最大值，此时点P的坐标为(3,−154)，
设点N的坐标为(n,12n−3)，点G的坐标为(0,q)，
当BP为平行四边形的对角线时，可得3+6=n+0，
解得n=9，
∴点N的坐标为(9,32)；
当BN为平行四边形的对角线时，可得3+6=n+0，
解得n=−3，
∴点N的坐标为(−3,−92)；
当BG为平行四边形的对角线时，可得3+6=n+0，
解得n=3，
∴点N的坐标为(3,−32)；
综上，点N的坐标为(9,32)或(−3,−92)或(3,−32)． 
【解析】(1)利用待定系数法即可求解‘
(2)分别过点A、P作x轴的垂线，交直线BC于点H、Q，则PQ//AH，设点P的坐标为(m,14m2−m−3)，则Q(m,12m−3)，证明△PQM∽△AHM，利用相似三角形的性质求得m的值，即可求解；
(3)由(2)知PMAM=PQAH=32m−14m24=−116(m−3)2+916，则当m=3时，PMAM取最大值，此时点P的坐标为(3,−154)，设点N的坐标为(n,12n−3)，点G的坐标为(0,q)，利用平行四边形的性质分三种情况讨论求解即可．
本题综合考查了二次函数的综合，用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，平行四边形的判定等知识点的应用，此题综合性比较强，有一定的难度，对学生提出较高的要求．注意：不要漏解，分类讨论思想的巧妙运用是解题的关键．