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2023年安徽省亳州市蒙城县中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年安徽省亳州市蒙城县中考数学二模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年安徽省亳州市蒙城县中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 2023的倒数是( )
A. 2023 B. −2023 C. −12023 D. 12023
2. 下列各式中一定相等的是( )
A. 3(a+b)与3a+b B. (a+b)2与a2+b2
C. a3与a⋅a⋅a D. 2a2⋅a3与2a6
3. 2022年合肥市GDP约12000亿元，连续七年每年跨越一个千亿台阶，12000亿用科学记数法表示正确的是( )
A. 1.2×1011 B. 12×1011 C. 1.2×1012 D. 1.2×1013
4. 如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，其左视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 如图，两条直线l1//l2，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，顶点A、B分别在l1和l2上，∠ACD=20°，则∠1的度数是( )
A. 45°
B. 55°
C. 65°
D. 75°
6. 在平面直角坐标系中，已知函数y=ax+a(a≠0)的图象过点P(1,2)，则该函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
7. 一袋中装有形状、大小都相同的三个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是2、3、4.现从袋中任意摸出两个小球，则摸出的小球上的数都是方程x2−5x+6=0的解的概率是( )
A. 12 B. 13 C. 23 D. 14
8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，则下列结论不一定正确的是( )
A. BC=CE B. ∠D=∠A C. CE=AE D. AB⊥DE
9. 已知二次函数y=a(x−1)2−a(a≠0)，当−1≤x≤4时，y的最小值为−4，则a的值为( )
A. 12或4 B. 43或−12 C. −43或4 D. −12或4
10. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，过点B作BD⊥AB，连接AD交BC于点E，若AB=4，BD=2，则CE的长为( )
A. 22
B. 2 23
C. 45
D. 3 24
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 分解因式：x4−16= ．
12. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若∠CAD=75°，则∠B的度数是______ ．
13. 如图，一次函数y=x+k(k>0)的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B.与反比例函数y=kx的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴.垂足分别为点D，E.若S矩形ODCE=2S△OAB，则k的值为______ ．
14. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BC=8，AC=4 2．
(1)当AB=AC时，∠CAD= ______ °；
(2)当△ACD面积最大时，则AD= ______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题8.0分)
27−(−12)−2−3tan60°+(π− 2)0−|−4|．
16. (本小题8.0分)
已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,2)，B(4,1)，C(1,5)．
(1)以点O为位似中心，在第一象限将△ABC放大为原来的2倍，得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1；
(2)若点P(x,y)是△ABC内任意一点，点P在△A1B1C1内的对应点为P1，则点P1的坐标为______ ；
(3)请用无刻度直尺将线段AB三等分．
17. (本小题8.0分)
从合肥火车站到合肥高铁南站通常有两种出行方式可以选择.方式1：打车从南北一号高架，全程12km，交通比较拥堵；方式2：乘坐轨道交通1号线，路程30km，平均速度是方式1的83倍，用时比方式1少2分钟，求按方式1从合肥火车站到高铁南站需要多长时间？
18. (本小题8.0分)
细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题．(其中Sn表示图中第n个三角形的面积)OA22=( 1)2+12=2,S1= 12OA32=12+( 2)2=3,S1= 22OA42=12+( 3)2=4,S3= 32…
(1)用含有n(n是正整数)的式子表示：OAn2=______，Sn=______；
(2)若一个三角形的面积是 5，请通过计算说明这是第几个三角形：
(3)求出S12+S22+S32+…+S102的值．
19. (本小题10.0分)
随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度.某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为120m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行48m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内.请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长(结果精确到1m.参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75， 3≈1.73).
20. (本小题10.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G．
(1)求证：∠A=∠BFG；
(2)求FG的长．
21. (本小题12.0分)
某市教育局组织全市中小学教师开展“请千家”活动．活动过程中，教有局随机抽取了近两周家访的教师人数及家访次数，将采集到的全部数据按家访次数分成五类，由甲、乙两人分别绘制了下面的两幅统计图(图都不完整)．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)请把这幅条形统计图补充完整(画图后请标注相应的数据)；
(2)在采集到的数据中，近两周平均每位教师家访______次；
(3)若该市有12000名教师，则近两周家访不少于3次的教师约有______人．
22. (本小题12.0分)
2022年12月7日我国疫情防控全面放开，某药店为满足居民的购药需求，购进了一种中草药，每千克成本为50元.市场调查发现，在一段时间内，销售量w(千克)随销售单价x(元/千克)的变化而变化，具体关系式为：w=−2x+240，且物价部门规定这种中草药的销售单价不得高于90元/千克.设这种中草药在这段时间内的销售利润为y(元)：
(1)求y与x的关系式；并求x取何值时，y的值最大？
(2)如果该药店想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为每千克多少元？
23. (本小题14.0分)
综合与实践
问题解决：
(1)已知四边形ABCD是正方形，以B为顶点作等腰直角三角形BEF，BE=BF，连接AE.如图1，当点E在BC上时，请判断AE和CF的关系，并说明理由．
问题探究：
(2)如图2，点H是AE延长线与直线CF的交点，连接BH，将△BEF绕点B旋转，当点F在直线BC右侧时，求证：AH−CH= 2BH；
问题拓展：
(3)将△BEF绕点B旋转一周，当∠CFB=45°时，若AB=3，BE=1，请直接写出线段CH的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：2023的倒数是12023．
故选：D．
乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，关键是掌握倒数的意义．
2.【答案】C
【解析】解：A、3(a+b)=3a+3b≠3a+b，故不符合题意；
B、(a+b)2=a2+2ab+b2≠a2+b2，故不符合题意；
C、a⋅a⋅a=a3，故符合题意；
D、2a2⋅a3=2a5≠2a6，故不符合题意．
故选：C．
根据去括号法则、完全平方公式、同底数幂的乘法和单项式乘单项式法则计算，即可判断出答案．
此题考查了去括号法则、完全平方公式、同底数幂的乘法和单项式乘单项式法则，关键是掌握这些运算法则．
3.【答案】C
【解析】解：12000亿=1.2×1012，
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，表示时关键要确定a的值以及n的值．
4.【答案】A
【解析】解：根据立体图可知该左视图是底层有2个小正方形，第二层左边有1个小正方形．
故选：A．
根据三视图的定义即可判断．
本题考查三视图，解题的关键是根据立体图的形状作出三视图，本题属于基础题型．
5.【答案】C
【解析】解：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=45°，
∴∠ACD+∠CAB=∠2=45°+20°=65°，
∵l1//l2，
∴∠1=∠2=65°，
故选：C．
首先再利用等腰直角三角形的性质可得∠CAB=45°，再根据三角形外角的性质可得∠ACD+∠CAB=∠2，进而利用平行线的性质解答，解答即可．
本题主要考查的是等腰直角三角形的性质以及平行线的性质，根据它们的性质解答是解答此题的关键．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式．把P的坐标代入y=ax+a，求出a的值，得出解析式即可作出判断．
【解答】
解：∵函数y=ax+a(a≠0)的图象过点P(1,2)，
∴2=a+a，解得a=1，
∴y=x+1，
∴直线交y轴的正半轴，且过点(1,2)，
故选A．
7.【答案】B
【解析】解：x2−5x+6=0，
(x−2)(x−3)=0，
x−2=0或x−3=0，
x1=2，x2=3，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中摸出的小球上的数都是方程x2−5x+6=0的解的结果有(2,3)，(3,2)，共2种，
∴摸出的小球上的数都是方程x2−5x+6=0的解的概率为26=13．
故选：B．
先求出一元二次方程的解，再画树状图得出所有等可能的结果数以及摸出的小球上的数都是方程x2−5x+6=0的解的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握列表法与树状图法以及一元二次方程的解法是解答本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：如图，延长DE交AB于H，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴BC=CE，∠A=∠D，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠B+∠D=90°，
∴∠BHD=90°，
∴DE⊥AB，
故选：C．
由旋转的性质可得BC=CE，∠A=∠D，由余角的性质可证DE⊥AB，即可求解．
本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：y=a(x−1)2−a的对称轴为直线x=1，
顶点坐标为(1,−a)，
当a>0时，在−1≤x≤4，函数有最小值−a，
∵y的最小值为−4，
∴−a=−4，
∴a=4；
当a<0时，在−1≤x≤4，当x=4时，函数有最小值，
∴9a−a=−4，
解得a=−12；
综上所述：a的值为4或−12，
故选：D．
分两种情况讨论：当a>0时，−a=−4，解得a=4；当a<0时，在−1≤x≤4，9a−a=−4，解得a=−12．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：作CF⊥AB于F，连接CD，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴BF=AF=2，
∵∠ACB=90°，
∴CF=12AB=2，
∴BD=CF=2，
∵BD⊥AB，
∴BD//CF，
∴四边形BFCD是平行四边形，
∵∠DBF=90°，DB=BF，
∴四边形BFCD是正方形，
∴CD=BF=2，DC//AB，
∴△DCE∽△ABE，
∴CE：BE=DC：AB=2：4=1：2，
∴CE=13BC，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC= 22AB=2 2，
∴CE=2 23．
故选：B．
作CF⊥AB于F，连接CD，由等腰三角形的性质，推出四边形BFCD是正方形，得到CD=BF=2，由△DCE∽△ABE，得到CE=13BC，求出BC= 22AB=2 2，即可得到CE=2 23．
本题考查等腰直角三角形，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，关键是通过作辅助线，证明四边形BFCD是正方形，得到CD=BF，由△DCE∽△ABE，推出CE=13BC，由等腰直角三角形的性质求出BC的长，即可得到CE的长．
11.【答案】(x2+4)(x+2)(x−2)
【解析】
【分析】
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
【解答】
解：x4−16=(x2+4)(x2−4)
=(x2+4)(x+2)(x−2)
故答案为：(x2+4)(x+2)(x−2)．
12.【答案】15°
【解析】解：连接CD，
∵AD是圆的直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠CAD=75°，
∴∠D=90°−∠CAD=15°，
∴∠B=∠D=15°．
故答案为：15°．
连接CD，由圆周角定理得到∠D=90°−∠CAD=15°，即可求出∠B的度数．
本题考查圆周角定理，三角形的外接圆与外心，关键是掌握圆周角定理．
13.【答案】1
【解析】解：一次函数y=x+k(k>0)的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，令x=0，则y=k，令y=0，则x=−k，
故点A、B的坐标分别为(−k,0)、(0,k)，
则△OAB的面积=12OA⋅OB=12k2，而矩形ODCE的面积为k，
则2×12k2=k，
解得：k=0(舍去)或1，
故答案为：1．
分别求出矩形ODCE与△OAB的面积，即可求解．
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，计算矩形ODCE与△OAB的面积是解题的关键．
14.【答案】45 4
【解析】解：(1)∵AB=AC=4 2，BC=8，
∴AC2+AB2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴∠CAD=12∠BAC=45°，
故答案为：45；
(2)∵AD是BC边上的中线，BC=8，
∴CD=12BC=4，
∴当AD的值取的最大值时，△ACD面积最大，
当AD⊥BC时，AD的值最大，
∵AD垂直平分BC，
∴AC=AB，
由(1)知，当AB=AC时，△ABC是等腰直角三角形，
∴AD=12BC=4，
故答案为：4．
(1)根据勾股定理的逆定理和等腰直角三角形的性质即可得到结论；
(2)根据已知条件得到CD=12BC=4，当AD的值取的最大值时，△ACD面积最大，当AD⊥BC时，AD的值最大，求得AC=AB，由(1)知，当AB=AC时，△ABC是等腰直角三角形，于是得到结论．
本题考查了三角形的面积，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解题的关键．
15.【答案】解：原式=3 3−4−3× 3+1−4
=3 3−4−3 3+1−4
=−7．
【解析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式化简、绝对值5个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式、绝对值等知识点的运算．
16.【答案】(2x,2y)
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)由题意得，点P1的坐标为(2x,2y)．
故答案为：(2x,2y)．
(3)如图，点G，H将线段AB三等分．
(1)根据位似的性质作图即可．
(2)根据位似的性质可得答案．
(3)取格点M，N，P，Q，连接MP，NQ，分别交AB于点G，H，此时APBM=AGBG=12，BNAQ=BHAH=12，即点G，H将线段AB三等分．
本题考查作图−位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
17.【答案】解：设方式1的速度为xkm/min，则设方式2的速度为83x km/min，
依题意得：12 x−2=3083x，
解得：x=38，
经检验，x=38是原方程的解，且符合题意，
∴1238=32(分钟)，
答：按方式1从合肥火车站到高铁南站需要32分钟．
【解析】设方式1的速度为xkm/min，则设方式2的速度为83xkm/min，依题意得：12 x−2=3083x，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
18.【答案】n 12 n
【解析】解：(1)因为每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得：
OA1= 1，OA2= 2，OA3= 3…，OAn= n，
所以OAn2=n．
Sn=12⋅1⋅ n=12 n．
故答案为：n，12 n．
(2)当Sn= 5时，有： 5=12 n，
解之得：n=20，
即它是第20个三角形．
(3)S12+S22+S32+…+S92+S102
=14+24+…+104
=554．
(1)由勾股定理及直角三角形的面积求解；
(2)利用(1)的规律代入Sn= 5，求出n即可；
(3)算出第一到第十个三角形的面积后求和即可．
本题考查了勾股定理以及二次根式的应用，解题的关键是看清楚相邻两个三角形的各个边之间的关系．
19.【答案】解：延长AB，CD分别与直线OF交于点G和点H，
则AG=60m，GH=AC，∠AGO=∠EHO=90°，
在Rt△AGO中，∠AOG=70°，
∴OG=AGtan70∘≈44(m)，
∵∠HFE是△OFE的一个外角，
∴∠OEF=∠HFE−∠FOE=30°，
∴∠FOE=∠OEF=30°，
∴OF=EF=48m，
在Rt△EFH中，∠HFE=60°，
∴FH=EF⋅cos60°=48×12=24(m)，
∴AC=GH=OG+OF+FH=44+48+24=116(m)，
∴楼AB与CD之间的距离AC的长约为116m．
【解析】延长AB，CD分别与直线OF交于点G和点H，则AG=60m，GH=AC，∠AGO=∠EHO=90°，然后在Rt△AGO中，利用锐角三角函数的定义求出OG的长，再利用三角形的外角求出∠OEF=30°，从而可得OF=EF=24m，再在Rt△EFH中，利用锐角三角函数的定义求出FH的长，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：连接OF，
∵∠ACB=90°，AD=DB，
∴DC=DB=DA，
∵CD是直径，
∴∠CFD=90°，即DF⊥BC，
∴CF=FB，
∵OC=OD，CF=BF，
∴OF是△CDB的中位线，
∴OF//BD，
∴∠OFC=∠B，
∵FG是⊙O的切线，
∴∠OFG=90°，
∴∠OFC+∠BFG=90°，
∴∠BFG+∠B=90°，
∴∠FGB=90°，
∴∠GFB+∠B=90°，
而∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠BFG；
(2)解：连接DF，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB=5，
∴点D是AB中点，
∴CD=BD=12AB=2.5，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CFD=90°，
∴BF=CF=12BC=2，
∴DF= 2.52−22=1.5，
∴S△BDF=12×DF×BF=12×BD×FG，
∴FG=DF×BFBD=65．
【解析】(1)连接OF，利用已知条件证明∠BFG+∠B=90°，即可得到FG⊥AB，最后利用同角的余角相等即可求解；
(2)连接DF，先利用勾股定理求出AB=5，进而求出CD=BD=2.5，再求出CF=2，进而求出DF=1.5，利用面积法即可得出结论．
此题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式，判断出FG⊥AB是解本题的关键．
21.【答案】(1)∵被调查的总人数为54÷36%=150(人)，
则家访4次的人数为150×28%=42(人)，
补全图形如下：
(2)在采集到的数据中，近两周平均每位教师家访1×6+2×30+3×54+4×42+5×18150=3.24(次)，
故答案为：3.24；
(3)近两周家访不少于3次的教师约有12000×54+42+18150=9120(人)，
故答案为：9120．
【解析】(1)由3次的人数及其所占百分比可得总人数，再用总人数减去其它次数的人数求得4次的人数即可得；
(2)根据加权平均数的公式计算可得；
(3)用总人数乘以样本中3次、4次及5次人数和占被调查人数的比例即可得．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，解题时注意：条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22.【答案】解：(1)由题意可得，
y=(x−50)(−2x+240)=−2x2+340x−12000=−2(x−85)2+2450，
∴当x=85时，y取得最大值，
答：y与x的关系式是y=−2x2+340x−12000，当x=85时，y的值最大；
(2)当y=2250时，2250=−2x2+340x−12000，
解得x1=75，x2=95，
∵物价部门规定这种中草药的销售单价不得高于90元/千克，
∴x=75，
答：如果该药店想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为每千克75元．
【解析】(1)根据题意，可以写出y与x的关系式，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到x取何值时，y的值最大；
(2)将y=2250代入(1)中的函数，求出x的值即可，注意物价部门规定这种中草药的销售单价不得高于90元/千克．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
23.【答案】(1)解：AE=CF，AE⊥CF，
理由：如图1，延长AE交CF于点G，
∵四边形ABCD是正方形，点E在BC上，
∴AB=CB，∠ABE=90°，
∵BE=BF，∠EBF=90°，
∴∠ABE=∠CBF=90°，
∴△ABE≌△CBF(SAS)，
∴BE=CF，∠BAE=∠BCF，
∵∠AEB=∠CEG，
∴∠BCF+∠CEG=∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠CGE=90°，
∴AE⊥CF．
(2)证明：如图2，在AH上截取AL=CH，连接BL，
∵AB=CB，∠ABE=∠CBF=90°−∠CBE，BE=BF，
∴△ABE≌△CBF(SAS)，
∴∠BAE=∠BCF，
∴∠BAL=∠BCH，
∴△BAL≌△BCH(SAS)，
∴BL=BH，∠ABL=∠CBH，
∴∠LBH=∠LBC+∠CBH=∠LBC+∠ABL=∠ABC=90°，
∴LH= BL2+BH2= 2BH2= 2BH，
∴AH−AL=LH= 2BH，
∴AH−CH= 2BH．
(3)解：当∠CFB=45°，且点F在直线BC右侧时，如图3，
∵BE=BF，∠EBF=90°，
∴∠EFB=∠FEB=45°，
∴∠EFB=∠CFB，
∴点E在CF上，点H与点E重合，
作BN⊥CF于点N，则∠BNF=∠BNC=90°，
∵BC=AB=3，BF=BE=1，
∴EF= BE2+BF2= 12+12= 2，
∴BN=EN=FN=12EF= 22，
∴CN= BC2−BN2= 32−( 22)2= 342，
∴CH=CE=CN−EN= 342− 22；
当∠CFB=45°，且点F在直线BC左侧时，如图4，设CF与AB交于点P，
∵AB=CB，∠ABE=∠CBF=90°+∠ABF，BE=BF，
∴△ABE≌△CBF(SAS)，
∴∠BAE=∠BCF，AE=CF，
∵∠APF=∠BPC，
∴∠BAE+∠APF=∠BCF+∠BPC=90°，
∴∠AFC=90°，
∴∠AFC+∠CFB+∠BFE=180°，
∴点F在AE上，点H与点F重合，
作BQ⊥AE于点Q，则∠BQE=∠BQA=90°，
∵AB=3，BQ=FQ=EQ=12EF= 22，
∴AQ= AB2−BQ2= 32−( 22)2= 342，
∴CH=CF=AE=AQ+EQ= 342+ 22，
综上所述，线段CH的长为 342− 22或 342+ 22．
【解析】(1)延长AE交CF于点G，由正方形的性质得AB=CB，∠ABE=90°，因为BE=BF，∠EBF=90°，所以∠ABE=∠CBF=90°，可证明△ABE≌△CBF，得BE=CF，∠BAE=∠BCF，则∠BCF+∠CEG=∠BAE+∠AEB=90°，即可证明AE⊥CF；
(2)在AH上截取AL=CH，连接BL，先证明△ABE≌△CBF，得∠BAE=∠BCF，再证明△BAL≌△BCH，得BL=BH，∠ABL=∠CBH，可推导出∠LBH=∠ABC=90°，则LH= BL2+BH2= 2BH，所以AH−CH=AH−AL=LH= 2BH；
(3)分两种情况，一是∠CFB=45°，且点F在直线BC右侧，可证明点E在CF上，点H与点E重合，作BN⊥CF于点N，则EF= 2，BN=EN=FN= 22，所以CN= BC2−BN2= 342，则CH=CE= 342− 22；二是∠CFB=45°，且点F在直线BC左侧，可证明△ABE≌△CBF，得∠BAE=∠BCF，AE=CF，进而证明∠AFC=90°，则∠AFC+∠CFB+∠BFE=180°，所以点F在AE上，点H与点F重合，作BQ⊥AE于点Q，可求得BQ=FQ=EQ= 22，AQ= AB2−BQ2= 342，则CH=CF=AE= 342+ 22．
此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
2023年安徽省亳州市蒙城县中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 2023的倒数是( )
A. 2023 B. −2023 C. −12023 D. 12023
2. 下列各式中一定相等的是( )
A. 3(a+b)与3a+b B. (a+b)2与a2+b2
C. a3与a⋅a⋅a D. 2a2⋅a3与2a6
3. 2022年合肥市GDP约12000亿元，连续七年每年跨越一个千亿台阶，12000亿用科学记数法表示正确的是( )
A. 1.2×1011 B. 12×1011 C. 1.2×1012 D. 1.2×1013
4. 如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，其左视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 如图，两条直线l1//l2，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，顶点A、B分别在l1和l2上，∠ACD=20°，则∠1的度数是( )
A. 45°
B. 55°
C. 65°
D. 75°
6. 在平面直角坐标系中，已知函数y=ax+a(a≠0)的图象过点P(1,2)，则该函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
7. 一袋中装有形状、大小都相同的三个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是2、3、4.现从袋中任意摸出两个小球，则摸出的小球上的数都是方程x2−5x+6=0的解的概率是( )
A. 12 B. 13 C. 23 D. 14
8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，则下列结论不一定正确的是( )
A. BC=CE B. ∠D=∠A C. CE=AE D. AB⊥DE
9. 已知二次函数y=a(x−1)2−a(a≠0)，当−1≤x≤4时，y的最小值为−4，则a的值为( )
A. 12或4 B. 43或−12 C. −43或4 D. −12或4
10. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，过点B作BD⊥AB，连接AD交BC于点E，若AB=4，BD=2，则CE的长为( )
A. 22
B. 2 23
C. 45
D. 3 24
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 分解因式：x4−16= ．
12. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若∠CAD=75°，则∠B的度数是______ ．
13. 如图，一次函数y=x+k(k>0)的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B.与反比例函数y=kx的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴.垂足分别为点D，E.若S矩形ODCE=2S△OAB，则k的值为______ ．
14. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BC=8，AC=4 2．
(1)当AB=AC时，∠CAD= ______ °；
(2)当△ACD面积最大时，则AD= ______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题8.0分)
27−(−12)−2−3tan60°+(π− 2)0−|−4|．
16. (本小题8.0分)
已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,2)，B(4,1)，C(1,5)．
(1)以点O为位似中心，在第一象限将△ABC放大为原来的2倍，得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1；
(2)若点P(x,y)是△ABC内任意一点，点P在△A1B1C1内的对应点为P1，则点P1的坐标为______ ；
(3)请用无刻度直尺将线段AB三等分．
17. (本小题8.0分)
从合肥火车站到合肥高铁南站通常有两种出行方式可以选择.方式1：打车从南北一号高架，全程12km，交通比较拥堵；方式2：乘坐轨道交通1号线，路程30km，平均速度是方式1的83倍，用时比方式1少2分钟，求按方式1从合肥火车站到高铁南站需要多长时间？
18. (本小题8.0分)
细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题．(其中Sn表示图中第n个三角形的面积)OA22=( 1)2+12=2,S1= 12OA32=12+( 2)2=3,S1= 22OA42=12+( 3)2=4,S3= 32…
(1)用含有n(n是正整数)的式子表示：OAn2=______，Sn=______；
(2)若一个三角形的面积是 5，请通过计算说明这是第几个三角形：
(3)求出S12+S22+S32+…+S102的值．
19. (本小题10.0分)
随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度.某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为120m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行48m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内.请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长(结果精确到1m.参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75， 3≈1.73).
20. (本小题10.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G．
(1)求证：∠A=∠BFG；
(2)求FG的长．
21. (本小题12.0分)
某市教育局组织全市中小学教师开展“请千家”活动．活动过程中，教有局随机抽取了近两周家访的教师人数及家访次数，将采集到的全部数据按家访次数分成五类，由甲、乙两人分别绘制了下面的两幅统计图(图都不完整)．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)请把这幅条形统计图补充完整(画图后请标注相应的数据)；
(2)在采集到的数据中，近两周平均每位教师家访______次；
(3)若该市有12000名教师，则近两周家访不少于3次的教师约有______人．
22. (本小题12.0分)
2022年12月7日我国疫情防控全面放开，某药店为满足居民的购药需求，购进了一种中草药，每千克成本为50元.市场调查发现，在一段时间内，销售量w(千克)随销售单价x(元/千克)的变化而变化，具体关系式为：w=−2x+240，且物价部门规定这种中草药的销售单价不得高于90元/千克.设这种中草药在这段时间内的销售利润为y(元)：
(1)求y与x的关系式；并求x取何值时，y的值最大？
(2)如果该药店想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为每千克多少元？
23. (本小题14.0分)
综合与实践
问题解决：
(1)已知四边形ABCD是正方形，以B为顶点作等腰直角三角形BEF，BE=BF，连接AE.如图1，当点E在BC上时，请判断AE和CF的关系，并说明理由．
问题探究：
(2)如图2，点H是AE延长线与直线CF的交点，连接BH，将△BEF绕点B旋转，当点F在直线BC右侧时，求证：AH−CH= 2BH；
问题拓展：
(3)将△BEF绕点B旋转一周，当∠CFB=45°时，若AB=3，BE=1，请直接写出线段CH的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：2023的倒数是12023．
故选：D．
乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，关键是掌握倒数的意义．
2.【答案】C
【解析】解：A、3(a+b)=3a+3b≠3a+b，故不符合题意；
B、(a+b)2=a2+2ab+b2≠a2+b2，故不符合题意；
C、a⋅a⋅a=a3，故符合题意；
D、2a2⋅a3=2a5≠2a6，故不符合题意．
故选：C．
根据去括号法则、完全平方公式、同底数幂的乘法和单项式乘单项式法则计算，即可判断出答案．
此题考查了去括号法则、完全平方公式、同底数幂的乘法和单项式乘单项式法则，关键是掌握这些运算法则．
3.【答案】C
【解析】解：12000亿=1.2×1012，
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，表示时关键要确定a的值以及n的值．
4.【答案】A
【解析】解：根据立体图可知该左视图是底层有2个小正方形，第二层左边有1个小正方形．
故选：A．
根据三视图的定义即可判断．
本题考查三视图，解题的关键是根据立体图的形状作出三视图，本题属于基础题型．
5.【答案】C
【解析】解：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=45°，
∴∠ACD+∠CAB=∠2=45°+20°=65°，
∵l1//l2，
∴∠1=∠2=65°，
故选：C．
首先再利用等腰直角三角形的性质可得∠CAB=45°，再根据三角形外角的性质可得∠ACD+∠CAB=∠2，进而利用平行线的性质解答，解答即可．
本题主要考查的是等腰直角三角形的性质以及平行线的性质，根据它们的性质解答是解答此题的关键．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式．把P的坐标代入y=ax+a，求出a的值，得出解析式即可作出判断．
【解答】
解：∵函数y=ax+a(a≠0)的图象过点P(1,2)，
∴2=a+a，解得a=1，
∴y=x+1，
∴直线交y轴的正半轴，且过点(1,2)，
故选A．
7.【答案】B
【解析】解：x2−5x+6=0，
(x−2)(x−3)=0，
x−2=0或x−3=0，
x1=2，x2=3，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中摸出的小球上的数都是方程x2−5x+6=0的解的结果有(2,3)，(3,2)，共2种，
∴摸出的小球上的数都是方程x2−5x+6=0的解的概率为26=13．
故选：B．
先求出一元二次方程的解，再画树状图得出所有等可能的结果数以及摸出的小球上的数都是方程x2−5x+6=0的解的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握列表法与树状图法以及一元二次方程的解法是解答本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：如图，延长DE交AB于H，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴BC=CE，∠A=∠D，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠B+∠D=90°，
∴∠BHD=90°，
∴DE⊥AB，
故选：C．
由旋转的性质可得BC=CE，∠A=∠D，由余角的性质可证DE⊥AB，即可求解．
本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：y=a(x−1)2−a的对称轴为直线x=1，
顶点坐标为(1,−a)，
当a>0时，在−1≤x≤4，函数有最小值−a，
∵y的最小值为−4，
∴−a=−4，
∴a=4；
当a<0时，在−1≤x≤4，当x=4时，函数有最小值，
∴9a−a=−4，
解得a=−12；
综上所述：a的值为4或−12，
故选：D．
分两种情况讨论：当a>0时，−a=−4，解得a=4；当a<0时，在−1≤x≤4，9a−a=−4，解得a=−12．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：作CF⊥AB于F，连接CD，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴BF=AF=2，
∵∠ACB=90°，
∴CF=12AB=2，
∴BD=CF=2，
∵BD⊥AB，
∴BD//CF，
∴四边形BFCD是平行四边形，
∵∠DBF=90°，DB=BF，
∴四边形BFCD是正方形，
∴CD=BF=2，DC//AB，
∴△DCE∽△ABE，
∴CE：BE=DC：AB=2：4=1：2，
∴CE=13BC，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC= 22AB=2 2，
∴CE=2 23．
故选：B．
作CF⊥AB于F，连接CD，由等腰三角形的性质，推出四边形BFCD是正方形，得到CD=BF=2，由△DCE∽△ABE，得到CE=13BC，求出BC= 22AB=2 2，即可得到CE=2 23．
本题考查等腰直角三角形，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，关键是通过作辅助线，证明四边形BFCD是正方形，得到CD=BF，由△DCE∽△ABE，推出CE=13BC，由等腰直角三角形的性质求出BC的长，即可得到CE的长．
11.【答案】(x2+4)(x+2)(x−2)
【解析】
【分析】
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
【解答】
解：x4−16=(x2+4)(x2−4)
=(x2+4)(x+2)(x−2)
故答案为：(x2+4)(x+2)(x−2)．
12.【答案】15°
【解析】解：连接CD，
∵AD是圆的直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠CAD=75°，
∴∠D=90°−∠CAD=15°，
∴∠B=∠D=15°．
故答案为：15°．
连接CD，由圆周角定理得到∠D=90°−∠CAD=15°，即可求出∠B的度数．
本题考查圆周角定理，三角形的外接圆与外心，关键是掌握圆周角定理．
13.【答案】1
【解析】解：一次函数y=x+k(k>0)的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，令x=0，则y=k，令y=0，则x=−k，
故点A、B的坐标分别为(−k,0)、(0,k)，
则△OAB的面积=12OA⋅OB=12k2，而矩形ODCE的面积为k，
则2×12k2=k，
解得：k=0(舍去)或1，
故答案为：1．
分别求出矩形ODCE与△OAB的面积，即可求解．
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，计算矩形ODCE与△OAB的面积是解题的关键．
14.【答案】45 4
【解析】解：(1)∵AB=AC=4 2，BC=8，
∴AC2+AB2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴∠CAD=12∠BAC=45°，
故答案为：45；
(2)∵AD是BC边上的中线，BC=8，
∴CD=12BC=4，
∴当AD的值取的最大值时，△ACD面积最大，
当AD⊥BC时，AD的值最大，
∵AD垂直平分BC，
∴AC=AB，
由(1)知，当AB=AC时，△ABC是等腰直角三角形，
∴AD=12BC=4，
故答案为：4．
(1)根据勾股定理的逆定理和等腰直角三角形的性质即可得到结论；
(2)根据已知条件得到CD=12BC=4，当AD的值取的最大值时，△ACD面积最大，当AD⊥BC时，AD的值最大，求得AC=AB，由(1)知，当AB=AC时，△ABC是等腰直角三角形，于是得到结论．
本题考查了三角形的面积，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解题的关键．
15.【答案】解：原式=3 3−4−3× 3+1−4
=3 3−4−3 3+1−4
=−7．
【解析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式化简、绝对值5个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式、绝对值等知识点的运算．
16.【答案】(2x,2y)
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)由题意得，点P1的坐标为(2x,2y)．
故答案为：(2x,2y)．
(3)如图，点G，H将线段AB三等分．
(1)根据位似的性质作图即可．
(2)根据位似的性质可得答案．
(3)取格点M，N，P，Q，连接MP，NQ，分别交AB于点G，H，此时APBM=AGBG=12，BNAQ=BHAH=12，即点G，H将线段AB三等分．
本题考查作图−位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
17.【答案】解：设方式1的速度为xkm/min，则设方式2的速度为83x km/min，
依题意得：12 x−2=3083x，
解得：x=38，
经检验，x=38是原方程的解，且符合题意，
∴1238=32(分钟)，
答：按方式1从合肥火车站到高铁南站需要32分钟．
【解析】设方式1的速度为xkm/min，则设方式2的速度为83xkm/min，依题意得：12 x−2=3083x，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
18.【答案】n 12 n
【解析】解：(1)因为每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得：
OA1= 1，OA2= 2，OA3= 3…，OAn= n，
所以OAn2=n．
Sn=12⋅1⋅ n=12 n．
故答案为：n，12 n．
(2)当Sn= 5时，有： 5=12 n，
解之得：n=20，
即它是第20个三角形．
(3)S12+S22+S32+…+S92+S102
=14+24+…+104
=554．
(1)由勾股定理及直角三角形的面积求解；
(2)利用(1)的规律代入Sn= 5，求出n即可；
(3)算出第一到第十个三角形的面积后求和即可．
本题考查了勾股定理以及二次根式的应用，解题的关键是看清楚相邻两个三角形的各个边之间的关系．
19.【答案】解：延长AB，CD分别与直线OF交于点G和点H，
则AG=60m，GH=AC，∠AGO=∠EHO=90°，
在Rt△AGO中，∠AOG=70°，
∴OG=AGtan70∘≈44(m)，
∵∠HFE是△OFE的一个外角，
∴∠OEF=∠HFE−∠FOE=30°，
∴∠FOE=∠OEF=30°，
∴OF=EF=48m，
在Rt△EFH中，∠HFE=60°，
∴FH=EF⋅cos60°=48×12=24(m)，
∴AC=GH=OG+OF+FH=44+48+24=116(m)，
∴楼AB与CD之间的距离AC的长约为116m．
【解析】延长AB，CD分别与直线OF交于点G和点H，则AG=60m，GH=AC，∠AGO=∠EHO=90°，然后在Rt△AGO中，利用锐角三角函数的定义求出OG的长，再利用三角形的外角求出∠OEF=30°，从而可得OF=EF=24m，再在Rt△EFH中，利用锐角三角函数的定义求出FH的长，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：连接OF，
∵∠ACB=90°，AD=DB，
∴DC=DB=DA，
∵CD是直径，
∴∠CFD=90°，即DF⊥BC，
∴CF=FB，
∵OC=OD，CF=BF，
∴OF是△CDB的中位线，
∴OF//BD，
∴∠OFC=∠B，
∵FG是⊙O的切线，
∴∠OFG=90°，
∴∠OFC+∠BFG=90°，
∴∠BFG+∠B=90°，
∴∠FGB=90°，
∴∠GFB+∠B=90°，
而∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠BFG；
(2)解：连接DF，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB=5，
∴点D是AB中点，
∴CD=BD=12AB=2.5，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CFD=90°，
∴BF=CF=12BC=2，
∴DF= 2.52−22=1.5，
∴S△BDF=12×DF×BF=12×BD×FG，
∴FG=DF×BFBD=65．
【解析】(1)连接OF，利用已知条件证明∠BFG+∠B=90°，即可得到FG⊥AB，最后利用同角的余角相等即可求解；
(2)连接DF，先利用勾股定理求出AB=5，进而求出CD=BD=2.5，再求出CF=2，进而求出DF=1.5，利用面积法即可得出结论．
此题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式，判断出FG⊥AB是解本题的关键．
21.【答案】(1)∵被调查的总人数为54÷36%=150(人)，
则家访4次的人数为150×28%=42(人)，
补全图形如下：
(2)在采集到的数据中，近两周平均每位教师家访1×6+2×30+3×54+4×42+5×18150=3.24(次)，
故答案为：3.24；
(3)近两周家访不少于3次的教师约有12000×54+42+18150=9120(人)，
故答案为：9120．
【解析】(1)由3次的人数及其所占百分比可得总人数，再用总人数减去其它次数的人数求得4次的人数即可得；
(2)根据加权平均数的公式计算可得；
(3)用总人数乘以样本中3次、4次及5次人数和占被调查人数的比例即可得．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，解题时注意：条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22.【答案】解：(1)由题意可得，
y=(x−50)(−2x+240)=−2x2+340x−12000=−2(x−85)2+2450，
∴当x=85时，y取得最大值，
答：y与x的关系式是y=−2x2+340x−12000，当x=85时，y的值最大；
(2)当y=2250时，2250=−2x2+340x−12000，
解得x1=75，x2=95，
∵物价部门规定这种中草药的销售单价不得高于90元/千克，
∴x=75，
答：如果该药店想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为每千克75元．
【解析】(1)根据题意，可以写出y与x的关系式，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到x取何值时，y的值最大；
(2)将y=2250代入(1)中的函数，求出x的值即可，注意物价部门规定这种中草药的销售单价不得高于90元/千克．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
23.【答案】(1)解：AE=CF，AE⊥CF，
理由：如图1，延长AE交CF于点G，
∵四边形ABCD是正方形，点E在BC上，
∴AB=CB，∠ABE=90°，
∵BE=BF，∠EBF=90°，
∴∠ABE=∠CBF=90°，
∴△ABE≌△CBF(SAS)，
∴BE=CF，∠BAE=∠BCF，
∵∠AEB=∠CEG，
∴∠BCF+∠CEG=∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠CGE=90°，
∴AE⊥CF．
(2)证明：如图2，在AH上截取AL=CH，连接BL，
∵AB=CB，∠ABE=∠CBF=90°−∠CBE，BE=BF，
∴△ABE≌△CBF(SAS)，
∴∠BAE=∠BCF，
∴∠BAL=∠BCH，
∴△BAL≌△BCH(SAS)，
∴BL=BH，∠ABL=∠CBH，
∴∠LBH=∠LBC+∠CBH=∠LBC+∠ABL=∠ABC=90°，
∴LH= BL2+BH2= 2BH2= 2BH，
∴AH−AL=LH= 2BH，
∴AH−CH= 2BH．
(3)解：当∠CFB=45°，且点F在直线BC右侧时，如图3，
∵BE=BF，∠EBF=90°，
∴∠EFB=∠FEB=45°，
∴∠EFB=∠CFB，
∴点E在CF上，点H与点E重合，
作BN⊥CF于点N，则∠BNF=∠BNC=90°，
∵BC=AB=3，BF=BE=1，
∴EF= BE2+BF2= 12+12= 2，
∴BN=EN=FN=12EF= 22，
∴CN= BC2−BN2= 32−( 22)2= 342，
∴CH=CE=CN−EN= 342− 22；
当∠CFB=45°，且点F在直线BC左侧时，如图4，设CF与AB交于点P，
∵AB=CB，∠ABE=∠CBF=90°+∠ABF，BE=BF，
∴△ABE≌△CBF(SAS)，
∴∠BAE=∠BCF，AE=CF，
∵∠APF=∠BPC，
∴∠BAE+∠APF=∠BCF+∠BPC=90°，
∴∠AFC=90°，
∴∠AFC+∠CFB+∠BFE=180°，
∴点F在AE上，点H与点F重合，
作BQ⊥AE于点Q，则∠BQE=∠BQA=90°，
∵AB=3，BQ=FQ=EQ=12EF= 22，
∴AQ= AB2−BQ2= 32−( 22)2= 342，
∴CH=CF=AE=AQ+EQ= 342+ 22，
综上所述，线段CH的长为 342− 22或 342+ 22．
【解析】(1)延长AE交CF于点G，由正方形的性质得AB=CB，∠ABE=90°，因为BE=BF，∠EBF=90°，所以∠ABE=∠CBF=90°，可证明△ABE≌△CBF，得BE=CF，∠BAE=∠BCF，则∠BCF+∠CEG=∠BAE+∠AEB=90°，即可证明AE⊥CF；
(2)在AH上截取AL=CH，连接BL，先证明△ABE≌△CBF，得∠BAE=∠BCF，再证明△BAL≌△BCH，得BL=BH，∠ABL=∠CBH，可推导出∠LBH=∠ABC=90°，则LH= BL2+BH2= 2BH，所以AH−CH=AH−AL=LH= 2BH；
(3)分两种情况，一是∠CFB=45°，且点F在直线BC右侧，可证明点E在CF上，点H与点E重合，作BN⊥CF于点N，则EF= 2，BN=EN=FN= 22，所以CN= BC2−BN2= 342，则CH=CE= 342− 22；二是∠CFB=45°，且点F在直线BC左侧，可证明△ABE≌△CBF，得∠BAE=∠BCF，AE=CF，进而证明∠AFC=90°，则∠AFC+∠CFB+∠BFE=180°，所以点F在AE上，点H与点F重合，作BQ⊥AE于点Q，可求得BQ=FQ=EQ= 22，AQ= AB2−BQ2= 342，则CH=CF=AE= 342+ 22．
此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
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