2023年安徽省亳州市蒙城县中考一模数学试卷

这是一份2023年安徽省亳州市蒙城县中考一模数学试卷，共32页。试卷主要包含了选择题每小题都给出A，填空题等内容，欢迎下载使用。

2023年安徽省亳州市蒙城县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 2023的倒数是（ ）
A. 2023 B. C. D.
2. 下列各式中一定相等的是（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
3. 2022年合肥市约12000亿元，连续七年每年跨越一个千亿台阶，12000亿用科学记数法表示正确的是（ ）
A B. C. D.
4. 如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（ ）

A. B.
C. D.
5. 如图，两条直线，中，，，顶点、分别在和上，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
6. 在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（　　）
A. B.
C. D.
7. 一袋中装有形状、大小都相同三个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是2、3、4．现从袋中任意摸出两个小球，则摸出的小球上的数都是方程的解的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，则下列结论不一定正确的是（ ）

A. B. C. D.
9. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ）
A. 或4 B. 或 C. 或4 D. 或4
10. 如图，在中，，，过点作，连接交于点，若，，则的长为（ ）．

A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 分解因式：x4﹣16＝______.
12. 如图，是的外接圆，是的直径，若，则的度数是 ________．

13. 如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B．与反比例函数的图象在第一象限内交于点C，轴，轴．垂足分别为点D，E．当矩形的面积是的面积2倍时，k的值为______________．

14. 如图，在中，是边上的中线，，．

（1）当时，________；
（2）当面积最大时，则________．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. ．
16. 已知：三个顶点的坐标分别为，，．

（1）以点为位似中心，在第一象限将放大为原来的2倍，得到，请在网格中画出；
（2）若点是内任意一点，点在内的对应点为，则点的坐标为________；
（3）请用无刻度直尺将线段三等分．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 从合肥火车站到合肥高铁南站通常有两种出行方式可以选择．方式1：打车从南北一号高架，全程，交通比较拥堵；方式2：乘坐轨道交通1号线，路程，平均速度是方式1的倍，用时比方式1少2分钟，求按方式1从合肥火车站到高铁南站需要多长时间？
18. 细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题．（其中Sn表示图中第n个三角形的面积），，，，，…

（1）用含有n（n是正整数）的式子表示：　 　，　 　；
（2）若一个三角形的面积是，请通过计算说明这是第几个三角形：
（3）求出的值．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在两楼之间上方的点O处，点O距地面的高度为，此时观测到楼底部点A处的俯角为70°，楼上点E处的俯角为，沿水平方向由点O飞行到达点F，测得点E处俯角为，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼与之间的距离的长（结果精确到1m．参考数据：，，，）．

20. 如图，在中，，点D是的中点，以为直径作，分别与交于点E，F，过点F作的切线，交于点G．

（1）求证：；
（2）求的长．
六、（本大题满分12分）
21. 某市教育局组织全市中小学教师开展“访千家”活动．活动过程中，教育局随机抽取了近两周家访的教师人数及家访次数，将采集到的全部数据按家访次数分成五类，由甲、乙两人分别绘制了下面的两幅统计图（图都不完整）．请根据以上信息，解答下列问题：
（1）请把这福条形统计图补充完整（画图后请标注相应的数据）．
（2）在采集到的数据中，近两周平均每位教师家访___________次．
（3）若该市有12000名教师，求近两周家访不少于3次教师约有多少人？

七、（本大题满分12分）
22. 2022年12月7日我国疫情防控全面放开，某药店为满足居民的购药需求，购进了一种中草药，每一份成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w（份数）随销售单价（元/份）的变化而变化，具体关系式为：，且物价部门规定这种中草药的销售单价不得高于90元/份．设这种中草药在这段时间内的销售利润为（元）．
（1）求与的关系式；并求取何值时，的值最大？
（2）如果该药店想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为每份多少元？
八、（本大题满分14分）
23 综合与实践

（1）问题解决：已知四边形是正方形，以为顶点作等腰直角三角形，，连接．如图1，当点在上时，请判断和的关系，并说明理由．
（2）问题探究：如图2，点是延长线与直线的交点，连接，将绕点旋转，当点在直线右侧时，求证：；
（3）问题拓展：将绕点旋转一周，当时，若，，请直接写出线段长．
2023年安徽省亳州市蒙城县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 2023的倒数是（ ）
A. 2023 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用乘积为1的两个数互为倒数来判断即可．
【详解】解：
∴2023的倒数为
故选B．
【点睛】本题主要考查倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解决本题的关键．
2. 下列各式中一定相等的是（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】C
【解析】
【分析】根据去括号，完全平方公式，幂的意义和同底数幂的乘法法则分别判断即可．
【详解】解：A、，故不符合题意；
B、，故不符合题意；
C、，故符合题意；
D、，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了去括号，完全平方公式，幂的意义和同底数幂的乘法，解题的关键是掌握各自的运算法则．
3. 2022年合肥市约12000亿元，连续七年每年跨越一个千亿台阶，12000亿用科学记数法表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，据此判断即可．
【详解】解：12000亿，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键．
4. 如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三视图的定义即可判断．
【详解】根据立体图可知该左视图是底层有2个小正方形，第二层左边有1个小正方形．故选A．
【点睛】本题考查三视图，解题的关键是根据立体图的形状作出三视图，本题属于基础题型．
5. 如图，两条直线，中，，，顶点、分别在和上，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据等腰直角三角形的性质可得，根据外角的性质求出，再利用平行线的性质可得结果．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴,
故选C．
【点睛】本题主要考查的是等腰直角三角形的性质以及平行线的性质，根据它们的性质解答是解答此题的关键．
6. 在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求得解析式即可判断．
【详解】解：∵函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），
∴2＝a+a，解得a＝1，
∴y＝x+1，
∴直线交y轴的正半轴，且过点（1，2），
故选：A．
【点睛】此题考查一次函数表达式及图像的相关知识．
7. 一袋中装有形状、大小都相同的三个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是2、3、4．现从袋中任意摸出两个小球，则摸出的小球上的数都是方程的解的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出方程的解，画出树状图，再根据概率公式求出答案即可．
【详解】解：解方程得：，，
则数字2、3、4中只有2，3是该方程的解，
画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中摸出的小球上的数都是方程的解的有2种，
故摸出的小球上的数都是方程的解的概率是，
故选：B．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及因式分解法求出一元二次方程的解．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，则下列结论不一定正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依据旋转的性质，得出，，，再根据角之间的数量关系，结合等量代换，得出，再根据垂线的定义，进一步判断即可．
【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到，
∴，，，
延长，与交于F，

∵，
∴，
∴，
∴，即，
故选项A，B，D结论正确，不合题意，
而和的数量关系未知，
则和不一定相等，故选项C结论不正确，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质、垂线的定义，掌握旋转的性质是本题的关键．
9. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ）
A. 或4 B. 或 C. 或4 D. 或4
【答案】D
【解析】
【分析】分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答．
【详解】解：二次函数的对称轴为：直线，
（1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大，
当时，取得最小值，
，
；
（2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小，
当时，取得最小值，
，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解题的关键．
10. 如图，在中，，，过点作，连接交于点，若，，则的长为（ ）．

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解直角三角形可得、；如图：过E作垂足为F，则，由此可得，继而可得，设，则，，然后代入可得，，最后运用勾股定理即可解答．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴．
∵，，
∴．
如图：过E作垂足为F，则，

∴，
∴．
设，则，，
∴，
解得：，，
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形、平行线分线段成比例、勾股定理等知识点，灵活运用三角函数和勾股定理解直角三角形是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 分解因式：x4﹣16＝______.
【答案】（x2+4）（x+2）（x﹣2）.
【解析】
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案.
【详解】x4﹣16
＝(x2+4)(x2﹣4)
＝(x2+4)(x+2)(x﹣2)，
故答案为(x2+4)(x+2)(x﹣2).
【点睛】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键.注意分解要彻底.
12. 如图，是的外接圆，是的直径，若，则的度数是 ________．

【答案】##15度
【解析】
分析】连接，由圆周角定理得到，即可求出的度数．
【详解】解：连接，
是圆的直径，
，
，
，
．
故答案为：．

【点睛】本题考查圆周角定理，三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，关键是掌握圆周角定理．
13. 如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B．与反比例函数的图象在第一象限内交于点C，轴，轴．垂足分别为点D，E．当矩形的面积是的面积2倍时，k的值为______________．

【答案】1
【解析】
【分析】根据题意由反比例函数的几何意义得：再求解A，B的坐标及建立方程求解即可．
【详解】解：如图

矩形，上，

把代入：

∴B(0，k)
把代入：

∴A(-k，0)

由题意得：2×
解得：k=1，k=0（舍去）

故答案为：1
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的性质，掌握反比例函数中的几何意义，一次函数与坐标轴围成的三角形面积的计算是解题的关键．
14. 如图，在中，是边上的中线，，．

（1）当时，________；
（2）当面积最大时，则________．
【答案】 ①. 45 ②.
【解析】
【分析】当时，根据三线合一和勾股定理，得出等腰直角三角形，从而可得；再根据面积公式分析得出当边上的高最大时，面积最大，判断出点A的位置，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）当时，
∵是边上的中线，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（2）在中，以为底，，
则当边上高最大时，面积最大，
如图，点A在以点C为圆心，为半径的圆上，
故当时，高最大，即为，
此时，
故答案为：45，．

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，圆的性质，解题的关键是根据面积最大分析出的位置．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. ．
【答案】
【解析】
【分析】原式利用二次根式性质，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角三角函数值计算即可求出值．
【详解】解：


【点睛】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16. 已知：三个顶点的坐标分别为，，．

（1）以点为位似中心，在第一象限将放大为原来的2倍，得到，请在网格中画出；
（2）若点是内任意一点，点在内的对应点为，则点的坐标为________；
（3）请用无刻度直尺将线段三等分．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据以原点为位似中心的对应点的坐标变换规律，把、、的横纵坐标都乘以2得到、、的坐标，然后描点即可；
（2）根据位似变换的性质可得；
（3）利用平行线等分线段定理解决问题即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
由位似的性质可得：
点的坐标为；
【小问3详解】
如图，和将线段三等分．
【点睛】本题考查了作图位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．也考查了平移变换．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 从合肥火车站到合肥高铁南站通常有两种出行方式可以选择．方式1：打车从南北一号高架，全程，交通比较拥堵；方式2：乘坐轨道交通1号线，路程，平均速度是方式1的倍，用时比方式1少2分钟，求按方式1从合肥火车站到高铁南站需要多长时间？
【答案】32分钟
【解析】
【分析】设方式1的用时为x分钟，根据方式2的平均速度是方式1的倍，列出方程，解之即可．
【详解】解：设方式1的用时为x分钟，
由题意可得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴按方式1从合肥火车站到高铁南站需要32分钟．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是掌握路程，速度与时间的关系．
18. 细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题．（其中Sn表示图中第n个三角形的面积），，，，，…

（1）用含有n（n是正整数）的式子表示：　 　，　 　；
（2）若一个三角形的面积是，请通过计算说明这是第几个三角形：
（3）求出的值．
【答案】（1）n，
（2）它是第20个三角形
（3）
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理求出推出，即可得到；
（2）根据（1）所求把代入中进行求解即可；
（3）根据进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得：
，…，，
∴．
∴，
故答案为：n，．
【小问2详解】
解：若一个三角形的面积是，则，
∴，即，
∴这是第20个三角形，
【小问3详解】
解：，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，图形类的规律探索，化简二次根式，正确理解题意和熟知勾股定理是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在两楼之间上方的点O处，点O距地面的高度为，此时观测到楼底部点A处的俯角为70°，楼上点E处的俯角为，沿水平方向由点O飞行到达点F，测得点E处俯角为，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼与之间的距离的长（结果精确到1m．参考数据：，，，）．

【答案】楼与之间的距离的长约为
【解析】
【分析】延长和分别与直线交于点G和点H，则，再根据图形应用三角函数即可求解．
【详解】解：延长和分别与直线交于点G和点H，则．

又∵，
∴四边形是矩形．
∴．
由题意，得．
在中，，
∴﹒
∵是的外角，
∴．
∴．
∴．
在中，
∴．
∴．
答：楼与之间的距离的长约为．
【点睛】本题主要考查三角函数的综合应用，正确构造直角三角形并应用三角函数进行求解是解题的关键．
20. 如图，在中，，点D是的中点，以为直径作，分别与交于点E，F，过点F作的切线，交于点G．

（1）求证：；
（2）求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先证是的中位线，得，由是的切线，得，再证，由，，即可得答案
（2）先利用勾股定理求出，进而求出，再求出，进而求出，再判断出，利用面积即可得出结论．
【小问1详解】
解：如下图，连接，，

，
，
是直径，
，即，
∵，
，
，
是中位线，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
而，
；
【小问2详解】
如下图，

在中，根据勾股定理得，，
∴点D是的中点，
，
是的直径，
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，切线的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式，判断出是解题的关键．
六、（本大题满分12分）
21. 某市教育局组织全市中小学教师开展“访千家”活动．活动过程中，教育局随机抽取了近两周家访的教师人数及家访次数，将采集到的全部数据按家访次数分成五类，由甲、乙两人分别绘制了下面的两幅统计图（图都不完整）．请根据以上信息，解答下列问题：
（1）请把这福条形统计图补充完整（画图后请标注相应的数据）．
（2）在采集到的数据中，近两周平均每位教师家访___________次．
（3）若该市有12000名教师，求近两周家访不少于3次的教师约有多少人？

【答案】（1）详见解析；（2）3.24；（3）9120
【解析】
【分析】（1）由3次的人数及其所占百分比可得总人数，再用总人数减去其它次数的人数求得4次的人数即可得； （2）根据加权平均数的公式计算可得； （3）用总人数乘以样本中3次、4次及5次人数和占被调查人数的比例即可得．
【详解】解：（1）∵被调查的总人数为人，
所以4次家访的有人，
如图
；
（2）在采集到的数据中，近两周平均每位教师家访；
（3） （人），
∴近两周家访不少于3次的教师约有9120人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，解题时注意：条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
七、（本大题满分12分）
22. 2022年12月7日我国疫情防控全面放开，某药店为满足居民的购药需求，购进了一种中草药，每一份成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w（份数）随销售单价（元/份）的变化而变化，具体关系式为：，且物价部门规定这种中草药的销售单价不得高于90元/份．设这种中草药在这段时间内的销售利润为（元）．
（1）求与的关系式；并求取何值时，的值最大？
（2）如果该药店想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为每份多少元？
【答案】（1），当时，的值最大
（2）每份75元
【解析】
【分析】（1）根据题意，可以写出与的关系式，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到取何值时，的值最大；
（2）将代入（1）中的函数，求出的值即可，注意物价部门规定这种中草药的销售单价不得高于90元份．
【小问1详解】
解：由题意可得，
，
当时，取得最大值，
答：与的关系式是，当时，的值最大；
【小问2详解】
当时，，
解得，，
物价部门规定这种中草药的销售单价不得高于90元份，
，
答：如果该药店想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为每份75元．
【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
八、（本大题满分14分）
23. 综合与实践

（1）问题解决：已知四边形是正方形，以为顶点作等腰直角三角形，，连接．如图1，当点在上时，请判断和的关系，并说明理由．
（2）问题探究：如图2，点是延长线与直线的交点，连接，将绕点旋转，当点在直线右侧时，求证：；
（3）问题拓展：将绕点旋转一周，当时，若，，请直接写出线段的长．
【答案】（1），，理由见解析
（2）见解析 （3）线段的长为或
【解析】
【分析】（1）延长交于点，由正方形的性质得，，因为，，所以，可证明，得，，则，即可证明；
（2）在上截取，连接，先证明，得，再证明，得，，可推导出，则，所以；
（3）分两种情况，一是，且点在直线右侧，可证明点在上，点与点重合，作于点，则，，所以，则；二是，且点在直线左侧，可证明，得，，进而证明，则，所以点在上，点与点重合，作于点，可求得，，则．
【小问1详解】
解：，，
理由：如图1，延长交于点，

四边形是正方形，点在上，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
；
【小问2详解】
证明：如图2，在上截取，连接，

，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【小问3详解】
解：当，且点在直线右侧时，如图3，

，，
，
，
点在上，点与点重合，
作于点，则，
，，
，
，
，
；
当，且点在直线左侧时，如图4，设与交于点，

，，，
，
，，
，
，
，
，
点在上，点与点重合，
作于点，则，
，，
，
，
综上所述，线段的长为或．
【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．