数学八年级下暑假培优专题训练（16）

这是一份数学八年级下暑假培优专题训练（16），共35页。试卷主要包含了一次函数的应用等内容，欢迎下载使用。
数学八年级下暑假培优专题训练
专题十六、一次函数的应用
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目录
【考点一 一次函数中方案设计类问题】.......................................1
【考点二 一次函数中行程问题】.............................................2
【考点三 一次函数中的最值问题】...........................................5
【考点四 一次函数的其他问题】.............................................7
【聚焦考点】
①阅读，弄清问题背景和基本要求；
②分析，寻找问题的数量关系，找到与其相关的知识；
③建模，由分析得出的相关知识建立函数模型；
④解题，求解上述函数，结合实际利用一次函数性质确定最优方案．
【典例剖析1】
【考点一 一次函数中方案设计类问题】
【典例1-1】2023年5月11日，长沙市橘子洲头举办了燃放烟花的活动，橘子洲头当天实行全天闭园，长沙市地铁二号线实行全天跳站 ．对此非常有兴趣的数学爱好者小李去市场上调查了解A、B两种不同型号烟花的价格，已知B型号烟花的价格比A种烟花价格每箱贵60元，用3000元购买A型号的烟花和用4800元购买B种型号的烟花的箱数相同 ．
(1)请问A，B两种烟花每箱的价格分别是多少元？
(2)小李的爸爸所在的公司即将要举办周年庆活动，计划购买A，B两种型号的烟花共100箱，要求购买A型号烟花的数量2倍不高于B型号烟花数量的3倍，爸爸问小李：怎样设计购买方案能使总费用最低？总费用最低为多少元？
【典例1-2】为了能够更好地进行居家电路实验学习，某校八年级（1）班在电商平台上购买小电动机和小灯泡．已知该平台上一个小电动机与一个小灯泡的价格之和是12元，同学们决定用30元购买小灯泡，45元购买小电动机，其中购买的小灯泡数量正好是小电动机数量的2倍．
(1)分别求出每个小灯泡和小电动机的价格；
(2)若八年级（1）班决定购买小灯泡和小电动机共计90个，且满足小灯泡数量不超过小电动机数量的一半，请设计出更省钱的购买方案，并求出总费用的最小值．
针对训练1
【变式1-1】某经销商准备购入某品牌的智能电磁炉和配套的平底炖锅，经市场调研，购入2个电磁炉和3个平底炖锅需花费900元，购入3个电磁炉和2个平底炖锅需花费1100元．
(1)求电磁炉和平底炖锅的单价．
(2)“五一”期间，厂家对该品牌的智能电磁炉和配套的平底炖锅实行优惠活动．
方案一：买一个电磁炉送一个平底炖锅；
方案二：所有商品打八折．
经销商准备购入50个智能电磁炉和个配套的平底炖锅进行试销．
①设方案一总费用为元，方案二总费用为元，分别求出，关于x的函数解析式；
②经销商选择哪种方案购买合算？
③若方案一和方案二两种优惠方式可同时使用，请写出最合算的购买方式，并说明理由．
【变式1-2】为纪念北京奥运会成功举办，国务院批准从2009年起，每年的8月8日为“全民健身日”．某羽毛球俱乐部为倡导人们积极参加健身运动，普及羽毛球运动，特推出如下活动方案：
方案一：购买一张羽毛球健身的年卡，以后每次再收取10元；
方案二：不购买羽毛球健身卡，每次收取15元．
设李凯每年去俱乐部打羽毛球x次，按照方案一所需费用为（元），且；按照方案二所需费用为（元），且，其函数图像如图所示．
  
(1)请直接写出方案一和方案二的函数表达式，并写出b的实际意义；
(2)2023年王斌给自己制定了一个健身计划，每周去俱乐部打球2次（365天），他选择哪种方案所需费用更少？说明理由．
【变式1-3】党的二十大报告中指出，推动能源清洁低碳高效利用，推进工业、建筑、交通等领域清洁低碳转型，深入推进能源革命．某市交通管理局决定购买一批电动公交车取代燃油公交车．根据调查发现．购买A型电动公交车2辆、B型电动公交车1辆，共需资金112万元；购买A型电动公交车1辆、B型电动公交车1辆，共需资金76万元．
(1)求A、B两种型号的电动公交车的单价分别是多少万元．
(2)该交通管理局计划出资1128万元，准备购买这两种电动公交车共30辆，其中A型电动公交车的数量不多于20辆，请你设计出最省钱的购买方案
【典例剖析2】
【考点二 一次函数中行程问题】
【典例2-1】某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．
  
(1)求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值，
(2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．
【典例2-2】绿色骑行是一个能够有效改善空气质量、减少温室气体排放，尤其是碳排放量的绿色生活方式，越来越受到市民的青睐. 周末，小夏、小宇两人相约同时从某地出发同向骑行，小夏骑行的速度是，小宇骑行的路程s（）与骑行的时间t（）之间的关系如图所示.

(1)求出s与t之间的函数表达式；
(2)何时小宇追上小夏？
针对训练2
【变式2-1】灞河元朔大桥其设计理念以“千古一舟”为题，象征“舟行古今、跨越时代”的文化内涵，融合西安市花石榴花造型，与奥体中心建筑造型遥相呼应．某天晓玲和小华在元朔大桥上散步，晓玲从大桥上的点A走向点B，同时小华从点B走向点A，晓玲、小华距A点的路程y（米）与行走时间x（分钟）之间的关系如图所示，请结合图象回答下列问题：
  
(1)晓玲从点A走向点B用了______分钟；
(2)求小华距A点的路程y（米）与行走时间x（分钟）之间的关系式；
(3)求晓玲与小华相遇时距点A的路程．
【变式2-2】甲、乙两车分别从相距的大连北站和大连广播电视中心同时匀速相向而行．甲车出发后，由于交通管制，停止了，再出发时速度比原来减少，并安全到达终点．甲、乙两车距大连北站的路程y（单位：）与两车行驶时间x（单位：h）的图象如图所示．
  
(1)填空： ______；
(2)求乙车距大连北站的路程y与两车行驶时间x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
(3)求甲、乙两车相遇时，乙车距大连北站的路程．
【变式2-3】王老师家、公园、学校依次在同一条直线上，她从家出发匀速步行到公园后，停留，然后匀速步行到学校．设王老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：），下图表示y与x之间函数关系的图像．
  
根据图像解答下列问题：
(1)写出题中的变量：_________（写两个）：
(2)①王老师家到学校的距离为________；②王老师从家到公园的速度为_________；
(3)求王老师从公园到学校时，与之间的函数关系式；
(4)直接写出王老师从家出发________距离公园．
【典例剖析3】
【考点三 一次函数中的最值问题】
【典例3-1】某中学开展了关于“构建书香校园”的读书活动，以建设书香校园、和谐校园为目标，引领广大师生“走进五千年文明，品读祖国经典文章”．学校计划采购两类图书，通过市场了解到每套A类图书的价格是每套B类图书价格的1.5倍，用4000元购买的B类图书比用3000元购买的A类图书多20套．
(1)A、B两类图书每套分别是多少元？
(2)现学校计划采购60套图书，且A类图书的数量不低于B类图书数量的一半，该校应该如何采购两类图书才能使得总费用最低，并求出最低费用．
【典例3-2】端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．
(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
(2)该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为w元．
①求w与m的函数关系式，并求出m的取值范围；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
针对训练3
【变式3-1】计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：百元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整数）．

A地
B地
甲厂
7
10
乙厂
10
15
(1)用含x的式子直接填空：甲厂运往B地__________台，乙厂运往A地__________台，乙厂运往B地__________台．
(2)请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？
(3)因客观原因，从甲到A的运输费用每台增加了m百元，从乙到B的运输费用每台减小了2m百元，其它不变，且，请你探究总费用的最小值．
【变式3-2】2023年5月17日上午，第4颗“北斗三号”地球静止轨道卫星由“长征三号乙”遥八十七运载火箭在西昌发射场成功发射，时隔近三年“长三乙”火箭再送“北斗”导航卫星．某航模店看准商机，推出了“长征火箭”和“导航卫星”两款模型．该航模店计划购买两种模型共200个，购进“卫星”模型的数量不超过“火箭”模型数量的2倍．

(1)求购进“卫星”模型至多多少个？
(2)已知每个“卫星”模型的进价为30元/个，“火箭”模型的进价为20元/个，“卫星”模型售价为45元/个，“火箭”模型的售价为30元/个，求售完这批模型可以获得最大利润是多少？
【变式3-3】每年的6、7月份，陕西关中地区的水蜜桃会成为人们非常喜爱的水果，在国家振兴乡村背景下，农民加大了水蜜桃的种植力度，一个种植户种植了“沙红”水蜜桃和“金鱼”水蜜桃共10亩，两种水蜜桃的成本售价如表：
品种
种植成本（万元/亩）
售价（万元/亩）
金鱼
1.8
2.2
沙红
1.2
1.9
设种植“金鱼”水蜜桃x亩，若10亩地全部种植两种水蜜桃共获得利润y万元（利润售价种植成本）．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)若“金鱼”水蜜桃的种植亩数不少于“沙红”水蜜桃种植亩数的2倍，则“金鱼”水蜜桃种植多少亩时利润最大？并求出最大利润．
【典例剖析4】
【考点四 一次函数的其他问题】
【典例4-1】3月12日是一年一度的树枝节，以三月份植树节为契机，厦门某单位组织人员及参加军营村2023年高山云境植树节活动，计划在某区域种3000棵树．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种25%，结果提前2天完成任务．规定在相同区域内种植绿化观赏树和果树的数量之间具有一次函数的关系，若栽种10棵果树，周边则栽种80棵绿化观赏树；若栽种20棵果树，周边则栽种110棵绿化观赏树．
(1)原计划每天种多少棵树？
(2)根据规划设计，在一生态园区一共种植2050棵树，试求出绿化观赏树和果树各应种多少棵．
【典例4-2】如图，实验室有一个长方体水槽，其中被试验台占据的一部分长方体记为，为长方体的上表面，为水槽的底面，在实验前先将水槽内的污水放完，清洗干净后再注满水.已知放水与注水的速度相同，放水时水槽内的水量与放水时间（分钟）的函数关系如图所示，点表示放水4分钟时，水面高度刚好到达面.
  
(1)求的值；
(2)求注水时水槽中的水深与注水时间（分钟）之间的函数解析式.
针对训练4
【变式4-1】年月日至月日，第届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买，两种食材制作小吃．已知购买千克种食材和千克种食材共需元，购买千克种食材和千克种食材共需元．
(1)求，两种食材的单价；
(2)该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买种食材千克数不少于种食材千克数的倍，当，两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
【变式4-2】某快递公司为提高工作效率，计划购买A、B种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台B型机器人每天少搬运10且A型机器人每天搬运540物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台A型机器人售价万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A 、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2820吨，购买金额不超过48 万元．
请根据以上要求，完成如下问题：
①设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式；
②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
【变式4-3】为贯彻落实双减政策，丰富学生课外活动，学校决定购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需550元，购买3个篮球和2个足球共需900元．

购买数量不少于20个
购买数量不少于20个
篮球
不打折
打8折
足球
不打折
打折
(1)求篮球和足球的单价；
(2)为积极响应双减政策，商场近期针对学生购买体育用品进行促销活动．若学校需要购买篮球、足球共40个，且购买足球的数量不多于篮球数量的，如何购买才能使花费最小，最少费用为多少元？

数学八年级下暑假培优专题训练
专题十五、一次函数的应用（解析版）
【考点一 一次函数中方案设计类问题】
【典例1-1】2023年5月11日，长沙市橘子洲头举办了燃放烟花的活动，橘子洲头当天实行全天闭园，长沙市地铁二号线实行全天跳站 ．对此非常有兴趣的数学爱好者小李去市场上调查了解A、B两种不同型号烟花的价格，已知B型号烟花的价格比A种烟花价格每箱贵60元，用3000元购买A型号的烟花和用4800元购买B种型号的烟花的箱数相同 ．
(1)请问A，B两种烟花每箱的价格分别是多少元？
(2)小李的爸爸所在的公司即将要举办周年庆活动，计划购买A，B两种型号的烟花共100箱，要求购买A型号烟花的数量2倍不高于B型号烟花数量的3倍，爸爸问小李：怎样设计购买方案能使总费用最低？总费用最低为多少元？
【答案】(1)A，B两种烟花每箱的价格分别是100元，160元．
(2)A种烟花购买60箱，B种烟花购买40箱时，费用最小，最小费用为12400元
【分析】（1）设A种烟花每箱的价格是x元，则B种烟花每箱的价格是元，根据题意列出分式方程即可，最后检验；
（2）设购买A种烟花m箱，则B种烟花购买箱，总费用为W．由题意列出不等式求解可求得m的取值范围，然后列出W关于m的一次函数式即可求解．
【详解】（1）解：设A种烟花每箱的价格是x元，则B种烟花每箱的价格是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴（元）；
答：A，B两种烟花每箱的价格分别是100元，160元．
（2）解：设购买A种烟花m箱，则B种烟花购买箱，总费用为W．
依题意得：，
解得：，
∴
．
∵，
∴W随m的增大而减小，当m取最大值60时，（元）．
答：A种烟花购买60箱，B种烟花购买40箱时，费用最小，最小费用为12400元 ．
【点睛】本题是函数、方程与不等式的综合，考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用及一元一次不等式的实际应用，理解题意并找到数量关系列出方程、不等式及函数关系式是关键．
【典例1-2】为了能够更好地进行居家电路实验学习，某校八年级（1）班在电商平台上购买小电动机和小灯泡．已知该平台上一个小电动机与一个小灯泡的价格之和是12元，同学们决定用30元购买小灯泡，45元购买小电动机，其中购买的小灯泡数量正好是小电动机数量的2倍．
(1)分别求出每个小灯泡和小电动机的价格；
(2)若八年级（1）班决定购买小灯泡和小电动机共计90个，且满足小灯泡数量不超过小电动机数量的一半，请设计出更省钱的购买方案，并求出总费用的最小值．
【答案】(1)一个小电动机价格为9元，则一个小灯泡的价格为3元
(2)购买30个小灯泡，60个小电动机，总费用最少，且最少费用为630元
【分析】（1）设一个小电动机价格为x元，则一个小灯泡的价格为元，根据30元购买小灯泡，45元购买小电动机，其中购买的小灯泡数量正好是小电动机数量的2倍列出方程，解方程即可；
（2）设购买小灯泡m个，则购买小电动机个，总费用为y元，根据题意列出函数关系式和不等式组，求出m的取值范围，根据一次函数的增减性，求出结果即可．
【详解】（1）解：设一个小电动机价格为x元，则一个小灯泡的价格为元，根据题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的根，且符合题意，
（元），
答：一个小电动机价格为9元，则一个小灯泡的价格为3元；
（2）解：设购买小灯泡m个，则购买小电动机个，总费用为y元，根据题意得：
，
且，
解得：，
∵，
∴随m的增大而减小，
∴当时，总费用y最小，且最小值为：（元），
（个）
答：购买30个小灯泡，60个小电动机，总费用最少，且最少费用为630元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用和一次函数的应用，解题的关键是理解题意，根据题目中的等量关系列出方程和函数关系式．
针对训练1
【变式1-1】某经销商准备购入某品牌的智能电磁炉和配套的平底炖锅，经市场调研，购入2个电磁炉和3个平底炖锅需花费900元，购入3个电磁炉和2个平底炖锅需花费1100元．
(1)求电磁炉和平底炖锅的单价．
(2)“五一”期间，厂家对该品牌的智能电磁炉和配套的平底炖锅实行优惠活动．
方案一：买一个电磁炉送一个平底炖锅；
方案二：所有商品打八折．
经销商准备购入50个智能电磁炉和个配套的平底炖锅进行试销．
①设方案一总费用为元，方案二总费用为元，分别求出，关于x的函数解析式；
②经销商选择哪种方案购买合算？
③若方案一和方案二两种优惠方式可同时使用，请写出最合算的购买方式，并说明理由．
【答案】(1)电磁炉的单价为300元，平底锅的单价为100元；
(2)①，；
②当时，第一种购买方案合算，
当时，两种购买方案同样合算，
当时，第二种购买方案合算；
③先通过方案一购买50个电磁炉，赠送50个平底锅，之后再需要购买的平底锅用方案二来购买，这样最为合算．
【分析】（1）通过已知条件的两个等量关系，列出二元一次方程组，并求解得到结果；
（2）通过给定的条件，列出对应的一次函数，并通过分段讨论，得出不同的范围的选择方案；
（3）两种方案都可选择时，应先选第一种方案买50个电磁炉，这样可以赠送50个平底锅，这样最为合算，之后的平底锅应通过方案二，可以打八折．
【详解】（1）解：设电磁炉的单价为元，平底锅的单价为元，
，
解得：，
故电磁炉的单价为300元，平底锅的单价为100元；
（2）解：①，
，
整理后得：，，
②当时，
则，
解得：，
当时，，
当时，，
故当时，第一种购买方案合算，
当时，两种购买方案同样合算，
当时，第二种购买方案合算；
③若方案一和方案二可以同时使用，
则最优方案为：先通过方案一购买50个电磁炉，赠送50个平底锅，之后再需要购买的平底锅用方案二来购买，这样最为合算，
因为这样就相当于之后购买的平底锅都打了8折，而第一种方案50个之后的平底锅是没有折扣的．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，考查了一次函数的应用，通过分段讨论，得到最优的方案是本题的关键．
【变式1-2】为纪念北京奥运会成功举办，国务院批准从2009年起，每年的8月8日为“全民健身日”．某羽毛球俱乐部为倡导人们积极参加健身运动，普及羽毛球运动，特推出如下活动方案：
方案一：购买一张羽毛球健身的年卡，以后每次再收取10元；
方案二：不购买羽毛球健身卡，每次收取15元．
设李凯每年去俱乐部打羽毛球x次，按照方案一所需费用为（元），且；按照方案二所需费用为（元），且，其函数图像如图所示．
  
(1)请直接写出方案一和方案二的函数表达式，并写出b的实际意义；
(2)2023年王斌给自己制定了一个健身计划，每周去俱乐部打球2次（365天），他选择哪种方案所需费用更少？说明理由．
【答案】(1)，，b的实际意义是一张羽毛球健身的年卡的费用为400元
(2)方案一费用少些，见解析
【分析】（1）把分别代入中，解方程组计算即可；把代入中，解方程计算即可；意义就是年卡的费用．
（2）根据题意，计算两种方案费用相等的次数即解，根据每周去俱乐部打球2次（365天），确定一年打球次数至少为，比较相等的次数，作物判断即可．
【详解】（1）根据题意，得直线经过点，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
b的实际意义是一张羽毛球健身的年卡的费用为400元；
∵直线经过点
∴
解得，
∴直线的解析式为．
（2）根据题意，两种方案费用相等的次数满足方程，
解得，
当时，；
当时，；
∵每周去俱乐部打球2次（365天），
∴一年打球次数至少为，
故，
∴选择方案一费用少些．
【点睛】本题考查了待定系数法确定直线的解析式，一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法，灵活掌握应用的意义是解题的关键．
【变式1-3】党的二十大报告中指出，推动能源清洁低碳高效利用，推进工业、建筑、交通等领域清洁低碳转型，深入推进能源革命．某市交通管理局决定购买一批电动公交车取代燃油公交车．根据调查发现．购买A型电动公交车2辆、B型电动公交车1辆，共需资金112万元；购买A型电动公交车1辆、B型电动公交车1辆，共需资金76万元．
(1)求A、B两种型号的电动公交车的单价分别是多少万元．
(2)该交通管理局计划出资1128万元，准备购买这两种电动公交车共30辆，其中A型电动公交车的数量不多于20辆，请你设计出最省钱的购买方案
【答案】(1)A型电动公交车的单价是36万元，B型电动公交车的单价是40万
(2)最省钱的购买方案为：购买A型电动公交车20辆，B型电动公交车10辆

【分析】（1）设A型电动公交车的单价为x万元，B型电动公交车的单价为y万元．根据购买A型电动公交车2辆、B型电动公交车1辆，共需资金112万元；购买A型电动公交车1辆、B型电动公交车1辆，共需资金76万元，列出方程组进行求解即可；
（2）设购买A型电动公交车m辆，则购买B型电动公交车辆，根据题意列出不等式，求出的取值范围，设购买这两种电动公交车共30辆的总费用为w万元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：设A型电动公交车的单价为x万元，B型电动公交车的单价为y万元．
依题意，得，解得；
答：A型电动公交车的单价是36万元，B型电动公交车的单价是40万元．
（2）设购买A型电动公交车m辆，则购买B型电动公交车辆．
依题意得，解得．
又，
∴．
设购买这两种电动公交车共30辆的总费用为w万元，
依题意，得．
∵，
∴w随m的增大而减小．
∴当时，w取得最小值．此时．
∴最省钱的购买方案为：购买A型电动公交车20辆，B型电动公交车10辆．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程组和一次函数解析式，是解题的关键．
【考点二 一次函数中行程问题】
【典例2-1】某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．
  
(1)求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值，
(2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式，将，代入解析式求出的值即可；
（2）先求出军车的速度，然后分别求出军车到达仓库，和从仓库出发到达基地的时间，用总时间减去两段时间即可得解．
【详解】（1）解：设大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为，由图象可知，直线过点，
∴，解得：，
∴；
当时：，解得：，
∴；
（2）由图象可知，军车的速度为：，
∴军车到达仓库所用时间为：，
从仓库到达基地所用时间为：，
∴部队官兵在仓库领取物资所用的时间为．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用．从函数图象上有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键．
【典例2-2】绿色骑行是一个能够有效改善空气质量、减少温室气体排放，尤其是碳排放量的绿色生活方式，越来越受到市民的青睐. 周末，小夏、小宇两人相约同时从某地出发同向骑行，小夏骑行的速度是，小宇骑行的路程s（）与骑行的时间t（）之间的关系如图所示.

(1)求出s与t之间的函数表达式；
(2)何时小宇追上小夏？
【答案】(1)；
(2)小时后小宇追上小夏．
【分析】（1）根据函数图象，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据小宇的路程等于小夏的路程即可求解．
【详解】（1）解：由函数图象可知，设时，，将代入，
得，则，
当时，设，将，代入得，
，
解得，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知时，小宇骑行的速度为，而小夏的速度为，则小夏在小宇前面，
当时，小宇骑行的速度为，小夏的速度为，
设小时后，小宇追上小夏，
则，
解得，
答：小时后小宇追上小夏．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键
针对训练2
【变式2-1】灞河元朔大桥其设计理念以“千古一舟”为题，象征“舟行古今、跨越时代”的文化内涵，融合西安市花石榴花造型，与奥体中心建筑造型遥相呼应．某天晓玲和小华在元朔大桥上散步，晓玲从大桥上的点A走向点B，同时小华从点B走向点A，晓玲、小华距A点的路程y（米）与行走时间x（分钟）之间的关系如图所示，请结合图象回答下列问题：
  
(1)晓玲从点A走向点B用了______分钟；
(2)求小华距A点的路程y（米）与行走时间x（分钟）之间的关系式；
(3)求晓玲与小华相遇时距点A的路程．
【答案】(1)8
(2)
(3)360米
【分析】（1）根据题意，晓玲从大桥上的点A走向点B，故晓玲距A点的路程越来越大，故直线表示的是晓玲距A点的路程y（米）与行走时间x（分钟）之间的关系，即可得到；
（2）根据题意，直线表示的是小华距A点的路程y（米）与行走时间x（分钟）之间的关系,设函数解析式为，代入，，即可求得；
（3）根据题意，设直线的解析式为，代入，即可求得直线的解析式，根据题意求直线与直线的交点即可．
【详解】（1）根据题意，晓玲从大桥上的点A走向点B，故晓玲随着时间的增大距A点的路程也增大，故直线表示的是晓玲距A点的路程y（米）与行走时间x（分钟）之间的关系，由图可知，时，晓玲走到了点B的位置．
（2）根据题意，直线表示的是小华距A点的路程y（米）与行走时间x（分钟）之间的关系
故设直线解析式为
代入，，
得
解得，
解析式为．
（3）设直线解析式为
代入，
得
解得，
解析式为且．
当晓玲与小华相遇时，即直线与直线的交点位置
故
解得
故晓玲与小华相遇时，距点A的路程为360米．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，从函数图像获得信息，求一次函数解析式等，解题的关键是根据图像获得信息，进行代入求函数解析式．
【变式2-2】甲、乙两车分别从相距的大连北站和大连广播电视中心同时匀速相向而行．甲车出发后，由于交通管制，停止了，再出发时速度比原来减少，并安全到达终点．甲、乙两车距大连北站的路程y（单位：）与两车行驶时间x（单位：h）的图象如图所示．
  
(1)填空： ______；
(2)求乙车距大连北站的路程y与两车行驶时间x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
(3)求甲、乙两车相遇时，乙车距大连北站的路程．
【答案】(1)
(2)，自变量的取值范围为
(3)甲、乙两车相遇时，乙车距大连北站
【分析】（1）根据题意可得从到a之间，甲车停车两分钟，即可进行解答；
（2）由图可知，乙车距大连北站的路程y与两车行驶时间x的函数图象经过，用待定系数法求解即可；
（3）先求出甲车停车前的速度，再根据甲乙两车相遇时，距离大连北站路程相等，列出方程求出相遇时间，即可求解．
【详解】（1）解：，
∴，
故答案为：．
（2）解：设乙车距大连北站的路程y与两车行驶时间x的函数解析式为，
将代入得：
，解得：，
∴乙车距大连北站的路程y与两车行驶时间x的函数解析式为，由图知，自变量的取值范围为：；
（3）解：甲车停车之前的速度为，则停车之后的速度为 ，
，
解得：，
∴甲车停车前速度为，
设经过x小时两车相遇，
，
解得：，
把代入得：，
答：甲、乙两车相遇时，乙车距大连北站．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，能够从函数图象获取需要数据．
【变式2-3】王老师家、公园、学校依次在同一条直线上，她从家出发匀速步行到公园后，停留，然后匀速步行到学校．设王老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：），下图表示y与x之间函数关系的图像．
  
根据图像解答下列问题：
(1)写出题中的变量：_________（写两个）：
(2)①王老师家到学校的距离为________；②王老师从家到公园的速度为_________；
(3)求王老师从公园到学校时，与之间的函数关系式；
(4)直接写出王老师从家出发________距离公园．
【答案】(1)王老师离公园的距离为，所用时间为
(2)①1000；②50
(3)
(4)4.8或13.6
【分析】（1）写出题中两个变量即可；
（2）①用家到公园的距离加家到学校的距离即可得出答案；
②用家到公园的距离除以所用时间即可得出答案；
（3）用待定系数法求出函数解析式即可；
（4）分两种情况讨论，从家去公园时，离开公园时，分别求出时间即可．
【详解】（1）解：题中两个变量为：王老师离公园的距离为，所用时间为；
故答案为：王老师离公园的距离为，所用时间为；
（2）解：①王老师家到学校的距离为；
②王老师从家到公园的速度为；
故答案为：①1000；②50．
（3）解：设王老师从公园到学校时，与之间的函数关系式为：，
∵，
∴把，代入得：
，
解得：，
∴与之间的函数关系式为：．
（4）解：当王老师从家去公园时，
，
即当王老师从家出发距离公园；
当王老师从公园去学校时，
把代入得：
，
解得：，
即当王老师从家出发距离公园；
综上分析可知，当王老师从家出发或距离公园；
故答案为：4.8或13.6．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法．
【考点三 一次函数中的最值问题】
【典例3-1】某中学开展了关于“构建书香校园”的读书活动，以建设书香校园、和谐校园为目标，引领广大师生“走进五千年文明，品读祖国经典文章”．学校计划采购两类图书，通过市场了解到每套A类图书的价格是每套B类图书价格的1.5倍，用4000元购买的B类图书比用3000元购买的A类图书多20套．
(1)A、B两类图书每套分别是多少元？
(2)现学校计划采购60套图书，且A类图书的数量不低于B类图书数量的一半，该校应该如何采购两类图书才能使得总费用最低，并求出最低费用．
【答案】(1)A类图书每套150元，B类图书每套100元
(2)学校购买A类图书20套，B类图书40套时，总费用最低，最低费用为7000元
【分析】（1）设种图书每套元，则A种图书每套元，根据用元购买的种图书比用元购买的A种图书多套列出方程，解方程即可，注意验根；
（2）设学校购买A种图书m套，则购买种图书套，购买图书的总费用为w元，根据总费用两种图书费用之和列出函数解析式，再根据A种图书数量不低于种图书数量的一半求出m的取值范围，由函数的性质求最值．
【详解】（1）解：设B类图书每套x元，则A类图书每套元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是分式方程的根，
∴，
∴A类图书每套150元，B类图书每套100元；
（2）解：设学校购买A类图书m套，购买图书的总费用为w元，
由题意得：，
∵，解得：，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=20时，，
答：学校购买A类图书20套，B类图书40套时，总费用最低，最低费用为7000元
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，关键是找到数量关系列出函数解析式或方程和不等式．
【典例3-2】端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．
(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
(2)该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为w元．
①求w与m的函数关系式，并求出m的取值范围；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】(1)甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元；
(2)①w与m的函数关系式为；②购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为466元．
【分析】（1）设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为元，根据“用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同”列出分式方程，解方程即可；
（2）①设购进甲粽子m个，则乙粽子个，，由题意得，再由甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，得；
②由一次函数的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
则，
答：甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元；
（2）解：①设购进甲粽子m个，则乙粽子个，利润为w元，
由题意得：，
∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，
∴，
解得：，
∴w与m的函数关系式为；
②∵，则w随m的增大而减小，，即m的最小整数为134，
∴当时，w最大，最大值，
则，
答：购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为466元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
针对训练3
【变式3-1】计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：百元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整数）．

A地
B地
甲厂
7
10
乙厂
10
15
(1)用含x的式子直接填空：甲厂运往B地__________台，乙厂运往A地__________台，乙厂运往B地__________台．
(2)请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？
(3)因客观原因，从甲到A的运输费用每台增加了m百元，从乙到B的运输费用每台减小了2m百元，其它不变，且，请你探究总费用的最小值．
【答案】(1)，，
(2)当甲厂运往A地30台，B地30台，乙厂将40台都运往A地时，费用最低，最低费用为9万1千元
(3)见解析
【分析】（1）根据题目中的数量关系填空即可；
（2）根据（1）列出运输总费用函数关系式，再确定自变量的取值范围，利用一次函数增减性求解即可；
（3）列出总费用函数关系式，对m的值进行分类讨论，利用一次函数增减性求解即可．
【详解】（1）解：从甲厂运往A地的有x台设备，则甲厂运往B地台；乙厂运往A地台；乙厂运往B地台；
故答案为：，，
（2）解：设运输费为y百元，依题意得

，
∵，
∴y随x的增大而增大，当x最小时，y最小，
；；
∴．
∴当时，y有最小值910．
∴当甲厂运往A地30台，B地30台，乙厂将40台都运往A地时，费用最低，最低费用为9万1千元．
（3）解：
．
当时，无论怎么安排，运费都是9万7千元；
当时，，y随x的增加而增加，当时，运费最低（百元）；
当时，，y随x增加而减小，当时，运费最低=9万7千元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列出函数关系式，掌握并能运用一次函数的性质．
【变式3-2】2023年5月17日上午，第4颗“北斗三号”地球静止轨道卫星由“长征三号乙”遥八十七运载火箭在西昌发射场成功发射，时隔近三年“长三乙”火箭再送“北斗”导航卫星．某航模店看准商机，推出了“长征火箭”和“导航卫星”两款模型．该航模店计划购买两种模型共200个，购进“卫星”模型的数量不超过“火箭”模型数量的2倍．

(1)求购进“卫星”模型至多多少个？
(2)已知每个“卫星”模型的进价为30元/个，“火箭”模型的进价为20元/个，“卫星”模型售价为45元/个，“火箭”模型的售价为30元/个，求售完这批模型可以获得最大利润是多少？
【答案】(1)购进“卫星”模型至多133个
(2)2665元
【分析】（1）设购进“卫星”模型x个，则购“火箭”模型个，根据购进“卫星”模型的数量不超过“火箭”模型数量的2倍．列不等式为，求解即可；
（2）设售完这批模型可以获得的利润y元，根据题意得，再根据一次函数的增减性质和，且x为整数，求出y的最大值即可．
【详解】（1）解：设购进“卫星”模型x个，则购“火箭”模型个，根据题意，得

解得：，
∵x为整数，
∴x最大为133，
答：购进“卫星”模型至多133个．
（2）解：设售完这批模型可以获得的利润y元，根据题意，得
，
∵，
∴y随x的增大而增大，
∵，且x为整数，
∴当时，，
答：售完这批模型可以获得最大利润是2665元．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，一次函数的应用．理解题意，列出不等式和列出一欠函数解析式是解题的关键．
【变式3-3】每年的6、7月份，陕西关中地区的水蜜桃会成为人们非常喜爱的水果，在国家振兴乡村背景下，农民加大了水蜜桃的种植力度，一个种植户种植了“沙红”水蜜桃和“金鱼”水蜜桃共10亩，两种水蜜桃的成本售价如表：
品种
种植成本（万元/亩）
售价（万元/亩）
金鱼
1.8
2.2
沙红
1.2
1.9
设种植“金鱼”水蜜桃x亩，若10亩地全部种植两种水蜜桃共获得利润y万元（利润售价种植成本）．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)若“金鱼”水蜜桃的种植亩数不少于“沙红”水蜜桃种植亩数的2倍，则“金鱼”水蜜桃种植多少亩时利润最大？并求出最大利润．
【答案】(1)
(2)“金鱼”水蜜桃种植亩时利润最大，最大利润为5万元．
【分析】（1）设种植“金鱼”水蜜桃x亩，则种植“沙红”水蜜桃亩，根据题意写出y与x之间的函数表达式即可；
（2）首先根据 题意列出不等式求出，然后根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）设种植“金鱼”水蜜桃x亩，则种植“沙红”水蜜桃亩，
∴总利润；
（2）由题意得，，
解得，
∵，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y有最大值（万元）．
∴“金鱼”水蜜桃种植亩时利润最大，最大利润为5万元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
【考点四 一次函数的其他问题】
【典例4-1】3月12日是一年一度的树枝节，以三月份植树节为契机，厦门某单位组织人员及参加军营村2023年高山云境植树节活动，计划在某区域种3000棵树．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种25%，结果提前2天完成任务．规定在相同区域内种植绿化观赏树和果树的数量之间具有一次函数的关系，若栽种10棵果树，周边则栽种80棵绿化观赏树；若栽种20棵果树，周边则栽种110棵绿化观赏树．
(1)原计划每天种多少棵树？
(2)根据规划设计，在一生态园区一共种植2050棵树，试求出绿化观赏树和果树各应种多少棵．
【答案】(1)原计划每天种300棵树
(2)绿化观赏树应种1550棵，果树应种500棵
【分析】（1）设原计划每天种棵，实际每天种棵，列出分式方程求解即可得到答案；
（2）根据题意，由待定系数法确定函数关系式，设与之间的函数关系式为，列方程组求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设原计划每天种棵，实际每天种棵，
由题意得， 解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
答：原计划每天种300棵树；
（2）解：设与之间的函数关系式为，
由题意得，解得，
∴与之间的函数关系式为．
∵总种植2050棵，故，解得，
（棵），
答：绿化观赏树应种1550棵，果树应种500棵．
【点睛】本题考查分式方程及一次函数的实际应用，读懂题意，准确列出方程、求出函数表达式是解决问题的关键．
【典例4-2】如图，实验室有一个长方体水槽，其中被试验台占据的一部分长方体记为，为长方体的上表面，为水槽的底面，在实验前先将水槽内的污水放完，清洗干净后再注满水.已知放水与注水的速度相同，放水时水槽内的水量与放水时间（分钟）的函数关系如图所示，点表示放水4分钟时，水面高度刚好到达面.
  
(1)求的值；
(2)求注水时水槽中的水深与注水时间（分钟）之间的函数解析式.
【答案】(1)
(2)当时，；当时，
【分析】（1）利用待定系数法求出放水时V与x的函数关系式，进而即可求解；
（2）由于放水与注水的速度相同，故从开始注水到水面高度刚好到达面，需要分钟，从面到注满需要4分钟；然后分两种情况，根据高度d=注水的体积除以底面积解答即可.
【详解】（1）设放水时V与x的函数关系式为，把代入，得
，解得，
∴放水时V与x的函数关系式为，
当时，，解得，
即；
（2）∵放水与注水的速度相同，
∴从开始注水到水面高度刚好到达面，需要分钟，从面到注满需要4分钟；
∴当时，；
当时，.
【点睛】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意、求出函数关系式是解题的关键.
针对训练4
【变式4-1】年月日至月日，第届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买，两种食材制作小吃．已知购买千克种食材和千克种食材共需元，购买千克种食材和千克种食材共需元．
(1)求，两种食材的单价；
(2)该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买种食材千克数不少于种食材千克数的倍，当，两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
【答案】(1)种食材单价是每千克元，种食材单价是每千克元
(2)种食材购买千克，种食材购买千克时，总费用最少，为
【分析】（1）设种食材的单价为元，种食材的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设种食材购买千克，则种食材购买千克，根据题意列出不等式，得出，进而设总费用为元，根据题意，，根据一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设种食材的单价为元，种食材的单价为元，根据题意得，
，
解得：，
答：种食材的单价为元，种食材的单价为元；
（2）解：设种食材购买千克，则种食材购买千克，根据题意，

解得：，
设总费用为元，根据题意，
∵，随的增大而增大，
∴当时，最小，
∴最少总费用为（元）
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键．
【变式4-2】某快递公司为提高工作效率，计划购买A、B种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台B型机器人每天少搬运10且A型机器人每天搬运540物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台A型机器人售价万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A 、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2820吨，购买金额不超过48 万元．
请根据以上要求，完成如下问题：
①设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式；
②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
【答案】(1)每台A型机器人每天搬运货物90吨，则每台B型机器人每天搬运货物100吨；
(2)①；②购买A型机器人18台，B型机器人12台时，购买总金额最低是万元．
【分析】
（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物吨，然后根据A型机器人每天搬运540物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同列出方程求解即可；
（2）①设购买A型机器人m台，则购买B型机器人台，然后根据每台A型机器人售价万元，每台B型机器人售价2万元，列出w关于m的关系式即可；②先根据购买资金不超过48万元，每天搬运的货物不低于2820吨求出m的取值范围，再根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）
解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物吨，
由题意得：，             
解得：，                         
检验：当时，，
∴是分式方程的根，            
∴，
答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，则每台B型机器人每天搬运货物100吨；
（2）
解：①由题意得：；
②由题意得：
解得：，                    
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w最小，此时，
∴购买A型机器人18台，B型机器人12台时，购买总金额最低是万元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出对应的方程，函数关系式和不等式组是解题的关键
【变式4-3】为贯彻落实双减政策，丰富学生课外活动，学校决定购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需550元，购买3个篮球和2个足球共需900元．

购买数量不少于20个
购买数量不少于20个
篮球
不打折
打8折
足球
不打折
打折
(1)求篮球和足球的单价；
(2)为积极响应双减政策，商场近期针对学生购买体育用品进行促销活动．若学校需要购买篮球、足球共40个，且购买足球的数量不多于篮球数量的，如何购买才能使花费最小，最少费用为多少元？
【答案】(1)篮球单价为200元，足球单价为150元
(2)购买30个篮球，10个足球，6300元
【分析】（1）根据购买2个篮球和1个足球共需550元，购买3个篮球和2个足球共需900元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
（2）根据（1）中的结果和表格中的数据，可以写出费用与购买篮球数量的函数关系式，根据购买足球的数量不多于篮球数量的，可以得到篮球数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到如何购买才能使花费最少，最少费用为多少元．
【详解】（1）解：设篮球的单价为元，足球的单价为元，
，
解得，
答：篮球的单价为200元，足球的单价为150元；
（2）设购买篮球个，则购买足球个，费用为元，
购买足球的数量不多于篮球数量的，
，
解得，
，
随的增大而增大，
，
当时，取得最小值，此时，，
答：购买篮球30个足球10个时，才能使花费最少，最少费用为6300元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程和不等式，利用一次函数的性质求最值．