数学八年级下暑假培优专题训练（12）

这是一份数学八年级下暑假培优专题训练（12），共39页。试卷主要包含了函数及其图像等内容，欢迎下载使用。
数学八年级下暑假培优专题训练
专题十二、函数及其图像
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目录
【考点一 函数的概念】..........................................1
【考点二 函数的表示】..........................................3
【考点三 函数自变量取值范围】...................................5
【考点四 描点法画函数图像】.....................................6
【考点五 函数图像的识别】.......................................10
【聚焦考点1】
变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
【典例剖析1】
【考点一 函数的概念】
【典例1-1】下列说法错误的是（    ）
A．与的平方和为10，则是的函数
B．直角三角形中一个锐角的度数为时另一个锐角的度数为，则是的函数
C．某种笔记本的单价为2元，购买这种笔记本本的总价为元，则是的函数
D．长方形的周长为，它的一边长为时面积为，则是的函数
【典例1-2】观察下列4个表格，能表示为y是x的函数的是（      ）
A．
x
2
2
2
2
2
2
…
y
-1
0
1
2
3
4
…

B．
x
10　　
20
30
40
50
60
…
y
-10
-10
-10
-10
-10
-10
…

C．
x
1
2
3
2
1
0
…
y
1
1
2
2
3
3
…

D．
x
10
10
20
20
30
30
…
y
10
20
30
40
50
60
…
针对训练1
【变式1-1】指出下列变化过程中，哪个变量随着另一个变量的变化而变化？
（1）一辆汽车以的速度匀速行驶，行驶的路程与行驶时间．
（2）圆的半径和圆面积满足：．
（3）银行的存款利率与存期．
【变式1-2】如图所示，某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为d，截面半径r（d，r为常量），油面高度为h，油面宽度为w，油量为v（h，w，v为变量），则下面四个结论中，①w是v的是函数；②v是w的函数；③h是w的函数；④w是h的函数，所有正确结论的序号是____．

【聚焦考点2】
函数的表示：
（1）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．如：，．
（2）列表法：通过列表表示函数的方法．
（3）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．
【典例剖析2】
【考点二 函数的表示】
【典例2-1】今年5月1日，我市某商场停车场的停车量为2000辆次，其中两轮电动车平均停车费为每辆1元一次，小汽车平均停车费为每辆5元一次，若两轮电动车停车辆数为x辆次，停车的总收入为y元，则y与x的关系式为（    ）
A． B． C． D．
【典例2-2】弹簧挂上物体后伸长，已知一弹簧的长度（）与所挂物体的质量（）之间的关系如下表：下列说法错误的是（    ）
物体的质量（）
0
1
2
3
4
5
弹簧的长度（）
10

15

20

A．在没挂物体时，弹簧的长度为
B．弹簧的长度随物体的质量的变化而变化，物体的质量是因变量，弹簧的长度是自变量
C．在弹簧能承受的范围内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增加
D．在弹簧能承受的范围内，当物体的质量为时，弹簧的长度为
【典例2-3】如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（   ）
A． B． C． D．
针对训练2
【变式2-1】下表是我国从1949年到1999年的人口统计数据（精确到0.01亿）从表中获取的的信息错误的是（    ）
时间（年）
1949
1959
1969
1979
1989
1999
人口（亿）
5.42
6.72
8.07
9.75
11.07
12.59

A．人口随时间的变化而变化，时间是自变量，人口是因变量
B．1969～1979年10年间人口增长最快
C．若按1949～1999这50年的增长平均值预测，我国2009年人口总数为14亿
D．从1949～1999这50年人口增长的速度逐渐加大
【变式2-2】下面的三个问题中都有两个变量：
①某地手机通话费为元/min，某人手机话费卡中共有元，此后话费卡中的余额与手机通话的时间；
②将水池中的水匀速排出，直至排完，水池中的剩余水量与排水时间；
③用长度一定的绳子围成一个等腰三角形，等腰三角形的面积与腰长，其中，变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图像表示的是（     ）
  
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【变式2-3】某超市基于对市场行情的调查，了解到端午节甲乙两种品牌的粽子销路比较好，通过两次订货购进情况分析发现，买40箱甲品牌粽子和15箱乙品牌粽子花去2000元，买20箱甲品牌粽子和30箱乙品牌粽子花去1900元．
(1)请求出购进这两种品牌粽子每箱的价格分别是多少元？
(2)该超市在端午节期间共购进了这两种品牌粽子200箱，甲品牌粽子每箱以40元价格出售，乙品牌粽子每箱以50元的价格出售，获得的利润为元．设购进的甲品牌粽子箱数为箱，求关于的函数关系式
【变式2-4】古希腊科学家阿基米德曾说“给我一个支点，我可以撬动地球”．后来人们把阿基米德的发现“若杠杆上的两物体与支点的距离与其质量成反比例则杠杆平衡”归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别为和．则动力F随动力臂L的变化的函数关系式为________．
【聚焦考点3】
很多函数中，自变量由于受到很多条件的限制，有自己的取值范围，例如中，自变量受到开平方运算的限制，有即；
当汽车行进的速度为每小时公里时，它行进的路程与时间的关系式为；这里的实际意义影响的取值范围应该为非负数，即．
在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面：
（1）整式型：一切实数
（2）根式型：当根指数为偶数时，被开方数为非负数．
（3）分式型：分母不为．
（4）复合型：不等式组
（5）应用型：实际有意义即可
【典例剖析3】
【考点三 函数自变量取值范围】
【典例3-1】函数的自变量x的取值范围是___________．
【典例3-2】汽车开始行驶时，油箱中有油升，如果每小时耗油升，那么油箱中的剩余油量（升）和工作时间（时）之间的函数关系式是__________，的取值范围是__________．
【典例3-3】在函数中，自变量的取值范围是______．
针对训练3
【变式3-1】已知点及在第一象限的动点，且，设的面积为．
(1)求关于的函数关系式：
(2)求的取值范围．
【变式3-2】如图，等腰三角形的周长为，底边长为y（），腰长为x（）．

(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)求x的取值范围；
(3)腰长时，底边的长．
【变式3-3】某健身房训练的费用为20元/次，为回馈客户，现推出如下活动方案，方案一：购买一张会员卡，卡费为40元，每次训练费用按六折优惠；方案二：不购买会员卡，每次训练费用按八折优惠．设某客户健身训练x（次），按照方案一所需费用为（元）；按照方案二所需费用为（元）．
(1)请分别写出，与x之间的关系式；
(2)小李计划前往该健身房训练5到20次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由
【聚焦考点4】
描点法画函数图象的步骤：（1）列表； （2）描点； （3）连线．
【典例剖析4】
【考点四 描点法画函数图像】
【典例4-1】某数学兴趣小组探究函数的图象与性质．
  
下面是小明的探究过程，请补充完整；
(1)函数的自变量x的取值范围是______；
(2)下表是y与x的几组对应值．



－1
0
1
2
3
4
…

0


0
2



…
直接写出的值是______；的值是______；
(3)如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，然后画出该函数的图象；
(4)结合函数的图象，写出该函数的性质（一条即可）______；
(5)过点作轴的垂线，请根据函数的图象探究：
①当函数的图象与直线没有交点时，的取值范围是______；
②当函数的图象与直线有一个交点时，的取值范围是______；
③当函数的图象与直线有两个交点时，的取值范围是______；
④当函数的图象与直线有三个交点时，的取值范围是______．
【典例4-2】探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图象并探究该函数的性质．
(1)绘制函数图象
①列表：下表是x与y的几组对应值，其中 ；
x
…




0

1
2
3
…
y
…
1

2
3
4
3
m

1
…
②描点：根据表中的数值描点，补充描出点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象．

(2)探究函数性质
写出函数的一条性质： ．
(3)运用函数图象及性质
①观察你所画的函数图象，回答问题：若点，为该函数图象上不同的两点，则 ；
②根据函数图象，写出不等式的解集是 ．
【典例4-3】如图，在中，，为边上一动点，，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（），B，N两点间的距离为ycm（当M点和B点重合时，B，N两点间的距离为0）．

小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整．
(1)列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到的y与x的几组对应值：
x/cm
0
0.5
1
1.5
1.8
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
y/cm
4
3.96
3.79
3.47
a
2.99
2.40
1.79
1.23
0.74
0.33
0
请你通过计算，补全表格： ；
(2)描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出y关于x的函数图象；
(3)探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势： ．
针对训练4
【变式4-1】数学活动课上，老师提出一个探究问题：
制作一个体积为，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过3dm，且不考虑接缝）．

某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．
下面是他们的探究过程，请补充完整：
(1)设长方体包装盒的底面边长为，表面积为．
可以用含的代数式表示长方体的高为．
根据长方体的表面积公式：长方体表面积．
得到与的关系式：___________________（）；
(2)列出与的几组对应值：

…
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0

…
80.5
42.0
31.2

28.5
31.3
（说明：表格中相关数值精确到十分位）
表中_____________．
(3)在下面的平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象：

(4)结合画出的函数图象，解决问题：
长方体包装盒的底面边长约为_________dm时，需要的材料最省；当长方体包装盒表面积为时，底面边长约为____________dm．
【变式4-2】如图1，在正方形中，，动点P从点A出发，沿A→B→C→D运动，当点P运动到点D时停止运动，连接、，记点P运动的路程为x，的面积为y．

(1)分别写出y与x之间的关系式，注明自变量x的取值范围，并在图2所示的平面直角坐标系中画出这个给函数的图像；
(2)观察函数图像，写出该函数的一条性质；
(3)结合所画图像直接写出当时，x的取值范围．
【聚焦考点5】
函数图象：函数的图象是由平面直角坐标系中的一系列点组成的．
函数图像的位置决定两个函数的大小关系：
（1）图像在图像的上方
（2）图像在图像的下方





【典例剖析5】
【考点五 函数图像的识别】
【典例5-1】水池中原有升水，现每分钟向池内注升，则水池内水量（升）与注水时间（分）之间关系的图象大致为（    ）
A．  B．  C．  D．  
【典例5-2】油箱中装有油的汽车开始行驶，如果每小时耗油，那么油箱中含油量与行驶时间之间的函数关系用图象表示为（　　）
A．   B．    
C．       D．    
【典例5-3】将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致是（    ）

A． B．
C． D．
针对训练5
【变式5-1】下面四个问题中的两个变量：
①去超市购买同一种水果，所付出的总价与数量；
②汽车从A地匀速行驶到地，离地的距离与时间；
③面积为定值的长方形，长与宽；
④一根蜡烛匀速燃烧，剩余长度与时间．
每个问题中因变量与自变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（    ）

A．①② B．②④ C．①②③ D．①③④



数学八年级下暑假培优专题训练
专题十二、函数及其图像（解析版）
【考点一 函数的概念】
【典例1-1】下列说法错误的是（    ）
A．与的平方和为10，则是的函数
B．直角三角形中一个锐角的度数为时另一个锐角的度数为，则是的函数
C．某种笔记本的单价为2元，购买这种笔记本本的总价为元，则是的函数
D．长方形的周长为，它的一边长为时面积为，则是的函数
【答案】A
【分析】根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，判断即可．
【详解】解：A、与的平方和为10，其中x值确定，y值不唯一确定，则不是的函数，故错误，符合题意；
B、直角三角形中一个锐角的度数为时另一个锐角的度数为，符合函数的定义，则是的函数，故正确，不合题意；
C、某种笔记本的单价为2元，购买这种笔记本本的总价为元，符合函数的定义，则是的函数，故正确，不合题意；
D、长方形的周长为，它的一边长为时面积为，符合函数的定义，则是的函数，故正确，不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查函数的概念，关键是理清每个选项中的数量关系，才能准确判断是否为函数．
【典例1-2】观察下列4个表格，能表示为y是x的函数的是（      ）
A．
x
2
2
2
2
2
2
…
y
-1
0
1
2
3
4
…

B．
x
10　　
20
30
40
50
60
…
y
-10
-10
-10
-10
-10
-10
…

C．
x
1
2
3
2
1
0
…
y
1
1
2
2
3
3
…

D．
x
10
10
20
20
30
30
…
y
10
20
30
40
50
60
…
【答案】B
【分析】对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，根据函数的概念即可求出答案．
【详解】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，
选项A、C、D都不符合“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”，
故A、C、D都不符合题意；
选项B符合“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了函数的概念．熟练掌握函数的定义是解题的关键．注意：对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应．
针对训练1
【变式1-1】指出下列变化过程中，哪个变量随着另一个变量的变化而变化？
（1）一辆汽车以的速度匀速行驶，行驶的路程与行驶时间．
（2）圆的半径和圆面积满足：．
（3）银行的存款利率与存期．
【答案】见解析
【分析】根据函数的概念，因变量随着自变量的变化而变化，据此逐一判断可得．
【详解】解：（1），随着的变化而变化；
（2）圆的半径和圆面积关系式，其中随着的变化而变化；
（3）银行的存款利率随着存期的变化而变化．
【点睛】本题主要考查函数的定义，理解和掌握函数的定义是解题的关键．
【变式1-2】如图所示，某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为d，截面半径r（d，r为常量），油面高度为h，油面宽度为w，油量为v（h，w，v为变量），则下面四个结论中，①w是v的是函数；②v是w的函数；③h是w的函数；④w是h的函数，所有正确结论的序号是____．

【答案】①④/④①
【分析】直接利用变量间的关系，结合函数的定义判断①②③④的结论.
【详解】解：根据圆柱的体积公式的实际应用，
油面高度为h，会影响油面的宽度w，从而影响油量v，
对于①，w是v的函数；由于v确定，故h确定，w就确定，故①正确；
对于②，v是w的函数，由于w确定，h有两个（上下对称），所以v有两个，故与函数的定义相矛盾，不是函数，故②错误；
对于③，h是w的函数，同②，w确定，所以有两个h（上下对称）故与函数的定义相矛盾，不是函数，故③错误；
对于④，w是h的函数，h确定，则w确定，故④正确．
故①④正确．
故答案为：①④．
【点睛】本题考查的知识要点：函数的定义的理解，实际问题中的函数关系，主要考查学生对基础定义的理解和应用，属于基础题．
【考点二 函数的表示】
【典例2-1】今年5月1日，我市某商场停车场的停车量为2000辆次，其中两轮电动车平均停车费为每辆1元一次，小汽车平均停车费为每辆5元一次，若两轮电动车停车辆数为x辆次，停车的总收入为y元，则y与x的关系式为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得：总收入为y元=两轮电动车停车费+小汽车停车费，据此写出题目中的函数解关系式，从而可以解答本题．
【详解】解∶根据题意，得．
故选∶A．
【点睛】本题考查函数关系式，解答本题的关键是明确题意，写出题目中的函数关系式
【典例2-2】弹簧挂上物体后伸长，已知一弹簧的长度（）与所挂物体的质量（）之间的关系如下表：下列说法错误的是（    ）
物体的质量（）
0
1
2
3
4
5
弹簧的长度（）
10

15

20

A．在没挂物体时，弹簧的长度为
B．弹簧的长度随物体的质量的变化而变化，物体的质量是因变量，弹簧的长度是自变量
C．在弹簧能承受的范围内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增加
D．在弹簧能承受的范围内，当物体的质量为时，弹簧的长度为
【答案】B
【分析】根据表格得出函数的相关性质即可．
【详解】解：A．在没挂物体时，弹簧的长度为，根据图表，当质量时，，故此选项正确，不符合题意；
B、反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系，所挂物体的质量是自变量；弹簧的长度是因变量，故此选项错误，符合题意；
C．在弹簧能承受的范围内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增加，故此选项正确，不符合题意；
D、由C中，，解得，在弹簧的弹性范围内，故此选项正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】题目主要考查函数的基本知识点，根据表格得出相关信息是解题关键
【典例2-3】如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（   ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】因为蓄水池的底面小，上面大，这个蓄水池以固定的流量注水，所以水的深度变化是先快后慢，据此即可得到答案．
【详解】解：A、表示水的深度变化匀速上升后静止不动，不符合题意，选项错误；
B、表示水的深度变化匀速上升，不符合题意，选项错误；
C、表示水的深度变化先快后慢，符合题意，选项正确；
D、表达水的深度变化先慢后快，不符合题意，选项错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了图象表示变量关系，能够根据题中所给的信息，分析出水的深度变化是先快后慢是解题关键
针对训练2
【变式2-1】下表是我国从1949年到1999年的人口统计数据（精确到0.01亿）从表中获取的的信息错误的是（    ）
时间（年）
1949
1959
1969
1979
1989
1999
人口（亿）
5.42
6.72
8.07
9.75
11.07
12.59

A．人口随时间的变化而变化，时间是自变量，人口是因变量
B．1969～1979年10年间人口增长最快
C．若按1949～1999这50年的增长平均值预测，我国2009年人口总数为14亿
D．从1949～1999这50年人口增长的速度逐渐加大
【答案】D
【分析】根据表格中数据逐项分析，按照选项分别计算增长率每隔10年的增长情况及增长率，判断正误即可．
【详解】选项A中，人口随时间变化，所以时间是自变量，人口是因变量，正确；
选项B中，计算每隔10年人口情况如下：
增长人口（亿）
1949-1959
1959-1969
1969-1979
1979-1989
1989-1999
1.3
1.35
1.68
1.32
1.52
1969～1979年10年间人口增长1.68亿，是最快的，正确；
选项C中，50年的增长平均值为每10年增加人口亿，
预测2009年人口总数：亿，正确；
选项D中，计算每隔10年人口增长率如下，
人口10年增长率
1949-1959
1959-1969
1969-1979
1979-1989
1989-1999
23.99%
20.09%
20.82%
13.54%
13.73%
从1949～1999这50年人口增长的速度逐渐减小，错误；
故选D．
【点睛】本题函数中的变量、数据处理，计算较为繁琐，需要耐心细致的按照选项要求计算，最终判断结果．
【变式2-2】下面的三个问题中都有两个变量：
①某地手机通话费为元/min，某人手机话费卡中共有元，此后话费卡中的余额与手机通话的时间；
②将水池中的水匀速排出，直至排完，水池中的剩余水量与排水时间；
③用长度一定的绳子围成一个等腰三角形，等腰三角形的面积与腰长，其中，变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图像表示的是（     ）
  
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】由图像可知：当最大时，为0，当最大时，为零，即随的增大而减小，再结合题意即可判定．
【详解】解：①话费卡中的余额随手机通话时间的增大而减小，故①可以利用该图像表示；
②将水池中的水匀速排出，直至排完，水池中的剩余水量随排水时间的增大而减小，故②可以利用该图像表示；
③设绳子的长为，腰长，则另一边长为，
则等腰三角形的面积为：，
故③不可以利用该图像表示．
故可以利用该图像表示的有：①②．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了函数图像与函数的关系，采用数形结合的思想是解决本题的关键．
【变式2-3】某超市基于对市场行情的调查，了解到端午节甲乙两种品牌的粽子销路比较好，通过两次订货购进情况分析发现，买40箱甲品牌粽子和15箱乙品牌粽子花去2000元，买20箱甲品牌粽子和30箱乙品牌粽子花去1900元．
(1)请求出购进这两种品牌粽子每箱的价格分别是多少元？
(2)该超市在端午节期间共购进了这两种品牌粽子200箱，甲品牌粽子每箱以40元价格出售，乙品牌粽子每箱以50元的价格出售，获得的利润为元．设购进的甲品牌粽子箱数为箱，求关于的函数关系式
【答案】(1)每箱甲牌粽子进价为元，每箱乙牌粽子进价为元
(2)（且为整数）
【分析】（1）设每箱甲牌粽子进价为元，每箱乙牌粽子进价为元，根据买40箱甲品牌粽子和15箱乙品牌粽子花去2000元，买20箱甲品牌粽子和30箱乙品牌粽子花去1900元列出方程组并求解；
（2）根据（1）的结论以及“利润＝售价－成本”解答即可；
【详解】（1）解：设每箱甲牌粽子进价为元，每箱乙牌粽子进价为元，
依题意，得：，
解得：，
答：每箱甲牌粽子进价为元，每箱乙牌粽子进价为元；
（2）设购进的甲品牌粽子箱数为箱，则购进的乙品牌粽子箱数为箱，
根据题意得，
，
∴关于的函数关系式为（且为整数）．
【点睛】本题考查列函数关系式和二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系
【变式2-4】古希腊科学家阿基米德曾说“给我一个支点，我可以撬动地球”．后来人们把阿基米德的发现“若杠杆上的两物体与支点的距离与其质量成反比例则杠杆平衡”归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别为和．则动力F随动力臂L的变化的函数关系式为________．
【答案】
【分析】直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而将已知量代入得出函数关系式．
【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，
∴动力F随动力臂L的变化的函数关系式为：，
则，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了列函数关系式，正确读懂题意得出关系式是解题的关键．
【考点三 函数自变量取值范围】
【典例3-1】函数的自变量x的取值范围是___________．
【答案】
【分析】根据二次根式与分式的性质即可列出式子进行求解．
【详解】解：依题意得，解得．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查函数的自变量取值范围，解题的关键是熟知二次根式与分式的性质．
【典例3-2】汽车开始行驶时，油箱中有油升，如果每小时耗油升，那么油箱中的剩余油量（升）和工作时间（时）之间的函数关系式是__________，的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据每小时耗油升可得到小时耗油量为升即可解答．
【详解】解：∵每小时耗油升，
∴小时耗油量为升，
∵油箱中有油升，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为，．
【点睛】本题考查了列函数关系式，得到剩油量的关系式是解题的关键．
【典例3-3】在函数中，自变量的取值范围是______．
【答案】且
【分析】根据零指数幂、二次根式、分式有意义的条件，列出不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】解：∵有意义，
∴，
∴且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查了零指数幂、二次根式、分式有意义的条件，求函数的自变量取值范围，掌握以上知识是解题的关键．
针对训练3
【变式3-1】已知点及在第一象限的动点，且，设的面积为．
(1)求关于的函数关系式：
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出，再把变形成，再利用三角形的面积求法列函数关系式即可；
（2）根据点P在第一象限可得，据此可求出x的取值范围．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，且，
∴，
∴；
（2）解：∵在第一象限，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了求函数关系式，求自变量的取值范围，解题的关键是运用数形结合和三角形的面积公式进行计算．．

【变式3-2】如图，等腰三角形的周长为，底边长为y（），腰长为x（）．

(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)求x的取值范围；
(3)腰长时，底边的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据三边之和为周长列出函数关系式即可；
（2）利用三边关系确定自变量的取值范围即可；
（3）代入腰长求得底边即可．
【详解】（1）解：由三角形的周长为，得，
；
（2），是三角形的边长，
，
则，
解得：；
（3）当，即时，．
所以腰长时，底边的长为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及函数的知识，解题的关键是正确的求得与之间的函数关系，难度不大．
【变式3-3】某健身房训练的费用为20元/次，为回馈客户，现推出如下活动方案，方案一：购买一张会员卡，卡费为40元，每次训练费用按六折优惠；方案二：不购买会员卡，每次训练费用按八折优惠．设某客户健身训练x（次），按照方案一所需费用为（元）；按照方案二所需费用为（元）．
(1)请分别写出，与x之间的关系式；
(2)小李计划前往该健身房训练5到20次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由
【答案】(1)，
(2)当小李前往该健身房训练5到9次时，方案二所需费用更少；当小李前往该健身房训练，10次时，两种方案费用一样多；当小李前往该健身房训练11到20次时，方案一所需费用更少．
【分析】（1）根据两种方案分别列出函数关系式，即可求解；
（2）分别求出选择不同方案时，x的取值范围，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：，
，
即，与x之间的关系式分别为，；
（2）解：当，即时，两种方案费用一样多；
当，即时，方案二所需费用更少；
当，即时，方案一所需费用更少；
∴当小李前往该健身房训练5到9次时，方案二所需费用更少；当小李前往该健身房训练，10次时，两种方案费用一样多；当小李前往该健身房训练11到20次时，方案一所需费用更少．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．
【典例剖析4】
【考点四 描点法画函数图像】
【典例4-1】某数学兴趣小组探究函数的图象与性质．
  
下面是小明的探究过程，请补充完整；
(1)函数的自变量x的取值范围是______；
(2)下表是y与x的几组对应值．



－1
0
1
2
3
4
…

0


0
2



…
直接写出的值是______；的值是______；
(3)如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，然后画出该函数的图象；
(4)结合函数的图象，写出该函数的性质（一条即可）______；
(5)过点作轴的垂线，请根据函数的图象探究：
①当函数的图象与直线没有交点时，的取值范围是______；
②当函数的图象与直线有一个交点时，的取值范围是______；
③当函数的图象与直线有两个交点时，的取值范围是______；
④当函数的图象与直线有三个交点时，的取值范围是______．
【答案】(1)
(2)2；
(3)见解析
(4)见解析
(5)①；②；③或；④

【分析】（1）根据二次根式的非负性即可判断出取值范围．
（2）将对应的值分别代入即可求出和的值．
（3）依据表格中数据依次找到对应的坐标点，进行连线，即可求出函数图像．
（4）观察图形，找出函数的性质之一即可．
（5）根据题意依次画图，即可分别找出的取值范围．
【详解】（1）解：
，为任何实数，
．
故答案为：．
（2）解：，，
．
，，
．
故答案为：2；．
（3）解：根据表中数据，画图，如下，
  
（4）解：答案不唯一，如函数在第二象限内的部分有最大值；函数在第一象限内y随x的增大而增大．
（5）解：①当函数的图象与直线没有交点时，如图所示，
  
点在直线上，且要求与函数图形无交点，
．
②当函数的图象与直线有一个交点时，如图所示，
  
通过观察图形可知，要想确保函数与图像只有一个交点，．
③当函数的图象与直线有两个交点时，如图所示，
  
通过观察图形可知，要想确保函数与图像只有两个交点，或．
④当函数的图象与直线有三个交点时，如图所示，
  
通过观察图形可知，要想确保函数与图像只有三个交点，．
故答案为：①；②；③或；④．
【点睛】此题考查了函数的图像和性质，解题的关键在于通过已知条件画出函数的图像，通过观察图像得出关键信息．
【典例4-2】探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图象并探究该函数的性质．
(1)绘制函数图象
①列表：下表是x与y的几组对应值，其中 ；
x
…




0

1
2
3
…
y
…
1

2
3
4
3
m

1
…
②描点：根据表中的数值描点，补充描出点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象．

(2)探究函数性质
写出函数的一条性质： ．
(3)运用函数图象及性质
①观察你所画的函数图象，回答问题：若点，为该函数图象上不同的两点，则 ；
②根据函数图象，写出不等式的解集是 ．
【答案】(1)①2；②见解析；③见解析
(2)见解析
(3)①0；②或
【分析】（1）①直接把代入中求出y的值即可得到答案；②根据①所求描点即可；③用平滑的曲线将所描出的点顺次连接即可；
（2）写出一条符合图象的性质即可；
（3）①根据函数图象可知，该函数图象关于y轴对称，据此求解即可；②利用图象法求解即可．
【详解】（1）解：①把代入中得，即，
故答案为：2；
②如图所示，即为所求；
③如图所示，即为所求；

（2）解：由函数图象可知，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；
（3）解：①观察函数图象可知，该函数图象关于y轴对称，
∴若点，为该函数图象上不同的两点，则，
故答案为：0；
②根据函数图象可知，不等式的解集是或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握研究函数的方法：用列表、描点、连线作出图象，再数形结合研究函数性质．
【典例4-3】如图，在中，，为边上一动点，，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（），B，N两点间的距离为ycm（当M点和B点重合时，B，N两点间的距离为0）．

小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整．
(1)列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到的y与x的几组对应值：
x/cm
0
0.5
1
1.5
1.8
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
y/cm
4
3.96
3.79
3.47
a
2.99
2.40
1.79
1.23
0.74
0.33
0
请你通过计算，补全表格： ；
(2)描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出y关于x的函数图象；
(3)探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势： ．
【答案】(1)3.2
(2)见解析
(3)y随x的增大而减小
【分析】（1）先求出边上的高，进而求出，判断出点M与重合，即可得出答案；
（2）先描点，再连线，即可画出图象；
（3）根据图象直接得出结论．
【详解】（1）解：如图，

在中，，根据勾股定理得，，
过点C作于，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∴当时，点M与点重合，
∴，
∵，
∴点M，N重合，
∴，
故答案为：3.2；
（2）如图所示，

（3）由图象知，y随x的增大而减小，
故答案为：y随x的增大而减小；
【点睛】此题主要考查了勾股定理，三角形的面积，函数图象的画法，画出函数图象是解本题的关键．
针对训练4
【变式4-1】数学活动课上，老师提出一个探究问题：
制作一个体积为，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过3dm，且不考虑接缝）．

某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．
下面是他们的探究过程，请补充完整：
(1)设长方体包装盒的底面边长为，表面积为．
可以用含的代数式表示长方体的高为．
根据长方体的表面积公式：长方体表面积．
得到与的关系式：___________________（）；
(2)列出与的几组对应值：

…
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0

…
80.5
42.0
31.2

28.5
31.3
（说明：表格中相关数值精确到十分位）
表中_____________．
(3)在下面的平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象：

(4)结合画出的函数图象，解决问题：
长方体包装盒的底面边长约为_________dm时，需要的材料最省；当长方体包装盒表面积为时，底面边长约为____________dm．
【答案】(1)
(2)28
(3)见解析
(4)2.2，1.7
【分析】（1）根据长方体的表面积公式求解即可；
（2）求出时，y的值即可；
（3）利用描点法画出函数图像即可；
（4）利用图象法判断即可．
【详解】（1）由题意，；
故答案为：；
（2）当时，；
故答案为：28；
（3）函数图像如图所示：

（4）观察图象可知，当x约为时，需要的材料最省．当长方体包装盒表面积为时，底面边长约为
故答案为：2.2，1.7．
【点睛】本题考查了长方体的知识，函数图像等，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．
【变式4-2】如图1，在正方形中，，动点P从点A出发，沿A→B→C→D运动，当点P运动到点D时停止运动，连接、，记点P运动的路程为x，的面积为y．

(1)分别写出y与x之间的关系式，注明自变量x的取值范围，并在图2所示的平面直角坐标系中画出这个给函数的图像；
(2)观察函数图像，写出该函数的一条性质；
(3)结合所画图像直接写出当时，x的取值范围．
【答案】(1)，图像见解析
(2)函数图像关于直线对称（答案不唯一）
(3)或

【分析】（1）分，，三种情况列出函数解析式，据此画出函数图像；
（2）结合函数图像写出一条性质即可，答案不唯一；
（3）写出函数图像中纵坐标小于或等于1的部分对应的x的范围即可．
【详解】（1）解：当点P在上时，即时，
；
当点P在上时，即时，
；
当点P在上时，即时，
；
综上：y与x之间的关系式为：；
画图如下：

（2）由图可知：函数图像关于直线对称（答案不唯一）；
（3）由图可知：当，时，，
∴当时，x的取值范围是或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，函数的图像和性质，解题的关键是根据运动情况准确列出函数表达式．
【考点五 函数图像的识别】
【典例5-1】水池中原有升水，现每分钟向池内注升，则水池内水量（升）与注水时间（分）之间关系的图象大致为（    ）
A．  B．  C．  D．  
【答案】B
【分析】根据题意可得图象过，且随着的增大而增大，据此即可求解．
【详解】解：∵水池中原有升水，每分钟向池内注升，
∴（）
∴图象过，且随着的增大而增大，如图所示，
  
故选：B．
【点睛】本题考查了函数图象，理解题意，列出函数解析式是解题的关键．

【典例5-2】油箱中装有油的汽车开始行驶，如果每小时耗油，那么油箱中含油量与行驶时间之间的函数关系用图象表示为（　　）
A．   B．    
C．       D．    
【答案】B
【分析】根据剩余油量原有油量消耗的油量得到、的函数关系式，再根据一次函数的图象解答．
【详解】解：根据题意，，
当时，，
当时，，
解得，
所以，的取值范围为，
函数图象与轴的交点为，与y轴的交点为．
故选：B．
【点睛】本题考查的是函数图象，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
【典例5-3】将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度与注水时间的函数图象．
【详解】将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A、D一定错误，
用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间h不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h随t的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度h不再变化．
故选：B．
【点睛】本题考查了函数的图象．解题的关键在于理解题意，抽象出函数图象
针对训练5
【变式5-1】下面四个问题中的两个变量：
①去超市购买同一种水果，所付出的总价与数量；
②汽车从A地匀速行驶到地，离地的距离与时间；
③面积为定值的长方形，长与宽；
④一根蜡烛匀速燃烧，剩余长度与时间．
每个问题中因变量与自变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（    ）

A．①② B．②④ C．①②③ D．①③④
【答案】．B
【分析】①根据所付出的总价随数量x的增大而增大判断即可；
②根据离地的距离随时间增大而减小判断即可；
③根据面积为定值的长方形，长与宽的乘积为定值，长y与宽x不是一次函数关系判断即可；
④根据一根蜡烛匀速燃烧，剩余长度随时间的增大而减小判断即可．
【详解】解：①去超市购买同一种水果，所付出的总价随数量的增大而增大，故①不符合题意；
②汽车从A地匀速行驶到地，离地的距离随时间的增大而减小，故②符合题意；
③面积为定值的长方形，长与宽的乘积为定值，长y与宽x不是一次函数关系，故③不符合题意；
④一根蜡烛匀速燃烧，剩余长度随时间增大而减小，故④符合题意；
综上分析可知，②④符合题意，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象表示的意义，弄清楚变量之间的关系，是解题的关键．