数学八年级下暑假培优专题训练（17）

这是一份数学八年级下暑假培优专题训练（17），共54页。试卷主要包含了一次函数与方程不等式的关系等内容，欢迎下载使用。

数学八年级下暑假培优专题训练
专题十七、一次函数与方程不等式的关系
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目录
【考点一 由方程的解确定与坐标轴的交点】............................1
【考点二 已知直线与坐标轴的交点求方程的解】........................4
【考点三 图像法解二元一次方程】....................................6
【考点四 两直线交点与二元一次方程及围成的面积】....................9
【考点五 由两条直线的交点确定不等式的解集】........................11
【聚焦考点】

一次函数
一元一次方程
y=kx+b
kx+b=m
方程kx+b=m的解即是函数值为m时的自变量x的取值

一次函数
一元一次不等式
y=kx+b
kx+b>m[来源:学科网ZXXK]
kx+b kx+b>m的解集即是函数y=kx+b的图象在直线y=m上方部分的自变量x的取值范围
kx+b 在上面总结的基础上，我们可以得到：
①二元一次方程组与一次函数的关系
的解是函数和函数的交点坐标.
②一元一次不等式与一次函数关系
的解集是函数的图象在函数的图象上方时自变量x的取值范围.

图3
如图3所示，的解是x=－0.5，y=1，
的解集是：x<－0.5；
的解集是：x≥－0.5.
这就是我们数学上由数及形，数形结合的方法. 图象是学习函数的核心，同学们要对函数的图象烂熟于心，且能快速准确的作出图形.
【典例剖析1】
【考点一 由方程的解确定与坐标轴的交点】
【典例1-1】一次函数的图象经过点和两点．
(1)求出该一次函数的表达式；
(2)若直线AB与x轴交于点C，求的面积．
【典例1-2】学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题．
(1)①列表填空；

…



0
1
…

…
__
1
2
___
0
…
②在平面直角坐标系中作出函数的图象；
(2)观察函数图象，写出关于这个函数的两条性质；
(3)进一步探究函数图象发现：
①方程有______个解；
②若关于x的方程无解，则a的取值范围是______．
针对训练1
【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是x轴上一动点（不与点O，A重合），连结BC，作，且，过点D作轴，垂足为点E．

(1)求点A，B的坐标．
(2)若点C在线段上，连结，猜想的形状，并证明结论．
(3)若点C在x轴上，点D在x轴下方，是以为底边的等腰三角形，求点D的坐标．
【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，它与坐标轴分别交于、两点，已知点的纵坐标为．

(1)求出A点的坐标．
(2)在第一象限的角平分线上是否存在点使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P为y轴上一点，连结AP，若，求点P的坐标．
【变式1-3】已知直线与直线交于点．
(1)求的坐标；
(2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的面积．
【典例剖析2】
【考点二 已知直线与坐标轴的交点求方程的解】
【典例2-1】已知，一次函数（，k，b为常数）的图象如图1，在图2中正比例函数（，m是常数）的图象与一次函数的图象交于点，
(1)观察图象（图1），写出方程 的解和不等式的解集．
  
(2)观察图象（图2），把不等式组：中两个不等式的解集表示在同一数轴上，并最终确定该不等式组的解集．
  
【典例2-2】设两个不同的一次函数，（k，b是常数，且）．
(1)若函数的图象经过点，函数的图象经过点，求证：．
(2)当时，求x的取值范围．
针对训练2
【变式2-1】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题．如图1，已知一次函数（k、b为常数，且）的图象．

(1)方程的解为______，不等式的解集为______；
(2)若正比例函数（m为常数，且）与一次函数相交于点P（如图2），则不等式组的解集为______；
(3)比较与的大小（根据图象直接写出结果）．
【变式2-2】在图的坐标系中，画出函数的图像，并结合图像求：

(1)方程的解；
(2)不等式的解集．
【变式2-3】已知一次函数（k、b为常数，且）的图象（如图1）．

(1)方程的解为___________，不等式的解集为___________；
(2)正比例函数（m为常数，且）与一次函数相交于点P（如图2），则不等式的解集为___________；不等式组的解集为___________．
【典例剖析3】
【考点三 图像法解二元一次方程】
【典例3-1】利用函数图象解下列方程
(1)
(2)
【典例3-2】画出函数的图象，利用图象：

（1）求方程的解；
（2）求不等式的解集；
（3）若，求x的取值范围．
针对训练3
【变式3-1】请你用学习“一次函数和二次根式”时积累的经验和方法解决下列问题：

(1)在平面直角坐标系中，画出函数的图象；
①列表填空：
x
…


0
1
2
3
4
…
y
…
____
2
1
0
1
____
3
…
②描点、连线，画出的图象；
(2)结合所画函数图象，写出两条不同类型的性质；
(3)结合所画函数图象，写出方程的近似解．
【变式3-2】已知一次函数y＝﹣x+2．

(1)求该直线与坐标轴的交点坐标；
(2)画出一次函数的图象；
(3)由图可知，若方程﹣x+2＝0，则方程的解为 ．
【变式3-3】按要求画出函数y＝|2x﹣4|的图象，并回答后面的问题．
(1)先填写下表中的空格，然后在下列平面直角坐标系中画出函数图象．
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…


2
0
2
4
…

(2)填空题
①关于函数y＝|2x﹣4|的性质，下列说法错误的是______．
A．当x＜2时，函数y随自变量x的增大而减小；
B．当x＞2时，函数y随自变量x的增大而增大；
C．当x＝2时，函数取得最小值，最小值y＝0；
D．无论自变量x取任何实数，总有函数y＞0；
E．函数图象关于直线y＝2成轴对称．
②当自变量x＝______时，函数y＝10．
【典例剖析4】
【考点四 两直线交点与二元一次方程及围成的面积】
【典例4-1】世纪的法国数学家费马和笛卡儿在各自的研究中发现，代数方程式可以用图象直观地呈现出来；反之，几何图形也可以用代数方程式表示.他们的这个发现让数学领域发生了翻天覆地的变化．我们在六年级第二学期曾学过用代入法和加减法解二元一次方程组，学习了本章之后，是否能借助图象解二元一次方程组呢？阅读如下内容：我们已经学会通过列表、描点、连线作出一次函数的图象，它的图象是一条直线．如果将一次函数变形为，那么此时它是一个二元一次方程的形式，因此一次函数的图象也称为二元一次方程的图象，二元一次方程的图象是一条直线．
  
(1)①在如图所示的平面直角坐标系中分别画出方程的图象与方程的图象．设直线与的公共点为点；
②写出点的坐标为 ；
③检验点的坐标是否是方程组的解．
(2)借助图象求解下列方程组：
①
②
(3)问题探究：直线与直线（，，，是常数且）的位置关系与系数的关系．
①直线与可能有怎样的位置关系？
②如果二元一次方程组（，，，均不为零）有唯一的解，系数应满足怎样的条件？
【典例4-2】已知一次函数：，
(1)若方程的解是正数，求a的取值范围．
(2)若以x，y坐标的点在已知的两个一次函数的图像上，求的值．
(3)若，求的值．
针对训练4
【变式4-1】如图，直线与轴、轴分别相交于点C、B，与直线相交于点A．
  
(1)写出以下点坐标：B ；C ．
(2)求A点坐标；
(3)在直线上是否存在点P，使的面积等于3？若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点和点．
    
(1)求直线所对应的函数表达式；
(2)设直线与直线相交于点，求点的坐标；
(3)若将直线沿y轴向下平移，交y轴于点，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
【典例剖析5】
【考点五 由两条直线的交点确定不等式的解集】
【典例5-1】已知，一次函数（，k，b为常数）的图象如图1，在图2中正比例函数（，m是常数）的图象与一次函数的图象交于点，
(1)观察图象（图1），写出方程 的解和不等式的解集．
  
(2)观察图象（图2），把不等式组：中两个不等式的解集表示在同一数轴上，并最终确定该不等式组的解集．
  
【典例5-2】一次函数的图象与正比例函数的图象平行，且过点，
  
(1)求一次函数的表达式；
(2)画出一次函数的图象：结合图象解答下列问题：
①当时，x的取值范围是 ；
②当时，y的取值范围是 ．
针对训练5
【变式5-1】．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题．如图1，已知一次函数（k、b为常数，且）的图象．

(1)方程的解为______，不等式的解集为______；
(2)若正比例函数（m为常数，且）与一次函数相交于点P（如图2），则不等式组的解集为______；
(3)比较与的大小（根据图象直接写出结果）．
【变式5-2】如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题：

(1)当x　　时，；
(2)不等式的解集是　　；
(3)求两个一次函数表达式；
(4)若直线分别交x轴、y轴于点M、A，直线分别交x轴、y轴于点B、N，求点M的坐标和四边形的面积．
【变式5-3】【活动回顾】：八年级下册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．

发现：一元一次不等式的解集是函数图象在x轴上方的点的横坐标的集合．
结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合．
【解决问题】：
（1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是______．
（2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为______，方程的解是______；不等式的解是______．
【拓展延伸】
（3）如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C．
①求点A，C的坐标；
②结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是______．
③若x轴上有一动点，是否存在点P，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由






数学八年级下暑假培优专题训练
专题十七、一次函数与方程不等式的关系（解析版）
【考点一 由方程的解确定与坐标轴的交点】
【典例1-1】一次函数的图象经过点和两点．
(1)求出该一次函数的表达式；
(2)若直线AB与x轴交于点C，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求出点C的坐标，再根据三角形的面积公式求解．
【详解】（1）设一次函数解析式为，
∵图象经过，两点，
∴    
解得：，    
∴一次函数解析式为；
（2）当时，，
∴，
∴    
∴，
答：的面积为5．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，以及三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．
【典例1-2】学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题．
(1)①列表填空；

…



0
1
…

…
__
1
2
___
0
…
②在平面直角坐标系中作出函数的图象；
(2)观察函数图象，写出关于这个函数的两条性质；
(3)进一步探究函数图象发现：
①方程有______个解；
②若关于x的方程无解，则a的取值范围是______．
【答案】(1)①0，1 ；②函数图象见解析
(2)①函数的最大值是2（或者函数图象最高点的坐标是；②函数图象关于直线成轴对称；③当时y的值随着x的增大而减少（或者当时y的值随着x 的增大而增大）
(3)①2； ②
【分析】（1）①将x的值代入对应的解析式即可求得；
②根据描点法画出函数图象即可；
（2）根据函数图象可以写出该函数图象的一条性质
（3）①根据图象即可得出结论；
②根据关于x的方程无解，得出函数的图象与无交点，然后观察图象即可得出结论．
【详解】（1）解：①∵，
∴当时，；
当时，；
②函数图象如图，
；
（2）解：①函数的最大值是2（或者函数图象最高点的坐标是；
②函数图象关于直线成轴对称；
③当时y的值随着x的增大而减少（或者当时y的值随着x 的增大而增大）；
（3）解：①观察图形可知， 方程有2个解；
②关于x的方程无解，
则函数的图象与无交点，
观察图形可知，此时．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标的特征，一次函数的图象和性质．画出函数的图象，利用数形结合法是解题的关键．
针对训练1
【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是x轴上一动点（不与点O，A重合），连结BC，作，且，过点D作轴，垂足为点E．

(1)求点A，B的坐标．
(2)若点C在线段上，连结，猜想的形状，并证明结论．
(3)若点C在x轴上，点D在x轴下方，是以为底边的等腰三角形，求点D的坐标．
【答案】(1)，
(2)猜想：是等腰直角三角形，证明见解析
(3)点的坐标为：或．
【分析】（1）令，求点A的坐标，令，求点B的坐标；
（2）证明：由题意可知，利用互余可得，进而可证，利用其性质可证得，，由，可得，又由可知是等腰直角三角形；
（3）分两种情况：①当点在点左侧时；②当点在点右侧时；利用的性质求得，即可得点的坐标．
【详解】（1）解：当时，，
∴，
当时，，
∴；
（2）猜想：是等腰直角三角形．
证明：∵轴，，
∴，
∵ ，
∴，
又 ，
∴，
在和中，，
∴．
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴是等腰直角三角形．
（3）①当点在点左侧时，
由（2）同理可得：，
又∵是以为底边的等腰三角形，则，
∴，
∵轴，
∴，
又∵，
∴点与点重合，
则，
∴点坐标为：，

②当点在点右侧时，
由（2）同理可得：，
又∵是以为底边的等腰三角形，则，
∴，
∵轴，
∴，
又∵，
则，
∴点坐标为：，

综上，点的坐标为：或
【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点坐标，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的定义，证明，利用其性质转换线段长度是解决问题的关键
【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，它与坐标轴分别交于、两点，已知点的纵坐标为．

(1)求出A点的坐标．
(2)在第一象限的角平分线上是否存在点使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P为y轴上一点，连结AP，若，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或

【分析】（1）利用点代入直线，求出直线解析式，然后求直线与x轴交点坐标；
（2）点Q在第一象限角平分线上，设，已知给出了指定角，利用勾股定理列方程，即可求出点的标；
（3）根据已知条件画出图形，由，，得出，设，又，，根据勾股定理表示出，进而即可求解，根据轴对称的性质求得负半轴的另一个交点．
【详解】（1）∵点的纵坐标为，且点在轴上，
将点代入直线的解析式得：，
∴直线的解析式为：
令得：，
∴．
（2）存在．
∵在第一象限的角平分线上，
设且，
根据勾股定理：
，
，
解得，
故．
（3）解：当点在正半轴时，如图所示，

∵，
∴，
∴，
设，又，
∴
解得：
∴
根据对称性可得另一个点的坐标为，
综上所述，或
【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数与坐标轴交点问题，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
【变式1-3】已知直线与直线交于点．
(1)求的坐标；
(2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的面积．
【答案】(1)
(2)35
【分析】（1）联立两个函数解析式，求出方程组的解可得答案；
（2）先求出点A和点B的坐标，然后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）根据题意，解得，
点坐标为；
（2）当时，，，
点A的坐标为，
当时，，，
点B的坐标为，
的面积是．
【点睛】本题考查了函数图像交点坐标与方程组解的关系，一次函数图象与坐标轴的交点，以及三角形的面积，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
【考点二 已知直线与坐标轴的交点求方程的解】
【典例2-1】已知，一次函数（，k，b为常数）的图象如图1，在图2中正比例函数（，m是常数）的图象与一次函数的图象交于点，
(1)观察图象（图1），写出方程 的解和不等式的解集．
  
(2)观察图象（图2），把不等式组：中两个不等式的解集表示在同一数轴上，并最终确定该不等式组的解集．
  
【答案】(1)，
(2)，图见解析
【分析】（1）利用函数图象，直线与x轴的交点的横坐标即为方程的解；函数的图象在y轴左侧部分的函数值都大于4，从而得到的解集；
（2）从函数图象中找出函数和都在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】（1）解：观察函数图象可得时，；
所以方程的解为；
当时，，即，
所以不等式的解集为；
（2）解：观察函数图象，当时，函数和都在x轴上方，
在数轴上表示，如图：  ．
∴该不等式组的解集是：．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式；一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．数形结合是本题的关键．
【典例2-2】设两个不同的一次函数，（k，b是常数，且）．
(1)若函数的图象经过点，函数的图象经过点，求证：．
(2)当时，求x的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)当时，；当时，
【分析】（1）将根据一次函数图象上点的坐标特征，将两个点分别代入对应的解析式中求解即可；
（2）先由得到，再分和求解即可．
【详解】（1）证明：∵函数的图象经过点，∴，则；
∵函数的图象经过点，∴，则，
∴；
（2）解：∵，
∴，则，
∵与是两个不同的一次函数，
∴，
当时，，∴，
当时，，∴．
综上，当时，当时，；当时，．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与系数关系、解一元一次不等式，由点的坐标得到k和b的关系，以及分类讨论思想的运用是解答的关键．

针对训练2
【变式2-1】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题．如图1，已知一次函数（k、b为常数，且）的图象．

(1)方程的解为______，不等式的解集为______；
(2)若正比例函数（m为常数，且）与一次函数相交于点P（如图2），则不等式组的解集为______；
(3)比较与的大小（根据图象直接写出结果）．
【答案】(1)，
(2)
(3)当时，；当时，；当时，
【分析】（1）根据点A的坐标即可方程的解，再根据点B的坐标即可得不等式的解集；
（2）根据函数图象分别求出不等式和不等式的解集，再找出它们的公共部分即可得不等式组的解集；
（3）根据点P的横坐标，分、、三种情况，结合函数图象即可．
【详解】（1）解：由函数图象可知，方程的解为，不等式的解集为，
故答案为：，；
（2）解：由函数图象可知，不等式的解集为，不等式的解集为，则这个不等式组的解集为，
故答案为：；
（3）解：由函数图像可知，
当时，，
当时，，
当时，．
【点睛】本题考查一次函数与方程、不等式，熟练掌握函数图象是解题的关键．
【变式2-2】在图的坐标系中，画出函数的图像，并结合图像求：

(1)方程的解；
(2)不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）画出函数的图像，结合图像可知函数的图像与轴交点为，根据图像即可求出方程的解；
（2）根据（1）所画出的函数图像即可求得不等式的解集．
【详解】（1）解：画出函数的图像如下图，

结合图像可知，函数的图像与轴交点为，
∴方程的解为；
（2）结合函数图像可知，函数的图像与轴交点为，
不等式的解集为．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式的应用，解题的关键是画出函数的图像，再结合图像获得答案．
【变式2-3】已知一次函数（k、b为常数，且）的图象（如图1）．

(1)方程的解为___________，不等式的解集为___________；
(2)正比例函数（m为常数，且）与一次函数相交于点P（如图2），则不等式的解集为___________；不等式组的解集为___________．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）利用函数图象，直线与轴的交点的横坐标即为方程的解；函数的图象在轴右侧部分的函数值都小于4，从而得到的解集；
（2）看函数图象的高低，从函数图象中找出函数在上方部分时的值可得的解集；从函数图象中找出函数和都在轴上方所对应的自变量的范围即为不等式组的解集．
【详解】（1）解：观察函数图象可得时，；
当时，，即；
故答案为：，；
（2）观察函数图象可得：当时，函数在上方，
∴的解集为，
观察函数图象，当时，函数和都在轴上方，
则不等式组的解集为；
故答案为：，．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数与一元一次方程．
【考点三 图像法解二元一次方程】
【典例3-1】利用函数图象解下列方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将变化为，画出函数的图象，利用一次函数与x轴的交点即可得到答案；
（2）将变化为，画出函数的图象，利用一次函数与x轴的交点即可得到答案．
【详解】（1）解：将变化为，画出函数的图象，
如图，直线与x轴的交点坐标为，
即方程的解为；
（2）解：将变化为，画出函数的图象，
如图，直线与x轴的交点坐标为，
即方程的解为．

【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线 确定它与x轴的交点的横坐标的值．也考查了数形结合的思想．
【典例3-2】画出函数的图象，利用图象：

（1）求方程的解；
（2）求不等式的解集；
（3）若，求x的取值范围．
【答案】图见解析；（1）；（2）；（3）
【分析】先根据一次函数作图的方法作出一次函数图象；
（1）根据函数图象与x轴交点的横坐标是相应方程的解，可得答案；
（2）根据函数与不等式的关系：x轴上方的部分是不等式的解集，可得答案；
（3）根据函数值的取值范围，可得相应自变量的取值范围．
【详解】解：画出函数的图象如图：

（1）由图象知，方程的解是；
（2）由图象知，不等式的解集是；
（3）由图象知，当时，x的取值范围是．
【点评】本题考查了一次函数图象，利用了函数与方程的关系：函数图象与x轴交点的横坐标是相应方程的解；又利用了函数与不等式的关系：图象位于x轴上方的部分是相应不等式的解集，熟练掌握知识点是解题的关键．
针对训练3
【变式3-1】请你用学习“一次函数和二次根式”时积累的经验和方法解决下列问题：

(1)在平面直角坐标系中，画出函数的图象；
①列表填空：
x
…


0
1
2
3
4
…
y
…
____
2
1
0
1
____
3
…
②描点、连线，画出的图象；
(2)结合所画函数图象，写出两条不同类型的性质；
(3)结合所画函数图象，写出方程的近似解．
【答案】(1)①列表见解析；②图象见解析
(2)①增减性：时，随着的增大而减小，时，随着的增大而增大；②对称性：图象关于轴对称；③函数的最小值为（答案不唯一）
(3)和
【分析】（1）①把x的值代入解析式计算即可；②分别以自变量及函数值为点的横、纵坐标，描出各点，即可绘制函数图象；
（2）可从函数的增减性、对称性、最值等方面分析；
（3）根据函数图象得出方程的解即可.
【详解】（1）解：（1）①填表：












3
2
1
0
1
2
3

②画函数图象如图：

（2）①增减性：时，随着的增大而减小，时，随着的增大而增大；②对称性：图象关于轴对称；③函数的最小值为；
（3）方程，
化简得，
即求两函数，交点的横坐标，
由图象可得：两函数有两个交点，即方程有两个解，
分别为和.

【点睛】此题考查的是描点法绘制函数图象及根据函数的图象描述函数的性质，函数图象交点，掌握描点法绘制函数图象注意自变量及函数的对应关系是解题关键．
【变式3-2】已知一次函数y＝﹣x+2．

(1)求该直线与坐标轴的交点坐标；
(2)画出一次函数的图象；
(3)由图可知，若方程﹣x+2＝0，则方程的解为 ．
【答案】(1)与x轴的交点坐标为（4，0）， 与y轴的交点坐标为（0，2）
(2)见解析
(3)x=4．
【分析】（1）分别令x=0和y=0即可求出与y轴和x轴的坐标；
（2）根据（1）中结果即可画出图象；
（3）直接根据图象解答即可．
【详解】（1）解：当x=0时，y＝0+2=2，
∴与y轴的交点坐标为（0，2）．
当y=0时，0＝﹣x+2，∴x=4，
∴与x轴的交点坐标为（4，0）．
（2）解：如图，

（3）解：图可知，若方程﹣x+2＝0，则方程的解为x=4．
故答案为：x=4．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，画一次函数图象，以及利用函数图象解方程等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
【变式3-3】按要求画出函数y＝|2x﹣4|的图象，并回答后面的问题．
(1)先填写下表中的空格，然后在下列平面直角坐标系中画出函数图象．
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…


2
0
2
4
…

(2)填空题
①关于函数y＝|2x﹣4|的性质，下列说法错误的是______．
A．当x＜2时，函数y随自变量x的增大而减小；
B．当x＞2时，函数y随自变量x的增大而增大；
C．当x＝2时，函数取得最小值，最小值y＝0；
D．无论自变量x取任何实数，总有函数y＞0；
E．函数图象关于直线y＝2成轴对称．
②当自变量x＝______时，函数y＝10．
【答案】(1)见解析；
(2)①DE；②7或-3
【分析】（1）分别将x=-1和x=0代入函数关系式求出y的值，再填表，再在直角坐标系中描点并画图即可；
（2）①根据图像及函数的性质进行一一判断即可；②将y=10代入函数y＝|2x﹣4|中，求得x的值即可．
（1）
当x=-1时，y＝|-2﹣4|=6，当x=0时，y＝|0﹣4|=4，
填表如下：
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
6
4
2
0
2
4
…
画函数图像如下：

（2）
①从图像可以看出，当x＜2时，函数y随自变量x的增大而减小；
当x＞2时，函数y随自变量x的增大而增大；
当x＝2时，函数取得最小值，最小值y＝0；
无论自变量x取任何实数，总有函数y≥0；
函数图象关于直线x＝2成轴对称．
故选：DE；
②将y=10代入函数y＝|2x﹣4|中，得|2x﹣4|=10，解得：x=7或x=-3，
所以当自变量x＝7或-3时，函数y＝10．
故答案为：7或-3
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次方程，画出函数图象，数形结合是解题的关键．
【考点四 两直线交点与二元一次方程及围成的面积】
【典例4-1】世纪的法国数学家费马和笛卡儿在各自的研究中发现，代数方程式可以用图象直观地呈现出来；反之，几何图形也可以用代数方程式表示.他们的这个发现让数学领域发生了翻天覆地的变化．我们在六年级第二学期曾学过用代入法和加减法解二元一次方程组，学习了本章之后，是否能借助图象解二元一次方程组呢？阅读如下内容：我们已经学会通过列表、描点、连线作出一次函数的图象，它的图象是一条直线．如果将一次函数变形为，那么此时它是一个二元一次方程的形式，因此一次函数的图象也称为二元一次方程的图象，二元一次方程的图象是一条直线．
  
(1)①在如图所示的平面直角坐标系中分别画出方程的图象与方程的图象．设直线与的公共点为点；
②写出点的坐标为 ；
③检验点的坐标是否是方程组的解．
(2)借助图象求解下列方程组：
①
②
(3)问题探究：直线与直线（，，，是常数且）的位置关系与系数的关系．
①直线与可能有怎样的位置关系？
②如果二元一次方程组（，，，均不为零）有唯一的解，系数应满足怎样的条件？
【答案】(1)①见解析；②；③是，见解析
(2)①方程组有无数解；②方程组无解
(3)①直线与可能平行，可能相交，可能重合；②
【分析】（1）①利用两点法画出图形标出点P即可；②直接根据图象写出坐标即可；③将点的坐标代入检验即可．
（2）①画出图象，根据图象即可确定解的情况；②画出图象，根据图象即可确定解的情况．
（3）①根据两条直线的位置关系的情况即可求解；②根据方程组有唯一解，则消元后未知数的系数不为0即可求解．
【详解】（1）①作图如图所示．
  
②．
③
当时，代入①得，代入②得；
∴既是方程①的解，也是方程②的解；
∴点的坐标是方程组的解．
（2）①观察图象可知方程组有无数组解；
      
②观察图象可知方程组无解；
  
（3）①直线与可能平行，可能相交，可能重合；
②，
变形得：，
得：，
∵二元一次方程组（，，，均不为零）有唯一的解，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的一次函数与二元一次方程与二元一次方程组之间的关系，解题关键是理解题意，正确画出方程的图象，根据图象进行解答，本题涉及到了数形结合的思想方法．
【典例4-2】已知一次函数：，
(1)若方程的解是正数，求a的取值范围．
(2)若以x，y坐标的点在已知的两个一次函数的图像上，求的值．
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）根据题意得到关于的不等式，解得即可；
（2）根据题意得到，①②即可求得，将原式分解因式得出原式，再将代入求出即可；
（3）通过恒等变形即可得到，从而求得进而解题．
【详解】（1）解：的解是正数，
的解是正数，
解得，
，
解得；
（2）以、为坐标的点P在已知的两个一次函数图象上，

①②得，，
，



；
（3），，，


，

，
解得．
∴
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，解一元一次不等式以及一元一次方程，分式的化简求值问题等，考点较多．
针对训练4
【变式4-1】如图，直线与轴、轴分别相交于点C、B，与直线相交于点A．
  
(1)写出以下点坐标：B ；C ．
(2)求A点坐标；
(3)在直线上是否存在点P，使的面积等于3？若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)A点坐标是；
(3)存在满足条件的点P，其坐标为或．
【分析】（1）在中分别令和，则可求得B、C的坐标；
（2）联立两直线解析式，解方程即可求得A点坐标；
（3）分两种情况：当P在线段上和上，根据三角形的面积公式列出关于x或y的方程解方程求得即可．
【详解】（1）解：在中，令可得，令可得，解得，
∴；
故答案为：；
（2）解：联立两直线解析式可得，
解得，
∴A点坐标是；
（3）解：存在；
∵，，
∴P点有两个位置：P在线段上和上，设点P的坐标是，
当P点在线段上时，
由题意得
，
解得，
∴，
∴P点的坐标为；
当P点在线段上时，
由题意得
，
解得，
∴，
∴，
∴P点的坐标为；
综上所述存在满足条件的点P，其坐标为或．
【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、三角形的面积、方程思想及分类讨论思想等知识．在（3）中确定出P点所在的位置是解题的关键．
【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点和点．
    
(1)求直线所对应的函数表达式；
(2)设直线与直线相交于点，求点的坐标；
(3)若将直线沿y轴向下平移，交y轴于点，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点的坐标为，或，或

【分析】（1）设出函数解析式，将两点代入，运用待定系数法求解；
（2）联立，解方程组，即可求出点坐标
（3）分3种情况分析，设，①当，②当时，③当时，分别根据勾股定理列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：设直线所对应的函数表达式为，
根据题意，得 ，
解得， ，
∴直线所对应的函数表达式；
（2）设直线与直线相交于点，则

解得：
，
∴点坐标；
（3）①当，
设，
则在中，可得：

解得： ，
此时，点的坐标为，
②当时，
，
解得：，负值舍去，
∴，
此时，点的坐标为，
③当时，
，
解得： ，负值舍去，
∴，
此时，点的坐标为，
综上所述，点的坐标为，或，或．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，勾股定理，等腰三角形的定义，通过交点求值和动点的问题，能灵活将函数与图形结合是解决本题的关键．
【考点五 由两条直线的交点确定不等式的解集】
【典例5-1】已知，一次函数（，k，b为常数）的图象如图1，在图2中正比例函数（，m是常数）的图象与一次函数的图象交于点，
(1)观察图象（图1），写出方程 的解和不等式的解集．
  
(2)观察图象（图2），把不等式组：中两个不等式的解集表示在同一数轴上，并最终确定该不等式组的解集．
  
【答案】(1)，
(2)，图见解析
【分析】（1）利用函数图象，直线与x轴的交点的横坐标即为方程的解；函数的图象在y轴左侧部分的函数值都大于4，从而得到的解集；
（2）从函数图象中找出函数和都在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】（1）解：观察函数图象可得时，；
所以方程的解为；
当时，，即，
所以不等式的解集为；
（2）解：观察函数图象，当时，函数和都在x轴上方，
在数轴上表示，如图：  ．
∴该不等式组的解集是：．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式；一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．数形结合是本题的关键．
【典例5-2】一次函数的图象与正比例函数的图象平行，且过点，
  
(1)求一次函数的表达式；
(2)画出一次函数的图象：结合图象解答下列问题：
①当时，x的取值范围是 ；
②当时，y的取值范围是 ．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据两条直线相交或平行问题由一次函数的图象与正比例函数的图象平行得到，然后把点代入一次函数解析式可求出的值；
（2）①过，作直线即可得到一次函数的图象；②根据函数图象中的信息即可得到结论．
【详解】（1）解：一次函数的图象与正比例函数的图象平行，
，
，
把点代入得，解得，
一次函数的表达式为：；
（2）令时，，过，作直线，即为一次函数的图象，如图；
由图象可知：
①当时，；
②当时，；
故答案为：；．
  
【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，掌握两直线平行时解析式的值相等是解题的关键．
针对训练5
【变式5-1】．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题．如图1，已知一次函数（k、b为常数，且）的图象．

(1)方程的解为______，不等式的解集为______；
(2)若正比例函数（m为常数，且）与一次函数相交于点P（如图2），则不等式组的解集为______；
(3)比较与的大小（根据图象直接写出结果）．
【答案】(1)，
(2)
(3)当时，；当时，；当时，

【分析】（1）根据点A的坐标即可方程的解，再根据点B的坐标即可得不等式的解集；
（2）根据函数图象分别求出不等式和不等式的解集，再找出它们的公共部分即可得不等式组的解集；
（3）根据点P的横坐标，分、、三种情况，结合函数图象即可．
【详解】（1）解：由函数图象可知，方程的解为，不等式的解集为，
故答案为：，；
（2）解：由函数图象可知，不等式的解集为，不等式的解集为，则这个不等式组的解集为，
故答案为：；
（3）解：由函数图像可知，
当时，，
当时，，
当时，．
【点睛】本题考查一次函数与方程、不等式，熟练掌握函数图象是解题的关键．
【变式5-2】如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题：

(1)当x　　时，；
(2)不等式的解集是　　；
(3)求两个一次函数表达式；
(4)若直线分别交x轴、y轴于点M、A，直线分别交x轴、y轴于点B、N，求点M的坐标和四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)直线的解析式为，直线l2的解析式为
(4)M点的坐标为；四边形的面积
【分析】（1）根据函数图象，得出的解集即可；
（2）根据函数图象，得出不等式的解集即可；
（3）用待定系数法求出函数解析式即可；
（4）把代入求出x的值，即可得出点M的坐标；先求出点N的坐标，再根据求出结果即可．
【详解】（1）解：根据图象可知，当时，；
故答案为：；
（2）解：由图象可知：不等式的解集为x＞3；
故答案为：；
（3）解：把，分别代入，
得：，
解得，
∴直线的解析式为，
把、分别代入，
得，
解得，
所以直线的解析式为；
（4）解：当时，
解得：，
∴M点的坐标为，
当时，，则N点坐标为，
∴四边形的面积为：


．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法．
【变式5-3】【活动回顾】：八年级下册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．

发现：一元一次不等式的解集是函数图象在x轴上方的点的横坐标的集合．
结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合．
【解决问题】：
（1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是______．
（2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为______，方程的解是______；不等式的解是______．
【拓展延伸】
（3）如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C．
①求点A，C的坐标；
②结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是______．
③若x轴上有一动点，是否存在点P，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由
【答案】（1）；（2），，；（3）①，；②；③P点坐标为或或或
【分析】（1）结合图象即可求解；
（2）通过观察图象求解即可；
（3）①根据函数图象上点的特征，求函数与坐标轴的交点坐标即可；
②通过观察图象求解即可；
③分别求出，，，再由等腰三角形的边的关系，分三种情况讨论即可．
【详解】解：（1）∵的图象经过点，
∴观察图象，不等式的解集是，
故答案为：；
（2）通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为，
∵的解为两直线交点的横坐标，
∴方程的解为，
由图象可得，当时，，
∴不等式的解是，
故答案为：，，；
（3）①联立方程组，
解得，
∴，
当时，，
∴，
∴；
②由的图象可知，当时，，
当时，，
∴关于x的不等式组的解集为，
故答案为：；
③存在点P，使得为等腰三角形，理由如下：
令，则，
∴，
∴，
∴，，，
①当时，则，
解得（舍）或，
∴P点坐标为；
②当时，则，
∴或，
∴P点坐标为或；
③当时，则，
解得，
∴P点坐标为；
综上所述：P点坐标为或或或．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．