【小升初奥数竞赛培优专题】六年级下学期数学-勾股定理讲义

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勾股定理

一、知识点

1、历史
三千多年前，周朝数学家商高提出“勾三股四弦五”
最早由公元前3世纪中我汉代数学家赵爽在《周髀算经》注解时给出
相传，公元前550年，古希腊毕达哥拉斯首先发现，但其证明方法已失传

2、概念
直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方
例如：两直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，则a²＋b²＝c²

3、勾股数组
概念：指满足算式a²＋b²＝c²的三个正整数
常见的勾股数组：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（8，15，17）
变形的勾股数组：将上面四组勾股数组中任意一组的三个数同时扩大或缩小相同的倍数之后仍然是勾股数组

4、勾股定理的逆定理
如果一个三角形的三边长a、b、c满足a²＋b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形


二、学习目标

1. 我能够了解勾股定理的概念。

2. 我能够理解勾股定理的逆定理，并能准确判断一个三角形是否为直角三角形。
3. 我能够运用勾股定理解决简单的实际问题。


三、课前练习
1. 计算下列各题，并牢牢记住答案。
11²＝ 12²＝ 13²＝ 14²＝

15²＝ 16²＝ 17²＝ 18²＝

19²＝ 20²＝ 21²＝ 22²＝

23²＝ 24²＝ 25²＝
【解答】
121 144 169 196
225 256 289 324
361 400 441 484
529 576 625

2. 画出下面图形的对称轴，并说一说你有什么发现？


【解答】略


四、典型例题

思路点拨
如何判断三角形为直角三角形如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。最长边所对的角为直角。

例题1
1. 下列各组数中能恰好作为直角三角形三边长的是 。
A.（4，5，6） B.（16，12，10）
C.（10，24，26） D.（5，14，17）
【解答】
根据两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形发现只有C符合
10²＋24²＝26²。

2. 求出下列直角三角形中未知边的长度。（单位：厘米）

【解答】
6²＋8²＝100，100＝10×10，故所求边的长度为10厘米；
15²－9²＝144，144＝12×12，故所求边的长度为12厘米；
8²＋15²＝289，289＝17×17，故所求边的长度为17厘米。

练习1
1. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是 。
A.（5，12，13） B.（12，16，20）
C.（10，14，16） D.（7，24，25）
【解答】
根据两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。
发现只有C不符合10²＋14²≠16²。

2. 求出下列直角三角形中未知边的长度。（单位：厘米）

【解答】
13²－5²＝144，144＝12×12，故所求边的长度为12厘米；
20²－12²＝256，256＝16×16，故所求边的长度为16厘米；
26²－10²＝576，576＝24×24，故所求边的长度为24厘米。

例题2
1. 如图，一根竹竿斜靠在墙上，竹竿的长度是15米，竹竿的顶端离墙根的距离是12
米，则竹竿的底端离墙根的距离是 米。

【解答】
竹竿、墙和地面构成一个直角三角形，可以运用勾股定理进行解题：
15²－12²＝81，81＝9×9
因此竹竿的底端离墙根的距离是9米。
2. 如图，在直角△ABC中，AB＝8dm，BC＝6dm，则AC＝ ，BD＝ 。

【解答】
（1）AC²＝AB²＋BC²＝8²＋6²＝10²，故AC＝10dm。
（2）三角形面积为＝8×6÷2＝24（dm²），BD＝24×2÷10＝4.8（dm）

练习2
1. 如图所示，一棵大树在一次强台风中于离地面6米处折断倒下，树顶落在离树根8
米处。大树在折断之前高 米。

【解答】
6²＋8²＝102；因此折断了10米，大树在折断之前高10＋6＝16（米）。

2. 如图所示，一只蚂蚁从A点出发，沿折线ABCD爬到D点，共爬行了 cm。
（图中小方格边长为1cm）

【解答】5＋3＋13＝21（cm）

思路点拨
如果这里没有直角三角形，那我们可以自己去构造。
例如：利用对称轴。

例题3
如图，已知等腰△ABC的面积是120平方厘米，它的底边长为16厘米，那么△ABC的周长是 。

【解答】
等腰三角形的高正好平分底边，把三角形分成两个完全一样的直角三角形。
高：120×2÷16＝15（厘米），AC：15²＋8²＝289＝17²，即腰长为17厘米。
周长为：17＋17＋16＝50（厘米）

练习3
如图，在等腰△4BC中，AB＝AC＝25，BC＝14，那么△ABC的面积是 。

【解答】
等腰三角形的高正好平分底边，把三角形分成两个完全一样的直角三角形。
高：因为 25²－7²＝24²，故高为24。
△ABC的面积为：24×14÷2＝168

例题4
1. 如图，等腰梯形ABCD中，AD＝4cm，BC＝10cm，AB＝DC＝5cm，则梯形ABCD的面积是
cm²。

【解答】
过A，D做 BC的高，构成直角三角形。
高：5²－3²＝4²，即高为4cm。
梯形面积为（4＋10）×4÷2＝28（cm²）

2. 如图所示的四边形ABCD的面积等于多少？

【解答】
因为3²＋4²＝5²，故BD＝5。
因为5²＋12²＝13²，故三角形CBD是直角三角形。
四边形ABCD的面积：3×4÷2＋12×5÷2＝36

练习4
等腰梯形ABCD中，AD＝8cm，AB＝DC＝13cm，DE＝12cm，则BC＝ cm，梯形ABCD的面积是 cm²。

【解答】
先求EC：13²－12²＝5²，故EC＝5cm
BC＝5＋5＋8＝18(cm)
梯形ABCD的面积：（8＋18）×12÷2＝26×6＝156（cm²）





选讲题
如图，在四边形ABCD中，ACB＝90°，ADC＝90°，AB＝17cm，AD＝9cm，DC＝12cm，则四边形ABCD的面积 cm²。

【解答】
因为AC²＝AD²＋CD²＝15²，故AC＝15cm，
因为 BC²＝AB²－AC²＝8²，故 BC＝8cm。
四边形ABCD的面积：9×12÷2＋15×8÷2＝54＋60＝114（cm²）



五、课后作业
1. 下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是 。
A.（5，4，3） B. （9，40，41）
C.（9，12，15） D. （11，12，13）
【解答】11²＝121，12²＝144，13²＝169，121＋144≠169。故D不能。

2. 如图，一根旗杆被风吹断倒地，旗杆折断处C至旗杆顶端A的长度是10米，旗杆顶端A触地处到旗杆底部B的距离为8米，则折断处C到旗杆底部B的距离为 。

【解答】
10²－8²＝36，36＝6×6
故折断处C到旗杆底部B的距离为6米。

3. 求下面各三角形中未知边的长度。

【解答】
6²＋8²＝100，100＝10×10，故未知边的长度c＝10。
5²－4²＝9，9＝3×3，故未知边的长度a＝3。
26²－24²＝100＝10²，10²－6²＝64，64＝8×8，故未知边的长度b＝8。



4. 如下图所示，△ABC＝90°，ZEAC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，E4＝12cm，则正方形CDEF的面积是 cm²。

【解答】
3²＋4²＝5²，5²＋12²＝169＝13²，
即正方形边长为13厘米。
正方形CDEF的面积：13×13＝169（平方厘米）
.

5. 如图，等腰△ABC的面积是48cm²，它的高AD长为8cm，那么△ABC的周长是 。

【解答】
BC：48×2÷8＝12（cm），则 CD＝6cm。
因为6²＋8²＝10²，则AC＝10cm，
那么△ABC的周长：10＋10＋12＝32（cm）。




选做题
如图，在四边形ABCD中，△ABD＝90°，BCD＝90°，BC＝4cm，CD＝3cm，△ABD 的面积为30cm2，那么AD＝ cm。

【解答】
因为3²＋4²＝25＝5²，故BD＝5cm，
则AB＝30×2÷5＝12（cm），
又因为12²＋5²＝169＝13²，则AD＝13cm。