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【小升初奥数竞赛培优专题】六年级下册数学-尾数0的个数
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这是一份【小升初奥数竞赛培优专题】六年级下册数学-尾数0的个数，文件包含培优奥数专题五年级下册数学-尾数0的个数解析版docx、培优奥数专题五年级下册数学-尾数0的个数docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共15页， 欢迎下载使用。
尾数0的个数
一、知识点
1、适用范围
一个乘法算式的乘积的末尾有多少个连续的0，而不关心这个乘积的大小是多少
2、基本定理
一个自然数的末尾连续的0的个数取决于质因数2和5中个数较少的一种
3、方法
利用短除法，计算出质因数2和5的个数
例如：根据算式40＝2³×51，40有3个质因数2和1个质因数5，其中质因数5的个数较少，所以40这个数的末尾的连续的0的个数将和质因数5的个数相同
4、题型分类（使用层除法）
①已知若干个不同的乘数求乘积中末尾有多少个连续的0
②已知乘积中末尾连续0的个数和若干个桑数反求剩余一个乘数
③已知从1开始若干个连续的乘数求乘积中末尾有多少个连续的0
④已知从任意自然数开始若干个连续的乘数和乘积中末尾连续0的个数反求最后一个乘数
二、学习目标
1.我能够通过比较质因数2和质因数5的数量求乘积末尾连续的0的个数。
2.我能够运用层除法求质因数2和质因数5的个数。
三、课前练习
1. 将自然数2020分解质因数，并回答下列问题：
（1）2020有 个质因数，它的所有质因数的和是 。
（2）2020有 种不同的质因数，它的所有不同的质因数的和是 。
【解答】质因数的个数和种类要引导学生区分清楚。
2020＝22×51×1011，
（1）质因数个数为：2＋1＋1＝4（个）
所有质因数的和为：2×2＋5＋101＝110
（2）质因数种类：2、5、101三种
所有不同的质因数的和：2＋5＋101＝108
2.将下面各数分解质因数，并说出它们含有的质因数的种数及其个数。
72 168 369 1020
【解答】利用短除法进行质因数分解：
72＝23×32，有2和3两种质因数，2有3个，3有2个；
168＝23×31×71，有2、3、7三种质因数，2有3个，3有1个，7有1个；
369＝32×411，有3和41两种质因数，3有2个，41有1个；
1020＝22×31×51×171，有2、3、5、17四种质因数，2有2个，3有1个，5 有1个，17有1个。
四、典型例题
思路点拨
利用短除法分解质因数和利用枚举法找出一个自然数的末尾有几个连续的0，与这个自然数中所包含的质因数有关。
例题1
将下列各数分解质因数，并回答问题：
20 100 1200 150
（1）数20中含有 个质因数2，含有 个质因数5，尾数有 个连续的0。
（2）数100中含有 个质因数2，含有 个质因数5，尾数有 个连续的0。
（3）数1200中含有 个质因数2，含有 个质因数5，尾数有 个连续的0。
（4）数150中含有 个质因数2，含有 个质因数5，尾数有 个连续的0。
总结规律：
一个自然数的末尾有几个连续的0只和这个自然数中所含有的质因数 和质因数
的个数有关，并且末尾连续的0的个数与质因数 和质因数 中个数较少的那种质因数的个数相同。
例如：（1）若m＝23×38×56，则自然数m的末尾有 个连续的0。
（2）若n＝27×54×72×115，则自然数n的末尾有 个连续的0。
【解答】
20＝22×51
100＝22×52
1200＝24×31×52
150＝21×31×52
（1）2，1，1
（2）2，2，2
（3）4，2，2
（4）1，2，1
总结规律：2，5，2，5
例如：
（1）质因数2有3个，质因数5有6个，质因数2的个数较少，故末尾有3个连续的0。
（2）质因数2有7个，质因数5有4个，质因数5的个数较少，故末尾有4个连续的0。
练习1
（1）若A＝211×5°×13³，则自然数A的末尾有 个连续的0。
（2）若B＝210×320×518×196，则自然数B的末尾有 个连续的0。
【解答】
（1）质因数2有11个，质因数5有9个，质因数5的个数较少，故末尾有9个连续的0。
（2）质因数2有10个，质因数5有18个，质因数2的个数较少，故末尾有10个连续的0。
思路点拨
已知若干个不同的乘数，求乘积中末尾有多少个连续的0。
先用短除法算出质因数2的总个数和质因数5的总个数，再用较少的那种质因数来判断。
例题2
（1）算式32×375×442×225的乘积的末尾有 个连续的0。
【解答】
32＝25；375＝31×53；442＝21×131×171；225＝32×52。
质因数2的总个数为5＋1＝6（个），质因数5的总个数为3＋2＝5（个）
易知质因数5的个数比较少，所以末尾有5个连续的0。
（2）算式975×972×935×□的乘积的末尾有4个连续的0，那么在方框内最小应填
。
【解答】
975＝31×52×131；972＝22×35；935＝51×111×171。
975、972、935三个数的乘积中已有2个质因数2，3个质因数5。现题目要求末尾要有4个连续的0，则整体乘积中至少需要质因数2和5各4个。即质因数2还缺少2个，质因数5还缺少1个，所以方框内最小是：22×51＝20。
练习2
（1）算式24×75×98×875的乘积的末尾有 个连续的0。
【解答】
24＝23×31；75＝31×52；98＝21×72；875＝53×71。
质因数2的总个数为3＋1＝4（个），质因数5的总个数为2＋3＝5（个）
易知质因数2的个数比较少，所以末尾有4个连续的0。
（2）算式1995×108×625×□的乘积的末尾有5个连续的0，那么在方框内最小应填
。
【解答】
1995＝31×51×71×191；108＝22×33；625＝54。
1995、108、625三个数的乘积中已有2个质因数2，5个质因数5。现题目要求末尾要有5个连续的0，则整体乘积中至少需要质因数2和5各5个，即质因数2还缺少3个，质因数5还缺少0个，所以方框内最小是：23＝8。
思路点拨
从1开始的连续若干个（非0）自然数中，每两个数就有2的倍数，每5个才有5的倍数，即质因数5的个数比质因数2 的个数少。因此，在求此类末尾有多少个连续的0的题中，可直接用层除法求质因数5的个数，再得答案。
例题3
算式1×2×3×4×5×6×……×348×349×350的乘积是一个多位数，这个多位数的末尾有 个连续的0。
【解答】
利用层除法来计算质因数5的个数为：
[350÷5]＝70（个）
[70÷5]＝14（个）
[14÷5]＝2（个）
70＋14＋2＝86（个）
因此末尾有86个连续的0。
练习3
算式1×2×3×4×5×6×……×666×667×668的乘积是一个多位数，这个多位数的末尾有 个连续的0。
【解答】
利用层除法来计算质因数5的个数为：
[668÷5]＝133（个） [133÷5]＝26（个）
[26÷5]＝5（个） [5÷5]＝1（个）
133＋26＋5＋1＝165（个）
因此末尾有165个连续的0。
思路点拨
1.已知从任意自然数开始的若干个连续的自然数的乘积，求乘积中末尾连续的0个数，可运用层除法结合估算的方式反求最后一个乘数。
2.1~100有24个质因数5。
例题4
已知从1开始的连续n个自然数相乘，1×2×3×4×5×6×7×……×n的乘积的末尾恰有25个连续的0，那么n的最小值是 ，最大值是 。
【解答】
估算：25×4＝100
1~100 含有24个质因数5，因此n的最小值一定超过100，
[]＋[]＝20＋4＝24（个）。因为末尾恰有25个连续的0，说明至少比100多5，故n的最小值是105，则最大值是109。
练习4
算式1×2×3×4×5×……×n的乘积的末尾有37个连续的0，那么自然数n的最小值是 ，最大值是 。
【解答】
估算：37×4＝148
[]＋[]＋[]＝37（个）
故最小值为150，最大值为154。
选讲题
算式5×10×15×20×25×……×500的乘积是一个多位数，这个多位数的末尾有 个连续的0。
【解答】
分析可知，本题质因数2的个数比质因数5的个数少，因此决定末尾0的个数看的是质因数2的个数。我们可以利用提取公因数来提取5，变换一下形式：
原式＝5100×（1×2×3×4×…×100）
质因数2的个数只与1×2×3×4×…×100有关，用层除法计算质因数2的个数：
[100÷2]＝50（个）
[50÷2]＝25（个）
[25÷2]＝12（个）
[12÷2]＝6（个）
[6÷2]＝3（个）
[3÷2]＝1（个）
50＋25＋12＋6＋3＋1＝97（个）
故原式末尾含有97个连续的0。
五、课后作业
1.（1）若A＝25×57×292，则自然数A的末尾有 个连续的0。
（2）若B＝26×33×53×3117，则自然数B的末尾有 个连续的0。
【解答】
（1）质因数2有5个，质因数5有7个，质因数2的个数较少，故末尾有5个连续的0。
（2）质因数2有6个，质因数5有3个，质因数5的个数较少，故末尾有3个连续的0。
2.算式72×135×146×225的乘积的末尾有 个连续的0。
【解答】
72＝23×32；135＝33×51；146＝21×731；225＝32×52。
质因数2的总个数为3＋1＝4（个），质因数5的总个数为1＋2＝3（个），
易知质因数5的个数比较少，所以末尾有3个连续的0。
3.算式2025×168×275×□的乘积的末尾有5个连续的0，那么在方框内最小应该填 。
【解答】
2025＝34×52；168＝23×31×71；275＝52×111。
2025、168、275三个数的乘积中已有3个质因数2，4个质因数5。现题目要求末尾要有5个连续的0，则整体乘积中至少需要质因数2和5各5个，即质因数2还缺少2个，质因数5还缺少1个，所以方框内最小是：22×51＝20。
4.算式1×2×3×4×5×6×……×634×635×636的乘积是一个多位数，这个多位数的末尾有
个连续的0。
【解答】158个
利用层除法来计算质因数5的个数为：
[636÷5]＝127（个）[127÷5]＝25（个）
[25÷5]＝5（个）[5÷5]＝1（个）
127＋25＋5＋1＝158（个）
因此末尾有158个连续的0。
5.算式1×2×3×4×5×……×n的乘积的末尾有31个连续的0，那么自然数n的最小值是 ，最大值是 。
【解答】
估算：31×4＝124
[]＋[]＋[]＝31（个）
故最大值为125，最小值为129。
选做题
算式28×30×32×34×36×……×n的乘积的末尾有6个连续的0，那么自然数n的最小值是 ，最大值是 。
【解答】
由题意可知，算式中的乘数均为偶数，因此决定后面连续的0个数应该由质因数5决定。因乘积的末尾有6个连续的0，故乘数中总质因数5的个数为6。
由2和5的整除特性可知，能被2和5同时整除的自然数的个位为0，则本题中满足条件的数有30、40、50、60、70。（50有2个质因数5，其余数都是1个质因数5）
综上所述，n的最小值是70，最大值是78。
尾数0的个数
一、知识点
1、适用范围
一个乘法算式的乘积的末尾有多少个连续的0，而不关心这个乘积的大小是多少
2、基本定理
一个自然数的末尾连续的0的个数取决于质因数2和5中个数较少的一种
3、方法
利用短除法，计算出质因数2和5的个数
例如：根据算式40＝2³×51，40有3个质因数2和1个质因数5，其中质因数5的个数较少，所以40这个数的末尾的连续的0的个数将和质因数5的个数相同
4、题型分类（使用层除法）
①已知若干个不同的乘数求乘积中末尾有多少个连续的0
②已知乘积中末尾连续0的个数和若干个桑数反求剩余一个乘数
③已知从1开始若干个连续的乘数求乘积中末尾有多少个连续的0
④已知从任意自然数开始若干个连续的乘数和乘积中末尾连续0的个数反求最后一个乘数
二、学习目标
1.我能够通过比较质因数2和质因数5的数量求乘积末尾连续的0的个数。
2.我能够运用层除法求质因数2和质因数5的个数。
三、课前练习
1. 将自然数2020分解质因数，并回答下列问题：
（1）2020有 个质因数，它的所有质因数的和是 。
（2）2020有 种不同的质因数，它的所有不同的质因数的和是 。
【解答】质因数的个数和种类要引导学生区分清楚。
2020＝22×51×1011，
（1）质因数个数为：2＋1＋1＝4（个）
所有质因数的和为：2×2＋5＋101＝110
（2）质因数种类：2、5、101三种
所有不同的质因数的和：2＋5＋101＝108
2.将下面各数分解质因数，并说出它们含有的质因数的种数及其个数。
72 168 369 1020
【解答】利用短除法进行质因数分解：
72＝23×32，有2和3两种质因数，2有3个，3有2个；
168＝23×31×71，有2、3、7三种质因数，2有3个，3有1个，7有1个；
369＝32×411，有3和41两种质因数，3有2个，41有1个；
1020＝22×31×51×171，有2、3、5、17四种质因数，2有2个，3有1个，5 有1个，17有1个。
四、典型例题
思路点拨
利用短除法分解质因数和利用枚举法找出一个自然数的末尾有几个连续的0，与这个自然数中所包含的质因数有关。
例题1
将下列各数分解质因数，并回答问题：
20 100 1200 150
（1）数20中含有 个质因数2，含有 个质因数5，尾数有 个连续的0。
（2）数100中含有 个质因数2，含有 个质因数5，尾数有 个连续的0。
（3）数1200中含有 个质因数2，含有 个质因数5，尾数有 个连续的0。
（4）数150中含有 个质因数2，含有 个质因数5，尾数有 个连续的0。
总结规律：
一个自然数的末尾有几个连续的0只和这个自然数中所含有的质因数 和质因数
的个数有关，并且末尾连续的0的个数与质因数 和质因数 中个数较少的那种质因数的个数相同。
例如：（1）若m＝23×38×56，则自然数m的末尾有 个连续的0。
（2）若n＝27×54×72×115，则自然数n的末尾有 个连续的0。
【解答】
20＝22×51
100＝22×52
1200＝24×31×52
150＝21×31×52
（1）2，1，1
（2）2，2，2
（3）4，2，2
（4）1，2，1
总结规律：2，5，2，5
例如：
（1）质因数2有3个，质因数5有6个，质因数2的个数较少，故末尾有3个连续的0。
（2）质因数2有7个，质因数5有4个，质因数5的个数较少，故末尾有4个连续的0。
练习1
（1）若A＝211×5°×13³，则自然数A的末尾有 个连续的0。
（2）若B＝210×320×518×196，则自然数B的末尾有 个连续的0。
【解答】
（1）质因数2有11个，质因数5有9个，质因数5的个数较少，故末尾有9个连续的0。
（2）质因数2有10个，质因数5有18个，质因数2的个数较少，故末尾有10个连续的0。
思路点拨
已知若干个不同的乘数，求乘积中末尾有多少个连续的0。
先用短除法算出质因数2的总个数和质因数5的总个数，再用较少的那种质因数来判断。
例题2
（1）算式32×375×442×225的乘积的末尾有 个连续的0。
【解答】
32＝25；375＝31×53；442＝21×131×171；225＝32×52。
质因数2的总个数为5＋1＝6（个），质因数5的总个数为3＋2＝5（个）
易知质因数5的个数比较少，所以末尾有5个连续的0。
（2）算式975×972×935×□的乘积的末尾有4个连续的0，那么在方框内最小应填
。
【解答】
975＝31×52×131；972＝22×35；935＝51×111×171。
975、972、935三个数的乘积中已有2个质因数2，3个质因数5。现题目要求末尾要有4个连续的0，则整体乘积中至少需要质因数2和5各4个。即质因数2还缺少2个，质因数5还缺少1个，所以方框内最小是：22×51＝20。
练习2
（1）算式24×75×98×875的乘积的末尾有 个连续的0。
【解答】
24＝23×31；75＝31×52；98＝21×72；875＝53×71。
质因数2的总个数为3＋1＝4（个），质因数5的总个数为2＋3＝5（个）
易知质因数2的个数比较少，所以末尾有4个连续的0。
（2）算式1995×108×625×□的乘积的末尾有5个连续的0，那么在方框内最小应填
。
【解答】
1995＝31×51×71×191；108＝22×33；625＝54。
1995、108、625三个数的乘积中已有2个质因数2，5个质因数5。现题目要求末尾要有5个连续的0，则整体乘积中至少需要质因数2和5各5个，即质因数2还缺少3个，质因数5还缺少0个，所以方框内最小是：23＝8。
思路点拨
从1开始的连续若干个（非0）自然数中，每两个数就有2的倍数，每5个才有5的倍数，即质因数5的个数比质因数2 的个数少。因此，在求此类末尾有多少个连续的0的题中，可直接用层除法求质因数5的个数，再得答案。
例题3
算式1×2×3×4×5×6×……×348×349×350的乘积是一个多位数，这个多位数的末尾有 个连续的0。
【解答】
利用层除法来计算质因数5的个数为：
[350÷5]＝70（个）
[70÷5]＝14（个）
[14÷5]＝2（个）
70＋14＋2＝86（个）
因此末尾有86个连续的0。
练习3
算式1×2×3×4×5×6×……×666×667×668的乘积是一个多位数，这个多位数的末尾有 个连续的0。
【解答】
利用层除法来计算质因数5的个数为：
[668÷5]＝133（个） [133÷5]＝26（个）
[26÷5]＝5（个） [5÷5]＝1（个）
133＋26＋5＋1＝165（个）
因此末尾有165个连续的0。
思路点拨
1.已知从任意自然数开始的若干个连续的自然数的乘积，求乘积中末尾连续的0个数，可运用层除法结合估算的方式反求最后一个乘数。
2.1~100有24个质因数5。
例题4
已知从1开始的连续n个自然数相乘，1×2×3×4×5×6×7×……×n的乘积的末尾恰有25个连续的0，那么n的最小值是 ，最大值是 。
【解答】
估算：25×4＝100
1~100 含有24个质因数5，因此n的最小值一定超过100，
[]＋[]＝20＋4＝24（个）。因为末尾恰有25个连续的0，说明至少比100多5，故n的最小值是105，则最大值是109。
练习4
算式1×2×3×4×5×……×n的乘积的末尾有37个连续的0，那么自然数n的最小值是 ，最大值是 。
【解答】
估算：37×4＝148
[]＋[]＋[]＝37（个）
故最小值为150，最大值为154。
选讲题
算式5×10×15×20×25×……×500的乘积是一个多位数，这个多位数的末尾有 个连续的0。
【解答】
分析可知，本题质因数2的个数比质因数5的个数少，因此决定末尾0的个数看的是质因数2的个数。我们可以利用提取公因数来提取5，变换一下形式：
原式＝5100×（1×2×3×4×…×100）
质因数2的个数只与1×2×3×4×…×100有关，用层除法计算质因数2的个数：
[100÷2]＝50（个）
[50÷2]＝25（个）
[25÷2]＝12（个）
[12÷2]＝6（个）
[6÷2]＝3（个）
[3÷2]＝1（个）
50＋25＋12＋6＋3＋1＝97（个）
故原式末尾含有97个连续的0。
五、课后作业
1.（1）若A＝25×57×292，则自然数A的末尾有 个连续的0。
（2）若B＝26×33×53×3117，则自然数B的末尾有 个连续的0。
【解答】
（1）质因数2有5个，质因数5有7个，质因数2的个数较少，故末尾有5个连续的0。
（2）质因数2有6个，质因数5有3个，质因数5的个数较少，故末尾有3个连续的0。
2.算式72×135×146×225的乘积的末尾有 个连续的0。
【解答】
72＝23×32；135＝33×51；146＝21×731；225＝32×52。
质因数2的总个数为3＋1＝4（个），质因数5的总个数为1＋2＝3（个），
易知质因数5的个数比较少，所以末尾有3个连续的0。
3.算式2025×168×275×□的乘积的末尾有5个连续的0，那么在方框内最小应该填 。
【解答】
2025＝34×52；168＝23×31×71；275＝52×111。
2025、168、275三个数的乘积中已有3个质因数2，4个质因数5。现题目要求末尾要有5个连续的0，则整体乘积中至少需要质因数2和5各5个，即质因数2还缺少2个，质因数5还缺少1个，所以方框内最小是：22×51＝20。
4.算式1×2×3×4×5×6×……×634×635×636的乘积是一个多位数，这个多位数的末尾有
个连续的0。
【解答】158个
利用层除法来计算质因数5的个数为：
[636÷5]＝127（个）[127÷5]＝25（个）
[25÷5]＝5（个）[5÷5]＝1（个）
127＋25＋5＋1＝158（个）
因此末尾有158个连续的0。
5.算式1×2×3×4×5×……×n的乘积的末尾有31个连续的0，那么自然数n的最小值是 ，最大值是 。
【解答】
估算：31×4＝124
[]＋[]＋[]＝31（个）
故最大值为125，最小值为129。
选做题
算式28×30×32×34×36×……×n的乘积的末尾有6个连续的0，那么自然数n的最小值是 ，最大值是 。
【解答】
由题意可知，算式中的乘数均为偶数，因此决定后面连续的0个数应该由质因数5决定。因乘积的末尾有6个连续的0，故乘数中总质因数5的个数为6。
由2和5的整除特性可知，能被2和5同时整除的自然数的个位为0，则本题中满足条件的数有30、40、50、60、70。（50有2个质因数5，其余数都是1个质因数5）
综上所述，n的最小值是70，最大值是78。
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