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2022-2023学年广东省汕头市高一（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年广东省汕头市高一（下）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省汕头市高一（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设全集U=R，集合N={x∈Z|1≤x≤10}，M={x|x2−x−6=0}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. {−2} B. {3} C. {−3,2} D. {−2,3}
2. 设复数z=3+i31+2i(i为虚数单位)，则|z|=( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 13
3. 甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.7，被甲或乙解出的概率为0.94，则该题被乙独立解出的概率为( )
A. 0.9 B. 0.8 C. 0.7 D. 0.6
4. 如图，点D、E分别AC、BC的中点，设AB=a，AC=b，F是DE的中点，则AF=( )
A. 12a+12b
B. −12a+12b
C. 14a+12b
D. −14a+12b
5. 著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．“在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是( )
A. f(x)=sin3x4−x−4x B. f(x)=cos3x4−x−4x
C. f(x)=cos3x|4x−4−x| D. f(x)=sin3x|4x−4−x|
6. 在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边与x的非负半轴重合，将角α的终边按逆时针旋转π6后，得到的角终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点P(−35,45)，则sin(2α−π6)=( )
A. 725 B. −725 C. 2425 D. −2425
7. 已知a，b，l是直线，α是平面，若a//α，b⊂α，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 设f(x)是定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，对任意的x1，x2∈(0,+∞)，x1≠x2，满足：x2f(x2)−x1f(x1)x2−x1>0，且f(2)=4，则不等式f(x)−8x>0的解集为( )
A. (−2,0)∪(2,+∞) B. (−2,0)∪(0,2)
C. (−∞,−4)∪(0,4) D. (−∞,−2)∪(2,+∞)
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 在党中央、国务院决策部署下，近一年来我国经济运行呈现企稳回升态势.如图为2022年2月至2023年1月社会消费品零售总额增速月度同比折线图，月度同比指的是与去年同期相比，图中纵坐标为增速百分比.就图中12个月的社会消费品零售总额增速而言，以下说法正确的是( )
A. 12个月的月度同比增速百分比的中位数为1%
B. 12个月的月度同比增速百分比的平均值大于0
C. 图中前6个月的月度同比增速百分比波动比后6个月的大
D. 共有8个月的月度同比增速百分比大于12个月的月度同比增速百分比的平均值
10. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图像如图所示，下列说法正确的是( )
A. f(x)的图像关于点(−π3,0)对称
B. f(x)的图像关于直线x=−5π12对称
C. 将函数y=2cos2x的图像向右平移π12个单位长度得到函数f(x)的图像
D. 若方程f(x)=m在[−π2,0]上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是(−2,− 3]
11. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜(gá)”或“打老牛”.传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形.现有一圆锥形陀螺(如图所示)，其底面半径为3，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则( )
A. 圆锥的母线长为9
B. 圆锥的表面积为36π
C. 圆锥的侧面展开图(扇形)的圆心角为60°
D. 圆锥的体积为12 2π
12. 已知实数a，b，满足a>b>0，lnalnb=1，则( )
A. ab>e2 B. loga2abba
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若A={x|x2+x−a>0}，且1∉A，则a的取值范围为______ ．
14. 已知向量a=(4,2),b=(−6,2)，则下列说法正确的是______ ．
(1)(a+b)⊥a
(2)|a+2b|=20
(3)向量a在向量b上投影向量的模长是 102
(4)与向量a方向相同的单位向量是(2 55, 55)
15. 半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若该二十四等边体的体积为203，则原正方体的外接球的表面积为______ ．
16. 已知θ∈(π2,π)，则sinθ+cosθ+sinθcosθ的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知某公司计划生产一批产品总共t万件(0.5
(Ⅱ)当广告宣传总费用为多少万元时，该公司的利润最大？最大利润为多少万元？
18. (本小题12.0分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcosA− 3c+a2cosB=0．
(1)求a的值；
(2)点D在线段BC上，∠BAC=120°，∠BAD=45°，CD=1，求△ABC的面积．
19. (本小题12.0分)
某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．
(1)根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和第80百分位数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者．
(i)若有甲(年龄38)，乙(年龄40)两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
(ii)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差．
20. (本小题12.0分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AD⊥DC，BC=CD=12AD=2，E为棱AD的中点，PA⊥平面ABCD．
(1)证明：AB//平面PCE；
(2)求证：平面PAB⊥平面PBD；
(3)若二面角P−CD−A的大小为45°，求直线AD与平面PBD所成角的正切值．
21. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2)的图象经过点(−π4,0)．
(1)若f(x)的最小正周期为2π，求f(x)的解析式；
(2)若∀x∈R，f(x+π4)=f(π4−x)，是否存在实数ω，使得f(x)在(7π18,5π9)上单调？若存在，求出ω的取值集合；若不存在，请说明理由．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)，g(x)=2x2−4x−16，且|f(x)|≤|g(x)|对x∈R恒成立．
(1)求a、b的值；
(2)若对x>2，不等式f(x)≥(m+2)x−m−15恒成立，求实数m的取值范围．
(3)记h(x)=−12f(x)−4，那么当k≥12时，是否存在区间[m,n](m
1.【答案】A
【解析】解：∵N={x∈Z|1≤x≤10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，
M={x|x2−x−6=0}={3,−2}，
∴M∩N={3}，
则图中阴影部分表示的集合为∁M(M∩N)={−2}．
故选：A．
由图象可知阴影部分对应的集合为∁M(M∩N)，然后根据集合的基本运算即可．
本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．
2.【答案】A
【解析】解：因为z=3+i31+2i=3−i1+2i=(3−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1−7i5=15−75i，
所以|z|= (15)2+(−75)2= 2．
故选：A．
利用复数的四则运算及模的运算即可得解．
本题主要考查复数的模的公式，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：设乙独立解出该题的概率为P，
由题意可得1−0.3×(1−P)=0.94，∴P=0.8．
故选：B．
由题意，表示出该题未被解出的概率，然后列出方程，即可得到结果．
本题考查相互独立事件的概率公式，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：因为点D、E分别AC、BC的中点，F是DE的中点，
所以AF=AD+DF=12AC+12DE=12AC+14AB，
即AF=14a+12b．
故选：C．
根据向量的运算，利用基底向量a,b表示AF即可．
本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由函数的图象可知，函数为偶函数，定义域为{x|x≠0}，且x>0时，x→0时，函数值趋近于+∞，
A中，定义域{x|x≠0}，f(−x)=sin(−3x)4x−4−x=−sin3x−(4−x−4x)=f(x)，函数为偶函数，且x>0时，x→0时，函数值趋近于−∞，所以A不正确；
B中，定义域{x|x≠0}，f(−x)=cos(−3x)4x−4−x=cos3x−(4−x−4x)=−f(x)，则函数为奇函数，所以B不正确；
C中，定义域{x|x≠0}，f(−x)=cos(−3x)|4−x−4x|=cos3x|4x−4−x|=f(x)，则函数为偶函数，且x>0时，x→0时，函数值趋近于+∞，所以C正确；
D中，定义域{x|x≠0}，f(−x)=sin(−3x)|4−x−4x|=−sin3x|4x−4−x|=−f(x)，则函数为奇函数，所以D不正确；
故选：C．
由函数的图象可知，函数为偶函数，定义域为{x|x≠0}，且x>0时，x→0时，函数值趋近于+∞，而对所给的命题中，B，D为奇函数，排除，A，C中，经过判断可得A，C的真假．
本题考查偶函数的性质及单调性的应用，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：将角α的终边按逆时针旋转π6后，得到的角终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点P(−35,45)，
故cos(α+π6)=−35，sin(α+π6)=45；
所以sin(2α−π6)=−cos(2α+π3)=1−2cos2(α+π6)=1−1825=725．
故选：A．
直接利用角的旋转和倍角公式求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，倍角公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：若a//α，b⊂α，如果a//b，则“l⊥α”不一定成立．
如图所示，所以“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”非充分条件．
如果“l⊥α”，又b⊂α，
所以l⊥b，
因为a//α，
所以l⊥a，所以“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的必要条件．
所以“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的必要非充分条件．
故选：B．
举反例判断充分性，再证明必要性得解．
本题考查充分必要条件的定义，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：令F(x)=xf(x)，
由f(x)是定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，
可得F(x)是定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，
由对任意的x1，x2∈(0,+∞)，x1≠x2，满足：x2f(x2)−x1f(x1)x2−x1>0，
可得F(x)=xf(x)在(0,+∞)上单调递增，
由f(2)=4，可得F(2)=8，
所以F(x)在(−∞,0)上单调递减，且F(−2)=8，
不等式f(x)−8x>0，即为xf(x)−8x>0，即F(x)−8x>0，
可得x>0F(x)>8或x<0F(x)<8，即x>0x>2或x<0−2
令F(x)=xf(x)，由已知可得函数F(x)的奇偶性与单调性，将不等式转化为F(x)−8x>0，利用单调性及奇偶性即可求解．
本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合，利用函数的奇偶性与单调性解不等式，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：由折线图可得增速百分比(%)由小到大依次为：−11.1，−6.7，−5.9，−3.5，−1.8，−0.5，2.5，2.7，3.1，3.5，5.4，6.7，
对于选项A，12个月的月度同比增速百分比的中位数为−0.5+2.52=1(%)，故A选项正确；
对于选项B，∵112[(−11.1)+(−6.7)+(−5.9)+(−3.5)+(−1.8)+(−0.5)+2.5+2.7+3.1+3.5+5.4+6.7]=−715<0，
∴12个月的月度同比增速百分比的平均值小于0，故B选项错误；
对于选项C，由折线图可得前6个月的月度同比增速百分比先大幅度波动后渐渐趋于稳定，后6个月的大波动整体较小，
∴前6个月的月度同比增速百分比波动比后6个月的大，故C选项正确；
对于选项D，∵−715≈−0.47，可知大于−0.47的有2.5，2.7，3.1，3.5，5.4，6.7，共有6个，
∴共有6个月的月度同比增速百分比大于12个月的月度同比增速百分比的平均值，故D选项错误．
故选：AC．
根据题意结合相关概念逐项分析判断．
本题主要考查折线图，平均数，中位数的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】BCD
【解析】解：由图可知：A=2，f(x)的周期T=4×(π3−π12)=π，ω=2πT=2，
x=π12时，ωx+φ=π2+2kπ,(k∈Z)，2x+φ=π2+2kπ，
|φ|<π2，∴φ=π3，f(x)=2sin(2x+π3)．
对于A，f(−π3)=2sin(−2π3+π3)=− 3≠0，错误；
对于B，f(−5π12)=2sin(−5π6+π3)=−2，正确；
对于C，将y=2cos2x向右平移π12个单位，
得y=2cos[2(x−π12)]=2cos(2x−π6)=2cos(2x−π2+π3)=2cos[−(π2−(2x+π3)]=2sin(2x+π3)，正确；
对于D，f(x)的大致图像如下：
欲使得在[−π2,0]内方程f(x)=m有2个不相等的实数根，则−2
根据图中的信息求出ω，φ，再根据正弦函数的性质逐项分析即可．
本题考查三角函数的图象和性质，属于中档题．
11.【答案】AB
【解析】解：对于A，设圆锥的母线长为l，以S为圆心，SA为半径的圆的面积为πl2，
圆锥的侧面积为πrl=3πl，
当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，
则πl2=9πl，所以圆锥的母线长为l=9，故A正确；
对于B，圆锥的表面积3π×9+π×32=36π，故B正确；
对于C，圆锥的底面圆周长为2π×3=6π，设圆锥侧面展开图(扇形)的圆心角为αrad，
则6π=9α，解得α=2π3，即α=120°，故C错误；
对于D，圆锥的高h= l2−r2= 92−32=6 2，所以圆锥的体积为V=13πr2h=13π×32×6 2=18 2π，故D错误．
故选：AB．
对于A，利用圆锥在平面内转回原位置求解以S为圆心，SA为半径的圆的面积，再求解圆锥的侧面积，根据圆锥本身恰好滚动了3周列出方程求解结果；对于B，利用圆锥的表面积公式进行计算；对于C，圆锥的底面圆周长即为圆锥侧面展开图(扇形)的弧长，根据弧长公式求解圆心角；对于D，求解圆锥的高，利用圆锥体积公式求解．
本题主要考查圆锥的结构特征，圆锥的表面积及体积的运算，考查运算求解能力，属于基础题．
12.【答案】BCD
【解析】解：对于选项A：因为lnalnb<(lna+lnb)24=ln2ab4，即ln2ab4>1，解得lnab>2或lnab<−2，
所以ab>e2或0
因为a>b>0，则lna>lnb，即lnb−lna<0，且ln2>0，
所以loga2−logb2<0，即loga2
可得lna，lnb同号，则有：
若lna，lnb同正，可得a>e>b>1，
则(a−1)(b−1)=ab−(a+b)+1>0，可得ab+1>a+b；
若lna，lnb同负，可得1>a>1e>b>0，
则(a−1)(b−1)=ab−(a+b)+1>0，可得ab+1>a+b；
综上所述：ab+1>a+b，
又因为y=(12)x在定义域内单调递减，所以(12)ab+1<(12)a+b，故C正确；
对于选项D：因为a>b>0，则a−b>0，
可得y=xa−b在(0,+∞)内单调递增，可得aa−b>ba−b>0，
且ab，ba>0，所以aabb>abba，故D正确；
故选：BCD．
对于选项A：根据题意结合基本不等式分析判断；对于选项B：利用作差法分析判断；对于选项C：分析可得ab+1>a+b，结合指数函数单调性分析判断；对于选项D：结合幂函数单调性分析判断．
本题主要考查对数值大小的比较，属于中档题．
13.【答案】{a|a≥2}
【解析】解：∵1∉A，∴集合A中没有元素1，
又集合A中的元素是由一元二次不等式构成的解集，
故问题可转化为一元二次不等式没有实数解1．
由12+1−a≤0，
解得a≥2．
故答案为：{a|a≥2}．
由1∉A，知集合A中没有元素1，又集合A中的元素是由一元二次不等式构成的解集，故可转化为一元二次不等式没有实数解1，即12+1−a≤0，解得a的范围．
本题利用二次函数考查了集合元素的分布以及集合与集合间的运算问题，是基础题．
14.【答案】(1)(4)
【解析】解：a+b=(−2,4)，则(a+b)⋅a=−2×4+2×4=0，所以(a+b)⊥a，故(1)正确；
由a+2b=(−8,6)，可得|a+2b|= (−8)2+62=10，故(2)错误；
由向量a在向量b方向上的投影向量为a⋅b|b|2b=4×(−6)+2×240×(−6,2)=(3,−1)，
故其模长为 10，故(3)错误；
由|a|= 42+22=2 5，所以与向量a方向相同的单位向量是a|a|=(2 55, 55)，故(4)正确．
故答案为：(1)(4)．
根据向量的数量积的坐标运算，向量的几何意义，向量的投影向量的计算，单位向量的计算方法，逐项判定，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
15.【答案】12π
【解析】解：令原正方体的棱长为2a，原正方体的外接球的半径为R，
因为该二十四等边体是由棱长2a为的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得，
所以(2a)3−8×13×12×a3=203.解得a=1，即2a=2，
因为正方体的体对角线就是外接球的直径，
所以2R= 22+22+22，即R= 3，
所以则原正方体的外接球的表面积为4πR2=12π．
故答案为：12π．
令原正方体的棱长为2a，原正方体的外接球的半径为R，由该二十四等边体是由棱长为2a的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得，可得(2a)3−8×13×12×a3=203，解得a=1，再根据正方体的体对角线就是外接球的直径可以求得R= 3，从而可求表面积．
本题考查几何体的外接球问题，属中档题．
16.【答案】[−12,2)
【解析】解：设t=sinθ+cosθ= 2sin(θ+π4)，
因为θ∈(π2,π)，可得θ+π4∈(34π,5π4)，所以sin(θ+π4)∈(− 22, 22)，
即t∈(−1,1)，可得t2∈[0,1)，
因为t2=(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ，所以sinθcosθ=t2−12，
所以sinθ+cosθ+sinθcosθ=t+t2−12=32t2+t−12∈[−12,2)．
故答案为：[−12,2)．
设t=sinθ+cosθ，由θ的范围，可得t的范围，再由(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ，可得sinθcosθ的范围，进而可得sinθ+cosθ+sinθcosθ的范围．
本题考查角的正余弦的和与正余弦的乘积的关系，属于基础题．
17.【答案】解：(1)由题意易知y=t(4+80t)−4t−6t(1+1t2)=80−6(t+1t)，t∈(0.5,1.5)．
(2)根据基本不等式可得t+1t≥2 t⋅1t=2，
所以6(t+1t)≥12，
故可以得到y≤80−12=68，
所以当t=1即宣传费用为4万元时，利润最大为68万元．
【解析】(1)根据利润与成本及产量的关系直接列式；
(2)利用基本不等式求最值．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由正弦定理得asinBcosA− 3sinC+asinAcosB=0，
∴a(sinAcosB+cosAsinB)= 3sinC，
∴asin(A+B)= 3sinC，
∴asinC= 3sinC，
∵sinC>0，∴a= 3；
(2)方法1：∵S△ACDS△ABD=CDBD，即12AC⋅ADsin75°12AB⋅ADsin45°=1 3−1，
又sin75°=sin(45°+sin30°)= 22× 32+ 22×12= 6+ 24，
∴ACAB=1，即AB=AC，
在△ABC中，由余弦定理得cosA=AB2+AC2−32AB⋅AC，则2AB2−3=−AB2，
∴AB=AC=1，
∴S△ABC=12×1×1×sin120°= 34；
方法2：设∠ACB=θ，在△ACD中，由正弦定理得ACsin(75∘+θ)=1sin75∘，
同理在△ABC中ACsin(60∘−θ)= 3sin120°，
∴AC=sin(75°+θ)sin75∘= 3sin(60°−θ)sin120°，
∴ 62sinθ= 22cosθ，即tanθ= 33，
又0°<θ<60°，
∴θ=30°，即AB=AC，
在△ABC中，由余弦定理得cosA=AB2+AC2−32AB⋅AC，即2AB2−3=−AB2，
∴AB=AC=1，
∴S△ABC=12×1×1×sin120°= 34．
【解析】(1)根据正弦定理、三角函数的和差角公式，将条件变形即可得出答案；
(2)由S△ACDS△ABD=CDBD可得AB=AC，然后由余弦定理可解出AB，AC，即可得出答案；或利用正弦定理结合结合条件求∠ACB=30°，然后再利用余弦定理及三角形面积公式，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)设这m人的平均年龄为x−，
则x−=22.5×0.05+27.5×0.35+32.5×0.3+37.5×0.2+42.5×0.1=32.25(岁)．
设第80百分位数为a，
方法一：由5×0.02+(40−a)×0.04=0.2，解得a=37.5．
方法二：由0.05+0.35+0.3+(a−35)×0.04=0.8，解得a=37.5．
(2)(i)由题意得，第四组应抽取4人，记为A，B，C，甲，第五组抽取2人，记为D，乙，
对应的样本空间为：Ω={(A,B)，(A,C)，(A，甲)，(A，乙)，(A,D)，(B,C)，(B，甲)，(B，乙)，(B,D)，(C，甲)，(C，乙)，(C,D)，(甲，乙)，(甲，D)，(乙，D)}，共15个样本点．
设事件M=“甲、乙两人至少一人被选上”，则M={(A，甲)，(A，乙)，(B，甲)，(B，乙)，(C，甲)，(C，乙)，(甲，乙)，(甲，D)，(乙，D)}，共有9个样本点．
所以，P(M)=n(M)n(Ω)=35．
(ii)设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为x−4，x−5，方差分别为s42，s52，
则x−4=37，x−5=43，s42=52，s52=1，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z−，方差为s2．
则z−=4x−4+2x−56=39，s2=16{4×[s42+(x−4−z−)2]+2×[s52+(x−5−z−)2]}=10，
因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，
据此，可估计这m人中年龄在35～45岁的所有人的年龄方差约为10．
【解析】(1)根据频率分布直方图，利用组中值乘以相应的频率，即可得这m人的平均年龄；设第80百分位数为a，计算从左到右频率和为0.8或计算从右到左频率和为0.2，即可求出a；
(2)(i)由题意可得，第四组应抽取4人，记为A，B，C，甲，第五组抽取2人，记为D，乙，根据古典概型计算方法求解即可；
(ii)根据方差的计算原理计算合并后方差即可．
本题考查根据频率分布直方图的应用，古典概型以及平均数、方差，是基础题．
20.【答案】证明：(1)∵BC//AE且BC=AE，
∴四边形BCEA为平行四边形，
∴AB//EC，
又∵AB⊄平面PCE，EC⊂平面PCE，
∴AB//平面PCE；
(2)∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴PA⊥BD，
连接BE，∵BC//DE且BC=DE，
∴四边形BCDE为平行四边形，
∵DE⊥CD，BC=CD=2，
∴平行四边形BCDE为正方形，
∴BD⊥EC，
又∵AB//EC，∴BD⊥AB，
又∵PA⋂AB=A，PA⊂面PAB，AB⊂面PAB，
∴BD⊥面PAB，
∵BD⊂面PBD，
∴平面PAB⊥平面PBD；
解：(3)∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，
又∵CD⊥AD，PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，
∵PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD，
∴∠PDA为二面角P−CD−A的平面角，从而∠PDA=45°，
∴在Rt△PAD中，PA=AD=4，
作AM⊥PB于M，连接MD，
由(2)知，平面PAB⊥平面PBD且AM⊂平面PAB，平面PAB∩平面PBD=PB，
∴AM⊥面PBD，∴DM即为直线AD在平面PBD上的投影，
∴∠ADM为直线AD与平面PBD所成角，
在直角△PAB中，AB=CE=2 2，PA=4，PB=2 6，
∴AM=PA⋅ABPB=4×2 22 6=4 33，
∵AM⊥面PBD，DM⊂面PBD，∴AM⊥DM，
在直角△AMD中，AD=4,AM=4 33，DM= AD2−AM2= 16−163=4 63，
∴tan∠ADM=AMDM=4 334 63= 22，
则直线AD与平面PBD所成角的正切值为 22．
【解析】(1)由线面平行的判断定理即可证明；
(2)由面面垂直的判断定理即可证明；
(3)由二面角P−CD−A的大小为45°可得PA=AD=4，再由线面角的定义可求得．
本题考查空间点、直线、平面的位置关系和直线与平面所成角，属于中档题．
21.【答案】解：(1)因为f(x)的最小正周期为2π，
所以2π|ω|=2π．
因为ω>0，所以ω=1．
因为f(x)的图象经过点(−π4,0)，所以−π4+φ=kπ，k∈Z，
即φ=kπ+π4，k∈Z．
因为|φ|≤π2，所以φ=π4．
故f(x)=sin(x+π4)．
(2)因为∀x∈R，f(x+π4)=f(π4−x)，
所以直线x=π4为f(x)图象的对称轴，
又f(x)的图象经过点(−π4,0)．
所以−π4ω+φ=k1π，π4ω+φ=k2π+π2，k1，k2∈Z．
两式相减得π2ω=(k2−k1)π+π2，
整理得ω=2(k2−k1)+1，
因为ω>0，所以ω=2n+1(n∈N)，
因为f(x)在(7π18,5π9)上单调，
所以5π9−7π18=π6≤T2，即T=2πω≥π3，解得ω≤6．
当ω=5时，−5π4+φ=kπ，k∈Z．
因为|φ|≤π2，所以φ=π4，此时f(x)=sin(5x+π4)．
令t=5x+π4∈(79π36,109π36)，g(t)=sint.g(t)在(79π36,5π2)上单调递增，在(5π2,109π36)上单调递减，
故f(x)在(7π18,5π9)上不单调，不符合题意；
当ω=3时，−3π4+φ=kπ，k∈Z．
因为|φ|≤π2，所以φ=−π4，此时f(x)=sin(3x−π4)．
令t=3x−π4∈(11π12,17π12)，g(t)=sint.g(t)在(11π12,17π12)上单调递减，
故f(x)在(7π18,5π9)上单调，符合题意；
当ω=1时，−π4+φ=kπ，k∈Z．
因为|φ|≤π2，所以φ=π4，此时f(x)=sin(x+π4)．
令t=x+π4∈(23π36,29π36)，g(t)=sint.g(t)在(23π36,29π36)上单调递减，
故f(x)在(7π18,5π9)上单调，符合题意，
综上，存在实数ω，使得f(x)在(7π18,5π9)上单调，且ω的取值集合为{1,3}．
【解析】(1)根据最小正周期为2π得到ω，再根据f(x)的图象过点(−π4,0)，得到φ，即可得到f(x)的解析式；
(2)根据f(x+π4)=f(π4−x)得到x=π4是f(x)的一条对称轴，代入得到π4ω+φ=k2π+π2，k2∈Z，再根据f(x)的图象过点(−π4,0)得到−π4ω+φ=k1π，k1∈Z，联立得到ω=2n+1(n∈N)，根据f(x)在(7π18,5π9)上单调得到ω≤6，最后验证f(x)在(7π18,5π9)上是否单调即可得到ω的取值集合．
本题综合考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由g(x)=0，解得x=−2或4，
∵|f(x)|≤|g(x)|对x∈R恒成立，
∴必有f(−2)=4−2a+b=0f(4)=16+4a+b=0，解得a=−2b=−8，
此时满足|f(x)|≤|g(x)|．
∴a=−2，b=−8．
(2)由(1)可知：f(x)=x2−2x−8，
∵对x>2，不等式f(x)≥(m+2)x−m−15恒成立，
∴m≤x2−4x+7x−1对x>2恒成立．
记u(x)=x2−4x+7x−1=(x−1)+4x−1−2≥2 (x−1)×4x−1−2=2，当且仅当x=3时取等号．
∴m≤[u(x)]min=2．
∴实数m的取值范围是(−∞,2]．
(3)∵h(x)=−12(x−1)2+12≤12，∴[km,kn]⊆(−∞,12]．
∴kn≤12，
又∵k≥12，∴n≤12k≤1．
∴[m,n]⊆(−∞，1]，
∴h(x)在[m,n]上是增函数．
∴h(m)=kmh(n)=kn，即−12m2+m=km−12n2+n=kn．
解得m=0或2−2kn=0或2−2k．
又∵k≥12，m
②当k>1时，[m,n]=[2−2k,0]；
③当k=1时，[m,n]不存在．
【解析】(1)由g(x)=0，解得x=−2或4，要使|f(x)|≤|g(x)|对x∈R恒成立，必有f(−2)=0f(4)=0，解出即可；
(2)对x>2，不等式f(x)≥(m+2)x−m−15恒成立⇔m≤x2−4x+7x−1对x>2恒成立，利用基本不等式求得右边的最小值即可．
(3)利用二次函数的单调性，对k分类讨论即可得出．
把恒成立问题正确等价转化，熟练掌握二次函数的单调性、基本不等式的性质、分类讨论的思想方法是解题的关键．
2022-2023学年广东省汕头市高一（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设全集U=R，集合N={x∈Z|1≤x≤10}，M={x|x2−x−6=0}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. {−2} B. {3} C. {−3,2} D. {−2,3}
2. 设复数z=3+i31+2i(i为虚数单位)，则|z|=( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 13
3. 甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.7，被甲或乙解出的概率为0.94，则该题被乙独立解出的概率为( )
A. 0.9 B. 0.8 C. 0.7 D. 0.6
4. 如图，点D、E分别AC、BC的中点，设AB=a，AC=b，F是DE的中点，则AF=( )
A. 12a+12b
B. −12a+12b
C. 14a+12b
D. −14a+12b
5. 著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．“在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是( )
A. f(x)=sin3x4−x−4x B. f(x)=cos3x4−x−4x
C. f(x)=cos3x|4x−4−x| D. f(x)=sin3x|4x−4−x|
6. 在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边与x的非负半轴重合，将角α的终边按逆时针旋转π6后，得到的角终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点P(−35,45)，则sin(2α−π6)=( )
A. 725 B. −725 C. 2425 D. −2425
7. 已知a，b，l是直线，α是平面，若a//α，b⊂α，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 设f(x)是定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，对任意的x1，x2∈(0,+∞)，x1≠x2，满足：x2f(x2)−x1f(x1)x2−x1>0，且f(2)=4，则不等式f(x)−8x>0的解集为( )
A. (−2,0)∪(2,+∞) B. (−2,0)∪(0,2)
C. (−∞,−4)∪(0,4) D. (−∞,−2)∪(2,+∞)
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 在党中央、国务院决策部署下，近一年来我国经济运行呈现企稳回升态势.如图为2022年2月至2023年1月社会消费品零售总额增速月度同比折线图，月度同比指的是与去年同期相比，图中纵坐标为增速百分比.就图中12个月的社会消费品零售总额增速而言，以下说法正确的是( )
A. 12个月的月度同比增速百分比的中位数为1%
B. 12个月的月度同比增速百分比的平均值大于0
C. 图中前6个月的月度同比增速百分比波动比后6个月的大
D. 共有8个月的月度同比增速百分比大于12个月的月度同比增速百分比的平均值
10. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图像如图所示，下列说法正确的是( )
A. f(x)的图像关于点(−π3,0)对称
B. f(x)的图像关于直线x=−5π12对称
C. 将函数y=2cos2x的图像向右平移π12个单位长度得到函数f(x)的图像
D. 若方程f(x)=m在[−π2,0]上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是(−2,− 3]
11. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜(gá)”或“打老牛”.传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形.现有一圆锥形陀螺(如图所示)，其底面半径为3，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则( )
A. 圆锥的母线长为9
B. 圆锥的表面积为36π
C. 圆锥的侧面展开图(扇形)的圆心角为60°
D. 圆锥的体积为12 2π
12. 已知实数a，b，满足a>b>0，lnalnb=1，则( )
A. ab>e2 B. loga2
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若A={x|x2+x−a>0}，且1∉A，则a的取值范围为______ ．
14. 已知向量a=(4,2),b=(−6,2)，则下列说法正确的是______ ．
(1)(a+b)⊥a
(2)|a+2b|=20
(3)向量a在向量b上投影向量的模长是 102
(4)与向量a方向相同的单位向量是(2 55, 55)
15. 半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若该二十四等边体的体积为203，则原正方体的外接球的表面积为______ ．
16. 已知θ∈(π2,π)，则sinθ+cosθ+sinθcosθ的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知某公司计划生产一批产品总共t万件(0.5
(Ⅱ)当广告宣传总费用为多少万元时，该公司的利润最大？最大利润为多少万元？
18. (本小题12.0分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcosA− 3c+a2cosB=0．
(1)求a的值；
(2)点D在线段BC上，∠BAC=120°，∠BAD=45°，CD=1，求△ABC的面积．
19. (本小题12.0分)
某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．
(1)根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和第80百分位数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者．
(i)若有甲(年龄38)，乙(年龄40)两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
(ii)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差．
20. (本小题12.0分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AD⊥DC，BC=CD=12AD=2，E为棱AD的中点，PA⊥平面ABCD．
(1)证明：AB//平面PCE；
(2)求证：平面PAB⊥平面PBD；
(3)若二面角P−CD−A的大小为45°，求直线AD与平面PBD所成角的正切值．
21. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2)的图象经过点(−π4,0)．
(1)若f(x)的最小正周期为2π，求f(x)的解析式；
(2)若∀x∈R，f(x+π4)=f(π4−x)，是否存在实数ω，使得f(x)在(7π18,5π9)上单调？若存在，求出ω的取值集合；若不存在，请说明理由．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)，g(x)=2x2−4x−16，且|f(x)|≤|g(x)|对x∈R恒成立．
(1)求a、b的值；
(2)若对x>2，不等式f(x)≥(m+2)x−m−15恒成立，求实数m的取值范围．
(3)记h(x)=−12f(x)−4，那么当k≥12时，是否存在区间[m,n](m
1.【答案】A
【解析】解：∵N={x∈Z|1≤x≤10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，
M={x|x2−x−6=0}={3,−2}，
∴M∩N={3}，
则图中阴影部分表示的集合为∁M(M∩N)={−2}．
故选：A．
由图象可知阴影部分对应的集合为∁M(M∩N)，然后根据集合的基本运算即可．
本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．
2.【答案】A
【解析】解：因为z=3+i31+2i=3−i1+2i=(3−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1−7i5=15−75i，
所以|z|= (15)2+(−75)2= 2．
故选：A．
利用复数的四则运算及模的运算即可得解．
本题主要考查复数的模的公式，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：设乙独立解出该题的概率为P，
由题意可得1−0.3×(1−P)=0.94，∴P=0.8．
故选：B．
由题意，表示出该题未被解出的概率，然后列出方程，即可得到结果．
本题考查相互独立事件的概率公式，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：因为点D、E分别AC、BC的中点，F是DE的中点，
所以AF=AD+DF=12AC+12DE=12AC+14AB，
即AF=14a+12b．
故选：C．
根据向量的运算，利用基底向量a,b表示AF即可．
本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由函数的图象可知，函数为偶函数，定义域为{x|x≠0}，且x>0时，x→0时，函数值趋近于+∞，
A中，定义域{x|x≠0}，f(−x)=sin(−3x)4x−4−x=−sin3x−(4−x−4x)=f(x)，函数为偶函数，且x>0时，x→0时，函数值趋近于−∞，所以A不正确；
B中，定义域{x|x≠0}，f(−x)=cos(−3x)4x−4−x=cos3x−(4−x−4x)=−f(x)，则函数为奇函数，所以B不正确；
C中，定义域{x|x≠0}，f(−x)=cos(−3x)|4−x−4x|=cos3x|4x−4−x|=f(x)，则函数为偶函数，且x>0时，x→0时，函数值趋近于+∞，所以C正确；
D中，定义域{x|x≠0}，f(−x)=sin(−3x)|4−x−4x|=−sin3x|4x−4−x|=−f(x)，则函数为奇函数，所以D不正确；
故选：C．
由函数的图象可知，函数为偶函数，定义域为{x|x≠0}，且x>0时，x→0时，函数值趋近于+∞，而对所给的命题中，B，D为奇函数，排除，A，C中，经过判断可得A，C的真假．
本题考查偶函数的性质及单调性的应用，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：将角α的终边按逆时针旋转π6后，得到的角终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点P(−35,45)，
故cos(α+π6)=−35，sin(α+π6)=45；
所以sin(2α−π6)=−cos(2α+π3)=1−2cos2(α+π6)=1−1825=725．
故选：A．
直接利用角的旋转和倍角公式求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，倍角公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：若a//α，b⊂α，如果a//b，则“l⊥α”不一定成立．
如图所示，所以“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”非充分条件．
如果“l⊥α”，又b⊂α，
所以l⊥b，
因为a//α，
所以l⊥a，所以“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的必要条件．
所以“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的必要非充分条件．
故选：B．
举反例判断充分性，再证明必要性得解．
本题考查充分必要条件的定义，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：令F(x)=xf(x)，
由f(x)是定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，
可得F(x)是定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，
由对任意的x1，x2∈(0,+∞)，x1≠x2，满足：x2f(x2)−x1f(x1)x2−x1>0，
可得F(x)=xf(x)在(0,+∞)上单调递增，
由f(2)=4，可得F(2)=8，
所以F(x)在(−∞,0)上单调递减，且F(−2)=8，
不等式f(x)−8x>0，即为xf(x)−8x>0，即F(x)−8x>0，
可得x>0F(x)>8或x<0F(x)<8，即x>0x>2或x<0−2
令F(x)=xf(x)，由已知可得函数F(x)的奇偶性与单调性，将不等式转化为F(x)−8x>0，利用单调性及奇偶性即可求解．
本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合，利用函数的奇偶性与单调性解不等式，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：由折线图可得增速百分比(%)由小到大依次为：−11.1，−6.7，−5.9，−3.5，−1.8，−0.5，2.5，2.7，3.1，3.5，5.4，6.7，
对于选项A，12个月的月度同比增速百分比的中位数为−0.5+2.52=1(%)，故A选项正确；
对于选项B，∵112[(−11.1)+(−6.7)+(−5.9)+(−3.5)+(−1.8)+(−0.5)+2.5+2.7+3.1+3.5+5.4+6.7]=−715<0，
∴12个月的月度同比增速百分比的平均值小于0，故B选项错误；
对于选项C，由折线图可得前6个月的月度同比增速百分比先大幅度波动后渐渐趋于稳定，后6个月的大波动整体较小，
∴前6个月的月度同比增速百分比波动比后6个月的大，故C选项正确；
对于选项D，∵−715≈−0.47，可知大于−0.47的有2.5，2.7，3.1，3.5，5.4，6.7，共有6个，
∴共有6个月的月度同比增速百分比大于12个月的月度同比增速百分比的平均值，故D选项错误．
故选：AC．
根据题意结合相关概念逐项分析判断．
本题主要考查折线图，平均数，中位数的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】BCD
【解析】解：由图可知：A=2，f(x)的周期T=4×(π3−π12)=π，ω=2πT=2，
x=π12时，ωx+φ=π2+2kπ,(k∈Z)，2x+φ=π2+2kπ，
|φ|<π2，∴φ=π3，f(x)=2sin(2x+π3)．
对于A，f(−π3)=2sin(−2π3+π3)=− 3≠0，错误；
对于B，f(−5π12)=2sin(−5π6+π3)=−2，正确；
对于C，将y=2cos2x向右平移π12个单位，
得y=2cos[2(x−π12)]=2cos(2x−π6)=2cos(2x−π2+π3)=2cos[−(π2−(2x+π3)]=2sin(2x+π3)，正确；
对于D，f(x)的大致图像如下：
欲使得在[−π2,0]内方程f(x)=m有2个不相等的实数根，则−2
根据图中的信息求出ω，φ，再根据正弦函数的性质逐项分析即可．
本题考查三角函数的图象和性质，属于中档题．
11.【答案】AB
【解析】解：对于A，设圆锥的母线长为l，以S为圆心，SA为半径的圆的面积为πl2，
圆锥的侧面积为πrl=3πl，
当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，
则πl2=9πl，所以圆锥的母线长为l=9，故A正确；
对于B，圆锥的表面积3π×9+π×32=36π，故B正确；
对于C，圆锥的底面圆周长为2π×3=6π，设圆锥侧面展开图(扇形)的圆心角为αrad，
则6π=9α，解得α=2π3，即α=120°，故C错误；
对于D，圆锥的高h= l2−r2= 92−32=6 2，所以圆锥的体积为V=13πr2h=13π×32×6 2=18 2π，故D错误．
故选：AB．
对于A，利用圆锥在平面内转回原位置求解以S为圆心，SA为半径的圆的面积，再求解圆锥的侧面积，根据圆锥本身恰好滚动了3周列出方程求解结果；对于B，利用圆锥的表面积公式进行计算；对于C，圆锥的底面圆周长即为圆锥侧面展开图(扇形)的弧长，根据弧长公式求解圆心角；对于D，求解圆锥的高，利用圆锥体积公式求解．
本题主要考查圆锥的结构特征，圆锥的表面积及体积的运算，考查运算求解能力，属于基础题．
12.【答案】BCD
【解析】解：对于选项A：因为lnalnb<(lna+lnb)24=ln2ab4，即ln2ab4>1，解得lnab>2或lnab<−2，
所以ab>e2或0
因为a>b>0，则lna>lnb，即lnb−lna<0，且ln2>0，
所以loga2−logb2<0，即loga2
可得lna，lnb同号，则有：
若lna，lnb同正，可得a>e>b>1，
则(a−1)(b−1)=ab−(a+b)+1>0，可得ab+1>a+b；
若lna，lnb同负，可得1>a>1e>b>0，
则(a−1)(b−1)=ab−(a+b)+1>0，可得ab+1>a+b；
综上所述：ab+1>a+b，
又因为y=(12)x在定义域内单调递减，所以(12)ab+1<(12)a+b，故C正确；
对于选项D：因为a>b>0，则a−b>0，
可得y=xa−b在(0,+∞)内单调递增，可得aa−b>ba−b>0，
且ab，ba>0，所以aabb>abba，故D正确；
故选：BCD．
对于选项A：根据题意结合基本不等式分析判断；对于选项B：利用作差法分析判断；对于选项C：分析可得ab+1>a+b，结合指数函数单调性分析判断；对于选项D：结合幂函数单调性分析判断．
本题主要考查对数值大小的比较，属于中档题．
13.【答案】{a|a≥2}
【解析】解：∵1∉A，∴集合A中没有元素1，
又集合A中的元素是由一元二次不等式构成的解集，
故问题可转化为一元二次不等式没有实数解1．
由12+1−a≤0，
解得a≥2．
故答案为：{a|a≥2}．
由1∉A，知集合A中没有元素1，又集合A中的元素是由一元二次不等式构成的解集，故可转化为一元二次不等式没有实数解1，即12+1−a≤0，解得a的范围．
本题利用二次函数考查了集合元素的分布以及集合与集合间的运算问题，是基础题．
14.【答案】(1)(4)
【解析】解：a+b=(−2,4)，则(a+b)⋅a=−2×4+2×4=0，所以(a+b)⊥a，故(1)正确；
由a+2b=(−8,6)，可得|a+2b|= (−8)2+62=10，故(2)错误；
由向量a在向量b方向上的投影向量为a⋅b|b|2b=4×(−6)+2×240×(−6,2)=(3,−1)，
故其模长为 10，故(3)错误；
由|a|= 42+22=2 5，所以与向量a方向相同的单位向量是a|a|=(2 55, 55)，故(4)正确．
故答案为：(1)(4)．
根据向量的数量积的坐标运算，向量的几何意义，向量的投影向量的计算，单位向量的计算方法，逐项判定，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
15.【答案】12π
【解析】解：令原正方体的棱长为2a，原正方体的外接球的半径为R，
因为该二十四等边体是由棱长2a为的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得，
所以(2a)3−8×13×12×a3=203.解得a=1，即2a=2，
因为正方体的体对角线就是外接球的直径，
所以2R= 22+22+22，即R= 3，
所以则原正方体的外接球的表面积为4πR2=12π．
故答案为：12π．
令原正方体的棱长为2a，原正方体的外接球的半径为R，由该二十四等边体是由棱长为2a的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得，可得(2a)3−8×13×12×a3=203，解得a=1，再根据正方体的体对角线就是外接球的直径可以求得R= 3，从而可求表面积．
本题考查几何体的外接球问题，属中档题．
16.【答案】[−12,2)
【解析】解：设t=sinθ+cosθ= 2sin(θ+π4)，
因为θ∈(π2,π)，可得θ+π4∈(34π,5π4)，所以sin(θ+π4)∈(− 22, 22)，
即t∈(−1,1)，可得t2∈[0,1)，
因为t2=(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ，所以sinθcosθ=t2−12，
所以sinθ+cosθ+sinθcosθ=t+t2−12=32t2+t−12∈[−12,2)．
故答案为：[−12,2)．
设t=sinθ+cosθ，由θ的范围，可得t的范围，再由(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ，可得sinθcosθ的范围，进而可得sinθ+cosθ+sinθcosθ的范围．
本题考查角的正余弦的和与正余弦的乘积的关系，属于基础题．
17.【答案】解：(1)由题意易知y=t(4+80t)−4t−6t(1+1t2)=80−6(t+1t)，t∈(0.5,1.5)．
(2)根据基本不等式可得t+1t≥2 t⋅1t=2，
所以6(t+1t)≥12，
故可以得到y≤80−12=68，
所以当t=1即宣传费用为4万元时，利润最大为68万元．
【解析】(1)根据利润与成本及产量的关系直接列式；
(2)利用基本不等式求最值．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由正弦定理得asinBcosA− 3sinC+asinAcosB=0，
∴a(sinAcosB+cosAsinB)= 3sinC，
∴asin(A+B)= 3sinC，
∴asinC= 3sinC，
∵sinC>0，∴a= 3；
(2)方法1：∵S△ACDS△ABD=CDBD，即12AC⋅ADsin75°12AB⋅ADsin45°=1 3−1，
又sin75°=sin(45°+sin30°)= 22× 32+ 22×12= 6+ 24，
∴ACAB=1，即AB=AC，
在△ABC中，由余弦定理得cosA=AB2+AC2−32AB⋅AC，则2AB2−3=−AB2，
∴AB=AC=1，
∴S△ABC=12×1×1×sin120°= 34；
方法2：设∠ACB=θ，在△ACD中，由正弦定理得ACsin(75∘+θ)=1sin75∘，
同理在△ABC中ACsin(60∘−θ)= 3sin120°，
∴AC=sin(75°+θ)sin75∘= 3sin(60°−θ)sin120°，
∴ 62sinθ= 22cosθ，即tanθ= 33，
又0°<θ<60°，
∴θ=30°，即AB=AC，
在△ABC中，由余弦定理得cosA=AB2+AC2−32AB⋅AC，即2AB2−3=−AB2，
∴AB=AC=1，
∴S△ABC=12×1×1×sin120°= 34．
【解析】(1)根据正弦定理、三角函数的和差角公式，将条件变形即可得出答案；
(2)由S△ACDS△ABD=CDBD可得AB=AC，然后由余弦定理可解出AB，AC，即可得出答案；或利用正弦定理结合结合条件求∠ACB=30°，然后再利用余弦定理及三角形面积公式，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)设这m人的平均年龄为x−，
则x−=22.5×0.05+27.5×0.35+32.5×0.3+37.5×0.2+42.5×0.1=32.25(岁)．
设第80百分位数为a，
方法一：由5×0.02+(40−a)×0.04=0.2，解得a=37.5．
方法二：由0.05+0.35+0.3+(a−35)×0.04=0.8，解得a=37.5．
(2)(i)由题意得，第四组应抽取4人，记为A，B，C，甲，第五组抽取2人，记为D，乙，
对应的样本空间为：Ω={(A,B)，(A,C)，(A，甲)，(A，乙)，(A,D)，(B,C)，(B，甲)，(B，乙)，(B,D)，(C，甲)，(C，乙)，(C,D)，(甲，乙)，(甲，D)，(乙，D)}，共15个样本点．
设事件M=“甲、乙两人至少一人被选上”，则M={(A，甲)，(A，乙)，(B，甲)，(B，乙)，(C，甲)，(C，乙)，(甲，乙)，(甲，D)，(乙，D)}，共有9个样本点．
所以，P(M)=n(M)n(Ω)=35．
(ii)设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为x−4，x−5，方差分别为s42，s52，
则x−4=37，x−5=43，s42=52，s52=1，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z−，方差为s2．
则z−=4x−4+2x−56=39，s2=16{4×[s42+(x−4−z−)2]+2×[s52+(x−5−z−)2]}=10，
因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，
据此，可估计这m人中年龄在35～45岁的所有人的年龄方差约为10．
【解析】(1)根据频率分布直方图，利用组中值乘以相应的频率，即可得这m人的平均年龄；设第80百分位数为a，计算从左到右频率和为0.8或计算从右到左频率和为0.2，即可求出a；
(2)(i)由题意可得，第四组应抽取4人，记为A，B，C，甲，第五组抽取2人，记为D，乙，根据古典概型计算方法求解即可；
(ii)根据方差的计算原理计算合并后方差即可．
本题考查根据频率分布直方图的应用，古典概型以及平均数、方差，是基础题．
20.【答案】证明：(1)∵BC//AE且BC=AE，
∴四边形BCEA为平行四边形，
∴AB//EC，
又∵AB⊄平面PCE，EC⊂平面PCE，
∴AB//平面PCE；
(2)∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴PA⊥BD，
连接BE，∵BC//DE且BC=DE，
∴四边形BCDE为平行四边形，
∵DE⊥CD，BC=CD=2，
∴平行四边形BCDE为正方形，
∴BD⊥EC，
又∵AB//EC，∴BD⊥AB，
又∵PA⋂AB=A，PA⊂面PAB，AB⊂面PAB，
∴BD⊥面PAB，
∵BD⊂面PBD，
∴平面PAB⊥平面PBD；
解：(3)∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，
又∵CD⊥AD，PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，
∵PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD，
∴∠PDA为二面角P−CD−A的平面角，从而∠PDA=45°，
∴在Rt△PAD中，PA=AD=4，
作AM⊥PB于M，连接MD，
由(2)知，平面PAB⊥平面PBD且AM⊂平面PAB，平面PAB∩平面PBD=PB，
∴AM⊥面PBD，∴DM即为直线AD在平面PBD上的投影，
∴∠ADM为直线AD与平面PBD所成角，
在直角△PAB中，AB=CE=2 2，PA=4，PB=2 6，
∴AM=PA⋅ABPB=4×2 22 6=4 33，
∵AM⊥面PBD，DM⊂面PBD，∴AM⊥DM，
在直角△AMD中，AD=4,AM=4 33，DM= AD2−AM2= 16−163=4 63，
∴tan∠ADM=AMDM=4 334 63= 22，
则直线AD与平面PBD所成角的正切值为 22．
【解析】(1)由线面平行的判断定理即可证明；
(2)由面面垂直的判断定理即可证明；
(3)由二面角P−CD−A的大小为45°可得PA=AD=4，再由线面角的定义可求得．
本题考查空间点、直线、平面的位置关系和直线与平面所成角，属于中档题．
21.【答案】解：(1)因为f(x)的最小正周期为2π，
所以2π|ω|=2π．
因为ω>0，所以ω=1．
因为f(x)的图象经过点(−π4,0)，所以−π4+φ=kπ，k∈Z，
即φ=kπ+π4，k∈Z．
因为|φ|≤π2，所以φ=π4．
故f(x)=sin(x+π4)．
(2)因为∀x∈R，f(x+π4)=f(π4−x)，
所以直线x=π4为f(x)图象的对称轴，
又f(x)的图象经过点(−π4,0)．
所以−π4ω+φ=k1π，π4ω+φ=k2π+π2，k1，k2∈Z．
两式相减得π2ω=(k2−k1)π+π2，
整理得ω=2(k2−k1)+1，
因为ω>0，所以ω=2n+1(n∈N)，
因为f(x)在(7π18,5π9)上单调，
所以5π9−7π18=π6≤T2，即T=2πω≥π3，解得ω≤6．
当ω=5时，−5π4+φ=kπ，k∈Z．
因为|φ|≤π2，所以φ=π4，此时f(x)=sin(5x+π4)．
令t=5x+π4∈(79π36,109π36)，g(t)=sint.g(t)在(79π36,5π2)上单调递增，在(5π2,109π36)上单调递减，
故f(x)在(7π18,5π9)上不单调，不符合题意；
当ω=3时，−3π4+φ=kπ，k∈Z．
因为|φ|≤π2，所以φ=−π4，此时f(x)=sin(3x−π4)．
令t=3x−π4∈(11π12,17π12)，g(t)=sint.g(t)在(11π12,17π12)上单调递减，
故f(x)在(7π18,5π9)上单调，符合题意；
当ω=1时，−π4+φ=kπ，k∈Z．
因为|φ|≤π2，所以φ=π4，此时f(x)=sin(x+π4)．
令t=x+π4∈(23π36,29π36)，g(t)=sint.g(t)在(23π36,29π36)上单调递减，
故f(x)在(7π18,5π9)上单调，符合题意，
综上，存在实数ω，使得f(x)在(7π18,5π9)上单调，且ω的取值集合为{1,3}．
【解析】(1)根据最小正周期为2π得到ω，再根据f(x)的图象过点(−π4,0)，得到φ，即可得到f(x)的解析式；
(2)根据f(x+π4)=f(π4−x)得到x=π4是f(x)的一条对称轴，代入得到π4ω+φ=k2π+π2，k2∈Z，再根据f(x)的图象过点(−π4,0)得到−π4ω+φ=k1π，k1∈Z，联立得到ω=2n+1(n∈N)，根据f(x)在(7π18,5π9)上单调得到ω≤6，最后验证f(x)在(7π18,5π9)上是否单调即可得到ω的取值集合．
本题综合考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由g(x)=0，解得x=−2或4，
∵|f(x)|≤|g(x)|对x∈R恒成立，
∴必有f(−2)=4−2a+b=0f(4)=16+4a+b=0，解得a=−2b=−8，
此时满足|f(x)|≤|g(x)|．
∴a=−2，b=−8．
(2)由(1)可知：f(x)=x2−2x−8，
∵对x>2，不等式f(x)≥(m+2)x−m−15恒成立，
∴m≤x2−4x+7x−1对x>2恒成立．
记u(x)=x2−4x+7x−1=(x−1)+4x−1−2≥2 (x−1)×4x−1−2=2，当且仅当x=3时取等号．
∴m≤[u(x)]min=2．
∴实数m的取值范围是(−∞,2]．
(3)∵h(x)=−12(x−1)2+12≤12，∴[km,kn]⊆(−∞,12]．
∴kn≤12，
又∵k≥12，∴n≤12k≤1．
∴[m,n]⊆(−∞，1]，
∴h(x)在[m,n]上是增函数．
∴h(m)=kmh(n)=kn，即−12m2+m=km−12n2+n=kn．
解得m=0或2−2kn=0或2−2k．
又∵k≥12，m
②当k>1时，[m,n]=[2−2k,0]；
③当k=1时，[m,n]不存在．
【解析】(1)由g(x)=0，解得x=−2或4，要使|f(x)|≤|g(x)|对x∈R恒成立，必有f(−2)=0f(4)=0，解出即可；
(2)对x>2，不等式f(x)≥(m+2)x−m−15恒成立⇔m≤x2−4x+7x−1对x>2恒成立，利用基本不等式求得右边的最小值即可．
(3)利用二次函数的单调性，对k分类讨论即可得出．
把恒成立问题正确等价转化，熟练掌握二次函数的单调性、基本不等式的性质、分类讨论的思想方法是解题的关键．
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