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2022-2023学年浙江省宁波市海曙区八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年浙江省宁波市海曙区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省宁波市海曙区八年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图所示运动品牌商标中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 下列选项中，化简正确的是( )
A. (−2)2=4 B. (−2)2=−2 C. (−3)2=3 D. (−3)2=±3
3. 若反比例函数y=kx的图象经过点(2,3)，则该反比例函数的图象位于( )
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限
4. 一元二次方程3x2+4x−1=0的根的情况为( )
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
5. 某校举行心理剧大赛，将剧情编排、表演技巧、思想意义三个方面分别按30%，50%，20%的比例计入总分，八年级1班的各项得分如表所示，则该班的最终得分为( )
评分内容
剧情编排
表演技巧
思想意义
得分
90分
85分
95分
A. 90分 B. 89.5分 C. 89分 D. 88.5分
6. 在四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD，若∠B=55°，则∠D的度数是( )
A. 145° B. 125° C. 55° D. 35°
7. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中( )
A. 两锐角都大于45° B. 有一个锐角小于45°
C. 有一个锐角大于45° D. 两锐角都小于45°
8. 如图是等腰三角形ABC纸片，点D，E分别是腰AB，AC的中点，沿线段DE将纸片剪成两部分，恰好拼成一个菱形，则AB：BC的值为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
9. 若点A(−3,y1)，B(−2,y2)，C(4,y3)都在反比例函数y=m2+1x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y3
A. △BOC的周长 B. △ADH的周长
C. △ABC的周长 D. 四边形APFH的周长
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 五边形的内角和为______．
12. 二次根式 x−5中，x的取值范围是______．
13. 现有甲、乙两个合唱队队员的平均身高都是165cm，方差分别为S甲2=1.45，S乙2=0.85，则这两个合唱队的队员身高比较整齐的是______ 队.(填写“甲”或“乙”)
14. 若关于x的一元二次方程ax2+bx−1=0有一个根为−2，则2a−b= ______ ．
15. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别为线段OD和CD的中点，连结EF，若AC=6，则EF的长为______ ．
16. 如图，在菱形ABCD中，E为对角线AC上一点，AE=AD，连结BE，若∠AEB=70°，则∠BAD的度数为______ ．
17. 如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，且BE=6，CE=1，在边AD上取一点P，连结BP和PE，过B作BF⊥PE交CD于F，当∠PBF=45°时，AP的长为______ ．
18. 如图，点A，B在反比例函数y=ax(a>0,x>0的图象上，点C，D在反比例函数y=bx(b<0,x<0)的图象上，且AC//BD//x轴，过A，C分别作x轴的垂线，垂足为E，F，AE交BD于点H，连结AF交BD于点P.若BH=EF，则S△APHS△DFP= ______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
(1)化简： 45− 10× 12；
(2)解方程：(x−2)(x+4)=x−2．
20. (本小题6.0分)
学校组织“四大名著”知识竞赛，每班派20名同学参加，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分，现将八年级1班和2班的成绩整理如图所示：
(1)填写表格：
班级一
平均数
众数
中位数
一八年级1班
______ 分
90分
______ 分
八年级2班
92分
______ 分
90分
(2)结合(1)中的统计量，你认为哪个班级的竞赛成绩更加优秀？请说明理由．
21. (本小题8.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，过A作AE⊥BC，垂足为E，过点C作CF//AE，交边AD于点F．
(1)求证：四边形AECF为矩形；
(2)连结AC和EF，若∠B=60°，AB=2，BC=5，求EF的长．
22. (本小题8.0分)
如图，一次函数y=12x+1的图象分别与y轴，x轴交于A，B两点，将点A先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后，得到的点C恰好落在反比例函数y=kx的图象上．
(1)求该反比例函数的表达式；
(2)已知点P(m,n)是该反比例函数图象上一点，当n<6时，请根据图象直接写出横坐标m的取值范围．
23. (本小题8.0分)
第19届亚运会即将在杭州举行，某商店购进一批亚运会纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元.如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件.据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件．
(1)若销售单价定为每件45元，求每天的销售利润；
(2)要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多少元？
24. (本小题10.0分)
如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC为钝角，BE，BF分别为边AD，CD上的高，交边AD，CD于点E，F，连结EF．
(1)求证：∠EBF=∠C；
(2)若BF=EF，
①求证：CF=DF；
②如图2，连结BD交EF于点O，若BF=2CF，△ABE的面积为4，求△BOE与△DOF的面积之差．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：选项B、C、D都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：A．
根据中心对称图形的定义解答即可．
本题考查的是中心对称图形的识别，掌握“中心对称图形的定义判断中心对称图形”是解本题的关键，中心对称图形的定义：把一个图形绕某点旋转180°后能够与自身重合，则这个图形是中心对称图形．
2.【答案】C
【解析】解：A、 (−2)2=2，故A不符合题意；
B、 (−2)2=2，故B不符合题意；
C、 (−3)2=3，故C符合题意；
D、 (−3)2=3，故D不符合题意；
故选：C．
利用二次根式的化简的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.【答案】B
【解析】解：∵反比例函数y=kx的图象经过点(2,3)，
∴k=2×3=6，
∴k>0，
∴反比例函数y=kx的图象在第一、三象限．
故选：B．
先把点(2,3)代入反比例函数y=kx得到k=6>0，根据反比例函数的性质即可得到反比例函数y=kx的图象在第一、三象限．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和性质：反比例函数y=kx的图象上点的横纵坐标之积为常数k；当k>0时，图象分布在第一、第三象限；当k<0时，图象分布在第二、第四象限．
4.【答案】B
【解析】解：∵a=3，b=4，c=−1，
∴Δ=b2−4ac=42−4×3×(−1)=16+12=38>0，
∴一元二次方程3x2+4x−1=0有两个不相等的实数根．
故选：B．
根据一元二次方程根的判别式，即可得出Δ=38>0，进而可得出该方程有两个不相等的实数根．
本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：该班的最终得分为90×30%+85×50%+95×20%=88.5(分)，
故选：D．
根据加权平均数的定义列式计算即可．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
6.【答案】C
【解析】解：∵AB//CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵∠B=55°，
∴∠D=55°，
故选：C．
由AB//CD，AB=CD，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形ABCD是平行四边形，则∠D=∠B=55°，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的判定定理的应用，适当选择平行四边形的判定定理证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中两锐角都大于45°，
故选：A．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
8.【答案】B
【解析】解：延长DE于点F，使FE=DE，连结CF，
∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴CE=AE，
∴FEDE=CEAE=1，、
∵∠CEF=∠AED，
∴△CEF∽△AED，且△CEF≌△AED，
∴CF=AD=BD，
∵DF=2DE，BC=2DE，
∴DF=BC，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴将△ABC纸片沿线段DE剪成两部分可以拼成一个平行四边形，
当BD=BC时，四边形BCFD是菱形，
∴AB=2BD=2BC，
∴ABBC=2，
∴AB：BC的值是2，
故选：B．
延长DE于点F，使FE=DE，连结CF，则FEDE=CEAE=1，而∠CEF=∠AED，所以△CEF∽△AED，且△CEF≌△AED，则CF=AD=BD，由DF=2DE，BC=2DE，得DF=BC，则四边形BCFD是平行四边形，当BD=BC时，四边形BCFD是菱形，则AB=2BD=2BC，所以AB：BC的值是2，于是得到问题的答案．
此题重点考查相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵m2+1>0，
∴反比例函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵−3<0，−2<0，
∴点A、点B在第三象限，y1、y2都为负，
∵−3<−2，
∴y1>y2，
∵4>0，
∴点C在第一象限，y3为正，
∴y2
由m2+1>0，判断出反比例函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，再根据已知点的横坐标判断出点的位置，即可比较出纵坐标大小．
本题考查了反比例函数的性质的应用，判断反比例函数所在象限是解题关键．
10.【答案】B
【解析】解：过点P作PG⊥AH于G，连接PO，
∵PF⊥BD，AH⊥BD，
∴四边形PFHG为矩形，
∴FH=PG，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠BAH+∠HAD=∠HAD+∠ADO=90°，
∴∠BAH=∠ADO，
同理∠BAH=∠APG，
∴∠APG=∠EAP，
∵AP=PA，∠AEP=∠AGP=90°，
∴△APE≌△PAG(AAS)，
∴AE=PG，
∴AE=HF，
又∵S△APO+S△PDO=S△AOD，
∴12AO⋅PE+12OD⋅PF=12OD⋅AH，
∴PE+PF=AH，
∴△APE与△DPF的周长和=AP+PE+AE+PD+PF+DF
=AD+AH+PG+DF
=AD+AH+HF+DF
=AD+AH+HD
∴知道△APE与△DPF的周长和，一定能求出△ADH的周长．
故选：B．
过点P作PG⊥AH于G，连接PO，证出四边形PFHG为矩形，得出FH=PG，证明△APE≌△PAG(AAS)，由全等三角形的性质得出AE=PG，证明PE+PF=AH，则可得出答案．
本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
11.【答案】540°
【解析】解：(5−2)⋅180°=540°．
故答案为：540°．
根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°计算即可．
本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键，是基础题．
12.【答案】x≥5
【解析】解：由x−5≥0得
x≥5．
由二次根式有意义的条件得x−5≥0，解得x≥5．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
13.【答案】乙
【解析】解：现有甲、乙两个合唱队队员的平均身高均为170cm，方差分别为S甲2=1.45，S乙2=0.85，
∵S甲2>S乙2，
∴两个队的队员的身高较整齐的是乙，
故答案为：乙．
根据方差小的身高稳定判断即可．
此题考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
14.【答案】−12
【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0(a≠0)有一个根为−2，
∴4a−2b+1=0，
∴4a−2b=−1，
∴2a−b=−12，
故答案为：−12．
将x=−2代入原方程可得4a−2b=−1，等式两边同时除以2即可求解．
本题考查一元二次方程的解，解题的关键是将x=−2代入原方程．
15.【答案】32
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC=12AC=12×6=3，
∵点E，F分别为线段OD和CD的中点，
∴EF是△CDO的中位线，
∴EF=12OC=32，
故答案为：32．
根据平行四边形的性质和三角形中位线定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
16.【答案】80°
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD=2∠BAE，AB=AD，
∵AE=AD，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=70°，
∴∠BAE=180°−∠ABE−∠AEB=180°−70°−70°=40°，
∴∠BAD=2∠BAE=2×40°=80°，
故答案为：80°．
由菱形的性质得∠BAD=2∠BAE，AB=AD，再由等腰三角形的性质得∠ABE=∠AEB=70°，则∠BAE=40°，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
17.【答案】3+ 2或3− 2
【解析】解：∵BE=6，CE=1，
∴BC=BE+CE=7，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA=7，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，
如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBQ，
∴AP=CQ，∠PBQ=90°，∠BCQ=∠BCD=90°，
∴△PBQ是等腰直角三角形，Q、C、D三点共线，
设BF⊥PE于点N，
∵∠PBF=45°，
∴∠BPN=∠BPQ=45°，
∴P、N、E、Q四点共线，
延长PE到Q点，
设AP=CQ=x，则PD=AD−AP=7−x，DQ=CD+CQ=7+x，
∵CE//PD，
∴CEPD=CQDQ，即17−x=x7+x，
解得x1=3+ 2，x2=3− 2
经检验x1=3+ 2，x2=3− 2是分式方程的根且符合题意，
即AP的长为3+ 2或3− 2，
故答案为：3+ 2或3− 2．
先求出AB=BC=CD=DA=7，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBQ，则△PBQ是等腰直角三角形，Q、C、D三点共线，设BF⊥PE于点N，可证明P、N、E、Q四点共线，设AP=CQ=x，则PD=AD−AP=7−x，DQ=CD+CQ=7+x，由CE//PD得到CEPD=CQDQ，解方程并检验后即可得到答案．
此题考查了平行线分线段成比例定理、分式方程和一元二次方程的解法、旋转的性质、正方形的性质等知识，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBQ是解题的关键．
18.【答案】1
【解析】解：设BD与y轴交于点G，
由图可知：S△APH=S△AEF−S四边形PFEH=12S矩形CFEA−S四边形PFEH，
S△DFP=S梯形DFEH−S四边形PFEH，
∵点A在反比例函数y=ax(a>0,x>0)的图象上，点C在反比例函数y=bx(b<0,x<0)的图象上，
∴S矩形CFEA=|a|+|b|=a−b，
∴S△APH=12(a−b)−S四边形PFEH，
∵BH=EF，
∴S梯形DFEH=12(EF+DH)⋅HE=12(DH+BH)⋅HE=12BD⋅HE，
∴S梯形DFEH=12BD⋅HE=12DG⋅HE+12BG⋅HE，
而12DG⋅HE=12DG⋅OG=−12b，12BG⋅HE=12BG⋅OG=12a，
∴S梯形DFEH=12(a−b)，
∴S△DFP=12(a−b)−S四边形PFEH，
∴S△APH=S△DFP，
∴S△APHS△DFP=1，
故答案为：1．
由组合图形位置构成关系，得S△APH=S△AEF−S四边形PFEN=12S矩形CFEA−S四边形PFEH，S△DFP=S梯形DFEH−S四边形PFEH，由反比例函数解析式k的几何意义，得S矩形CFEA=|a|+|b|=a−b，S梯形DFEH=12(EF+DH)⋅HE=12BD⋅HE=12(a−b)，得出结论S△DFP=S△APH=1．
本题考查反比例函数解析式k的几何意义，组合图形求面积，理解反比例函数解析式k的几何意义是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=3 5− 5
=2 5；
(2)∵(x−2)(x+4)=x−2，
∴(x−2)(x+4)−(x−2)=0，
则(x−2)(x+3)=0，
∴x−2=0或x+3=0，
解得x1=2，x2=−3．
【解析】(1)先化简二次根式、计算乘法，再计算减法即可；
(2)先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查二次根式的混合运算和解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
20.【答案】90 90 80%
【解析】解：(1)1班的平均数为：(6×100+10×90+2×80+70×2)÷20=90(分)；
因为共有20个数，把这些数从小到大排列，中位数是第10、11个数的平均数，
则中位数是90+902=90(分)，
因为2班A级人数所占的比例比较大，
所以2班的众数是100分；
故答案为：90，90，80%；
(2)因为1班、2班的中位数和优秀率都相等，但从平均数和众数两方面来分析，二班比一班的成绩更加优秀，
所以二班的竞赛成绩更加优秀．
(1)根据平均数、众数、中位数以及优秀率的计算方法分别进行计算，即可得出答案；
(2)从平均数、众数、中位数以及优秀率方面进行分析，即可得出答案．
本题考查统计问题，涉及统计学相关公式，中位数、平均数和众数等知识，属于中等题型．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∵CF//AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴平行四边形AECF为矩形；
(2)解：∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BAE=90°−∠B=30°，
∴BE=12AB=1，
∴AE= AB2−BE2= 22−12= 3，
由(1)可知，四边形AECF为矩形，
∴EF=AC，
∵CE=BC−BE=5−1=4，
∴AC= AE2+CE2= ( 3)2+42= 19，
∴EF=AC= 19，
即EF的长为 19．
【解析】(1)先证四边形AECF是平行四边形，再证∠AEC=90°，然后由矩形的判定即可得出结论；
(2)由含30°角的直角三角形的性质得BE=12AB=1，则AE= 3，再由矩形的性质得EF=AC，然后由勾股定理得AC= 19，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵一次函数y=12x+1的图象分别与y轴，x轴交于A，B两点，
当x=0时，y=1，
∴A(0,1)，
∵将点A先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后，
∴点C(2,6)，
∵点C在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=2×6=12，
∴反比例函数的表达式为y=12x；
(2))∵y=12x，
∴当n<6时m取值范围是：m>2或m<0．
【解析】(1)解方程得到A(0,1)，根据平移的性质得到点C(2,6)，把点C代入反比例函数解析式，即可得到结论；(2)解不等式即可得到结论．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数和反比例函数的交点问题，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力．
23.【答案】解：(1)根据题意得：(45−30)×[100−2×(45−40)]
=15×[100−2×5]
=15×[100−10]
=15×90
=1350(元)．
答：每天的销售利润为1350元；
(2)设该纪念品的售价单价应定为每件x元，则每件的销售利润为(x−30)元，日销售量为100−2(x−40)=(180−2x)件，
根据题意得：(x−30)(180−2x)=1600，
整理得：x2−120x+3500=0，
解得：x1=50，x2=70，
又∵要让利给顾客，
∴x=50．
答：该纪念品的售价单价应定为每件50元．
【解析】(1)利用每天的销售利润=每件的销售利润×日销售量，即可求出结论；
(2)设该纪念品的售价单价应定为每件x元，则每件的销售利润为(x−30)元，日销售量为100−2(x−40)=(180−2x)件，利用每天的销售利润=每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∵AD⊥BE，
∴BE⊥BC，
∴∠EBC=90°=∠BFC，
∴∠EBF+∠CBF=90°=∠C+∠CBF，
∴∠EBF=∠C；
(2)①证明：延长EF，BC交于点H，
∵BF=EF，
∴∠FEB=∠FBE，
∵∠EBC=90°，
∴∠FBH=∠FHB，
∴BF=FH，
∴EF=FH，
∵AD//BC，
∴∠ADC=∠DCH，
在△EDF和△HCF中，
∠ADC=∠DCH∠DFE=∠CFHEF=FH，
∴△EDF≌△HCF(AAS)，
∴DF=CF；
②解：如图2，过点F作FH⊥BE于H，连接DH，
∴FH//DE，
∴S△EDF=S△EDH，
设CF=t=DF，则AB=CD=2t，
∵BF=2CF=2t，
∴BC= CF2+BF2= 5t，
∴AD=BC= 5t，
∵△ABE的面积为4，
∴12×AE⋅BE=4，
∵tanC=tanA=BFCF=BEAE=2，
∴BE=2AE，
∴12×AE⋅2AE=4，
∴AE=2(负值舍去)，
∴BE=4，
∵EF=BF，FH⊥BE，
∴BH=EH=2，
∵AE2+BE2=AB2，
∴AB=2 5，
∴2t=2 5，
∴t= 5，
∴AD= 5t=5，
∴DE=3，
∴S△BOE−S△DOF=S△BDE−S△EDF=S△BDE−S△EDH=S△BDH=12×BH⋅DE=12×2×3=3．
【解析】(1)由余角的性质可求解；
(2)①由“AAS”可证△EDF≌△HCF，可得结论；
②由面积公式可求AE的长，由勾股定理可求AB的长，即可求DE，由面积关系可求解．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
2022-2023学年浙江省宁波市海曙区八年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图所示运动品牌商标中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 下列选项中，化简正确的是( )
A. (−2)2=4 B. (−2)2=−2 C. (−3)2=3 D. (−3)2=±3
3. 若反比例函数y=kx的图象经过点(2,3)，则该反比例函数的图象位于( )
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限
4. 一元二次方程3x2+4x−1=0的根的情况为( )
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
5. 某校举行心理剧大赛，将剧情编排、表演技巧、思想意义三个方面分别按30%，50%，20%的比例计入总分，八年级1班的各项得分如表所示，则该班的最终得分为( )
评分内容
剧情编排
表演技巧
思想意义
得分
90分
85分
95分
A. 90分 B. 89.5分 C. 89分 D. 88.5分
6. 在四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD，若∠B=55°，则∠D的度数是( )
A. 145° B. 125° C. 55° D. 35°
7. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中( )
A. 两锐角都大于45° B. 有一个锐角小于45°
C. 有一个锐角大于45° D. 两锐角都小于45°
8. 如图是等腰三角形ABC纸片，点D，E分别是腰AB，AC的中点，沿线段DE将纸片剪成两部分，恰好拼成一个菱形，则AB：BC的值为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
9. 若点A(−3,y1)，B(−2,y2)，C(4,y3)都在反比例函数y=m2+1x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y3
A. △BOC的周长 B. △ADH的周长
C. △ABC的周长 D. 四边形APFH的周长
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 五边形的内角和为______．
12. 二次根式 x−5中，x的取值范围是______．
13. 现有甲、乙两个合唱队队员的平均身高都是165cm，方差分别为S甲2=1.45，S乙2=0.85，则这两个合唱队的队员身高比较整齐的是______ 队.(填写“甲”或“乙”)
14. 若关于x的一元二次方程ax2+bx−1=0有一个根为−2，则2a−b= ______ ．
15. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别为线段OD和CD的中点，连结EF，若AC=6，则EF的长为______ ．
16. 如图，在菱形ABCD中，E为对角线AC上一点，AE=AD，连结BE，若∠AEB=70°，则∠BAD的度数为______ ．
17. 如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，且BE=6，CE=1，在边AD上取一点P，连结BP和PE，过B作BF⊥PE交CD于F，当∠PBF=45°时，AP的长为______ ．
18. 如图，点A，B在反比例函数y=ax(a>0,x>0的图象上，点C，D在反比例函数y=bx(b<0,x<0)的图象上，且AC//BD//x轴，过A，C分别作x轴的垂线，垂足为E，F，AE交BD于点H，连结AF交BD于点P.若BH=EF，则S△APHS△DFP= ______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
(1)化简： 45− 10× 12；
(2)解方程：(x−2)(x+4)=x−2．
20. (本小题6.0分)
学校组织“四大名著”知识竞赛，每班派20名同学参加，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分，现将八年级1班和2班的成绩整理如图所示：
(1)填写表格：
班级一
平均数
众数
中位数
一八年级1班
______ 分
90分
______ 分
八年级2班
92分
______ 分
90分
(2)结合(1)中的统计量，你认为哪个班级的竞赛成绩更加优秀？请说明理由．
21. (本小题8.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，过A作AE⊥BC，垂足为E，过点C作CF//AE，交边AD于点F．
(1)求证：四边形AECF为矩形；
(2)连结AC和EF，若∠B=60°，AB=2，BC=5，求EF的长．
22. (本小题8.0分)
如图，一次函数y=12x+1的图象分别与y轴，x轴交于A，B两点，将点A先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后，得到的点C恰好落在反比例函数y=kx的图象上．
(1)求该反比例函数的表达式；
(2)已知点P(m,n)是该反比例函数图象上一点，当n<6时，请根据图象直接写出横坐标m的取值范围．
23. (本小题8.0分)
第19届亚运会即将在杭州举行，某商店购进一批亚运会纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元.如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件.据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件．
(1)若销售单价定为每件45元，求每天的销售利润；
(2)要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多少元？
24. (本小题10.0分)
如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC为钝角，BE，BF分别为边AD，CD上的高，交边AD，CD于点E，F，连结EF．
(1)求证：∠EBF=∠C；
(2)若BF=EF，
①求证：CF=DF；
②如图2，连结BD交EF于点O，若BF=2CF，△ABE的面积为4，求△BOE与△DOF的面积之差．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：选项B、C、D都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：A．
根据中心对称图形的定义解答即可．
本题考查的是中心对称图形的识别，掌握“中心对称图形的定义判断中心对称图形”是解本题的关键，中心对称图形的定义：把一个图形绕某点旋转180°后能够与自身重合，则这个图形是中心对称图形．
2.【答案】C
【解析】解：A、 (−2)2=2，故A不符合题意；
B、 (−2)2=2，故B不符合题意；
C、 (−3)2=3，故C符合题意；
D、 (−3)2=3，故D不符合题意；
故选：C．
利用二次根式的化简的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.【答案】B
【解析】解：∵反比例函数y=kx的图象经过点(2,3)，
∴k=2×3=6，
∴k>0，
∴反比例函数y=kx的图象在第一、三象限．
故选：B．
先把点(2,3)代入反比例函数y=kx得到k=6>0，根据反比例函数的性质即可得到反比例函数y=kx的图象在第一、三象限．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和性质：反比例函数y=kx的图象上点的横纵坐标之积为常数k；当k>0时，图象分布在第一、第三象限；当k<0时，图象分布在第二、第四象限．
4.【答案】B
【解析】解：∵a=3，b=4，c=−1，
∴Δ=b2−4ac=42−4×3×(−1)=16+12=38>0，
∴一元二次方程3x2+4x−1=0有两个不相等的实数根．
故选：B．
根据一元二次方程根的判别式，即可得出Δ=38>0，进而可得出该方程有两个不相等的实数根．
本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：该班的最终得分为90×30%+85×50%+95×20%=88.5(分)，
故选：D．
根据加权平均数的定义列式计算即可．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
6.【答案】C
【解析】解：∵AB//CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵∠B=55°，
∴∠D=55°，
故选：C．
由AB//CD，AB=CD，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形ABCD是平行四边形，则∠D=∠B=55°，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的判定定理的应用，适当选择平行四边形的判定定理证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中两锐角都大于45°，
故选：A．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
8.【答案】B
【解析】解：延长DE于点F，使FE=DE，连结CF，
∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴CE=AE，
∴FEDE=CEAE=1，、
∵∠CEF=∠AED，
∴△CEF∽△AED，且△CEF≌△AED，
∴CF=AD=BD，
∵DF=2DE，BC=2DE，
∴DF=BC，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴将△ABC纸片沿线段DE剪成两部分可以拼成一个平行四边形，
当BD=BC时，四边形BCFD是菱形，
∴AB=2BD=2BC，
∴ABBC=2，
∴AB：BC的值是2，
故选：B．
延长DE于点F，使FE=DE，连结CF，则FEDE=CEAE=1，而∠CEF=∠AED，所以△CEF∽△AED，且△CEF≌△AED，则CF=AD=BD，由DF=2DE，BC=2DE，得DF=BC，则四边形BCFD是平行四边形，当BD=BC时，四边形BCFD是菱形，则AB=2BD=2BC，所以AB：BC的值是2，于是得到问题的答案．
此题重点考查相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵m2+1>0，
∴反比例函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵−3<0，−2<0，
∴点A、点B在第三象限，y1、y2都为负，
∵−3<−2，
∴y1>y2，
∵4>0，
∴点C在第一象限，y3为正，
∴y2
由m2+1>0，判断出反比例函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，再根据已知点的横坐标判断出点的位置，即可比较出纵坐标大小．
本题考查了反比例函数的性质的应用，判断反比例函数所在象限是解题关键．
10.【答案】B
【解析】解：过点P作PG⊥AH于G，连接PO，
∵PF⊥BD，AH⊥BD，
∴四边形PFHG为矩形，
∴FH=PG，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠BAH+∠HAD=∠HAD+∠ADO=90°，
∴∠BAH=∠ADO，
同理∠BAH=∠APG，
∴∠APG=∠EAP，
∵AP=PA，∠AEP=∠AGP=90°，
∴△APE≌△PAG(AAS)，
∴AE=PG，
∴AE=HF，
又∵S△APO+S△PDO=S△AOD，
∴12AO⋅PE+12OD⋅PF=12OD⋅AH，
∴PE+PF=AH，
∴△APE与△DPF的周长和=AP+PE+AE+PD+PF+DF
=AD+AH+PG+DF
=AD+AH+HF+DF
=AD+AH+HD
∴知道△APE与△DPF的周长和，一定能求出△ADH的周长．
故选：B．
过点P作PG⊥AH于G，连接PO，证出四边形PFHG为矩形，得出FH=PG，证明△APE≌△PAG(AAS)，由全等三角形的性质得出AE=PG，证明PE+PF=AH，则可得出答案．
本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
11.【答案】540°
【解析】解：(5−2)⋅180°=540°．
故答案为：540°．
根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°计算即可．
本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键，是基础题．
12.【答案】x≥5
【解析】解：由x−5≥0得
x≥5．
由二次根式有意义的条件得x−5≥0，解得x≥5．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
13.【答案】乙
【解析】解：现有甲、乙两个合唱队队员的平均身高均为170cm，方差分别为S甲2=1.45，S乙2=0.85，
∵S甲2>S乙2，
∴两个队的队员的身高较整齐的是乙，
故答案为：乙．
根据方差小的身高稳定判断即可．
此题考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
14.【答案】−12
【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0(a≠0)有一个根为−2，
∴4a−2b+1=0，
∴4a−2b=−1，
∴2a−b=−12，
故答案为：−12．
将x=−2代入原方程可得4a−2b=−1，等式两边同时除以2即可求解．
本题考查一元二次方程的解，解题的关键是将x=−2代入原方程．
15.【答案】32
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC=12AC=12×6=3，
∵点E，F分别为线段OD和CD的中点，
∴EF是△CDO的中位线，
∴EF=12OC=32，
故答案为：32．
根据平行四边形的性质和三角形中位线定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
16.【答案】80°
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD=2∠BAE，AB=AD，
∵AE=AD，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=70°，
∴∠BAE=180°−∠ABE−∠AEB=180°−70°−70°=40°，
∴∠BAD=2∠BAE=2×40°=80°，
故答案为：80°．
由菱形的性质得∠BAD=2∠BAE，AB=AD，再由等腰三角形的性质得∠ABE=∠AEB=70°，则∠BAE=40°，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
17.【答案】3+ 2或3− 2
【解析】解：∵BE=6，CE=1，
∴BC=BE+CE=7，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA=7，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，
如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBQ，
∴AP=CQ，∠PBQ=90°，∠BCQ=∠BCD=90°，
∴△PBQ是等腰直角三角形，Q、C、D三点共线，
设BF⊥PE于点N，
∵∠PBF=45°，
∴∠BPN=∠BPQ=45°，
∴P、N、E、Q四点共线，
延长PE到Q点，
设AP=CQ=x，则PD=AD−AP=7−x，DQ=CD+CQ=7+x，
∵CE//PD，
∴CEPD=CQDQ，即17−x=x7+x，
解得x1=3+ 2，x2=3− 2
经检验x1=3+ 2，x2=3− 2是分式方程的根且符合题意，
即AP的长为3+ 2或3− 2，
故答案为：3+ 2或3− 2．
先求出AB=BC=CD=DA=7，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBQ，则△PBQ是等腰直角三角形，Q、C、D三点共线，设BF⊥PE于点N，可证明P、N、E、Q四点共线，设AP=CQ=x，则PD=AD−AP=7−x，DQ=CD+CQ=7+x，由CE//PD得到CEPD=CQDQ，解方程并检验后即可得到答案．
此题考查了平行线分线段成比例定理、分式方程和一元二次方程的解法、旋转的性质、正方形的性质等知识，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBQ是解题的关键．
18.【答案】1
【解析】解：设BD与y轴交于点G，
由图可知：S△APH=S△AEF−S四边形PFEH=12S矩形CFEA−S四边形PFEH，
S△DFP=S梯形DFEH−S四边形PFEH，
∵点A在反比例函数y=ax(a>0,x>0)的图象上，点C在反比例函数y=bx(b<0,x<0)的图象上，
∴S矩形CFEA=|a|+|b|=a−b，
∴S△APH=12(a−b)−S四边形PFEH，
∵BH=EF，
∴S梯形DFEH=12(EF+DH)⋅HE=12(DH+BH)⋅HE=12BD⋅HE，
∴S梯形DFEH=12BD⋅HE=12DG⋅HE+12BG⋅HE，
而12DG⋅HE=12DG⋅OG=−12b，12BG⋅HE=12BG⋅OG=12a，
∴S梯形DFEH=12(a−b)，
∴S△DFP=12(a−b)−S四边形PFEH，
∴S△APH=S△DFP，
∴S△APHS△DFP=1，
故答案为：1．
由组合图形位置构成关系，得S△APH=S△AEF−S四边形PFEN=12S矩形CFEA−S四边形PFEH，S△DFP=S梯形DFEH−S四边形PFEH，由反比例函数解析式k的几何意义，得S矩形CFEA=|a|+|b|=a−b，S梯形DFEH=12(EF+DH)⋅HE=12BD⋅HE=12(a−b)，得出结论S△DFP=S△APH=1．
本题考查反比例函数解析式k的几何意义，组合图形求面积，理解反比例函数解析式k的几何意义是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=3 5− 5
=2 5；
(2)∵(x−2)(x+4)=x−2，
∴(x−2)(x+4)−(x−2)=0，
则(x−2)(x+3)=0，
∴x−2=0或x+3=0，
解得x1=2，x2=−3．
【解析】(1)先化简二次根式、计算乘法，再计算减法即可；
(2)先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查二次根式的混合运算和解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
20.【答案】90 90 80%
【解析】解：(1)1班的平均数为：(6×100+10×90+2×80+70×2)÷20=90(分)；
因为共有20个数，把这些数从小到大排列，中位数是第10、11个数的平均数，
则中位数是90+902=90(分)，
因为2班A级人数所占的比例比较大，
所以2班的众数是100分；
故答案为：90，90，80%；
(2)因为1班、2班的中位数和优秀率都相等，但从平均数和众数两方面来分析，二班比一班的成绩更加优秀，
所以二班的竞赛成绩更加优秀．
(1)根据平均数、众数、中位数以及优秀率的计算方法分别进行计算，即可得出答案；
(2)从平均数、众数、中位数以及优秀率方面进行分析，即可得出答案．
本题考查统计问题，涉及统计学相关公式，中位数、平均数和众数等知识，属于中等题型．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∵CF//AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴平行四边形AECF为矩形；
(2)解：∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BAE=90°−∠B=30°，
∴BE=12AB=1，
∴AE= AB2−BE2= 22−12= 3，
由(1)可知，四边形AECF为矩形，
∴EF=AC，
∵CE=BC−BE=5−1=4，
∴AC= AE2+CE2= ( 3)2+42= 19，
∴EF=AC= 19，
即EF的长为 19．
【解析】(1)先证四边形AECF是平行四边形，再证∠AEC=90°，然后由矩形的判定即可得出结论；
(2)由含30°角的直角三角形的性质得BE=12AB=1，则AE= 3，再由矩形的性质得EF=AC，然后由勾股定理得AC= 19，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵一次函数y=12x+1的图象分别与y轴，x轴交于A，B两点，
当x=0时，y=1，
∴A(0,1)，
∵将点A先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后，
∴点C(2,6)，
∵点C在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=2×6=12，
∴反比例函数的表达式为y=12x；
(2))∵y=12x，
∴当n<6时m取值范围是：m>2或m<0．
【解析】(1)解方程得到A(0,1)，根据平移的性质得到点C(2,6)，把点C代入反比例函数解析式，即可得到结论；(2)解不等式即可得到结论．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数和反比例函数的交点问题，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力．
23.【答案】解：(1)根据题意得：(45−30)×[100−2×(45−40)]
=15×[100−2×5]
=15×[100−10]
=15×90
=1350(元)．
答：每天的销售利润为1350元；
(2)设该纪念品的售价单价应定为每件x元，则每件的销售利润为(x−30)元，日销售量为100−2(x−40)=(180−2x)件，
根据题意得：(x−30)(180−2x)=1600，
整理得：x2−120x+3500=0，
解得：x1=50，x2=70，
又∵要让利给顾客，
∴x=50．
答：该纪念品的售价单价应定为每件50元．
【解析】(1)利用每天的销售利润=每件的销售利润×日销售量，即可求出结论；
(2)设该纪念品的售价单价应定为每件x元，则每件的销售利润为(x−30)元，日销售量为100−2(x−40)=(180−2x)件，利用每天的销售利润=每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∵AD⊥BE，
∴BE⊥BC，
∴∠EBC=90°=∠BFC，
∴∠EBF+∠CBF=90°=∠C+∠CBF，
∴∠EBF=∠C；
(2)①证明：延长EF，BC交于点H，
∵BF=EF，
∴∠FEB=∠FBE，
∵∠EBC=90°，
∴∠FBH=∠FHB，
∴BF=FH，
∴EF=FH，
∵AD//BC，
∴∠ADC=∠DCH，
在△EDF和△HCF中，
∠ADC=∠DCH∠DFE=∠CFHEF=FH，
∴△EDF≌△HCF(AAS)，
∴DF=CF；
②解：如图2，过点F作FH⊥BE于H，连接DH，
∴FH//DE，
∴S△EDF=S△EDH，
设CF=t=DF，则AB=CD=2t，
∵BF=2CF=2t，
∴BC= CF2+BF2= 5t，
∴AD=BC= 5t，
∵△ABE的面积为4，
∴12×AE⋅BE=4，
∵tanC=tanA=BFCF=BEAE=2，
∴BE=2AE，
∴12×AE⋅2AE=4，
∴AE=2(负值舍去)，
∴BE=4，
∵EF=BF，FH⊥BE，
∴BH=EH=2，
∵AE2+BE2=AB2，
∴AB=2 5，
∴2t=2 5，
∴t= 5，
∴AD= 5t=5，
∴DE=3，
∴S△BOE−S△DOF=S△BDE−S△EDF=S△BDE−S△EDH=S△BDH=12×BH⋅DE=12×2×3=3．
【解析】(1)由余角的性质可求解；
(2)①由“AAS”可证△EDF≌△HCF，可得结论；
②由面积公式可求AE的长，由勾股定理可求AB的长，即可求DE，由面积关系可求解．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
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