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四川省成都市新都区2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（含答案）
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这是一份四川省成都市新都区2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省成都市新都区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个答案是符合题目要求的，并将自己所选答案的字母涂在答题卡上）
1．（4分）2023年全国城市节约用水宣传周活动时间为5月14日至20日，成都市宣传主题为“推进城市节水，建设宜居城市”，如图所示倡导节约用水的标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）手机处理器工艺制程是指手机处理器内部集成电路的精细程度，工艺制程数字越小，越先进、耗电量也越低，并且发热量也更少．某款国内厂商最近发布的手机处理器拥有顶尖的5nm（5nm＝0.000000005m）制程和架构设计．用科学记数法表示0.000000005为（ ）
A．0.5×10﹣8 B．5×10﹣9 C．5×10﹣10 D．5×10﹣8
3．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝2a5 B．a2•a3＝a6
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6 D．（a+b）2＝a2+b2
4．（4分）如图，AD∥BC，∠B＝30°，DB平分∠ADE，则∠DEC为（ ）
A．120° B．90° C．60° D．30°
5．（4分）三角形的两边长分别是7，15，则此三角形第三边的长不可能是（ ）
A．7 B．9 C．15 D．21
6．（4分）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（2a+b）（2b﹣a） B．（1+x）（x﹣1）
C．（a+b）（a﹣2b） D．（2x﹣1）（﹣2x+1）
7．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．某彩票中奖率是1%，买100张彩票一定有一张中奖
B．篮球运动员在罚球线投篮一次投中是必然事件
C．从装有5个红球的袋子中摸出一个白球是随机事件
D．经过红绿灯路口遇到绿灯是随机事件
8．（4分）如图，已知CA＝CD，∠1＝∠2，在不加辅助线的情况下，增加下列4个条件中的一个：①BC＝EC，
②∠B＝∠E，
③AB＝DE，
④∠A＝∠D，
能使△ABC≌△DEC的条件的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（4分）已知am＝6，an＝2，则am﹣n＝ ．
10．（4分）作为“中国名柚之乡”，2022年新都柚产量达到了1500吨以上，如表是一段时间在集贸市场卖出的柚子重量x（kg）与售价y（元）之间的关系表：
重量x/kg
1
2
3
…
售价y/元
10+1
20+1
30+1
…
根据表中数据可知，售价y（元）与重量x（kg）之间的关系式为 （不考虑x的取值范围）．
11．（4分）一个不透明的布袋中装有除颜色外均相同的14个黑球，5个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2，则袋中红球的个数为 个．
12．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠ADB＝ 度．
13．（4分）学习完平方差公式之后，数学兴趣小组在活动中发现：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
⋯
（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x2+x+1）＝xn+1﹣1．
请你利用发现的规律计算：22022+22021+22020+⋯+22+2+1＝ ．
三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（12分）（1）﹣|﹣5|；
（2）已知a＝2，b＝﹣1，求（2a+b）2﹣2（a﹣2b）（a+2b）+（b﹣2a）（b+a）的值．
15．（8分）如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．
（1）画△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l成轴对称；
（2）求△ABC的面积；
（3）在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短（不需计算，在图上直接标记出点P的位置）．
16．（8分）第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，新都区某中学开展“爱成都，迎大运”系列宣传活动，其中采取网络问卷的方式随机调查了本校部分学生对“A足球，B篮球，C乒乓球，D羽毛球”四种球类运动的喜爱程度，让学生投票选出自己最喜爱的一个运动，并对调查结果进行了整理，绘制出如所示两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 人，请补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中D区域的圆心角的度数；
（3）根据调查结果，估计该校1200名学生中喜欢蓝球的共有多少人？
17．（10分）学习完平行线的知识后，甲，乙，丙三位同学利用两个三角形进行探究活动，分别得到以下图形．已知Rt△EDF中，∠D＝90°，∠F＝60°．请根据他们的叙述条件完成题目．
（1）若△ACB为等腰直角三角形，且∠C＝90°，∠A＝45°；
①甲同学：如图1，Rt△ACB和Rt△EDF的直角边DE，BC在同一直线上，点E和点C互相重合，斜边CF与AB相交于点P，那么∠APF＝ 度；
②乙同学：如图2，Rt△ACB和Rt△EDF直角顶点C，D互相重合于点P，斜边AB与斜边EF互相平行，求∠EPB的度数，并写出解答过程；
（2）若△ACB为等腰三角形，已知AC＝BC．
丙同学：如图3，若Rt△EDF直角顶点D恰好与△ACB底边AB的中点重合，Rt△EDF的斜边EF经过△ACB的顶点C，若EF∥AB，设∠ACB＝x，请用含x的式子表示∠EPB的度数，并写出解答过程．
18．（10分）如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，先将边BC沿过点B的直线l对折得到BD，连接CD，然后以CD为边在左侧作△CDE，其中∠CDE＝90°，CD＝DE，BD与CE交于点F，连接BE，AD．
（1）求证：△ACD≌△BDE；
（2）如图2，当点D在△ABC的斜边AB上时，请直接写出用BC，BE表示AB的关系式；
（3）如图3，当点D在△ABC的内部时，若点F为BD的中点，且△ACD的面积为10，求△CDF的面积．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．（4分）已知：x+＝3，则x2+＝ ．
20．（4分）汽车的刹车距离d米与汽车行驶速度v千米/小时和路面的摩擦系数f有关，它们之间满足经验公式v2＝250df．经测试，某型小客车在行驶速度v＝50千米/小时的情况下，紧急刹车直至停止，刹车距离为16米，则路面的摩擦系数f为 ．
21．（4分）如图，在△ABC中，线段AF平分∠BAC，交BC边于点E，过点F作FD⊥BC于点D，若∠C﹣∠B＝36°，则∠F＝ 度．
22．（4分）将24×25×26×27+1表示成一个自然数的平方，则这个自然数是 ；若从一个正整数a开始，连续的四个整数的积再加上1，也可以用一个自然数的平方表示所得结果，即a×（a+1）×（a+2）×（a+3）+1＝A2，其中a为正整数，那么这个自然数A＝ ．
23．（4分）如图，将两个正方形拼在一起，A，B，E在同一直线上，连接DE，DG，GE，当BE＝1时，△DGE的面积记为S1，当BE＝2时，△DGE的面积记为S2，⋯，以此类推，当BE＝n时，△DGE的面积记为Sn，则S2024﹣S2023+S2022﹣S2021+⋯+S2﹣S1＝ ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（8分）我国当代著名数学家华罗庚先生有一首关于数形结合的词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数无形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离!”．这首小词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数形结合”的本质，而数形结合的方法是我们解决数学问题常用到的思想方法．如图，我们通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．
（1）图中所表示的数学等式为 ；
（2）利用（1）中得到结论，解决问题：
①已知13x2﹣6xy+y2﹣4x+1＝0，求（x+y）2024•x2023的值；
②已知（x﹣2022）2+（2023﹣x）2＝25，求（x﹣2022）（2023﹣x）的值．
25．（10分）甲和乙两人同时开车从A地出发，沿一条笔直的公路匀速前往相距450千米的B地，已知甲的速度大于乙的速度，1小时后，甲发现有物品落在A地，于是立即按原速度返回A地取物品，返回途中与乙相遇，在第2小时时取到物品后立即提速20%继续前往B地（所有掉头时间和取物品的时间忽略不计），在第5小时时再次遇到乙，并超过乙．已知甲和乙之间的距离y（千米）与甲车行驶的时间x（小时）之间的部分关系如图所示．根据图象解答下列问题．
（1）乙的速度为 千米/小时；
（2）甲提速后的速度为多少千米/小时；
（3）当甲到达B地时，乙离B地的距离为多少千米．
26．（12分）在△ABC中，AB＝AC，AB⊥AC，D，E分别为平面内两点，连接AD，AE，BD，CE，DE，使∠BAD＝∠CAE且AD＝AE．
（1）如图1，
①BD与CE有怎样的数量关系，请说明理由；
②BD与CE有怎样的位置关系，请说明理由；
（2）如图2，若延长BD与CE相交于H，且BH过AC的中点N，∠DAE的角平分线交BH于F，过点A作AM⊥BH于M，已知AM＝3，BN＝7，EF：EH＝5：2．设BD＝y，FN＝x，请用含x的代数式表示y．
2022-2023学年四川省成都市新都区七年级（下）期末数学试卷（参考答案）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个答案是符合题目要求的，并将自己所选答案的字母涂在答题卡上）
1．（4分）2023年全国城市节约用水宣传周活动时间为5月14日至20日，成都市宣传主题为“推进城市节水，建设宜居城市”，如图所示倡导节约用水的标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
2．（4分）手机处理器工艺制程是指手机处理器内部集成电路的精细程度，工艺制程数字越小，越先进、耗电量也越低，并且发热量也更少．某款国内厂商最近发布的手机处理器拥有顶尖的5nm（5nm＝0.000000005m）制程和架构设计．用科学记数法表示0.000000005为（ ）
A．0.5×10﹣8 B．5×10﹣9 C．5×10﹣10 D．5×10﹣8
【解答】解：由题意得0.000000005＝5×10﹣9，
故选：B．
3．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝2a5 B．a2•a3＝a6
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6 D．（a+b）2＝a2+b2
【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B、a2•a3＝a5，原计算错误，故不符合题意；
C、（﹣2a2）3＝﹣8a6，故符合题意；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，原计算错误，故不符合题意；
故选：C．
4．（4分）如图，AD∥BC，∠B＝30°，DB平分∠ADE，则∠DEC为（ ）
A．120° B．90° C．60° D．30°
【解答】解：∵AD∥BC，∠B＝30°，
∴∠ADB＝∠B＝30°，∠ADE＝∠DEC，
∵DB平分∠ADE，
∴∠ADE＝2∠ADB＝60°，
∴∠DEC＝60°．
故选：C．
5．（4分）三角形的两边长分别是7，15，则此三角形第三边的长不可能是（ ）
A．7 B．9 C．15 D．21
【解答】解：设第三边长为x，
则15﹣7＜x＜15+7，
即8＜x＜22．
故选：A．
6．（4分）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（2a+b）（2b﹣a） B．（1+x）（x﹣1）
C．（a+b）（a﹣2b） D．（2x﹣1）（﹣2x+1）
【解答】解：A、中不存在互为相同或相反的项，不能用平方差公式计算，故本选项错误；
B、x是相同的项，互为相反项是1与﹣1，符合平方差公式的要求，故本选项正确；
C、中不存在相反的项，不能用平方差公式计算，故本选项错误；
D、中符合完全平方公式，不能用平方差公式计算，故本选项错误；
因此A、C、D都不符合平方差公式的要求．
故选：B．
7．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．某彩票中奖率是1%，买100张彩票一定有一张中奖
B．篮球运动员在罚球线投篮一次投中是必然事件
C．从装有5个红球的袋子中摸出一个白球是随机事件
D．经过红绿灯路口遇到绿灯是随机事件
【解答】解：A、某彩票中奖率是1%，买100张彩票不一定有一张中奖，不符合题意；
B、篮球运动员在罚球线投篮一次投中是随机事件，不符合题意；
C、从装有5个红球的袋子中摸出一个白球是不可能事件，不符合题意；
D、经过红绿灯路口遇到绿灯是随机事件，符合题意．
故选：D．
8．（4分）如图，已知CA＝CD，∠1＝∠2，在不加辅助线的情况下，增加下列4个条件中的一个：①BC＝EC，
②∠B＝∠E，
③AB＝DE，
④∠A＝∠D，
能使△ABC≌△DEC的条件的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠ACE＝∠2+∠ACE，即∠ACB＝∠DCE．
又∵CA＝CD，
∴可以添加BC＝EC，此时满足SAS，①正确；
添加条件∠B＝∠E，此时满足AAS，②正确；
添加条件∠A＝∠D，此时满足ASA，④正确；
添加条件AB＝DE，不能证明△ABC≌△DEC，③不正确．
故能使△ABC≌△DEC的条件的个数为3个．
故选：C．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（4分）已知am＝6，an＝2，则am﹣n＝ 3 ．
【解答】解：∵am＝6，an＝2，
∴am﹣n＝am÷an＝6÷2＝3．
故答案为：3．
10．（4分）作为“中国名柚之乡”，2022年新都柚产量达到了1500吨以上，如表是一段时间在集贸市场卖出的柚子重量x（kg）与售价y（元）之间的关系表：
重量x/kg
1
2
3
…
售价y/元
10+1
20+1
30+1
…
根据表中数据可知，售价y（元）与重量x（kg）之间的关系式为 y＝10x+1 （不考虑x的取值范围）．
【解答】解：根据表中数据可知，售价y（元）与重量x（kg）之间的关系式为：y＝10x+1．
故答案为：y＝10x+1．
11．（4分）一个不透明的布袋中装有除颜色外均相同的14个黑球，5个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2，则袋中红球的个数为 6 个．
【解答】解：设红球x个，根据题意可得：
＝0.2，
解得：x＝6，
经检验得：x＝6是原方程的根．
故答案为：6．
12．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠ADB＝ 60 度．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠C＝∠B＝（180°﹣120°）＝30°，
由作图可知MN垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴∠C＝∠DAC＝30°，
∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝60°．
故答案为：60．
13．（4分）学习完平方差公式之后，数学兴趣小组在活动中发现：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
⋯
（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x2+x+1）＝xn+1﹣1．
请你利用发现的规律计算：22022+22021+22020+⋯+22+2+1＝ 22023﹣1 ．
【解答】解：22022+22021+22020+⋯+22+2+1
＝（2﹣1）（22022+22021+22020+⋯+22+2+1）
＝22023﹣1，
故答案为：22023﹣1．
三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（12分）（1）﹣|﹣5|；
（2）已知a＝2，b＝﹣1，求（2a+b）2﹣2（a﹣2b）（a+2b）+（b﹣2a）（b+a）的值．
【解答】解：（1）原式＝1﹣（﹣1）+4﹣5＝1；
（2）原式＝4a2+4ab+b2﹣2（a2﹣4b2）+b2﹣ab﹣2a2
＝4a2+4ab+b2﹣2a2+8b2+b2﹣ab﹣2a2
＝3ab+9b2，
把a＝2，b＝﹣1代入3ab+9b2，可得：3×2×（﹣1）+9×（﹣1）2＝﹣6+9＝3．
15．（8分）如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．
（1）画△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l成轴对称；
（2）求△ABC的面积；
（3）在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短（不需计算，在图上直接标记出点P的位置）．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）△ABC的面积＝3×4﹣×4×2﹣×2×1﹣×2×3＝4；
（3）如图，点P为所作．
16．（8分）第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，新都区某中学开展“爱成都，迎大运”系列宣传活动，其中采取网络问卷的方式随机调查了本校部分学生对“A足球，B篮球，C乒乓球，D羽毛球”四种球类运动的喜爱程度，让学生投票选出自己最喜爱的一个运动，并对调查结果进行了整理，绘制出如所示两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 200 人，请补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中D区域的圆心角的度数；
（3）根据调查结果，估计该校1200名学生中喜欢蓝球的共有多少人？
【解答】解：（1）参加问卷调查的同学的人数为40÷20%＝200（人）．
喜爱乒乓球的人数为100﹣40﹣80﹣10＝70（人）．
补全条形统计图如图所示：
故答案为：200；
（2）D区域的圆心角的度数360°×＝18°；
（3）1200×＝480（人），
答：估计该校1200名学生中喜欢蓝球的共有480人．
17．（10分）学习完平行线的知识后，甲，乙，丙三位同学利用两个三角形进行探究活动，分别得到以下图形．已知Rt△EDF中，∠D＝90°，∠F＝60°．请根据他们的叙述条件完成题目．
（1）若△ACB为等腰直角三角形，且∠C＝90°，∠A＝45°；
①甲同学：如图1，Rt△ACB和Rt△EDF的直角边DE，BC在同一直线上，点E和点C互相重合，斜边CF与AB相交于点P，那么∠APF＝ 105 度；
②乙同学：如图2，Rt△ACB和Rt△EDF直角顶点C，D互相重合于点P，斜边AB与斜边EF互相平行，求∠EPB的度数，并写出解答过程；
（2）若△ACB为等腰三角形，已知AC＝BC．
丙同学：如图3，若Rt△EDF直角顶点D恰好与△ACB底边AB的中点重合，Rt△EDF的斜边EF经过△ACB的顶点C，若EF∥AB，设∠ACB＝x，请用含x的式子表示∠EPB的度数，并写出解答过程．
【解答】解：（1）①∵∠D＝90°，∠F＝60°，
∴∠DCF＝90°﹣∠F＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACP＝∠ACB﹣∠DCF＝90°﹣30°＝60°，
∴∠APF＝∠A+∠ACP＝45°+60°＝105°，
故答案为：105；
②∵∠APB＝∠EPF＝90°，∠A＝45°，∠F＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝45°，∠E＝90°﹣∠F＝30°，
如图2，过点P作PM∥AB，
∵AB∥EF，
∴PM∥AB∥EF，
∴∠BPM＝∠B＝45°，∠EPM＝∠E＝30°，
∴∠EPB＝∠BPM+∠EPM＝45°+30°＝75°，
即∠EPB的度数为75°；
（2）由②得：∠E＝30°，
∵EF∥AB，
∴∠BDP＝∠E＝30°，
∵AC＝BC，∠ACB＝x，
∴∠A＝∠B＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣x，
∴∠EPB＝∠B+∠BDP＝90°﹣x+30°＝120°﹣x．
18．（10分）如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，先将边BC沿过点B的直线l对折得到BD，连接CD，然后以CD为边在左侧作△CDE，其中∠CDE＝90°，CD＝DE，BD与CE交于点F，连接BE，AD．
（1）求证：△ACD≌△BDE；
（2）如图2，当点D在△ABC的斜边AB上时，请直接写出用BC，BE表示AB的关系式；
（3）如图3，当点D在△ABC的内部时，若点F为BD的中点，且△ACD的面积为10，求△CDF的面积．
【解答】（1）证明：∵边BC沿过点B的直线l对折得到BD，
∴BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC，
∵∠ACB＝∠CDE＝90°，
∴∠ACB﹣∠BCD＝∠CDE﹣∠BDC，
∴∠ACD＝∠BDE，
∵AC＝BC，
∴BD＝AC，
∴△ACD≌△BDE（SAS）；
（2）解：由（1）得：△ACD≌△BDE，
∴AD＝BE，
∴AB＝BD+AD＝BD+BE，
∵BC＝BD，
∴AB＝BD+BE；
（3）解：如图，
设直线l交CD于点H，交CE于K，取DH的中点G，连接FG，连接DK，
∵点F是BD的中点，
∴FG∥BH，
∴，
由折叠得：CH＝DH，
∴CH＝2GH，
∴，
∵l⊥CD，CD⊥DE，
∴FG∥DE，
∴，
∴，
∴S△CDF：S△DEF＝3：1，
由（1）知：△BDE≌△ACD，
∴S△BDE＝S△ACD＝10，
∵点F是BD的中点，
∴S△DEF＝S△ACD＝5，
∴S△CDF＝15．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．（4分）已知：x+＝3，则x2+＝ 7 ．
【解答】解：∵x+＝3，
∴（x+）2＝x2+2+＝9，
∴x2+＝7，
故答案为：7．
20．（4分）汽车的刹车距离d米与汽车行驶速度v千米/小时和路面的摩擦系数f有关，它们之间满足经验公式v2＝250df．经测试，某型小客车在行驶速度v＝50千米/小时的情况下，紧急刹车直至停止，刹车距离为16米，则路面的摩擦系数f为 ．
【解答】解：由题意得，v＝50，d＝16，
把v＝50，d＝16代入v2＝250df，得
2500＝250×16f，
解得f＝，
故答案为：．
21．（4分）如图，在△ABC中，线段AF平分∠BAC，交BC边于点E，过点F作FD⊥BC于点D，若∠C﹣∠B＝36°，则∠F＝ 14 度．
【解答】解：∵∠BAC+∠C+∠B＝180°，∠C﹣∠B＝28°，
∴∠BAC+2∠C＝208°，
∴∠BAC+∠C＝104°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAC，
∵∠CEA＝180°﹣（∠CAE+∠C）＝180°﹣（∠BAC+∠C）＝180°﹣104°＝76°，
∴∠FED＝∠CEA＝76°，
∵FD⊥BC，
∴∠FDE＝90°，
∴∠F＝180°﹣∠FED﹣∠FDE＝180°﹣76°﹣90°＝14°，
故答案为：14．
22．（4分）将24×25×26×27+1表示成一个自然数的平方，则这个自然数是 649 ；若从一个正整数a开始，连续的四个整数的积再加上1，也可以用一个自然数的平方表示所得结果，即a×（a+1）×（a+2）×（a+3）+1＝A2，其中a为正整数，那么这个自然数A＝ a2+3a+1 ．
【解答】解：24×25×26×27+1
＝24×（24+1）×（24+2）×（24+3）+1
＝[24×（24+3）]×[（24+1）×（24+2）]+1
＝（242+24×3）×（242+24×3+2）+1
＝（242+24×3）2+2×（242+24×3）+1
＝（242+24×3+1）2
＝（576+72+1）2
＝6492；
a×（a+1）×（a+2）×（a+3）+1
＝[a×（a+3）]×[（a+1）×（a+2）]+1
＝（a2+3a）×（a2+3a+2）+1
＝（a2+3a）2+2（a2+3a）+1
＝（a2+3a+1）2，
即A＝a2+3a+1，
故答案为：649；a2+3a+1．
23．（4分）如图，将两个正方形拼在一起，A，B，E在同一直线上，连接DE，DG，GE，当BE＝1时，△DGE的面积记为S1，当BE＝2时，△DGE的面积记为S2，⋯，以此类推，当BE＝n时，△DGE的面积记为Sn，则S2024﹣S2023+S2022﹣S2021+⋯+S2﹣S1＝ 1024650 ．
【解答】解：连接BD，则BD∥EG，∠DBA＝∠GEB＝45°，
∴△DEG的边EG上的高与△BEG的边EG上的高相等，
∴S△DEG＝S△BEG＝BE2，
当BE＝n时，S△DEG＝Sn＝n2，
∴Sn﹣1＝（n﹣1）2，
∴Sn﹣Sn﹣1＝n﹣，
∴S2024﹣S2023+S2022﹣S2021+…+S2﹣S1
＝2024﹣+2022﹣+…+2﹣
＝（﹣）×1012+2×（1012+1011+…+1）
＝﹣506+1012×1013＝1024650．
故答案为：1024650．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（8分）我国当代著名数学家华罗庚先生有一首关于数形结合的词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数无形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离!”．这首小词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数形结合”的本质，而数形结合的方法是我们解决数学问题常用到的思想方法．如图，我们通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．
（1）图中所表示的数学等式为 （a+b）2＝a2+2ab+b2 ；
（2）利用（1）中得到结论，解决问题：
①已知13x2﹣6xy+y2﹣4x+1＝0，求（x+y）2024•x2023的值；
②已知（x﹣2022）2+（2023﹣x）2＝25，求（x﹣2022）（2023﹣x）的值．
【解答】解：（1）由图形可得大正方形的面积为（a+b）2，还可以表示为a2+2ab+b2，
则（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）①已知13x2﹣6xy+y2﹣4x+1＝0，
则9x2+4x2﹣6xy+y2﹣4x+1＝0，
即（9x2﹣6xy+y2）+（4x2﹣4x+1）＝0，
那么（3x﹣y）2+（2x﹣1）2＝0，
则3x﹣y＝0，2x﹣1＝0，
解得：x＝，y＝，
∴（x+y）2024•x2023
＝（+）2024×（）2023
＝22024×（）2023
＝2×22023×（）2023
＝2×（2×）2023
＝2×1
＝2；
②∵（x﹣2022）2+（2023﹣x）2＝25，
∴[（x﹣2022）+（2023﹣x）]2﹣2（x﹣2022）（2023﹣x）＝25，
∴（x﹣2022+2023﹣x）2﹣2（x﹣2022）（2023﹣x）＝25，
即1﹣2（x﹣2022）（2023﹣x）＝25，
则（x﹣2022）（2023﹣x）＝﹣12．
25．（10分）甲和乙两人同时开车从A地出发，沿一条笔直的公路匀速前往相距450千米的B地，已知甲的速度大于乙的速度，1小时后，甲发现有物品落在A地，于是立即按原速度返回A地取物品，返回途中与乙相遇，在第2小时时取到物品后立即提速20%继续前往B地（所有掉头时间和取物品的时间忽略不计），在第5小时时再次遇到乙，并超过乙．已知甲和乙之间的距离y（千米）与甲车行驶的时间x（小时）之间的部分关系如图所示．根据图象解答下列问题．
（1）乙的速度为 60 千米/小时；
（2）甲提速后的速度为多少千米/小时；
（3）当甲到达B地时，乙离B地的距离为多少千米．
【解答】解：（1）∵甲出发1小时后，按原速度返回A地取物品，
∴当甲返回A地的时刻为2小时，
此时，甲和乙之间的距离为120千米，即乙出发2小时行驶了120千米，
∴乙的速度为＝60（千米/小时），
故答案为：60；
（2）设甲原来的速度为x千米/小时，则甲提速后的速度为（1+20%）x千米/小时，
∵在第5小时时，甲、乙再次相遇，
∴（1+20%）x•（5﹣2）＝5×60，
解得：x＝，
∴（1+20%）×＝100，
∴甲提速后的速度为100千米/小时；
（3）甲取回物品后从A地驶往B地所需时间为＝4.5（小时），
∴当甲到达终点时，乙行驶的时间为2+4.5＝6.5（小时），
∴乙行驶的路程为60×6.5＝390（千米），
∴当甲到达B地时，乙离B地的距离为450﹣390＝60（千米）．
26．（12分）在△ABC中，AB＝AC，AB⊥AC，D，E分别为平面内两点，连接AD，AE，BD，CE，DE，使∠BAD＝∠CAE且AD＝AE．
（1）如图1，
①BD与CE有怎样的数量关系，请说明理由；
②BD与CE有怎样的位置关系，请说明理由；
（2）如图2，若延长BD与CE相交于H，且BH过AC的中点N，∠DAE的角平分线交BH于F，过点A作AM⊥BH于M，已知AM＝3，BN＝7，EF：EH＝5：2．设BD＝y，FN＝x，请用含x的代数式表示y．
【解答】解：（1）①BD＝CE，理由如下：
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
②BD⊥CE，理由如下：
延长BD交CE的延长线于点P，
由①知，△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC+∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠DBC+∠ACB＝90°，
∵∠P＝180°﹣（∠ACE+∠DBC+∠ACB）＝90°，
∴BD⊥CE；
（2）由（1）知，CE＝BD＝y，
∵点N是AC的中点，
∴AN＝CN，
在△AMN和△CHN中，
，
∴△AMN≌△CHN（AAS），
∴CH＝AM＝3，
由（1）知，CE＝BD＝y，
∴CE﹣CH＝EH＝y﹣3，
∵AF是∠DAF的角平分线，
∴DF＝EF，
∵EF：EH＝5：2，
∴DF＝EF＝EH，
∵DF＝DN﹣BD﹣FN，DN＝7，
∴7﹣x﹣y＝EH，
即7﹣x﹣y＝，
整理得y＝﹣．
2022-2023学年四川省成都市新都区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个答案是符合题目要求的，并将自己所选答案的字母涂在答题卡上）
1．（4分）2023年全国城市节约用水宣传周活动时间为5月14日至20日，成都市宣传主题为“推进城市节水，建设宜居城市”，如图所示倡导节约用水的标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）手机处理器工艺制程是指手机处理器内部集成电路的精细程度，工艺制程数字越小，越先进、耗电量也越低，并且发热量也更少．某款国内厂商最近发布的手机处理器拥有顶尖的5nm（5nm＝0.000000005m）制程和架构设计．用科学记数法表示0.000000005为（ ）
A．0.5×10﹣8 B．5×10﹣9 C．5×10﹣10 D．5×10﹣8
3．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝2a5 B．a2•a3＝a6
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6 D．（a+b）2＝a2+b2
4．（4分）如图，AD∥BC，∠B＝30°，DB平分∠ADE，则∠DEC为（ ）
A．120° B．90° C．60° D．30°
5．（4分）三角形的两边长分别是7，15，则此三角形第三边的长不可能是（ ）
A．7 B．9 C．15 D．21
6．（4分）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（2a+b）（2b﹣a） B．（1+x）（x﹣1）
C．（a+b）（a﹣2b） D．（2x﹣1）（﹣2x+1）
7．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．某彩票中奖率是1%，买100张彩票一定有一张中奖
B．篮球运动员在罚球线投篮一次投中是必然事件
C．从装有5个红球的袋子中摸出一个白球是随机事件
D．经过红绿灯路口遇到绿灯是随机事件
8．（4分）如图，已知CA＝CD，∠1＝∠2，在不加辅助线的情况下，增加下列4个条件中的一个：①BC＝EC，
②∠B＝∠E，
③AB＝DE，
④∠A＝∠D，
能使△ABC≌△DEC的条件的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（4分）已知am＝6，an＝2，则am﹣n＝ ．
10．（4分）作为“中国名柚之乡”，2022年新都柚产量达到了1500吨以上，如表是一段时间在集贸市场卖出的柚子重量x（kg）与售价y（元）之间的关系表：
重量x/kg
1
2
3
…
售价y/元
10+1
20+1
30+1
…
根据表中数据可知，售价y（元）与重量x（kg）之间的关系式为 （不考虑x的取值范围）．
11．（4分）一个不透明的布袋中装有除颜色外均相同的14个黑球，5个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2，则袋中红球的个数为 个．
12．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠ADB＝ 度．
13．（4分）学习完平方差公式之后，数学兴趣小组在活动中发现：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
⋯
（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x2+x+1）＝xn+1﹣1．
请你利用发现的规律计算：22022+22021+22020+⋯+22+2+1＝ ．
三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（12分）（1）﹣|﹣5|；
（2）已知a＝2，b＝﹣1，求（2a+b）2﹣2（a﹣2b）（a+2b）+（b﹣2a）（b+a）的值．
15．（8分）如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．
（1）画△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l成轴对称；
（2）求△ABC的面积；
（3）在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短（不需计算，在图上直接标记出点P的位置）．
16．（8分）第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，新都区某中学开展“爱成都，迎大运”系列宣传活动，其中采取网络问卷的方式随机调查了本校部分学生对“A足球，B篮球，C乒乓球，D羽毛球”四种球类运动的喜爱程度，让学生投票选出自己最喜爱的一个运动，并对调查结果进行了整理，绘制出如所示两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 人，请补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中D区域的圆心角的度数；
（3）根据调查结果，估计该校1200名学生中喜欢蓝球的共有多少人？
17．（10分）学习完平行线的知识后，甲，乙，丙三位同学利用两个三角形进行探究活动，分别得到以下图形．已知Rt△EDF中，∠D＝90°，∠F＝60°．请根据他们的叙述条件完成题目．
（1）若△ACB为等腰直角三角形，且∠C＝90°，∠A＝45°；
①甲同学：如图1，Rt△ACB和Rt△EDF的直角边DE，BC在同一直线上，点E和点C互相重合，斜边CF与AB相交于点P，那么∠APF＝ 度；
②乙同学：如图2，Rt△ACB和Rt△EDF直角顶点C，D互相重合于点P，斜边AB与斜边EF互相平行，求∠EPB的度数，并写出解答过程；
（2）若△ACB为等腰三角形，已知AC＝BC．
丙同学：如图3，若Rt△EDF直角顶点D恰好与△ACB底边AB的中点重合，Rt△EDF的斜边EF经过△ACB的顶点C，若EF∥AB，设∠ACB＝x，请用含x的式子表示∠EPB的度数，并写出解答过程．
18．（10分）如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，先将边BC沿过点B的直线l对折得到BD，连接CD，然后以CD为边在左侧作△CDE，其中∠CDE＝90°，CD＝DE，BD与CE交于点F，连接BE，AD．
（1）求证：△ACD≌△BDE；
（2）如图2，当点D在△ABC的斜边AB上时，请直接写出用BC，BE表示AB的关系式；
（3）如图3，当点D在△ABC的内部时，若点F为BD的中点，且△ACD的面积为10，求△CDF的面积．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．（4分）已知：x+＝3，则x2+＝ ．
20．（4分）汽车的刹车距离d米与汽车行驶速度v千米/小时和路面的摩擦系数f有关，它们之间满足经验公式v2＝250df．经测试，某型小客车在行驶速度v＝50千米/小时的情况下，紧急刹车直至停止，刹车距离为16米，则路面的摩擦系数f为 ．
21．（4分）如图，在△ABC中，线段AF平分∠BAC，交BC边于点E，过点F作FD⊥BC于点D，若∠C﹣∠B＝36°，则∠F＝ 度．
22．（4分）将24×25×26×27+1表示成一个自然数的平方，则这个自然数是 ；若从一个正整数a开始，连续的四个整数的积再加上1，也可以用一个自然数的平方表示所得结果，即a×（a+1）×（a+2）×（a+3）+1＝A2，其中a为正整数，那么这个自然数A＝ ．
23．（4分）如图，将两个正方形拼在一起，A，B，E在同一直线上，连接DE，DG，GE，当BE＝1时，△DGE的面积记为S1，当BE＝2时，△DGE的面积记为S2，⋯，以此类推，当BE＝n时，△DGE的面积记为Sn，则S2024﹣S2023+S2022﹣S2021+⋯+S2﹣S1＝ ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（8分）我国当代著名数学家华罗庚先生有一首关于数形结合的词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数无形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离!”．这首小词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数形结合”的本质，而数形结合的方法是我们解决数学问题常用到的思想方法．如图，我们通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．
（1）图中所表示的数学等式为 ；
（2）利用（1）中得到结论，解决问题：
①已知13x2﹣6xy+y2﹣4x+1＝0，求（x+y）2024•x2023的值；
②已知（x﹣2022）2+（2023﹣x）2＝25，求（x﹣2022）（2023﹣x）的值．
25．（10分）甲和乙两人同时开车从A地出发，沿一条笔直的公路匀速前往相距450千米的B地，已知甲的速度大于乙的速度，1小时后，甲发现有物品落在A地，于是立即按原速度返回A地取物品，返回途中与乙相遇，在第2小时时取到物品后立即提速20%继续前往B地（所有掉头时间和取物品的时间忽略不计），在第5小时时再次遇到乙，并超过乙．已知甲和乙之间的距离y（千米）与甲车行驶的时间x（小时）之间的部分关系如图所示．根据图象解答下列问题．
（1）乙的速度为 千米/小时；
（2）甲提速后的速度为多少千米/小时；
（3）当甲到达B地时，乙离B地的距离为多少千米．
26．（12分）在△ABC中，AB＝AC，AB⊥AC，D，E分别为平面内两点，连接AD，AE，BD，CE，DE，使∠BAD＝∠CAE且AD＝AE．
（1）如图1，
①BD与CE有怎样的数量关系，请说明理由；
②BD与CE有怎样的位置关系，请说明理由；
（2）如图2，若延长BD与CE相交于H，且BH过AC的中点N，∠DAE的角平分线交BH于F，过点A作AM⊥BH于M，已知AM＝3，BN＝7，EF：EH＝5：2．设BD＝y，FN＝x，请用含x的代数式表示y．
2022-2023学年四川省成都市新都区七年级（下）期末数学试卷（参考答案）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个答案是符合题目要求的，并将自己所选答案的字母涂在答题卡上）
1．（4分）2023年全国城市节约用水宣传周活动时间为5月14日至20日，成都市宣传主题为“推进城市节水，建设宜居城市”，如图所示倡导节约用水的标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
2．（4分）手机处理器工艺制程是指手机处理器内部集成电路的精细程度，工艺制程数字越小，越先进、耗电量也越低，并且发热量也更少．某款国内厂商最近发布的手机处理器拥有顶尖的5nm（5nm＝0.000000005m）制程和架构设计．用科学记数法表示0.000000005为（ ）
A．0.5×10﹣8 B．5×10﹣9 C．5×10﹣10 D．5×10﹣8
【解答】解：由题意得0.000000005＝5×10﹣9，
故选：B．
3．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝2a5 B．a2•a3＝a6
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6 D．（a+b）2＝a2+b2
【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B、a2•a3＝a5，原计算错误，故不符合题意；
C、（﹣2a2）3＝﹣8a6，故符合题意；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，原计算错误，故不符合题意；
故选：C．
4．（4分）如图，AD∥BC，∠B＝30°，DB平分∠ADE，则∠DEC为（ ）
A．120° B．90° C．60° D．30°
【解答】解：∵AD∥BC，∠B＝30°，
∴∠ADB＝∠B＝30°，∠ADE＝∠DEC，
∵DB平分∠ADE，
∴∠ADE＝2∠ADB＝60°，
∴∠DEC＝60°．
故选：C．
5．（4分）三角形的两边长分别是7，15，则此三角形第三边的长不可能是（ ）
A．7 B．9 C．15 D．21
【解答】解：设第三边长为x，
则15﹣7＜x＜15+7，
即8＜x＜22．
故选：A．
6．（4分）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（2a+b）（2b﹣a） B．（1+x）（x﹣1）
C．（a+b）（a﹣2b） D．（2x﹣1）（﹣2x+1）
【解答】解：A、中不存在互为相同或相反的项，不能用平方差公式计算，故本选项错误；
B、x是相同的项，互为相反项是1与﹣1，符合平方差公式的要求，故本选项正确；
C、中不存在相反的项，不能用平方差公式计算，故本选项错误；
D、中符合完全平方公式，不能用平方差公式计算，故本选项错误；
因此A、C、D都不符合平方差公式的要求．
故选：B．
7．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．某彩票中奖率是1%，买100张彩票一定有一张中奖
B．篮球运动员在罚球线投篮一次投中是必然事件
C．从装有5个红球的袋子中摸出一个白球是随机事件
D．经过红绿灯路口遇到绿灯是随机事件
【解答】解：A、某彩票中奖率是1%，买100张彩票不一定有一张中奖，不符合题意；
B、篮球运动员在罚球线投篮一次投中是随机事件，不符合题意；
C、从装有5个红球的袋子中摸出一个白球是不可能事件，不符合题意；
D、经过红绿灯路口遇到绿灯是随机事件，符合题意．
故选：D．
8．（4分）如图，已知CA＝CD，∠1＝∠2，在不加辅助线的情况下，增加下列4个条件中的一个：①BC＝EC，
②∠B＝∠E，
③AB＝DE，
④∠A＝∠D，
能使△ABC≌△DEC的条件的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠ACE＝∠2+∠ACE，即∠ACB＝∠DCE．
又∵CA＝CD，
∴可以添加BC＝EC，此时满足SAS，①正确；
添加条件∠B＝∠E，此时满足AAS，②正确；
添加条件∠A＝∠D，此时满足ASA，④正确；
添加条件AB＝DE，不能证明△ABC≌△DEC，③不正确．
故能使△ABC≌△DEC的条件的个数为3个．
故选：C．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（4分）已知am＝6，an＝2，则am﹣n＝ 3 ．
【解答】解：∵am＝6，an＝2，
∴am﹣n＝am÷an＝6÷2＝3．
故答案为：3．
10．（4分）作为“中国名柚之乡”，2022年新都柚产量达到了1500吨以上，如表是一段时间在集贸市场卖出的柚子重量x（kg）与售价y（元）之间的关系表：
重量x/kg
1
2
3
…
售价y/元
10+1
20+1
30+1
…
根据表中数据可知，售价y（元）与重量x（kg）之间的关系式为 y＝10x+1 （不考虑x的取值范围）．
【解答】解：根据表中数据可知，售价y（元）与重量x（kg）之间的关系式为：y＝10x+1．
故答案为：y＝10x+1．
11．（4分）一个不透明的布袋中装有除颜色外均相同的14个黑球，5个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2，则袋中红球的个数为 6 个．
【解答】解：设红球x个，根据题意可得：
＝0.2，
解得：x＝6，
经检验得：x＝6是原方程的根．
故答案为：6．
12．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠ADB＝ 60 度．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠C＝∠B＝（180°﹣120°）＝30°，
由作图可知MN垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴∠C＝∠DAC＝30°，
∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝60°．
故答案为：60．
13．（4分）学习完平方差公式之后，数学兴趣小组在活动中发现：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
⋯
（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x2+x+1）＝xn+1﹣1．
请你利用发现的规律计算：22022+22021+22020+⋯+22+2+1＝ 22023﹣1 ．
【解答】解：22022+22021+22020+⋯+22+2+1
＝（2﹣1）（22022+22021+22020+⋯+22+2+1）
＝22023﹣1，
故答案为：22023﹣1．
三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（12分）（1）﹣|﹣5|；
（2）已知a＝2，b＝﹣1，求（2a+b）2﹣2（a﹣2b）（a+2b）+（b﹣2a）（b+a）的值．
【解答】解：（1）原式＝1﹣（﹣1）+4﹣5＝1；
（2）原式＝4a2+4ab+b2﹣2（a2﹣4b2）+b2﹣ab﹣2a2
＝4a2+4ab+b2﹣2a2+8b2+b2﹣ab﹣2a2
＝3ab+9b2，
把a＝2，b＝﹣1代入3ab+9b2，可得：3×2×（﹣1）+9×（﹣1）2＝﹣6+9＝3．
15．（8分）如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．
（1）画△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l成轴对称；
（2）求△ABC的面积；
（3）在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短（不需计算，在图上直接标记出点P的位置）．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）△ABC的面积＝3×4﹣×4×2﹣×2×1﹣×2×3＝4；
（3）如图，点P为所作．
16．（8分）第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，新都区某中学开展“爱成都，迎大运”系列宣传活动，其中采取网络问卷的方式随机调查了本校部分学生对“A足球，B篮球，C乒乓球，D羽毛球”四种球类运动的喜爱程度，让学生投票选出自己最喜爱的一个运动，并对调查结果进行了整理，绘制出如所示两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 200 人，请补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中D区域的圆心角的度数；
（3）根据调查结果，估计该校1200名学生中喜欢蓝球的共有多少人？
【解答】解：（1）参加问卷调查的同学的人数为40÷20%＝200（人）．
喜爱乒乓球的人数为100﹣40﹣80﹣10＝70（人）．
补全条形统计图如图所示：
故答案为：200；
（2）D区域的圆心角的度数360°×＝18°；
（3）1200×＝480（人），
答：估计该校1200名学生中喜欢蓝球的共有480人．
17．（10分）学习完平行线的知识后，甲，乙，丙三位同学利用两个三角形进行探究活动，分别得到以下图形．已知Rt△EDF中，∠D＝90°，∠F＝60°．请根据他们的叙述条件完成题目．
（1）若△ACB为等腰直角三角形，且∠C＝90°，∠A＝45°；
①甲同学：如图1，Rt△ACB和Rt△EDF的直角边DE，BC在同一直线上，点E和点C互相重合，斜边CF与AB相交于点P，那么∠APF＝ 105 度；
②乙同学：如图2，Rt△ACB和Rt△EDF直角顶点C，D互相重合于点P，斜边AB与斜边EF互相平行，求∠EPB的度数，并写出解答过程；
（2）若△ACB为等腰三角形，已知AC＝BC．
丙同学：如图3，若Rt△EDF直角顶点D恰好与△ACB底边AB的中点重合，Rt△EDF的斜边EF经过△ACB的顶点C，若EF∥AB，设∠ACB＝x，请用含x的式子表示∠EPB的度数，并写出解答过程．
【解答】解：（1）①∵∠D＝90°，∠F＝60°，
∴∠DCF＝90°﹣∠F＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACP＝∠ACB﹣∠DCF＝90°﹣30°＝60°，
∴∠APF＝∠A+∠ACP＝45°+60°＝105°，
故答案为：105；
②∵∠APB＝∠EPF＝90°，∠A＝45°，∠F＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝45°，∠E＝90°﹣∠F＝30°，
如图2，过点P作PM∥AB，
∵AB∥EF，
∴PM∥AB∥EF，
∴∠BPM＝∠B＝45°，∠EPM＝∠E＝30°，
∴∠EPB＝∠BPM+∠EPM＝45°+30°＝75°，
即∠EPB的度数为75°；
（2）由②得：∠E＝30°，
∵EF∥AB，
∴∠BDP＝∠E＝30°，
∵AC＝BC，∠ACB＝x，
∴∠A＝∠B＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣x，
∴∠EPB＝∠B+∠BDP＝90°﹣x+30°＝120°﹣x．
18．（10分）如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，先将边BC沿过点B的直线l对折得到BD，连接CD，然后以CD为边在左侧作△CDE，其中∠CDE＝90°，CD＝DE，BD与CE交于点F，连接BE，AD．
（1）求证：△ACD≌△BDE；
（2）如图2，当点D在△ABC的斜边AB上时，请直接写出用BC，BE表示AB的关系式；
（3）如图3，当点D在△ABC的内部时，若点F为BD的中点，且△ACD的面积为10，求△CDF的面积．
【解答】（1）证明：∵边BC沿过点B的直线l对折得到BD，
∴BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC，
∵∠ACB＝∠CDE＝90°，
∴∠ACB﹣∠BCD＝∠CDE﹣∠BDC，
∴∠ACD＝∠BDE，
∵AC＝BC，
∴BD＝AC，
∴△ACD≌△BDE（SAS）；
（2）解：由（1）得：△ACD≌△BDE，
∴AD＝BE，
∴AB＝BD+AD＝BD+BE，
∵BC＝BD，
∴AB＝BD+BE；
（3）解：如图，
设直线l交CD于点H，交CE于K，取DH的中点G，连接FG，连接DK，
∵点F是BD的中点，
∴FG∥BH，
∴，
由折叠得：CH＝DH，
∴CH＝2GH，
∴，
∵l⊥CD，CD⊥DE，
∴FG∥DE，
∴，
∴，
∴S△CDF：S△DEF＝3：1，
由（1）知：△BDE≌△ACD，
∴S△BDE＝S△ACD＝10，
∵点F是BD的中点，
∴S△DEF＝S△ACD＝5，
∴S△CDF＝15．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．（4分）已知：x+＝3，则x2+＝ 7 ．
【解答】解：∵x+＝3，
∴（x+）2＝x2+2+＝9，
∴x2+＝7，
故答案为：7．
20．（4分）汽车的刹车距离d米与汽车行驶速度v千米/小时和路面的摩擦系数f有关，它们之间满足经验公式v2＝250df．经测试，某型小客车在行驶速度v＝50千米/小时的情况下，紧急刹车直至停止，刹车距离为16米，则路面的摩擦系数f为 ．
【解答】解：由题意得，v＝50，d＝16，
把v＝50，d＝16代入v2＝250df，得
2500＝250×16f，
解得f＝，
故答案为：．
21．（4分）如图，在△ABC中，线段AF平分∠BAC，交BC边于点E，过点F作FD⊥BC于点D，若∠C﹣∠B＝36°，则∠F＝ 14 度．
【解答】解：∵∠BAC+∠C+∠B＝180°，∠C﹣∠B＝28°，
∴∠BAC+2∠C＝208°，
∴∠BAC+∠C＝104°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAC，
∵∠CEA＝180°﹣（∠CAE+∠C）＝180°﹣（∠BAC+∠C）＝180°﹣104°＝76°，
∴∠FED＝∠CEA＝76°，
∵FD⊥BC，
∴∠FDE＝90°，
∴∠F＝180°﹣∠FED﹣∠FDE＝180°﹣76°﹣90°＝14°，
故答案为：14．
22．（4分）将24×25×26×27+1表示成一个自然数的平方，则这个自然数是 649 ；若从一个正整数a开始，连续的四个整数的积再加上1，也可以用一个自然数的平方表示所得结果，即a×（a+1）×（a+2）×（a+3）+1＝A2，其中a为正整数，那么这个自然数A＝ a2+3a+1 ．
【解答】解：24×25×26×27+1
＝24×（24+1）×（24+2）×（24+3）+1
＝[24×（24+3）]×[（24+1）×（24+2）]+1
＝（242+24×3）×（242+24×3+2）+1
＝（242+24×3）2+2×（242+24×3）+1
＝（242+24×3+1）2
＝（576+72+1）2
＝6492；
a×（a+1）×（a+2）×（a+3）+1
＝[a×（a+3）]×[（a+1）×（a+2）]+1
＝（a2+3a）×（a2+3a+2）+1
＝（a2+3a）2+2（a2+3a）+1
＝（a2+3a+1）2，
即A＝a2+3a+1，
故答案为：649；a2+3a+1．
23．（4分）如图，将两个正方形拼在一起，A，B，E在同一直线上，连接DE，DG，GE，当BE＝1时，△DGE的面积记为S1，当BE＝2时，△DGE的面积记为S2，⋯，以此类推，当BE＝n时，△DGE的面积记为Sn，则S2024﹣S2023+S2022﹣S2021+⋯+S2﹣S1＝ 1024650 ．
【解答】解：连接BD，则BD∥EG，∠DBA＝∠GEB＝45°，
∴△DEG的边EG上的高与△BEG的边EG上的高相等，
∴S△DEG＝S△BEG＝BE2，
当BE＝n时，S△DEG＝Sn＝n2，
∴Sn﹣1＝（n﹣1）2，
∴Sn﹣Sn﹣1＝n﹣，
∴S2024﹣S2023+S2022﹣S2021+…+S2﹣S1
＝2024﹣+2022﹣+…+2﹣
＝（﹣）×1012+2×（1012+1011+…+1）
＝﹣506+1012×1013＝1024650．
故答案为：1024650．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（8分）我国当代著名数学家华罗庚先生有一首关于数形结合的词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数无形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离!”．这首小词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数形结合”的本质，而数形结合的方法是我们解决数学问题常用到的思想方法．如图，我们通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．
（1）图中所表示的数学等式为 （a+b）2＝a2+2ab+b2 ；
（2）利用（1）中得到结论，解决问题：
①已知13x2﹣6xy+y2﹣4x+1＝0，求（x+y）2024•x2023的值；
②已知（x﹣2022）2+（2023﹣x）2＝25，求（x﹣2022）（2023﹣x）的值．
【解答】解：（1）由图形可得大正方形的面积为（a+b）2，还可以表示为a2+2ab+b2，
则（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）①已知13x2﹣6xy+y2﹣4x+1＝0，
则9x2+4x2﹣6xy+y2﹣4x+1＝0，
即（9x2﹣6xy+y2）+（4x2﹣4x+1）＝0，
那么（3x﹣y）2+（2x﹣1）2＝0，
则3x﹣y＝0，2x﹣1＝0，
解得：x＝，y＝，
∴（x+y）2024•x2023
＝（+）2024×（）2023
＝22024×（）2023
＝2×22023×（）2023
＝2×（2×）2023
＝2×1
＝2；
②∵（x﹣2022）2+（2023﹣x）2＝25，
∴[（x﹣2022）+（2023﹣x）]2﹣2（x﹣2022）（2023﹣x）＝25，
∴（x﹣2022+2023﹣x）2﹣2（x﹣2022）（2023﹣x）＝25，
即1﹣2（x﹣2022）（2023﹣x）＝25，
则（x﹣2022）（2023﹣x）＝﹣12．
25．（10分）甲和乙两人同时开车从A地出发，沿一条笔直的公路匀速前往相距450千米的B地，已知甲的速度大于乙的速度，1小时后，甲发现有物品落在A地，于是立即按原速度返回A地取物品，返回途中与乙相遇，在第2小时时取到物品后立即提速20%继续前往B地（所有掉头时间和取物品的时间忽略不计），在第5小时时再次遇到乙，并超过乙．已知甲和乙之间的距离y（千米）与甲车行驶的时间x（小时）之间的部分关系如图所示．根据图象解答下列问题．
（1）乙的速度为 60 千米/小时；
（2）甲提速后的速度为多少千米/小时；
（3）当甲到达B地时，乙离B地的距离为多少千米．
【解答】解：（1）∵甲出发1小时后，按原速度返回A地取物品，
∴当甲返回A地的时刻为2小时，
此时，甲和乙之间的距离为120千米，即乙出发2小时行驶了120千米，
∴乙的速度为＝60（千米/小时），
故答案为：60；
（2）设甲原来的速度为x千米/小时，则甲提速后的速度为（1+20%）x千米/小时，
∵在第5小时时，甲、乙再次相遇，
∴（1+20%）x•（5﹣2）＝5×60，
解得：x＝，
∴（1+20%）×＝100，
∴甲提速后的速度为100千米/小时；
（3）甲取回物品后从A地驶往B地所需时间为＝4.5（小时），
∴当甲到达终点时，乙行驶的时间为2+4.5＝6.5（小时），
∴乙行驶的路程为60×6.5＝390（千米），
∴当甲到达B地时，乙离B地的距离为450﹣390＝60（千米）．
26．（12分）在△ABC中，AB＝AC，AB⊥AC，D，E分别为平面内两点，连接AD，AE，BD，CE，DE，使∠BAD＝∠CAE且AD＝AE．
（1）如图1，
①BD与CE有怎样的数量关系，请说明理由；
②BD与CE有怎样的位置关系，请说明理由；
（2）如图2，若延长BD与CE相交于H，且BH过AC的中点N，∠DAE的角平分线交BH于F，过点A作AM⊥BH于M，已知AM＝3，BN＝7，EF：EH＝5：2．设BD＝y，FN＝x，请用含x的代数式表示y．
【解答】解：（1）①BD＝CE，理由如下：
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
②BD⊥CE，理由如下：
延长BD交CE的延长线于点P，
由①知，△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC+∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠DBC+∠ACB＝90°，
∵∠P＝180°﹣（∠ACE+∠DBC+∠ACB）＝90°，
∴BD⊥CE；
（2）由（1）知，CE＝BD＝y，
∵点N是AC的中点，
∴AN＝CN，
在△AMN和△CHN中，
，
∴△AMN≌△CHN（AAS），
∴CH＝AM＝3，
由（1）知，CE＝BD＝y，
∴CE﹣CH＝EH＝y﹣3，
∵AF是∠DAF的角平分线，
∴DF＝EF，
∵EF：EH＝5：2，
∴DF＝EF＝EH，
∵DF＝DN﹣BD﹣FN，DN＝7，
∴7﹣x﹣y＝EH，
即7﹣x﹣y＝，
整理得y＝﹣．
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