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2022-2023学年辽宁省铁岭市八年级（下）月考数学试卷（6月份）（含解析）
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这是一份2022-2023学年辽宁省铁岭市八年级（下）月考数学试卷（6月份）（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省铁岭市八年级（下）月考数学试卷（6月份）
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 许多数学符号蕴含着对称美，在下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的符号是( )
A. B. C. D.
2. 下列式子是分式的是( )
A. a−b2 B. 5+yπ C. x+3x D. 1+x
3. 不等式组x>1x≤2的解集在数轴上表示为( )
A. B. C. D.
4. 下列因式分解正确的是( )
A. (a+3)(a−3)=a2−9 B. −x2−y2=(x+y)(x−y)
C. a3−2a2+a=a(a2−2) D. m2−4m+4=(m−2)2
5. 下列各式从左到右的变形一定正确的是( )
A. ba=b+1a+1 B. ba=bcac C. ba=b2a2 D. ab2ab=12
6. 若a>b，则下列关系不正确的是( )
A. a−3>b−3 B. −5a<−5b C. ac2>bc2 D. a−b>0
7. 对于分式|x|−2x+2下列说法正确的是( )
A. 当x=0时分式无意义 B. 当x=2时分式的值为零
C. 当x=±2时分式的值为零 D. 当x=−2时分式有意义
8. 一次函数y1=mx+n与y2=−x+a的图象如右图所示，则mx+n>−x+a的解集为( )
A. x>3
B. x<3
C. x<2
D. x>2
9. 某市在创建全国文明城市的行动中，对一段4000米路段进行整修，为了减少施工对城市交通的影响，实际施工时每天的工效比计划增加25%，结果提前4天完成任务，设计划每天整修x米，根据题意所列方程正确的是( )
A. 4000x−4000(1+25%)x=4 B. 4000(1−25%)x−4000x=4
C. 4000x−4000(1+25%)x=4 D. 4000(1+25%)x−4000x=4
10. 如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD，BE，CD=4，BC=2，若将△CDE绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段BE的长为( )
A. 2 3
B. 2 7
C. 3或 7
D. 2 3或2 7
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 分解因式：m3−16m=______．
12. 若函数y=kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b>0的解集是______．
13. 计算：1x−1−1=______．
14. 如图，点A为x轴负半轴上−点，过点A作AB⊥x轴，与直线y=x交于点B，将△ABO沿直线y=x平移3 2个单位长度得到△A′B′O′，若点A的坐标为(−2,0)，则点B′的坐标是______．
15. 如图，AO、BO、CO分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，OD⊥BC，△ABC的周长为12，OD=2，则△ABC的面积为______ ．
16. 如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=3，点D为AC的中点，点E是BC边上一个动点，将△CDE沿着DE翻折，使得点C落在点F处，当FE⊥AC时，EF的长为______．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
17. 解分式方程：3−12−x=x−1x−2．
四、解答题（本大题共8小题，共74.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题6.0分)
因式分解：4a2(x−y)+b2(y−x)．
19. (本小题8.0分)
解不等式组：2x+5≤3(x+2)x−12
化简并求值：x2−1x2−2x+1+x2−2xx−2÷x，从0、1、2、3几个数中选取一个作为x的值代入．
21. (本小题8.0分)
如图，在等边三角形ABC中，点E是AC边上的一点，过点E作DE//AB交BC于点D，作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
(1)求证：CE=CF；
(2)当AB=4，DF=2BD时，请直接写出△CEF的面积．
22. (本小题10.0分)
为了在学生中倡导扶危济困的良好社会风尚，营造和谐文明进步的校园环境，某校举行了“爱心永恒，情暖校园”慈善一日捐活动，在本次活动中，某同学对甲、乙两班捐款的情况进行统计，得到如下三条信息：
信息一甲班共捐款120元，乙班共捐款88元；
信息二乙班平均每人捐款数是甲班平均每人捐款数的0.8倍；
信息三甲班比乙班多5人．
请你根据以上三条信息，求出甲班平均每人捐款多少元？
23. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(−2,0)，(1,0)，将线段AB平移，点A，B的对应点分别为点C，D，且点C坐标为(−1,2)连接CD，AC，BD．
(1)直接画出四边形ABDC；
(2)四边形ABDC的面积为______面积单位；
(3)点E是x轴上一动点，当S△EBD=13S四边形ABDC时，请直接写出点E的坐标．
24. (本小题12.0分)
暑假期间，某校部分家长组织学生到户外开展劳动实践活动，一名学生由一名家长陪同，家长联系了甲乙两家组织机构，他们的报价相同，每位学生的报价比家长少20元，按报价计算，家长的总费用为10000元，学生的总费用为9600元．
(1)求每位学生报价是多少元？
(2)经协商，甲机构的优惠条件是：家长全价，学生都按8折收费；乙机构的优惠条件是：家长、学生都按m(m为正整数)折收费，他们选择了总费用较少的乙机构，请直接写出m的最大值．
25. (本小题12.0分)
如图1，在平面直角坐标系中，直线AB交y轴于点A(0,163)，交x轴于点B(4,0)，以AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠ABC=90°，AB=BC．
(1)求直线AB的函数表达式；
(2)如图2，点D的坐标为(0,1)，连接BD，将BD绕点B逆时针旋转90得BE，连接CE交x轴于点F，请直接写出OF的长；
(3)如图3，射线CB与y轴交于点G，在第四象限内有一点H，当△OGH的面积为3，且△OBH的面积为9时，连接BH，将线段BH，从点B出发，沿射线BG的方向平移，平移后的线段记为B′H′(点B′在射线BG上)，点M为y轴上的动点，当△MB′H′是以B′H′为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出点M的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．
2.【答案】C
【解析】解：A、是多项式，故本选项不符合题意；
B、是多项式，故本选项不符合题意；
C、分母中含有字母x，是分式，故本选项符合题意；
D、是多项式，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据分式的定义作答．
本题主要考查的是分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：原不等式组的解集为1
根据在数轴上表示不等式解集的方法进行解答即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，熟知实心圆点与空心原点的区别是解答此题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、不是因式分解，故此选项错误；
B、等式的左边和右边不相等，故此选项错误；
C、是因式分解，但是分解错误，应该是a3−2a2+a=a(a−1)2，故此选项错误；
D、是因式分解，故此选项正确．
故选：D．
(1)根据把整式变成几个整式的积的过程叫因式分解进行分析即可；
(2)根据平方差公式可作判断即可；
(3)先提公因式，再运用完全平方公式分解可作判断；
(4)直接利用完全平方公式分解因式．
此题主要考查了分解因式，关键是掌握分解因式的定义和乘法公式．
5.【答案】D
【解析】解：A、b+1a+1≠ba，故A不符合题意．
B、当c=0时，ba≠bcac，故B不符合题意．
C、ba≠b2a2，故C不符合题意．
D、ab2ab=12，故D符合题意．
故选：D．
根据分式的基本性质判断即可，分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
6.【答案】C
【解析】解：A、∵a>b，∴a−3>b−3，故A不符合题意．
B、∵a>b，∴−5a<−5b，故B不符合题意．
C、若c=0，则ac2=bc2=0，故C符合题意．
D、∵a>b，∴a−b>0，故D不符合题意．
故选：C．
根据不等式的性质即可求出答案．
本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型．
7.【答案】B
【解析】解：∵对于分式|x|−2x+2，
当x+2=0，即x=−2时无意义，
当x+2≠0，即x≠−2是有意义，
当|x|−2=0且x+2≠0，即x=2时值为零．
故选：B．
根据分式有意义，无意义以及分式值为零的条件解答即可．
本题考查了分式有意义，无意义以及分式值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
8.【答案】A
【解析】解：∵mx+n>−x+a，即：y1>y2，
根据图象知：当x3时有y1>y2，
故选：A．
根据函数和不等式的关系求解．
本题考查了函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：实际施工时每天的工效比计划增加25%，则且实际每天整修(1+25%)x米，
依题意得：4000x−4000(1+25%)x=4，
故选：A．
根据实际及原计划工作效率之间的关系可得出实际施工时每天整修(1+25%)x米，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合提前4天完成任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：①当E在CA延长线上时，过A作AM⊥BE于M，如图：
∵△ABC与△CDE都是等边三角形，CD=4，BC=2，
∴AE=CE−AC=4−2=2，∠BAC=60°，
∴AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE=30°，
在Rt△ABM中，
AM=12AB=1，BM= 3AM= 3，
∴BE=2BM=2 3；
②当E在AC的延长线上时，过B作BN⊥AC于N，如图：
在Rt△BCN中，
CN=12BC=1，BN= 3CN= 3，
∴NE=CE+CN=4+1=5，
在Rt△BNE中，
BE= BN2+NE2= ( 3)2+52=2 7；
综上所述，线段BE的长为2 3或2 7，
故选：D．
分两种情况：①当E在CA延长线上时，过A作AM⊥BE于M，根据△ABC与△CDE都是等边三角形，CD=4，BC=2，可得AE=AB，∠AEB=∠ABE=30°，在Rt△ABM中，可得BM= 3，从而BE=2BM=2 3；②当E在AC的延长线上时，过B作BN⊥AC于N，在Rt△BCN中，CN=12BC=1，BN= 3CN= 3，在Rt△BNE中，BE= BN2+NE2=2 7．
本题考查等边三角形的旋转变换，解题的关键是分类画出图形，应用含30°角的直角三角形三边关系，结合勾股定理解决问题．
11.【答案】m(m+4)(m−4)
【解析】解：m3−16m
=m(m2−16)
=m(m+4)(m−4)．
故答案为：m(m+4)(m−4)．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
12.【答案】x<2
【解析】解：当x<2时，y>0，
所以不等式kx+b>0的解集为x<2．
故答案为：x<2．
结合图象，写出直线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
13.【答案】2−xx−1
【解析】解：1x−1−1
=1x−1−x−1x−1
=1−x+1x−1
=2−xx−1．
故答案为：2−xx−1．
首先把1变为x−1x−1，然后利用同分母的分式加减法则计算即可求解．
此题主要考查了分式的加减法，解题的关键是首先把1变为x−1x−1，接着利用分式加减法则计算即可加减问题．
14.【答案】(1,1)
【解析】解：∵点A的坐标为(−2,0)，AB⊥x轴，与直线y=x交于点B，
∴B(−2,−2)，
将△ABO沿直线y=x向上平移3 2个单位长度得到△A′B′O′，实质上是将△ABO向右平移3个单位，向上平移3个单位，
∴B′的坐标为(−2+3,−2+3)，即B′(1,1)，
故答案为：(1,1)．
求得B的坐标，根据题意，将△ABO向右平移3个单位，向上平移3个单位得到△A′B′O′，从而得到B′的坐标为(−2+3,−2+3)，即B′(1,1)．
本题主要考查了一次函数的图象与几何变换，点的平移问题，能根据题意得出平移的实质是本题的关键．
15.【答案】12
【解析】解：如图，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵∠ABC、∠ACB的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB于E，OF⊥AC，
∴OD=OE，OD=OF，
∵OD=2，
∴OD=OE=OF=2，
∵△ABC的周长为12，
∴△ABC的面积=12(AB+BC+AC)×2=12×12×2=12．
故答案为：12．
过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得OD=OE=OF，再根据三角形面积计算即可得解．
本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟记角平分线的性质是解题的关键．
16.【答案】32或92
【解析】解：∵在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=3，点D为AC的中点，
∴AC= 3AB=3 3，CD=12AB=3 32，
如图：当E在D的右侧时，
延长FE交AC于H，
∵FE⊥AC，
∴∠EHC=90°，
由翻折的性质知，CD=DF=3 32，
∠C=∠DFH=30°，
设EF=x，则CE=EF=x，EH=12EC=12x，
∴FH=32x，
在直角三角形DFH中，∵∠DFH=30°，
∴FH= 32DF，
∴32x= 32×3 32，
∴x=32．
当E在D的左侧时，如图：
由翻折性质知，CD=DF=3 32，
∠C=∠EFD=30°，CE=EF=x，
∵EF⊥AC，
∴∠FHD=90°，
∴EH=12EC=12x，FH=x−12x=12x，
在直角三角形FHD中，HF= 32DF，
∴12x= 32×3 32，
∴x=92．
故答案为：32或92．
利用翻折的性质分类计算即可．
本题考查翻折的性质，充分利用翻折性质及含30度角的直角三角形的性质是求解本题的关键．
17.【答案】解：分式的两边都乘以(x−2)得：
3(x−2)+1=x−1，
∴3x−6+1=x−1，
∴2x=4，
即x=2，
检验：把x=2代入x−2=0，∴x=2不是方程的解，
∴原方程无解．
【解析】分式的两边都乘以(x−2)得出3(x−2)+1=x−1，移项后合并同类项得出2x=4，求出方程的解，再代入x−2进行检验即可．
本题主要考查对解分式方程的理解，能熟练地解分式方程是解此题的关键．
18.【答案】解：4a2(x−y)+b2(y−x)
=(x−y)(4a2−b2)
=(x−y)(2a+b)(2a−b)．
【解析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
19.【答案】解：解第一个不等式去括号得2x+5≤3x+6，解得x≥−1；
解第二个不等式去分母得3x−3<2x，解得x<3；
∴不等式组的解集是−1≤x<3．
【解析】先求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
20.【答案】解：原式=(x+1)(x−1)(x−1)2+x(x−2)x−2⋅1x
=x+1x−1+1
=x+1x−1+x−1x−1
=2xx−1，
由题意得：x≠0、1、2，
当x=3时，原式=2×33−1=3．
【解析】根据分式的除法法则、加法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°．
∵DE//AB，
∴∠B=EDC=60°，∠A=∠CED=60°，
∴∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°，
∵EF⊥ED，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=30°
∵∠F+∠FEC=∠ECD=60°，
∴∠F=∠FEC=30°，
∴CE=CF．
(2)解：过点E作EM⊥DC于点M，
由(1)可知∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°，
∴CE=DC．
又∵CE=CF，
∴DC=CF，
∴DF=2CD，
∵DF=2BD，
∴CD=BD，
∵AB=4，
∴BC=4，
∴BD=CD=CF=EC=2，
∵EM⊥DC，
∴DM=CM=1，
在Rt△EMC中，EM= EC2−CM2= 22−12= 3，
∴△CEF的面积为：12CF×EM=12×2× 3= 3．
【解析】(1)证明△DCE中的三个角均为60°，然后再求得∠F=30°，从而可得到∠CEF=30°，故此可得到CE=CF；
(2)先求得DF=2DC，根据DF=2BD求得DC=BD，所以BD=CD=2，然后进一步求△CEF的面积即可．
本题主要考查的是等边三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
22.【答案】解：设甲班平均每人捐款为x元，
由题意知：120x=880.8x+5，
解得：x=2，
经检验：x=2是原分式方程的解，
答：甲班平均每人捐款为2元．
【解析】设甲班平均每人捐款为x元，根据甲班人数=乙班人数+5，并结合算术平均数的定义列出方程，解之可得答案．
本题主要考查分式方程的应用和算术平均数，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并结合算术平均数的定义列出方程．
23.【答案】6
【解析】解：(1)如图，四边形ABDC即为所求；
(2)四边形ABDC的面积=3×2=6，
故答案为：6；
(3)设E(m,0).由题意，12×|m−1|×2=13×6，
解得，m=3或−1，
∴E(3,0)或(−1,0)．
(1)根据要求作出图形即可；
(2)利用平行四边形的面积公式求解；
(3)设E(m,0)，构建方程求解即可．
本题考查坐标与图形变化−平移，平行四边形的性质等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用参数构建方程解决问题．
24.【答案】解：(1)设每位学生报价是x元，则每位家长报价是(x+20)元，
依题意得：9600x=10000x+20，
解得：x=480，
经检验，x=480是原方程的解，且符合题意．
答：每位学生报价是480元．
(2)参加劳动实践活动的学生人数为9600÷480=20(人)．
∵一名学生由一名家长陪同，
∴参加劳动实践活动的家长有20人．
依题意得：(480+20)×20+480×0.8×20>(480+20)×m10×20+480×m10×20，
解得：m<44249．
又∵m为正整数，
∴m的最大值为9．
答：m的最大值为9．
【解析】(1)设每位学生报价是x元，则每位家长报价是(x+20)元，利用数量=总价÷单价，结合学生和家长的人数相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)利用数量=总价÷单价，可求出参与活动的学生及家长人数，根据选择乙机构所需总费用较少，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中最大整数值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25.【答案】解：(1)设AB的解析式为：y=kx+163，
∴4k+163=0，
解得：k=−43，
∴直线AB的函数表达式为：y=−43x+163；
(2)过点E作EH⊥x轴于点H，过点C作CN⊥x轴，
∵∠AOB=∠BOE=∠OBD+∠OBE=90°，
∴∠OBD+ODB=90°，
∴∠ODB=∠OBE，
∵BD=BE，
∴△OBD≌△HEB(AAS)，
∴BH=OD=1，EH=OB=4，
∴E(3,−4)，
∵∠AOB=∠ABC=∠ONC=90°，AB=BC，
∴△AOB≌△BNC(AAS)，
∴CM=OB=4.BN=OA=163，
∴ON=OB+BN=283，
∴C(283,4)，
设CE的解析式为：y=kx+b，
∴283k+b=43k+b=−4解得k=2419b=−14819，
∴CE的解析式为：y=2419x−14819，
当y=0时有2419x−14819=0，
解得x=376，
∴F(376,0)，
∴OF=376；
(3)设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴4k+b=0283k+b=4，
解得k=34b=−3，
∴y=34x−3，
∴G(0,−3)，
设H(x,y)，
∵△OGH的面积为3，
∴12×3×x=3，
∴x=2，
∵△OBH的面积为9，
∴12×4×(−y)=9，
∴y=−92，
∴H(2,−92)，
设线段BH沿x轴负方向移动m个单位，则线段BH沿y轴负方向移动34m个单位，
∴B′(4−m,−34m)，H′(2−m,−92−34m)，
当∠H′B′M=90°时，B′M=B′H=BH= 972，
过点B′作y轴的垂线交于Q，过点H′作H′P⊥PQ交PQ于点P，
∵∠PB′H′+∠QB′M=90°，∠PB′H′+∠PH′B′=90°，
∴∠PH′B′=∠QB′M，
∴△PH′B′≌△QB′M(AAS)，
∴PB′=QM，
∴M(0,−34m−2)，
∴ 972= (4−m)2+4，
∴m=−12(舍)或m=172，
∴M(0,−678)；
当∠B′H′M=90°时，过点H′作KL//y轴，过点M作ML⊥KL交于L，过点B′作B′K⊥KL交于K，
∴∠KH′B′+∠LH′M=90°，∠LMH′+∠MH′L=90°，
∴∠KH′B=∠LMH′，
∵H′B′=H′M，
∴△KH′B′≌△LMH′(AAS)，
∴KB′=H′L，
∴M(0,−132−34m)，
∴ 972= (2−m)2+4，
解得m=−52(舍)或m=132，
∴M(0,−918)；
综上所述：M点坐标为(0,−678)或(0,−918).
【解析】(1)用待定系数法求函数解析式即可；
(2)过点E作EH⊥x轴于点H，过点C作CN⊥x轴，先△OBD≌△HEB(AAS)，再证明△AOB≌△BNC(AAS)，由待定系数法求出CE的解析式后即可求出F点坐标，由此可求解；
(3)由三角形面积求出H点坐标，设线段BH沿x轴负方向移动m个单位，则线段BH沿y轴负方向移动34m个单位，则B′(4−m,−34m)，H′(2−m,−92−34m)，当∠H′B′M=90°时，过点B′作y轴的垂线交于Q，过点H′作H′P⊥PQ交PQ于点P，通过证明△PH′B′≌△QB′M(AAS)，求出M(0,−34m−2)，再由 972= (4−m)2+4，可求M(0,−678)；当∠B′H′M=90°时，过点H′作KL//y轴，过点M作ML⊥KL交于L，过点B′作B′K⊥KL交于K，通过证明△KH′B′≌△LMH′(AAS)，求出M(0,−132−34m)，再由 972= (2−m)2+4，得到M(0,−918).
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，图形旋转和平移的性质是解题的关键．
2022-2023学年辽宁省铁岭市八年级（下）月考数学试卷（6月份）
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 许多数学符号蕴含着对称美，在下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的符号是( )
A. B. C. D.
2. 下列式子是分式的是( )
A. a−b2 B. 5+yπ C. x+3x D. 1+x
3. 不等式组x>1x≤2的解集在数轴上表示为( )
A. B. C. D.
4. 下列因式分解正确的是( )
A. (a+3)(a−3)=a2−9 B. −x2−y2=(x+y)(x−y)
C. a3−2a2+a=a(a2−2) D. m2−4m+4=(m−2)2
5. 下列各式从左到右的变形一定正确的是( )
A. ba=b+1a+1 B. ba=bcac C. ba=b2a2 D. ab2ab=12
6. 若a>b，则下列关系不正确的是( )
A. a−3>b−3 B. −5a<−5b C. ac2>bc2 D. a−b>0
7. 对于分式|x|−2x+2下列说法正确的是( )
A. 当x=0时分式无意义 B. 当x=2时分式的值为零
C. 当x=±2时分式的值为零 D. 当x=−2时分式有意义
8. 一次函数y1=mx+n与y2=−x+a的图象如右图所示，则mx+n>−x+a的解集为( )
A. x>3
B. x<3
C. x<2
D. x>2
9. 某市在创建全国文明城市的行动中，对一段4000米路段进行整修，为了减少施工对城市交通的影响，实际施工时每天的工效比计划增加25%，结果提前4天完成任务，设计划每天整修x米，根据题意所列方程正确的是( )
A. 4000x−4000(1+25%)x=4 B. 4000(1−25%)x−4000x=4
C. 4000x−4000(1+25%)x=4 D. 4000(1+25%)x−4000x=4
10. 如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD，BE，CD=4，BC=2，若将△CDE绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段BE的长为( )
A. 2 3
B. 2 7
C. 3或 7
D. 2 3或2 7
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 分解因式：m3−16m=______．
12. 若函数y=kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b>0的解集是______．
13. 计算：1x−1−1=______．
14. 如图，点A为x轴负半轴上−点，过点A作AB⊥x轴，与直线y=x交于点B，将△ABO沿直线y=x平移3 2个单位长度得到△A′B′O′，若点A的坐标为(−2,0)，则点B′的坐标是______．
15. 如图，AO、BO、CO分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，OD⊥BC，△ABC的周长为12，OD=2，则△ABC的面积为______ ．
16. 如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=3，点D为AC的中点，点E是BC边上一个动点，将△CDE沿着DE翻折，使得点C落在点F处，当FE⊥AC时，EF的长为______．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
17. 解分式方程：3−12−x=x−1x−2．
四、解答题（本大题共8小题，共74.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题6.0分)
因式分解：4a2(x−y)+b2(y−x)．
19. (本小题8.0分)
解不等式组：2x+5≤3(x+2)x−12
化简并求值：x2−1x2−2x+1+x2−2xx−2÷x，从0、1、2、3几个数中选取一个作为x的值代入．
21. (本小题8.0分)
如图，在等边三角形ABC中，点E是AC边上的一点，过点E作DE//AB交BC于点D，作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
(1)求证：CE=CF；
(2)当AB=4，DF=2BD时，请直接写出△CEF的面积．
22. (本小题10.0分)
为了在学生中倡导扶危济困的良好社会风尚，营造和谐文明进步的校园环境，某校举行了“爱心永恒，情暖校园”慈善一日捐活动，在本次活动中，某同学对甲、乙两班捐款的情况进行统计，得到如下三条信息：
信息一甲班共捐款120元，乙班共捐款88元；
信息二乙班平均每人捐款数是甲班平均每人捐款数的0.8倍；
信息三甲班比乙班多5人．
请你根据以上三条信息，求出甲班平均每人捐款多少元？
23. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(−2,0)，(1,0)，将线段AB平移，点A，B的对应点分别为点C，D，且点C坐标为(−1,2)连接CD，AC，BD．
(1)直接画出四边形ABDC；
(2)四边形ABDC的面积为______面积单位；
(3)点E是x轴上一动点，当S△EBD=13S四边形ABDC时，请直接写出点E的坐标．
24. (本小题12.0分)
暑假期间，某校部分家长组织学生到户外开展劳动实践活动，一名学生由一名家长陪同，家长联系了甲乙两家组织机构，他们的报价相同，每位学生的报价比家长少20元，按报价计算，家长的总费用为10000元，学生的总费用为9600元．
(1)求每位学生报价是多少元？
(2)经协商，甲机构的优惠条件是：家长全价，学生都按8折收费；乙机构的优惠条件是：家长、学生都按m(m为正整数)折收费，他们选择了总费用较少的乙机构，请直接写出m的最大值．
25. (本小题12.0分)
如图1，在平面直角坐标系中，直线AB交y轴于点A(0,163)，交x轴于点B(4,0)，以AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠ABC=90°，AB=BC．
(1)求直线AB的函数表达式；
(2)如图2，点D的坐标为(0,1)，连接BD，将BD绕点B逆时针旋转90得BE，连接CE交x轴于点F，请直接写出OF的长；
(3)如图3，射线CB与y轴交于点G，在第四象限内有一点H，当△OGH的面积为3，且△OBH的面积为9时，连接BH，将线段BH，从点B出发，沿射线BG的方向平移，平移后的线段记为B′H′(点B′在射线BG上)，点M为y轴上的动点，当△MB′H′是以B′H′为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出点M的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．
2.【答案】C
【解析】解：A、是多项式，故本选项不符合题意；
B、是多项式，故本选项不符合题意；
C、分母中含有字母x，是分式，故本选项符合题意；
D、是多项式，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据分式的定义作答．
本题主要考查的是分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：原不等式组的解集为1
根据在数轴上表示不等式解集的方法进行解答即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，熟知实心圆点与空心原点的区别是解答此题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、不是因式分解，故此选项错误；
B、等式的左边和右边不相等，故此选项错误；
C、是因式分解，但是分解错误，应该是a3−2a2+a=a(a−1)2，故此选项错误；
D、是因式分解，故此选项正确．
故选：D．
(1)根据把整式变成几个整式的积的过程叫因式分解进行分析即可；
(2)根据平方差公式可作判断即可；
(3)先提公因式，再运用完全平方公式分解可作判断；
(4)直接利用完全平方公式分解因式．
此题主要考查了分解因式，关键是掌握分解因式的定义和乘法公式．
5.【答案】D
【解析】解：A、b+1a+1≠ba，故A不符合题意．
B、当c=0时，ba≠bcac，故B不符合题意．
C、ba≠b2a2，故C不符合题意．
D、ab2ab=12，故D符合题意．
故选：D．
根据分式的基本性质判断即可，分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
6.【答案】C
【解析】解：A、∵a>b，∴a−3>b−3，故A不符合题意．
B、∵a>b，∴−5a<−5b，故B不符合题意．
C、若c=0，则ac2=bc2=0，故C符合题意．
D、∵a>b，∴a−b>0，故D不符合题意．
故选：C．
根据不等式的性质即可求出答案．
本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型．
7.【答案】B
【解析】解：∵对于分式|x|−2x+2，
当x+2=0，即x=−2时无意义，
当x+2≠0，即x≠−2是有意义，
当|x|−2=0且x+2≠0，即x=2时值为零．
故选：B．
根据分式有意义，无意义以及分式值为零的条件解答即可．
本题考查了分式有意义，无意义以及分式值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
8.【答案】A
【解析】解：∵mx+n>−x+a，即：y1>y2，
根据图象知：当x3时有y1>y2，
故选：A．
根据函数和不等式的关系求解．
本题考查了函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：实际施工时每天的工效比计划增加25%，则且实际每天整修(1+25%)x米，
依题意得：4000x−4000(1+25%)x=4，
故选：A．
根据实际及原计划工作效率之间的关系可得出实际施工时每天整修(1+25%)x米，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合提前4天完成任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：①当E在CA延长线上时，过A作AM⊥BE于M，如图：
∵△ABC与△CDE都是等边三角形，CD=4，BC=2，
∴AE=CE−AC=4−2=2，∠BAC=60°，
∴AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE=30°，
在Rt△ABM中，
AM=12AB=1，BM= 3AM= 3，
∴BE=2BM=2 3；
②当E在AC的延长线上时，过B作BN⊥AC于N，如图：
在Rt△BCN中，
CN=12BC=1，BN= 3CN= 3，
∴NE=CE+CN=4+1=5，
在Rt△BNE中，
BE= BN2+NE2= ( 3)2+52=2 7；
综上所述，线段BE的长为2 3或2 7，
故选：D．
分两种情况：①当E在CA延长线上时，过A作AM⊥BE于M，根据△ABC与△CDE都是等边三角形，CD=4，BC=2，可得AE=AB，∠AEB=∠ABE=30°，在Rt△ABM中，可得BM= 3，从而BE=2BM=2 3；②当E在AC的延长线上时，过B作BN⊥AC于N，在Rt△BCN中，CN=12BC=1，BN= 3CN= 3，在Rt△BNE中，BE= BN2+NE2=2 7．
本题考查等边三角形的旋转变换，解题的关键是分类画出图形，应用含30°角的直角三角形三边关系，结合勾股定理解决问题．
11.【答案】m(m+4)(m−4)
【解析】解：m3−16m
=m(m2−16)
=m(m+4)(m−4)．
故答案为：m(m+4)(m−4)．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
12.【答案】x<2
【解析】解：当x<2时，y>0，
所以不等式kx+b>0的解集为x<2．
故答案为：x<2．
结合图象，写出直线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
13.【答案】2−xx−1
【解析】解：1x−1−1
=1x−1−x−1x−1
=1−x+1x−1
=2−xx−1．
故答案为：2−xx−1．
首先把1变为x−1x−1，然后利用同分母的分式加减法则计算即可求解．
此题主要考查了分式的加减法，解题的关键是首先把1变为x−1x−1，接着利用分式加减法则计算即可加减问题．
14.【答案】(1,1)
【解析】解：∵点A的坐标为(−2,0)，AB⊥x轴，与直线y=x交于点B，
∴B(−2,−2)，
将△ABO沿直线y=x向上平移3 2个单位长度得到△A′B′O′，实质上是将△ABO向右平移3个单位，向上平移3个单位，
∴B′的坐标为(−2+3,−2+3)，即B′(1,1)，
故答案为：(1,1)．
求得B的坐标，根据题意，将△ABO向右平移3个单位，向上平移3个单位得到△A′B′O′，从而得到B′的坐标为(−2+3,−2+3)，即B′(1,1)．
本题主要考查了一次函数的图象与几何变换，点的平移问题，能根据题意得出平移的实质是本题的关键．
15.【答案】12
【解析】解：如图，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵∠ABC、∠ACB的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB于E，OF⊥AC，
∴OD=OE，OD=OF，
∵OD=2，
∴OD=OE=OF=2，
∵△ABC的周长为12，
∴△ABC的面积=12(AB+BC+AC)×2=12×12×2=12．
故答案为：12．
过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得OD=OE=OF，再根据三角形面积计算即可得解．
本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟记角平分线的性质是解题的关键．
16.【答案】32或92
【解析】解：∵在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=3，点D为AC的中点，
∴AC= 3AB=3 3，CD=12AB=3 32，
如图：当E在D的右侧时，
延长FE交AC于H，
∵FE⊥AC，
∴∠EHC=90°，
由翻折的性质知，CD=DF=3 32，
∠C=∠DFH=30°，
设EF=x，则CE=EF=x，EH=12EC=12x，
∴FH=32x，
在直角三角形DFH中，∵∠DFH=30°，
∴FH= 32DF，
∴32x= 32×3 32，
∴x=32．
当E在D的左侧时，如图：
由翻折性质知，CD=DF=3 32，
∠C=∠EFD=30°，CE=EF=x，
∵EF⊥AC，
∴∠FHD=90°，
∴EH=12EC=12x，FH=x−12x=12x，
在直角三角形FHD中，HF= 32DF，
∴12x= 32×3 32，
∴x=92．
故答案为：32或92．
利用翻折的性质分类计算即可．
本题考查翻折的性质，充分利用翻折性质及含30度角的直角三角形的性质是求解本题的关键．
17.【答案】解：分式的两边都乘以(x−2)得：
3(x−2)+1=x−1，
∴3x−6+1=x−1，
∴2x=4，
即x=2，
检验：把x=2代入x−2=0，∴x=2不是方程的解，
∴原方程无解．
【解析】分式的两边都乘以(x−2)得出3(x−2)+1=x−1，移项后合并同类项得出2x=4，求出方程的解，再代入x−2进行检验即可．
本题主要考查对解分式方程的理解，能熟练地解分式方程是解此题的关键．
18.【答案】解：4a2(x−y)+b2(y−x)
=(x−y)(4a2−b2)
=(x−y)(2a+b)(2a−b)．
【解析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
19.【答案】解：解第一个不等式去括号得2x+5≤3x+6，解得x≥−1；
解第二个不等式去分母得3x−3<2x，解得x<3；
∴不等式组的解集是−1≤x<3．
【解析】先求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
20.【答案】解：原式=(x+1)(x−1)(x−1)2+x(x−2)x−2⋅1x
=x+1x−1+1
=x+1x−1+x−1x−1
=2xx−1，
由题意得：x≠0、1、2，
当x=3时，原式=2×33−1=3．
【解析】根据分式的除法法则、加法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°．
∵DE//AB，
∴∠B=EDC=60°，∠A=∠CED=60°，
∴∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°，
∵EF⊥ED，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=30°
∵∠F+∠FEC=∠ECD=60°，
∴∠F=∠FEC=30°，
∴CE=CF．
(2)解：过点E作EM⊥DC于点M，
由(1)可知∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°，
∴CE=DC．
又∵CE=CF，
∴DC=CF，
∴DF=2CD，
∵DF=2BD，
∴CD=BD，
∵AB=4，
∴BC=4，
∴BD=CD=CF=EC=2，
∵EM⊥DC，
∴DM=CM=1，
在Rt△EMC中，EM= EC2−CM2= 22−12= 3，
∴△CEF的面积为：12CF×EM=12×2× 3= 3．
【解析】(1)证明△DCE中的三个角均为60°，然后再求得∠F=30°，从而可得到∠CEF=30°，故此可得到CE=CF；
(2)先求得DF=2DC，根据DF=2BD求得DC=BD，所以BD=CD=2，然后进一步求△CEF的面积即可．
本题主要考查的是等边三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
22.【答案】解：设甲班平均每人捐款为x元，
由题意知：120x=880.8x+5，
解得：x=2，
经检验：x=2是原分式方程的解，
答：甲班平均每人捐款为2元．
【解析】设甲班平均每人捐款为x元，根据甲班人数=乙班人数+5，并结合算术平均数的定义列出方程，解之可得答案．
本题主要考查分式方程的应用和算术平均数，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并结合算术平均数的定义列出方程．
23.【答案】6
【解析】解：(1)如图，四边形ABDC即为所求；
(2)四边形ABDC的面积=3×2=6，
故答案为：6；
(3)设E(m,0).由题意，12×|m−1|×2=13×6，
解得，m=3或−1，
∴E(3,0)或(−1,0)．
(1)根据要求作出图形即可；
(2)利用平行四边形的面积公式求解；
(3)设E(m,0)，构建方程求解即可．
本题考查坐标与图形变化−平移，平行四边形的性质等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用参数构建方程解决问题．
24.【答案】解：(1)设每位学生报价是x元，则每位家长报价是(x+20)元，
依题意得：9600x=10000x+20，
解得：x=480，
经检验，x=480是原方程的解，且符合题意．
答：每位学生报价是480元．
(2)参加劳动实践活动的学生人数为9600÷480=20(人)．
∵一名学生由一名家长陪同，
∴参加劳动实践活动的家长有20人．
依题意得：(480+20)×20+480×0.8×20>(480+20)×m10×20+480×m10×20，
解得：m<44249．
又∵m为正整数，
∴m的最大值为9．
答：m的最大值为9．
【解析】(1)设每位学生报价是x元，则每位家长报价是(x+20)元，利用数量=总价÷单价，结合学生和家长的人数相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)利用数量=总价÷单价，可求出参与活动的学生及家长人数，根据选择乙机构所需总费用较少，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中最大整数值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25.【答案】解：(1)设AB的解析式为：y=kx+163，
∴4k+163=0，
解得：k=−43，
∴直线AB的函数表达式为：y=−43x+163；
(2)过点E作EH⊥x轴于点H，过点C作CN⊥x轴，
∵∠AOB=∠BOE=∠OBD+∠OBE=90°，
∴∠OBD+ODB=90°，
∴∠ODB=∠OBE，
∵BD=BE，
∴△OBD≌△HEB(AAS)，
∴BH=OD=1，EH=OB=4，
∴E(3,−4)，
∵∠AOB=∠ABC=∠ONC=90°，AB=BC，
∴△AOB≌△BNC(AAS)，
∴CM=OB=4.BN=OA=163，
∴ON=OB+BN=283，
∴C(283,4)，
设CE的解析式为：y=kx+b，
∴283k+b=43k+b=−4解得k=2419b=−14819，
∴CE的解析式为：y=2419x−14819，
当y=0时有2419x−14819=0，
解得x=376，
∴F(376,0)，
∴OF=376；
(3)设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴4k+b=0283k+b=4，
解得k=34b=−3，
∴y=34x−3，
∴G(0,−3)，
设H(x,y)，
∵△OGH的面积为3，
∴12×3×x=3，
∴x=2，
∵△OBH的面积为9，
∴12×4×(−y)=9，
∴y=−92，
∴H(2,−92)，
设线段BH沿x轴负方向移动m个单位，则线段BH沿y轴负方向移动34m个单位，
∴B′(4−m,−34m)，H′(2−m,−92−34m)，
当∠H′B′M=90°时，B′M=B′H=BH= 972，
过点B′作y轴的垂线交于Q，过点H′作H′P⊥PQ交PQ于点P，
∵∠PB′H′+∠QB′M=90°，∠PB′H′+∠PH′B′=90°，
∴∠PH′B′=∠QB′M，
∴△PH′B′≌△QB′M(AAS)，
∴PB′=QM，
∴M(0,−34m−2)，
∴ 972= (4−m)2+4，
∴m=−12(舍)或m=172，
∴M(0,−678)；
当∠B′H′M=90°时，过点H′作KL//y轴，过点M作ML⊥KL交于L，过点B′作B′K⊥KL交于K，
∴∠KH′B′+∠LH′M=90°，∠LMH′+∠MH′L=90°，
∴∠KH′B=∠LMH′，
∵H′B′=H′M，
∴△KH′B′≌△LMH′(AAS)，
∴KB′=H′L，
∴M(0,−132−34m)，
∴ 972= (2−m)2+4，
解得m=−52(舍)或m=132，
∴M(0,−918)；
综上所述：M点坐标为(0,−678)或(0,−918).
【解析】(1)用待定系数法求函数解析式即可；
(2)过点E作EH⊥x轴于点H，过点C作CN⊥x轴，先△OBD≌△HEB(AAS)，再证明△AOB≌△BNC(AAS)，由待定系数法求出CE的解析式后即可求出F点坐标，由此可求解；
(3)由三角形面积求出H点坐标，设线段BH沿x轴负方向移动m个单位，则线段BH沿y轴负方向移动34m个单位，则B′(4−m,−34m)，H′(2−m,−92−34m)，当∠H′B′M=90°时，过点B′作y轴的垂线交于Q，过点H′作H′P⊥PQ交PQ于点P，通过证明△PH′B′≌△QB′M(AAS)，求出M(0,−34m−2)，再由 972= (4−m)2+4，可求M(0,−678)；当∠B′H′M=90°时，过点H′作KL//y轴，过点M作ML⊥KL交于L，过点B′作B′K⊥KL交于K，通过证明△KH′B′≌△LMH′(AAS)，求出M(0,−132−34m)，再由 972= (2−m)2+4，得到M(0,−918).
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，图形旋转和平移的性质是解题的关键．
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