2022-2023学年北京市顺义区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市顺义区七年级（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北京市顺义区七年级（下）期末数学试卷
副标题
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 不等式x≤−2在数轴上表示为(    )
A. B. C. D.
2. 某时刻雷达向飞机发射微波，飞机再将微波反射回来，经过0.0000126秒后雷达收到反射微波，将0.0000126用科学记数法表示应为(    )
A. 0.126×10−4 B. 1.26×10−5 C. 12.6×10−6 D. 1.26×10−7
3. 下列计算正确的是(    )
A. a3+a4=a7 B. a3⋅a4=a12 C. (ab)3=a3b3 D. a6÷a3=a2
4. 下列调查中，不适宜采用抽样调查的是(    )
A. 调查北京市中学生睡眠时长的情况 B. 了解一批科学计算器的使用寿命
C. 了解某种奶制品中蛋白质的含量 D. 载人飞船发射前对重要部件的检查
5. 把方程2x−y=4写成用含x的代数式表示y的形式，正确的是(    )
A. y=2x+4 B. x=y2−2 C. x=y2+2 D. y=2x−4
6. 下列命题是真命题的是(    )
A. 一个正数与一个负数的和是负数 B. 两个锐角的和是钝角
C. 同角(或等角)的余角相等 D. 有理数的绝对值是正数
7. 下列多项式不能运用完全平方公式分解因式的是(    )
A. x2−2x+14 B. 14x2−x+1 C. 16x2+8x+1 D. x2−6x+9
8. 据北京市气象台报告，2023年5月22日17：00−22：00的气温数据如下：

下列算式不能表示这六个小时的平均气温的是(    )
A. (30+30+28+25+23+22)÷6 B. (30×2+28+25+23+22)÷6
C. (30+28+25+23+22)÷5 D. (4+4+2−1−3−4)÷6+26
9. 小明到文具店购买钢笔和橡皮共用40元(两种物品都要买)，已知钢笔每支10元，橡皮每块2元，则小明的购买方案共有(    )
A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种
10. 如图，AB//CD，若∠ABE=140°，∠CDE=100°，则∠BED的大小为(    )


A. 100° B. 120° C. 130° D. 140°
二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）
11. 若单项式−5a2bm−1与2a2b是同类项，则m= ______ ．
12. 因式分解：2b2−2a2= ______ ．
13. 如图，利用量角器测量角，则∠1= ______ °.

14. 已知关于x的不等式(2a−4)x<2a−4的解集是x>1，则a的取值范围为______ ．
15. 写出一个解为x=2y=−1的二元一次方程组是______．
16. 边长分别为a与b的两个正方形按如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积是______ (用含a，b的式子表示)．

17. 如图是根据某初中校为贫困山区学校捐书的情况而制作的统计图，已知该校共有300名学生，请根据统计图计算该校初二年级共捐书______ 本.


18. 如果x=1y=2是方程组ax+by=−1bx+ay=4的解，那么代数式a−b的值为______ ．
19. 如图，点O在直线AB上，过点O作射线OC，OD，OE.从下面的四个条件中任选两个，可以推出∠2=∠4的是______ (写出一组满足题意的序号)．
①OC⊥AB
②∠1和∠4互余
③OD⊥OE
④∠1=∠4

20. 观察下列各等式：
1+2=22−1；
1+2+22=23−1；
1+2+22+23=24−1．
若1+2+22+⋯+21011=21012−1=a，下面是四名同学计算21012+21013+⋯+22023得到的不同结果：
①22024−21011；
②22024−21012；
③a2+1；
④a2+a．
所以正确结果的序号是______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. (本小题8.0分)
计算：(1)(1−a)(1+a)+(a−a3)÷a；
(2)(2x2)3⋅x−8x4⋅x3．
22. (本小题5.0分)
计算：|−4|−(13)−1−(−1)3+(−2023)0．
23. (本小题5.0分)
解方程组4x+y=143x−y=0；
24. (本小题5.0分)
解不等式组3x−2>x+24x−43 25. (本小题5.0分)
完成下面的证明．
已知：如图，AB//CD，∠B+∠D=180°
求证：BC//DE．
证明：∵AB//CD，
∴∠B+∠C= ______ (______ )(填推理的依据)．
∵∠B+∠D=180°
∴∠C= ______ (______ )(填推理的依据)．
∴BC//DE(______ )(填推理的依据)．

26. (本小题5.0分)
已知a−b=3，求代数式(b−2a)2+a(2b−3a)的值．
27. (本小题7.0分)
某校为增强学生节能环保意识，组织全校学生参加了“节能环保知识竞赛”为了了解知识竞赛情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩(满分100分)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析，过程如下：
(1)收集数据从该校参赛学生中随机抽取了.20名学生的成绩，分数如下，
80 81 82 82 83 84 84 84 85 87
89 89 89 89 91 92 93 93 99 100
(2)整理数据将这20名参赛学生的成绩从低到高分成A，B，C、D四组，整理如下：
分组
A组
B组
C组
D组
分数
80≤x<85
85≤x<90
90≤x<950
95≤x≤100
人数
8
6
a
2
(4)分析数据这20名参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下表所示：
统计量
平均数
中位数
众数
数值
87.8
b
c
根据以上提供的信息，解答下列问题：
①填空：a= ______ ，b= ______ ，c= ______ ；
②在扇形统计图中，“C组”所对应的扇形的圆心角是______ °；
③若全校共有1000人参赛，估计该校竞赛成绩不低于90分的人数；
④小明的竞赛成绩为89分，请判断小明的竞赛成绩能否超过一半以上的参赛者的成绩？并说明理由．

28. (本小题6.0分)
某餐饮公司销售A、B两种套餐，已知购买2份A套餐和3份B套餐共用了84元；1份A套餐和2份B套餐共用了51元．
(1)求A套餐、B套餐的单价各多少元；
(2)某单位从该餐饮公司购买A、B两种套餐共20份，费用不超过330元，求该单位最多能购买多少份B套餐．
29. (本小题7.0分)
已知：如图，点C在∠AOB的一边OB上，过点C作DE//OA，CF平分∠BCD，CG⊥CF于点C．
(1)若∠BCG=55°，求∠DCF，∠AOB的大小；
(2)过点O作OH//CF，交DE于点H，
①依题意补全图形；
②求证：OH是∠AOB的平分线．

30. (本小题7.0分)
如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”.例如：8=32−12，16=52−32，24=72−52，因此8，16，24都是“正巧数”．
(1)写出一个30到50之间的“正巧数”；
(2)设两个连续正奇数为2k−1和2k+1(其中k是正整数)，由它们构成的“正巧数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明．
(3)m，n为正整数，且m>n，若(m−7)(m+7)+n2−2mn是“正巧数”．
①求m−n的值；
②若m+n+1是“正巧数”，请说明10m−8n是“正巧数”．
答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：不等式x≤−2在数轴上表示为．
故选：C．
根据不等式的解集在数轴上表示出来的方法画数轴即可．
本题考查了不等式的解集在数轴上表示．解题的关键是掌握不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“>”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“<”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．

2.【答案】B 
【解析】解：由题意得，0.0000126=1.26×10−5，
故选：B．
运用科学记数法的定义进行求解．
此题考查了运用科学记数法表示较小数的能力，关键是能准确理解并运用该知识．

3.【答案】C 
【解析】解：a3与a4不是同类项，所以不能合并计算，故A选项计算错误；
a3⋅a4=a3+4=a7，所以B选项计算错误；
(ab)3=a3b3，所以C选项计算正确；
a6÷a3=a6−3=a3，所以D选项计算错误．
故选：C．
根据合并同类项法则，同底数幂的乘法公式，积的乘方公式，同底数幂的除法公式分别进行判断即可得出结果．
此题主要是考查了整式的运算，能够熟练运用合并同类项法则，同底数幂的乘法公式，积的乘方公式，同底数幂的除法公式是解答此题的关键．

4.【答案】D 
【解析】解：A.调查北京市中学生睡眠时长的情况，应用抽样调查，故此选项不合题意；
B.了解一批科学计算器的使用寿命，应用抽样调查，故此选项不合题意；
C.了解某种奶制品中蛋白质的含量，应用抽样调查，故此选项不合题意；
D.载人飞船发射前对重要部件的检查，应用全面调查，故此选项符合题意；
故选：D．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．

5.【答案】D 
【解析】解：方程2x−y=4，
移项得：−y=−2x+4，
解得：y=2x−4．
故选：D．
把x看作已知数表示出y即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．

6.【答案】C 
【解析】解：A.一个正数与一个负数的和可能是正数、零或负数，故选项错误，不符合题意；
B.两个锐角的和可能是锐角、直角或钝角，故选项错误，不符合题意；
C.同角(或等角)的余角相等，故选项正确，符合题意；
D.有理数的绝对值是正数或零，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
根据余角的性质、绝对值是非负数可判断C、D，选项A、B通过举反例分别进行判断即可．
此题考查了命题与定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．

7.【答案】A 
【解析】解：A、x2−2x+1=(x−1)2，故A符合题意；
B、14x2−x+1=(12x−1)2，故B不符合题意；
C、16x2+8x+1=(4x+1)2，故B不符合题意；
D、x2−6x+9=(x−3)2，故D不符合题意；
故选：A．
根据完全平方公式进行分解，逐一判断即可解答．
本题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．

8.【答案】C 
【解析】解：由题意得，这六个小时的平均气温列式为：(30+30+28+25+23+22)÷6，
∴A选项正确，不符合题意．
(30+30+28+25+23+22)÷6=(30×2+28+25+23+22)÷6，
∴B选项正确，不符合题意．
对于C选项，式子(30+28+25+23+22)÷5中少算了一个30℃，列式错误，
∴C选项错误，符合题意．
对于D选项，首先选取26℃作为标准，然后计算这六个小时与26℃的差值，再求出平均值，
∴D选项正确，不符合题意．
故选：C．
依据题意，由平均气温的计算方法逐项判断即可得解．
本题主要考查了有理数的混合运算，解题时需要熟练掌握并能准确计算．

9.【答案】B 
【解析】解：设小明购买钢笔x支，橡皮y块，由题意可得：
10x+2y=40，
解之可得：
x=1y=15或x=2y=10或x=3y=5，
∴小明的购买方案共有3种，
故选B．
设小明购买钢笔x支，橡皮y块，由题意可以得到关于x、y的二元一次方程，解方程即可得到解答．
本题考查二元一次方程的应用，熟练掌握二元一次方程的列取和求解是解题关键．

10.【答案】B 
【解析】解：过点E作EF//AB，如图：

∴EF//AB//CD，
∴∠ABE+∠BEF=180°，∠FED+∠CDE=180°，
∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°，
∴∠BED=120°．
故选：B．
过点E作EF//AB，即可得到∠ABE+∠BED+∠CDE=360°，即可求解．
本题考查平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键．

11.【答案】2 
【解析】解：因为单项式−5a2bm−1与2a2b是同类项，
所以m−1=1，
解得m=2．
故答案为：2．
直接利用同类项的定义分析得出答案．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
此题主要考查了同类项，正确把握同类项的定义是解题关键．

12.【答案】2(b+a)(b−a) 
【解析】解：2−2a2=2(1−a2)=2(1+a)(1−a)．
故答案为：2(b+a)(b−a)．
利用提公因式法与公式法，即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合应用，解决本题的关键是熟记提公因式法与公式法．

13.【答案】30 
【解析】解：由对顶角相等可知，∠1=30°．
故答案为：30．
根据对顶角的性质求解即可．
本题考查了对顶角的性质，熟练掌握对顶角相等是解答本题的关键．

14.【答案】a<2 
【解析】解：因为关于x的不等式(2a−4)x<2a−4的解集是x>1，
所以2a−4<0，
解得a<2．
故答案为：a<2．
根据不等式的性质：不等式两边同时除以同一个负数，不等号的方向改变可得答案．
本题考查了解一元一次不等式，关键是掌握不等式的性质．

15.【答案】x+y=1x−y=3(答案不唯一，符合题意即可．) 
【解析】解：先围绕x=2y=−1列一组算式
如2−1=1 2+1=3
然后用x、y代换，
得x+y=1x−y=3等
答案不唯一，符合题意即可．
所谓“方程组”的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．在求解时，应先围绕x=2y=−1列一组算式，如2−1=1，2+1=3，然后用x，y代换，得x+y=1x−y=3等．
本题是开放题，注意方程组的解的定义．

16.【答案】a22+b22+ab2 
【解析】解：根据图形，得
图中阴影部分的面积为：
大正方形的面积+小正方形的面积−空白三角形的面积
即：a2+b2−a22−12b(b−a)
=a2+b2−a22−12b2+12ab
=a22+b22+ab2．
故答案为：a22+b22+ab2．
图中阴影部分的面积为两个正方形面积的和减去空白三角形的面积即可求解．
本题考查了列代数式，解决本题的关键是观察图形所给条件并列式．

17.【答案】768 
【解析】解：300×32%×8=768(本)，
即该校初二年级共捐书768本．
故答案为：768．
先根据扇形统计图求出该校初二年级学生人数，再根据初二年级人均捐书8本可得答案．
本题主要考查了条形统计图及扇形统计图，解题的关键是读懂统计图，从统计图中获取准确的信息．

18.【答案】5 
【解析】解：∵x=1y=2是方程组ax+by=−1bx+ay=4的解，
∴a+2b=−1①2a+b=4②，
②−①得，a−b=5，
故答案为：5．
根据二元一次方程组解的定义代入可得a+2b=−1①2a+b=4②，再由②−①即可得出答案．
本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组解的定义是正确解答的前提．

19.【答案】①③ 
【解析】解：可以选①③，理由：
∵OC⊥AB，OD⊥OE，
∴∠BOC=∠DOE=90°，
∴∠2+∠3=90°，∠4+∠3=90°，
∴∠2=∠4．
故答案为：①③．
根据垂直的定义得∠BOC=∠DOE=90°，即∠2+∠3=90°，∠4+∠3=90°，根据同角的余角相等得∠2=∠4．
本题考查了垂线和余角，熟练掌握垂线和余角的性质是关键．

20.【答案】④ 
【解析】解：∵1+2+22+⋯+21011=21012−1=a，
∴21012=a+1，
∴21012+21013+⋯+22023
=1+2+22+23+⋯+22023−(1+2+22+23+…+21011)
=22024−1−(21012−1)
=22024−1−21012+1
=(21012)2−21012，
=(a+1)2−(a+1)
=a2+2a+1−a−1
=a2+a，
∴正确结果的序号是④，
故答案为：④．
根据已知易得21012=a+1，然后从数字找规律，进行计算即可解答．
本题考查了规律型：数字的变化类，准确熟练地进行计算是解题的关键．

21.【答案】解：(1)(1−a)(1+a)+(a−a3)÷a
=1−a2+1−a2
=2−2a2．
(2)(2x2)3⋅x−8x4⋅x3
=8x6⋅x−8x7
=8x7−8x7
=0 
【解析】(1)先利用平方差公式，多项式除以单项式化简，再合并同类项即可；
(2)先由积的乘方公式，同底数幂的乘法公式化简，再合并同类项即可．
此题主要是考查了整式的混合运算，能够熟练运用平方差公式，多项式除以单项式，积的乘方公式，同底数幂的乘法公式是解答此题的关键．

22.【答案】解：|−4|−(13)−1−(−1)3+(−2023)0
=4−3−(−1)+1
=4−3+1+1
=3． 
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了负整数指数幂，绝对值，有理数的乘方，有理数的加减混合运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．

23.【答案】解：4x+y=14①3x−y=0②，
①+②得7x=14，解得x=2，
把x=2代入3x−y=0，得6−y=0，
解得y=6，
∴方程组的解是x=2y=6． 
【解析】利用加减消元法，将①+②可求得x的值，然后把x的值代入3x−y=0，则可得y的值，即可得出方程组的解．
此题主要是考查了二元一次方程组的解法，能够熟练运用加减消元法是解答此题的关键．

24.【答案】解：3x−2>x+2①4x−43 解不等式①，得：x>2，
解不等式②，得：x<4，
∴该不等式组的解集是2 【解析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．

25.【答案】180°  两直线平行，同旁内角互补  ∠D  同角的补角相等  内错角相等，两直线平行 
【解析】证明：∵AB//CD，
∴∠B+∠C=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∵∠B+∠D=180°，
∴∠C=∠D(同角的补角相等)，
∴BC//DE(内错角相等，两直线平行)，
故答案为：180°；两直线平行，同旁内角互补；∠D；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行．
根据平行线的性质及等量代换推出∠C=∠D，即可判定BC//DE．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．

26.【答案】解：(b−2a)2+a(2b−3a)
=b2−4ab+4a2+2ab−3a2
=a2−2ab+b2
=(a−b)2
当a−b=3时，
原式=32=9． 
【解析】先将原式去括号，合并同类项，然后利用完全平方公式因式分解，将a−b=3整体代入求值即可．
此题主要是考查了整式的化简求值，能够熟练利用完全平方公式进行化简是解答此题的关键．

27.【答案】4  88  89  72 
【解析】解：①根据所给数据可知a=4，
这组数据从小到大排列，排在中间的两个数为87和89，故b=87+892=88，
89出现次数最多，故c=89；
故答案为：4，88，89；
②在扇形统计图中，“C组”所对应的扇形的圆心角是360°×420=72°；
故答案为：72；
③1000×4+220=300(人)，
答：估计该校竞赛成绩不低于90分的人数为300人；
④超过一半以上的参赛者的成绩，理由如下：
∵这组数据的中位数为88，89>88，
∴他的成绩超过一半以上的参赛者的成绩．
①根据所给数据即可求出a的值，根据中位数和众数的定义即可求出b和c的值；
②用360°乘以C组的百分比即可；
③根据样本估计总体解答即可；
④根据中位数解答即可．
本题考查频数分布表、扇形统计图、众数、中位数以及用样本估计总体，掌握统计图中各个数量之间的关系是正确解答的前提．

28.【答案】解：(1)设A套餐的单价为x元，B套餐的单价为y元，
根据题意得：2x+3y=84x+2y=51，
解得：x=15y=18，
∴A套餐的单价为15元，B套餐的单价为18元；
(2)设该单位购买m份B套餐，则购买(20−m)份A套餐，
根据题意得：15(20−m)+18m≤330，
解得：m≤10，
∴该单位最多能购买10份B套餐． 
【解析】(1)设A套餐的单价为x元，B套餐的单价为y元，根据“购买2份A套餐和3份B套餐共用了84元；1份A套餐和2份B套餐共用了51元”列出二元一次方程组，求解即可；
(2)设该单位购买m份B套餐，则购买(20−m)份A套餐，根据“费用不超过330元”列出不等式，求解即可．
本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题关键是读懂题意，找到等量关系和不等关系，列出方程和不等式．

29.【答案】(1)解：∵CG⊥CF，
∴∠FCG=90°，
∴∠BCF=∠FCG−∠BCG=90°−55°=35°，
∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠BCF=35°，∠BCD=2∠BCF=70°，
∵DE//OA，
∴∠AOB=∠BCD=70°；
即：∠DCF=35°，∠AOB=70°；

(2)①解：图形如图所示；
②证明：∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF=12∠BCD，
∵DE//OA，
∴∠AOB=∠BCD
∵OH//CF，
∴∠BCF=∠BOH，
∴∠BOH=12∠AOB，
∴∠AOH=∠BOH，
∴OH平分∠AOB． 
【解析】(1)根据平行线的性质和角平分线的性质，可以求得∠DCF，∠AOB的大小；
(2)先根据题意补全图形，再根据平行线的性质和角平分线的定义可以求得∠AOH和∠BOH的关系，从而可以证明结论成立．
本题考查平行线的性质、垂线的定义等知识，解答本题的关键是熟记平行线的性质定理．

30.【答案】解：(1)根据“正巧数”的定义：“正巧数”等于两个正奇数的平方差，
∴设0到50之间的“正巧数”为：(2n+1)2−(2n−1)2，n为正整数，
则：30<(2n+1)2−(2n−1)2<50，
整理得：30<8n<50，
解得：154 ∵n为正整数，
∴n=4，5，6，
∴30到50之间的“正巧数”共有3个，它们分别是：32，40，48．
即：32=92−72，40=113−92，48=132−112．
(2)“正巧数”能被8整除，理由如下：
∵(2k+1)2−(2k−1)2=[(2k+1)+(2k−1)]⋅[(2k+1)−(2k−1)]=8k，
又∵k是正整数，
∴8k能被8整除
∴(2k+1)2−(2k−1)2能被8整除，
∴“正巧数”能被8整除．
(3)①∵(m−7)(m+7)+n2−2mn=m2−72+n2−2mn=(m−n)2−72，
∴m−n=9，
②由①可知：m−n=9，
∴m=9+n，
∴m+n+1=9+n+n+1=2n+10，
∵m+n+1是“正巧数”，
∴可设：m+n+1=8k，其中k为正整数，
∴2n+10=8k，
∴n=4k−5，
∴m=9+n=9+4k−5=4k+4，
∴10m−8n=10(4k+4)−8(4k−5)=8k，
由(2)可知：任何一个“正巧数”都是8的倍数，
∴10m−8n是“正巧数”． 
【解析】(1)根据“正巧数”的定义设0到50之间的“正巧数”为：(2n+1)2−(2n−1)2，n为正整数，则30<(2n+1)2−(2n−1)2<50，解不等式求出n的值即可得出答案；
(2)利用平方差公式计算(2k+1)2−(2k−1)2，然后由计算结果可得出答案；
(3)①将(m−7)(m+7)+n2−2mn整理为(m−n)2−72，据此可得出m−n的值；
②由①可知m−n=9，则m=9−n，将m=9−n代入m+n+1整理得2n+10，根据(2)的结论“正巧数”都是8的倍数可设2n+10=k，由此得出n=4k−5，进而可得m=4k+4，然后将其代入10m−8n之中得10m−8n=8k，最后根据(2)的结论可得出答案．
此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式进行计算；难点是理解“正巧数”都是8的倍数，如果一个数是8的倍数，那么这个数一定是“正巧数”．