第12讲 解三角形解答题十大题型总结（解析版）

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第12讲 解三角形解答题十大题型总结
【题型目录】
题型一：利用正余弦定理面积公式解题
题型二：解三角形与三角恒等变换结合
题型三：三角形面积最大值，及取值范围问题
题型四：三角形周长最大值，及取值范围问题
题型五：角平分线相关的定理
题型六：有关三角形中线问题
题型七：有关内切圆问题（等面积法）
题型八：与向量结合问题
题型九：几何图形问题
题型十：三角函数与解三角形结合
【典例例题】
题型一：利用正余弦定理面积公式解题
【例1】△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为
(1)求;
(2)若求△ABC的周长.
【答案】(1)(2) .
【详解】：（1）由题设得，即.
由正弦定理得.
故.
（2）由题设及（1）得，即.
所以，故.
由题设得，即.
由余弦定理得，即，得.
故的周长为.
【例2】的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，面积为2，求．
【答案】（1）；（2）2．
【详解】：（1），∴，∵，
∴，∴，∴；
（2）由（1）可知，
∵，∴，
∴，
∴．
【例3】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求角C；（2）若，，求的周长.
【答案】（1）（2）
【详解】：（1）由已知可得

（2）
又
，
的周长为
【例4】已知，，分别为三个内角,,的对边，.
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若=2，的面积为，求，.
【答案】(1) (2)=2
【详解】(Ⅰ)由及正弦定理得

由于，所以，
又，故.
(Ⅱ)的面积==,故=4，
而故=8，解得=2
【例5】（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（文））在中a，b，c分别为内角A，B，C的对边．．
(1)求角B的大小；
(2)若，求的面积．
【答案】(1),(2)
【分析】（1）利用正弦定理化简求解即可.
（2）利用三角函数的和差公式，得到，进而利用正弦定理可求出，利用面积公式即可求解.
（1）
由及正弦定理得，
因为，则且，
所以，
即，则，可得，所以．
（2）
，
，所以，所以，
故．
【题型专练】
1.已知分别为三个内角的对边，
（1）求角 A （2）若，的面积为；求.
【答案】（1）（2）b=c=2
【解析】：（1）由及正弦定理得，
因为，所以．
由于，所以．又，故．
（2）的面积，故，而，故．
解得．
2.已知分别是内角的对边， ．
（1）若，求
（2）若，且求的面积．
【答案】（1）；（2）1
【解析】：（1）由题设及正弦定理可得
又，可得
由余弦定理可得
（2）由（1）知
因为，由勾股定理得
故，得
所以的面积为1
3.（2021新高考2卷）在中，角、、所对边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【详解】（1）因为，则，则，故，，
，所以，为锐角，则，
因此，；
（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，
由余弦定理可得，
解得，则，
由三角形三边关系可得，可得，，故.
4.（2022·广东佛山·高三阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用正弦定理边角转化、和角的正弦公式进行化简求值.
（2）利用正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式求解.
（1）
由正弦定理可知：，
得，
因为，
得，
∵，∴，，
∴，即．
（2）
由，得，
由余弦定理可得：，
又，，
则，即，解得，
故的面积为．
5．（2022·安徽省宿松中学高二开学考试）在中，角的对边分别为.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，求外接圆的半径.
【答案】(1),(2)1
【分析】（1）由同角三角函数的基本关系求出，再由两角和的正弦公式及同角三角函数的基本关系求出，即可得解；
（2）设外接圆的半径是，由正弦定理得到，，再由面积公式计算可得.
（1）解：由得，且，
解得或（舍去），
由因为，所以，
因为，所以，
即，化简得，
因为，所以.
（2）解：设外接圆的半径是，
因为，，
所以，解得，
故外接圆的半径是1.

题型二 解三角形与三角恒等变换结合
【例1】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
（1）若a=c，b=2，求的面积；
（2）若sinA+sinC=，求C.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由余弦定理可得，
的面积；
（2），

，
，
.
【例2】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，证明：△ABC是直角三角形．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【分析】（1）因为，所以，
即，解得，又，
所以；
（2）因为，所以，即①，又②， 将②代入①得，，即，而，解得，
所以，故，
即是直角三角形．



【例3】在中，满足 ．
（1）求；
（2）设，求的值.
【详解】
（1）∵，，∴变形为，
即，
利用正弦定理可得：，由余弦定理可得cosC=，即C=.
（2）由（1）可得cos（A+B）=，A+B=，
又cosAcosB=，可得，
同时cos（）cos（）=，
∴
=
=
=-=，
∴，
∴或4.
【题型专练】
1.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求sinC．
【答案】（1）；（2）.
【分析】【详解】
（1）
即：
由正弦定理可得：


（2），由正弦定理得：
又，

整理可得：

解得：或
因为所以，故.
（2）法二：，由正弦定理得：
又，

整理可得：，即

由，所以
.
2.（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知在锐角中，.
(1)证明：；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）化简题干条件得到，从而根据是锐角三角形，得到，得到；
（2）先根据锐角三角形得到，再逆用正切的差角公式，结合第一问的结论得到.
（1）
证明：由知：
，
即，
所以，
因为是锐角三角形，
所以，
在上单调递增，
所以，即.
（2）
由锐角知：，，，
解得：，
故.
3.在中，已知.
（1）求证：；
（2）求角的取值范围.
【详解】
证明：（1）








根据正弦定理得：，得证．
（2）由（1）知在中，
又消去化简得：
当且仅当时取等号，又为三角形的内角，
题型三：三角形面积最大值，及取值范围问题
【例1】在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则的面积的最大值为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】：因为，且，
所以，所以，则.
由于为定值，由余弦定理得，即.
根据基本不等式得，即，当且仅当时，等号成立.
所以.
故选：A
【例2】的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【答案】(1) ;(2).
【分析】(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．
，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.
(2)解法一：因为是锐角三角形，由（1）知，得到，
故，解得.
又应用正弦定理，，
由三角形面积公式有：
.
又因,故，
故.
故的取值范围是
解法二：若为锐角三角形，且，
由余弦定理可得，
由三角形为锐角三角形，可得且，且，
解得，
可得面积，．
【例3】在中，，，分别为内角，，的对边，若，，则的面积的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【解析】
因为，所以，因，所以，
由余弦定理得
所以，所以，所以

因
因为，所以，
注：此题也可用椭圆轨迹方程做
【例4】在中，，，分别为内角，，的对边，若，，则的面积的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【解析】
因为，，由余弦定理得
所以
因
设，则，
注：此题也可用圆轨迹方程做
【题型专练】
1.已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为____________．
【答案】
【解析】：由，且，故，又根据正弦定理，得，化简得，，故，所以，又，故．
2.已知a，b，c分别为△ABC角A，B，C的对边，cos2A−cos2B−cos2C=cosAcosB+cosC−cos2B，且c=3，则下列结论中正确的是(   )
A. C=π3 B. C=2π3
C. △ABC面积的最大值为34 D. △ABC面积的最大值为334
【答案】BC
【解答】解∵cos2A−cos2B−cos2C=cosAcosB+cosC−cos2B，∴(1−sin2A)−(1−sin2B)−(1−sin2C)
=cosAcosB−cos(A+B)−(1−2sin2B)，∴sinAsinB+sin2B+sin2A−sin2C=0，
由正弦定理可得ab+b2+a2−c2=0，∴cosC=b2+a2−c22ab=−12，又0