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2022-2023学年浙江省温州市八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年浙江省温州市八年级（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省温州市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列选项中的垃圾分类图标，属于中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 在直角坐标系中，点A(1,4)关于原点对称的点的坐标是( )
A. (1,−4) B. (−1,4) C. (4,1) D. (−1,−4)
3. 下列运算正确的是( )
A. ( 3)2=3 B. (−3)2=−3 C. 2× 3= 5 D. 2+ 3= 5
4. 某班40名学生一周阅读书籍的册数统计图如图所示，该班阅读书籍的册数的中位数是( )
A. 1册 B. 2册 C. 3册 D. 4册
5. 已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是( )
A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形
6. 用配方法解方程x2+6x+3=0时，配方结果正确的是( )
A. (x+3)2=12 B. (x−3)2=12 C. (x−3)2=6 D. (x+3)2=6
7. 用反证法证明“若a//b，b//c，则a//c”时，应假设( )
A. a与c不平行 B. a//c
C. a⊥c D. a与b不平行，b与c不平行
8. 我国南宋数学家杨辉所著《田亩算法》中记载了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步.”其大意为：矩形面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形宽为x步，可列出方程为( )
A. x(12−x)=864 B. x(x−12)=864
C. x(x+12)=864 D. (x+12)(x−12)=864
9. 若点A(−3,y1)，B(−2,y2)，C(1,y3)在函数y=6x的图象上，则( )
A. y1
A. 5
B. 2 2
C. 3
D. 10
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 在二次根式 x−2中，x的取值范围是 ．
12. 方程x2+2x+m=0有两个相等实数根，则m=______．
13. 已知甲、乙同学的五次数学测试成绩的方差分别为26，10，那么数学成绩比较稳定的同学是______ ．
14. 如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果图中∠1是70°，那么∠2的度数是______．
15. 已知m是方程x2−x−2=0的一个根，则m2−m+2023的值为______ ．
16. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，M为CD的中点，连结OM.若BD=8，AC=6，则OM的长为______ ．
17. 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象交AB于点D.若矩形OABC的面积为10，BDAD=32，则k的值为______ ．
18. 如图，把正方形纸片ABCD分割成九块，将其不重叠、无缝隙地拼成矩形BEFG(由5个小正方形组成)，则矩形BEFG与正方形ABCD的对角线之比BFAC= ______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
(1)计算： 6÷ 2− 12；
(2)解方程：x2−2x=0
20. (本小题6.0分)
如图，在5×5的方格纸中，每个小方格的边长为1，请按要求画出格点四边形(顶点均在格点上)．
(1)在图1中画一个以AB为边，另一边边长为 5的▱ABCD；
(2)在图2中画一个以AB为边，面积为8的菱形ABEF．
21. (本小题7.0分)
某城市开展“一次性快餐饭盒”使用情况调研，从区域内700家饭店中随机抽取20家，调查一周内使用一次性快餐饭盒的情况，统计如下表．
一次性快餐饭盒数(千个)
1.1
1.2
1.3
1.4
1.6
1.8
饭店数(家)
2
5
4
1
6
2
(2)为倡导少用一次性快餐饭盒，该城市对每周使用一次性快餐饭盒数符合规定的饭店给予奖励，被奖励饭店的数量低于60%，应选什么统计量(平均数、中位数、众数)作为“限额”？并说明理由．
22. (本小题6.0分)
如图，在▱ABCD中，延长BC至点F，延长CB至点E，且BE=CF，DE=AF.求证：▱ABCD是矩形．
23. (本小题8.0分)
根据以下素材，探索完成任务．
制作检测75%酒精的漂浮吸管
素材1
如图1，装有钢珠且下端密封的吸管漂浮在液体中时，所受重力与浮力大小相等，吸管浸在液体中的深度会因液体密度的改变而改变．
素材2
小明通过观察与测量，得到漂浮在液体中吸管的示数h(cm)与液体密度ρ(g/cm3)之间的几组数据如下表：
h(cm)
…
19.8
18
16.5
13.2
…
密度ρ(g/cm3)
…
1.0
1.1
1.2
1.5
…
素材3
浓度为a%的酒精密度(酒精与水的密度分别为0.8g/cm3，1.0g/cm3)：ρa％酒精=mV=a%V⋅ρ酒精+(1−a%)V⋅ρ水V=a%×0.8+(1−a%)×1.0=−0.002a+1
问题解决
任务1
求ρ关于h的函数表达式．
任务2
由吸管上对应的刻度线可判断配置的酒精浓度，图2己标出吸管在水中的位置，请通过计算，标出可以检测75%酒精的吸管位置.(精确到0.1cm)
24. (本小题11.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=3，作菱形ADEF，使点D，E，F分别在AB，BC，AC上.点P在线段DF上，点R在线段CE上，且ER= 3PD，PQ//BC交AC于点Q．
(1)求菱形ADEF的边长；
(2)求证：四边形CQPR是平行四边形；
(3)当▱CQPR的邻边之比为 3：2时，求PD的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题考查了中心对称图形的概念，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】D
【解析】解：在平面直角坐标系中，点(1,4)关于原点对称的点的坐标为(−1,−4)．
故选：D．
根据“关于原点对称的点，横坐标，纵坐标都互为相反数”解答．
本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标的知识，牢记点的坐标的变化规律是解决此类题目的关键．
3.【答案】A
【解析】解：A.( 3)2=3，所以A选项符合题意；
B. (−3)2=|−3|=3，所以B选项不符合题意；
C. 3× 2= 3×2= 6，所以C选项不符合题意；
D. 3与 2不能合并，所以D选项不符合题意；
故选：A．
根据二次根式的性质对A、B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的加法运算对D选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：数据个数是40，
则排序后中位数是第20和第21个数据的平均数，
∴该班阅读书籍的册数的中位数是2+22=2(册)．
故选：B．
先把数据由小到大排列，再根据中位数的概念找出中位数．
本题考查的是中位数，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)．
5.【答案】B
【解析】解：根据多边形的内角和可得：(n−2)180°=540°，
解得：n=5，则这个多边形是五边形．
故选：B．
利用n边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180°，结合方程即可求出答案．
本题比较容易，主要考查多边形的内角和公式．
6.【答案】D
【解析】解：∵x2+6x+3=0，
∴x2+6x=−3，
∴x2+6x+9=−3+9，即(x+3)2=6，
故选：D．
根据配方法解一元二次方程的步骤计算即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：因为a//c的相反命题是a与b不平行，
故选：A．
根据反证法的步骤求解．
本题考查了反证法，掌握反证法的基本步骤是截图的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵宽比长少12步，且矩形宽为x步，
∴矩形长为(x+12)步．
根据题意得：x(x+12)=864．
故选：C．
根据矩形的长与宽之间的关系，可得出矩形长为(x+12)步，结合矩形面积为864平方步，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：把x=−3代入y=6x得，y1=−2；
把x=−2代入y=6x得，y2=−3；
把x=1代入y=6x得，y3=6；
∴y2
将三个点的横坐标分别代入关系式，求出纵坐标比较即可．
本题考查了反比例函数的性质的应用，代入所判断的点并准确计算是解题关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵四边形EFGH是正方形，
∴EF=FG=HG=EH，∠AFG=∠FEH=∠EHG=∠FGH=90°，
∴∠AED=∠AFB=∠CHD=∠AED=90°，
∵∠ABF=45°，
∴AF=BF，
∵△ABF≌△CDH，
∴AF=BF=CH=DH，
设EF=FG=HG=EH=x，AF=BF=CH=DH=y，
∴BG=DH=x+y，AE=CG=x−y，
∴▱ABCD=2×12×y2+2×12×(y−x)(y+x)+x2=10，
∴2y2=10，
∴CD= 2y2= 10，
故选：D．
根据正方形的性质得到EF=FG=HG=EH，∠AFG=∠FEH=∠EHG=∠FGH=90°，求得∠AED=∠AFB=∠CHD=∠AED=90°，得到AF=BF，根据全等三角形的性质得到AF=BF=CH=DH，设EF=FG=HG=EH=x，AF=BF=CH=DH=y，根据三角形的面积公式和勾股定理即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．
11.【答案】x≥2
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件．
二次根式的被开方数是非负数，即x−2≥0，求解即可．
【解答】
解：根据题意，得
x−2≥0，
解得，x≥2；
故答案是：x≥2．
12.【答案】1
【解析】解：∵方程x2+2x+m=0有两个相等实数根，
∴△=b2−4ac=4−4m=0，
解之得：m=1．
若一元二次方程有两等根，则根的判别式△=b2−4ac=0，建立关于m的方程，求出m的取值．
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)△<0⇔方程没有实数根．
13.【答案】乙
【解析】解：∵甲、乙同学的五次数学测试成绩的方差分别为26，10，
∴乙同学五次数学测试成绩的方差小，
∴数学成绩比较稳定的同学是乙，
故答案为：乙．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
14.【答案】110°
【解析】解：如图所示，由题意可知l//l′，
∵l//l′，
∴∠1+∠3=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
又∵∠1=70°，
∴∠3=110°，
∴∠2=∠3=110°(两直线平行，内错角相等)．
故答案为：110°．
根据平行线的性质，找到同旁内角、内错角进行推理即可得出∠2度数．
本题考查平行线的性质，会找同旁内角、内错角并利用性质进行推理是解题关键．
15.【答案】2025
【解析】解：∵m是方程x2−x−2=0的一个根
∴m2−m−2=0，
∴m2−m=2，
∴m2−m+2023=2+2023=2025．
故答案为：2025．
根据题意可得m2−m=2，再代入，即可求解．
本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握式方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
16.【答案】52
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=3，OD=OB=4，
∴AD= OA2+OB2=5，
∵M为CD的中点，
∴DM=CM，
∴OM=12AD=52，
故答案为：52．
利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．
本题考查菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线定理等知识，解题关键是掌握菱形的性质．
17.【答案】4
【解析】解：∵BDAD=32，四边形OABC为矩形，
∴设点D的坐标为：(k2n,2n)，则B(k2n,5n)，
∵矩形OABC的面积为10，
∴k2n⋅5n=10，
解得：k=4，
故答案为：4．
设点D的坐标为：(k2n,2n)，则B(k2n,5n)，根据矩形OABC的面积为10，得出k2n⋅5n=10，即可求出k的值．
本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，正确表示点B的坐标是解题的关键．
18.【答案】 655
【解析】解：连接BF，AC，如图：
设小正方形的边长为a，
则正方形的边长为 5a，矩形BEFG的边长为5a，宽为a，
由勾股定理得BF= (5a)2+a2= 26a，
AC= ( 5a)2+( 5a)2= 10a，
∴BFAC= 26a 10a= 655，
故答案为： 655，
设小正方形的边长为a，用代数式表示出大正方形的边长和对角线，及矩形的对角线即可解答．
本题考查正方形的性质和矩形的性质，勾股定理，利用勾股定理表示出对角线的长是解题关键．
19.【答案】解：(1)原式= 3−2 3
=− 3；
(2)x2−2x=0，
x(x−2)=0，
x=0或x−2=0，
解得x1=0，x2=2．
【解析】(1)根据二次根式的原式法则计算即可；
(2)方程利用因式分解法求解即可．
本题考查了实数的运算以及解一元二次方程，掌握二次根式的性质以及因式分解的方法是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)如图1中，四边形ABCD即为所求(答案不唯一)；
(2)如图2中，四边形ABEF即为所求．
【解析】(1)根据要求利用数形结合的射线解决问题；
(2)画出对角线分别为2 2，4 2的菱形即可．
本题考查作图−应用与设计作图，勾股定理，平行四边形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】解：应选择中位数作为“限额”，理由如下：
这组数据的平均数为120×(1.1×2+1.2×5+1.3×4+1.4+1.6×6+1.8×2)=1.4(千个)，不高于此数据的饭店数量所占百分比为2+5+4+120×100%=60%；
这组数据的中位数为1.3+1.32=1.3，不高于此数据的饭店数量所占百分比为2+5+420×100%=55%；
这组数据的众数为1.6，不高于此数据的饭店数量所占百分比为2+5+4+1+620×100%=90%；
综上，应选择中位数作为“限额”．
【解析】分别计算出这组数据的平均数、中位数和众数，再计算出对应百分比可得答案．
本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握平均数、中位数和众数的定义．
22.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB//DC，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∵BE=CF，
∴CE=BF，
在△ABF与△DCE中，
AB=DCBF=CEAF=DE，
∴△ABF≌△DCE(SSS)，
∴∠ABF=∠DCE，
∴∠ABF=12×180°=90°，
∴▱ABCD是矩形．
【解析】根据平行四边形的性质得到AB=DC，AB//DC，根据平行线的性质得到∠ABC+∠DCB=180°，根据全等三角形的性质得到∠ABF=∠DCE，根据矩形的判定定理即可得到结论．
本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
23.【答案】解：(任务1)通过计算可知，表格中密度与对应吸管的示数的乘积为定值19.8，即ρh=19.8．
故ρ关于h的函数表达式为ρ=995h．
(任务2)ρa％酒精=−0.002×75+1=0.85=85100．
∵ρ=995h，
∴h=995ρ=995×85100≈23.3(厘米)．
答：ρ关于h的函数表达式为ρ=995h，检测75%酒精的吸管位置在23.3厘米处．
【解析】(任务1)由表中数据的变化规律即可得到ρ关于h的函数表达式；
(任务2)由酒精的密度公式，可计算出浓度为75%的酒精密度，将其代入(任务1)中得到的ρ与h的函数表达式，求出h的值即可．
本题考查函数关系式，是函数关系式的实际运用，比较简单．要培养一定的应用思维，从应用中抽象出数学知识．
24.【答案】(1)解：∵四边形ADEF是菱形，
∴AD=DE，DE////FA，
∴∠DEB=∠C=30°，
∵∠B=90°，
∴BD=12DE，
∵AB=3，
∴3−AD=12AD，
∴AD=2，
∴菱形的边长是2．
(2)证明：设PD=x，则ER= 3x，PF=2−x，
∵PQ//CR，
∴∠PQF=∠C=30°，
∵AD=AF，∠A=60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴∠AFD=60°，
∴∠PFQ=180°−60°=120°，
∴FPQ=∠PQF=30°，
∴PF=FQ=2−x，
∴PQ= 3(2−x)，
∵∠B=90°，∠C=30°，
∴BC= 3AB=3 3，
∵DE=2，∠B=90°，∠DEB=30°，
∴BE= 32DE= 3，
∴CR=BC−BE−ER=3 3− 3− 3x= 3(2−x)，
∴PQ=CR，
∵PQ//CR，
∴四边形PQCR是平行四边形；
(3)解：∵∠C=30°，∠FEC=90°，
∴FC=2FE=4，
由(2)知：CQ=CF−FQ=4−(2−x)=2+x，PQ=2 3− 3x，
当CQ：CR= 3：2时，
(2+x)：(2 3− 3x)= 3：2，
∴x=25；
当CR：CQ= 3：2时，
(2 3− 3x)：(2+x)= 3：2，
∴x=23，
∴PD的长是25或23．
【解析】(1)由直角三角形的性质，菱形的性质，得到3−AD=12AD，求出AD的长，即可得到菱形的边长；
(2)设PD=x，则ER= 3x，PF=2−x，由菱形的性质得到∠AFD=60°，因此∠PFQ=180°−60°=120°，由平行线的性质得到FPQ=∠PQF=30°，因此PQ= 3(2−x)，又CR=BC−BE−ER= 3(2−x)，得到PQ=CR，即可证明问题；
(3)分两种情况，分别得到关于x的方程，求出x的值，即可解决问题．
本题考查菱形的性质，平行四边形的判定，含30°角的直角三角形，关键是证明PQ=CR；分两种情况，求解PD的长．
2022-2023学年浙江省温州市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列选项中的垃圾分类图标，属于中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 在直角坐标系中，点A(1,4)关于原点对称的点的坐标是( )
A. (1,−4) B. (−1,4) C. (4,1) D. (−1,−4)
3. 下列运算正确的是( )
A. ( 3)2=3 B. (−3)2=−3 C. 2× 3= 5 D. 2+ 3= 5
4. 某班40名学生一周阅读书籍的册数统计图如图所示，该班阅读书籍的册数的中位数是( )
A. 1册 B. 2册 C. 3册 D. 4册
5. 已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是( )
A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形
6. 用配方法解方程x2+6x+3=0时，配方结果正确的是( )
A. (x+3)2=12 B. (x−3)2=12 C. (x−3)2=6 D. (x+3)2=6
7. 用反证法证明“若a//b，b//c，则a//c”时，应假设( )
A. a与c不平行 B. a//c
C. a⊥c D. a与b不平行，b与c不平行
8. 我国南宋数学家杨辉所著《田亩算法》中记载了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步.”其大意为：矩形面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形宽为x步，可列出方程为( )
A. x(12−x)=864 B. x(x−12)=864
C. x(x+12)=864 D. (x+12)(x−12)=864
9. 若点A(−3,y1)，B(−2,y2)，C(1,y3)在函数y=6x的图象上，则( )
A. y1
A. 5
B. 2 2
C. 3
D. 10
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 在二次根式 x−2中，x的取值范围是 ．
12. 方程x2+2x+m=0有两个相等实数根，则m=______．
13. 已知甲、乙同学的五次数学测试成绩的方差分别为26，10，那么数学成绩比较稳定的同学是______ ．
14. 如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果图中∠1是70°，那么∠2的度数是______．
15. 已知m是方程x2−x−2=0的一个根，则m2−m+2023的值为______ ．
16. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，M为CD的中点，连结OM.若BD=8，AC=6，则OM的长为______ ．
17. 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象交AB于点D.若矩形OABC的面积为10，BDAD=32，则k的值为______ ．
18. 如图，把正方形纸片ABCD分割成九块，将其不重叠、无缝隙地拼成矩形BEFG(由5个小正方形组成)，则矩形BEFG与正方形ABCD的对角线之比BFAC= ______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
(1)计算： 6÷ 2− 12；
(2)解方程：x2−2x=0
20. (本小题6.0分)
如图，在5×5的方格纸中，每个小方格的边长为1，请按要求画出格点四边形(顶点均在格点上)．
(1)在图1中画一个以AB为边，另一边边长为 5的▱ABCD；
(2)在图2中画一个以AB为边，面积为8的菱形ABEF．
21. (本小题7.0分)
某城市开展“一次性快餐饭盒”使用情况调研，从区域内700家饭店中随机抽取20家，调查一周内使用一次性快餐饭盒的情况，统计如下表．
一次性快餐饭盒数(千个)
1.1
1.2
1.3
1.4
1.6
1.8
饭店数(家)
2
5
4
1
6
2
(2)为倡导少用一次性快餐饭盒，该城市对每周使用一次性快餐饭盒数符合规定的饭店给予奖励，被奖励饭店的数量低于60%，应选什么统计量(平均数、中位数、众数)作为“限额”？并说明理由．
22. (本小题6.0分)
如图，在▱ABCD中，延长BC至点F，延长CB至点E，且BE=CF，DE=AF.求证：▱ABCD是矩形．
23. (本小题8.0分)
根据以下素材，探索完成任务．
制作检测75%酒精的漂浮吸管
素材1
如图1，装有钢珠且下端密封的吸管漂浮在液体中时，所受重力与浮力大小相等，吸管浸在液体中的深度会因液体密度的改变而改变．
素材2
小明通过观察与测量，得到漂浮在液体中吸管的示数h(cm)与液体密度ρ(g/cm3)之间的几组数据如下表：
h(cm)
…
19.8
18
16.5
13.2
…
密度ρ(g/cm3)
…
1.0
1.1
1.2
1.5
…
素材3
浓度为a%的酒精密度(酒精与水的密度分别为0.8g/cm3，1.0g/cm3)：ρa％酒精=mV=a%V⋅ρ酒精+(1−a%)V⋅ρ水V=a%×0.8+(1−a%)×1.0=−0.002a+1
问题解决
任务1
求ρ关于h的函数表达式．
任务2
由吸管上对应的刻度线可判断配置的酒精浓度，图2己标出吸管在水中的位置，请通过计算，标出可以检测75%酒精的吸管位置.(精确到0.1cm)
24. (本小题11.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=3，作菱形ADEF，使点D，E，F分别在AB，BC，AC上.点P在线段DF上，点R在线段CE上，且ER= 3PD，PQ//BC交AC于点Q．
(1)求菱形ADEF的边长；
(2)求证：四边形CQPR是平行四边形；
(3)当▱CQPR的邻边之比为 3：2时，求PD的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题考查了中心对称图形的概念，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】D
【解析】解：在平面直角坐标系中，点(1,4)关于原点对称的点的坐标为(−1,−4)．
故选：D．
根据“关于原点对称的点，横坐标，纵坐标都互为相反数”解答．
本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标的知识，牢记点的坐标的变化规律是解决此类题目的关键．
3.【答案】A
【解析】解：A.( 3)2=3，所以A选项符合题意；
B. (−3)2=|−3|=3，所以B选项不符合题意；
C. 3× 2= 3×2= 6，所以C选项不符合题意；
D. 3与 2不能合并，所以D选项不符合题意；
故选：A．
根据二次根式的性质对A、B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的加法运算对D选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：数据个数是40，
则排序后中位数是第20和第21个数据的平均数，
∴该班阅读书籍的册数的中位数是2+22=2(册)．
故选：B．
先把数据由小到大排列，再根据中位数的概念找出中位数．
本题考查的是中位数，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)．
5.【答案】B
【解析】解：根据多边形的内角和可得：(n−2)180°=540°，
解得：n=5，则这个多边形是五边形．
故选：B．
利用n边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180°，结合方程即可求出答案．
本题比较容易，主要考查多边形的内角和公式．
6.【答案】D
【解析】解：∵x2+6x+3=0，
∴x2+6x=−3，
∴x2+6x+9=−3+9，即(x+3)2=6，
故选：D．
根据配方法解一元二次方程的步骤计算即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：因为a//c的相反命题是a与b不平行，
故选：A．
根据反证法的步骤求解．
本题考查了反证法，掌握反证法的基本步骤是截图的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵宽比长少12步，且矩形宽为x步，
∴矩形长为(x+12)步．
根据题意得：x(x+12)=864．
故选：C．
根据矩形的长与宽之间的关系，可得出矩形长为(x+12)步，结合矩形面积为864平方步，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：把x=−3代入y=6x得，y1=−2；
把x=−2代入y=6x得，y2=−3；
把x=1代入y=6x得，y3=6；
∴y2
将三个点的横坐标分别代入关系式，求出纵坐标比较即可．
本题考查了反比例函数的性质的应用，代入所判断的点并准确计算是解题关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵四边形EFGH是正方形，
∴EF=FG=HG=EH，∠AFG=∠FEH=∠EHG=∠FGH=90°，
∴∠AED=∠AFB=∠CHD=∠AED=90°，
∵∠ABF=45°，
∴AF=BF，
∵△ABF≌△CDH，
∴AF=BF=CH=DH，
设EF=FG=HG=EH=x，AF=BF=CH=DH=y，
∴BG=DH=x+y，AE=CG=x−y，
∴▱ABCD=2×12×y2+2×12×(y−x)(y+x)+x2=10，
∴2y2=10，
∴CD= 2y2= 10，
故选：D．
根据正方形的性质得到EF=FG=HG=EH，∠AFG=∠FEH=∠EHG=∠FGH=90°，求得∠AED=∠AFB=∠CHD=∠AED=90°，得到AF=BF，根据全等三角形的性质得到AF=BF=CH=DH，设EF=FG=HG=EH=x，AF=BF=CH=DH=y，根据三角形的面积公式和勾股定理即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．
11.【答案】x≥2
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件．
二次根式的被开方数是非负数，即x−2≥0，求解即可．
【解答】
解：根据题意，得
x−2≥0，
解得，x≥2；
故答案是：x≥2．
12.【答案】1
【解析】解：∵方程x2+2x+m=0有两个相等实数根，
∴△=b2−4ac=4−4m=0，
解之得：m=1．
若一元二次方程有两等根，则根的判别式△=b2−4ac=0，建立关于m的方程，求出m的取值．
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)△<0⇔方程没有实数根．
13.【答案】乙
【解析】解：∵甲、乙同学的五次数学测试成绩的方差分别为26，10，
∴乙同学五次数学测试成绩的方差小，
∴数学成绩比较稳定的同学是乙，
故答案为：乙．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
14.【答案】110°
【解析】解：如图所示，由题意可知l//l′，
∵l//l′，
∴∠1+∠3=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
又∵∠1=70°，
∴∠3=110°，
∴∠2=∠3=110°(两直线平行，内错角相等)．
故答案为：110°．
根据平行线的性质，找到同旁内角、内错角进行推理即可得出∠2度数．
本题考查平行线的性质，会找同旁内角、内错角并利用性质进行推理是解题关键．
15.【答案】2025
【解析】解：∵m是方程x2−x−2=0的一个根
∴m2−m−2=0，
∴m2−m=2，
∴m2−m+2023=2+2023=2025．
故答案为：2025．
根据题意可得m2−m=2，再代入，即可求解．
本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握式方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
16.【答案】52
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=3，OD=OB=4，
∴AD= OA2+OB2=5，
∵M为CD的中点，
∴DM=CM，
∴OM=12AD=52，
故答案为：52．
利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．
本题考查菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线定理等知识，解题关键是掌握菱形的性质．
17.【答案】4
【解析】解：∵BDAD=32，四边形OABC为矩形，
∴设点D的坐标为：(k2n,2n)，则B(k2n,5n)，
∵矩形OABC的面积为10，
∴k2n⋅5n=10，
解得：k=4，
故答案为：4．
设点D的坐标为：(k2n,2n)，则B(k2n,5n)，根据矩形OABC的面积为10，得出k2n⋅5n=10，即可求出k的值．
本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，正确表示点B的坐标是解题的关键．
18.【答案】 655
【解析】解：连接BF，AC，如图：
设小正方形的边长为a，
则正方形的边长为 5a，矩形BEFG的边长为5a，宽为a，
由勾股定理得BF= (5a)2+a2= 26a，
AC= ( 5a)2+( 5a)2= 10a，
∴BFAC= 26a 10a= 655，
故答案为： 655，
设小正方形的边长为a，用代数式表示出大正方形的边长和对角线，及矩形的对角线即可解答．
本题考查正方形的性质和矩形的性质，勾股定理，利用勾股定理表示出对角线的长是解题关键．
19.【答案】解：(1)原式= 3−2 3
=− 3；
(2)x2−2x=0，
x(x−2)=0，
x=0或x−2=0，
解得x1=0，x2=2．
【解析】(1)根据二次根式的原式法则计算即可；
(2)方程利用因式分解法求解即可．
本题考查了实数的运算以及解一元二次方程，掌握二次根式的性质以及因式分解的方法是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)如图1中，四边形ABCD即为所求(答案不唯一)；
(2)如图2中，四边形ABEF即为所求．
【解析】(1)根据要求利用数形结合的射线解决问题；
(2)画出对角线分别为2 2，4 2的菱形即可．
本题考查作图−应用与设计作图，勾股定理，平行四边形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】解：应选择中位数作为“限额”，理由如下：
这组数据的平均数为120×(1.1×2+1.2×5+1.3×4+1.4+1.6×6+1.8×2)=1.4(千个)，不高于此数据的饭店数量所占百分比为2+5+4+120×100%=60%；
这组数据的中位数为1.3+1.32=1.3，不高于此数据的饭店数量所占百分比为2+5+420×100%=55%；
这组数据的众数为1.6，不高于此数据的饭店数量所占百分比为2+5+4+1+620×100%=90%；
综上，应选择中位数作为“限额”．
【解析】分别计算出这组数据的平均数、中位数和众数，再计算出对应百分比可得答案．
本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握平均数、中位数和众数的定义．
22.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB//DC，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∵BE=CF，
∴CE=BF，
在△ABF与△DCE中，
AB=DCBF=CEAF=DE，
∴△ABF≌△DCE(SSS)，
∴∠ABF=∠DCE，
∴∠ABF=12×180°=90°，
∴▱ABCD是矩形．
【解析】根据平行四边形的性质得到AB=DC，AB//DC，根据平行线的性质得到∠ABC+∠DCB=180°，根据全等三角形的性质得到∠ABF=∠DCE，根据矩形的判定定理即可得到结论．
本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
23.【答案】解：(任务1)通过计算可知，表格中密度与对应吸管的示数的乘积为定值19.8，即ρh=19.8．
故ρ关于h的函数表达式为ρ=995h．
(任务2)ρa％酒精=−0.002×75+1=0.85=85100．
∵ρ=995h，
∴h=995ρ=995×85100≈23.3(厘米)．
答：ρ关于h的函数表达式为ρ=995h，检测75%酒精的吸管位置在23.3厘米处．
【解析】(任务1)由表中数据的变化规律即可得到ρ关于h的函数表达式；
(任务2)由酒精的密度公式，可计算出浓度为75%的酒精密度，将其代入(任务1)中得到的ρ与h的函数表达式，求出h的值即可．
本题考查函数关系式，是函数关系式的实际运用，比较简单．要培养一定的应用思维，从应用中抽象出数学知识．
24.【答案】(1)解：∵四边形ADEF是菱形，
∴AD=DE，DE////FA，
∴∠DEB=∠C=30°，
∵∠B=90°，
∴BD=12DE，
∵AB=3，
∴3−AD=12AD，
∴AD=2，
∴菱形的边长是2．
(2)证明：设PD=x，则ER= 3x，PF=2−x，
∵PQ//CR，
∴∠PQF=∠C=30°，
∵AD=AF，∠A=60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴∠AFD=60°，
∴∠PFQ=180°−60°=120°，
∴FPQ=∠PQF=30°，
∴PF=FQ=2−x，
∴PQ= 3(2−x)，
∵∠B=90°，∠C=30°，
∴BC= 3AB=3 3，
∵DE=2，∠B=90°，∠DEB=30°，
∴BE= 32DE= 3，
∴CR=BC−BE−ER=3 3− 3− 3x= 3(2−x)，
∴PQ=CR，
∵PQ//CR，
∴四边形PQCR是平行四边形；
(3)解：∵∠C=30°，∠FEC=90°，
∴FC=2FE=4，
由(2)知：CQ=CF−FQ=4−(2−x)=2+x，PQ=2 3− 3x，
当CQ：CR= 3：2时，
(2+x)：(2 3− 3x)= 3：2，
∴x=25；
当CR：CQ= 3：2时，
(2 3− 3x)：(2+x)= 3：2，
∴x=23，
∴PD的长是25或23．
【解析】(1)由直角三角形的性质，菱形的性质，得到3−AD=12AD，求出AD的长，即可得到菱形的边长；
(2)设PD=x，则ER= 3x，PF=2−x，由菱形的性质得到∠AFD=60°，因此∠PFQ=180°−60°=120°，由平行线的性质得到FPQ=∠PQF=30°，因此PQ= 3(2−x)，又CR=BC−BE−ER= 3(2−x)，得到PQ=CR，即可证明问题；
(3)分两种情况，分别得到关于x的方程，求出x的值，即可解决问题．
本题考查菱形的性质，平行四边形的判定，含30°角的直角三角形，关键是证明PQ=CR；分两种情况，求解PD的长．
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