2022-2023学年浙江省温州市新希望联盟八年级（下）期中数学试卷(含解析)

这是一份2022-2023学年浙江省温州市新希望联盟八年级（下）期中数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年浙江省温州市新希望联盟八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≥1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≠1
2．在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A． B．2（x﹣1）+x＝2 C．x2＝2+3x D．x2﹣xy+4＝0
3．用公式法解一元二次方程3x2﹣2x﹣1＝0时，计算b2﹣4ac的结果为（　　）
A．8 B．﹣8 C．14 D．16
4．已知甲、乙两同学1分钟跳绳的平均数相同，若甲同学1分钟跳绳成绩的方差S甲2＝0.06，乙同学1分钟跳绳的方差到S乙2＝0.35，则（　　）
A．甲的成绩比乙的成绩更稳定
B．乙的成绩比甲的成绩更稳定
C．甲、乙两人的成绩一样稳定
D．甲、乙两人的成绩稳定性不能比较
5．用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，则配方正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝7 D．（x+2）2＝7
6．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．已知a是方程x2+2x﹣1＝0的一个解，则代数式﹣a2﹣2a+8的值为（　　）
A．0 B．5 C．6 D．7
8．如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC与BD的交点，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（　　）

A．20 B．21 C．22 D．23
9．如图，在长为32米，宽为20米的长方形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设小路的宽为x米，则下面所列方程正确的是（　　）

A．32×20﹣32x﹣20x＝100 B．32x+20x﹣x2＝100
C．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝100 D．（32﹣x）（20﹣x）＝100
10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结EH，交AC于点P，过点P作PR⊥FG于点R．过E点作EJ⊥BA交BA延长线于点J，EJ：JH＝1：2，EH＝8，则PR的值为（　　）
​

A．30 B．11 C．4 D．5
二、填空题（每题3分，共24分）
11．化简：＝　 　．
12．已知一个多边形的每个外角都是45°，则这个多边形的边数为 　 　．
13．已知数据x1，x2的平均数是2，数据x3，x4，x5的平均数是4，则x1，x2，x3，x4，x5这组数据的平均数是 　 　．
14．某企业两年前创办时的资金为1000万元，现在已有资金1440万元．若设该企业这两年资金的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为　 　．
15．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　．
16．已知等腰三角形的底边长为7，腰长是x2﹣8x+15＝0的一个根，则这个三角形周长为 　 　．
17．如图，在四边形ABCD中，∠A＝120°，∠C＝70°，将△BMN沿MN翻折，得到△EMN若．若ME∥AD，EN∥DC，则∠D＝　 　度．

18．如图，O是平面直角坐标系原点，AB∥OC，AO⊥OC，AB＝1，OC＝4，P为线段AO上一个动点，连结PB并延长至点E，使得点E落在直线x＝2上，以PE，PC为邻边作▱PEFC，则对角线PF的最小值为 　 　．

三、解答题（共46分）
19．计算：．
20．解方程：x2+6x﹣7＝0．
21．某工艺品厂草编车间共有16名工人，调查每个工人的日均生产能力，获得数据如下表：
日均生产能力（件）
10
11
12
13
14
16
人数
1
2
6
4
2
1
（1）这16名工人日均生产件数的平均数＝　 　件，众数＝　 　件，中位数＝　 　件；
（2）为了提高工作效率和工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施，如果你是管理者，应选择什么统计量作为日生产件数的定额？
22．如图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，所作图形的顶点均在格点上且两图形不全等，不要求写作法．
（1）在图①中以线段AB为边作一个平行四边形；
（2）在图②中以线段AB为边作一个平行四边形，且有一条对角线长为2．
​
23．根据以下信息，探索完成任务．
如何设计种植方案？
素材1
小明以“种植农作物”为主题在自己家100平方米的土地上进行课外实践，现有A、B两种作物的相关信息如下表所示：

A作物
B作物
每平方米种植株树（株）
2
10
单株产量（千克）
1.2
0.5

素材2
由于A作物植株间距较大，可增加A作物每平方米的种植株树．经过调研发现，每平方米种植A作物每增加1株，A作物的单株产量减少0.1千克．
素材3
若同时种植A、B两种作物，实行分区域种植．
问题解决
单一种植（全部种植A作物）
任务1：明确数量关系
设每平方米增加x株A作物（x为正整数），则每平方米有 　 　株，单株产量为
　 　千克． （用含x的代数式表示）
任务2：计算产量
要使A作物每平方米产量为4.8千克，则每平方米应种植多少株？
分区种植（种植A、B两种作物）
任务3：规划种植方案
设这100平方米的土地中有a平方米用于种植A作物，且每平方米产量最大，其余区域按照每平方米10株种植B作物，当这100平方米总产量不低于496千克时，则a的取值范围是 　 　.
24．如图，在平面直角坐标系中，以B为原点，C（6，0），A（0，8），有一动点P以每秒3个单位的速度从点C出发向终点B运动，同时还有一动点Q以每秒5个单位的速度也从点C出发，向终点A运动，连结PQ，且PQ⊥BC，以CP，CQ为邻边作▱CQMP，设动点P的运动时间为t秒．
（1）BP＝　 　；（用含t的代数式表示）
（2）连结BM，当△BPM为等腰三角形时，求t的值；
（3）若以直线AM为对称轴，当点Q的对称点恰好落在y轴上时，则t的值为 　 　．（ 直接写出答案）
​


参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≥1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≠1
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣1≥0，再解不等式即可．
解：由题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1，
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．
2．在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A． B．2（x﹣1）+x＝2 C．x2＝2+3x D．x2﹣xy+4＝0
【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行判断．
解：A．方程x2+3x＝为分式方程，所以A选项不符合题意；
B．方程2（x﹣1）+x＝2为一元一次方程，所以B选项不符合题意；
C．方程x2＝2+3x为一元二次方程，所以C选项符合题意；
D．方程x2﹣xy+4＝0为二元二次方程，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
3．用公式法解一元二次方程3x2﹣2x﹣1＝0时，计算b2﹣4ac的结果为（　　）
A．8 B．﹣8 C．14 D．16
【分析】根据方程的系数可得出a，b，c的值，再将其代入b2﹣4ac中即可求出结论．
解：∵a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣1）＝16．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记根的判别式Δ＝b2﹣4ac是解题的关键．
4．已知甲、乙两同学1分钟跳绳的平均数相同，若甲同学1分钟跳绳成绩的方差S甲2＝0.06，乙同学1分钟跳绳的方差到S乙2＝0.35，则（　　）
A．甲的成绩比乙的成绩更稳定
B．乙的成绩比甲的成绩更稳定
C．甲、乙两人的成绩一样稳定
D．甲、乙两人的成绩稳定性不能比较
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
解：∵甲、乙两同学1分钟跳绳的平均数相同，若甲同学1分钟跳绳成绩的方差S甲2＝0.06，乙同学1分钟跳绳成绩的方差S乙2＝0.35，
∴S甲2＜S乙2，
∴甲的成绩比乙的成绩更稳定．
故选：A．
【点评】本题考查了方差、算术平均数等知识，掌握方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好是关键．
5．用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，则配方正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝7 D．（x+2）2＝7
【分析】先把﹣3移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．
解：∵x2﹣4x﹣3＝0，
∴x2﹣4x＝3，
∴x2﹣4x+4＝3+4，
∴（x﹣2）2＝7．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n（n≥0）的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
6．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断．
解：A、与不能合并，所以A选项错误；
B、原式＝6×2＝12，所以B选项错误；
C、原式＝＝2，所以C选项准确；
D、原式＝2，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
7．已知a是方程x2+2x﹣1＝0的一个解，则代数式﹣a2﹣2a+8的值为（　　）
A．0 B．5 C．6 D．7
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝a代入已知方程，即可求得a2﹣2a＝1，然后将其代入所求的代数式并求值即可．
解：∵a是方程x2+2x﹣1＝0的一个解，
∴a2+2a＝1，
则﹣a2﹣2a+8＝﹣（a2+2a）+8＝﹣1+8＝7．
故选：D．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值．
8．如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC与BD的交点，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（　　）

A．20 B．21 C．22 D．23
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA的长，然后由AB⊥AC，AB＝8，AC＝12，根据勾股定理可求得OB的长，继而求得答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，
∴OA＝AC＝6，BD＝2OB，
∵AB⊥AC，AB＝8，
∴OB＝＝10，
∴BD＝2OB＝20．
故选：A．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．注意掌握平行四边形的对角线互相平分．
9．如图，在长为32米，宽为20米的长方形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设小路的宽为x米，则下面所列方程正确的是（　　）

A．32×20﹣32x﹣20x＝100 B．32x+20x﹣x2＝100
C．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝100 D．（32﹣x）（20﹣x）＝100
【分析】设道路的宽x米，小路的面积+x2＝一个长32宽x的矩形面积+一个长20宽x的矩形的面积，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：设道路的宽x米，
则32x+20x＝100+x2．
32x+20x﹣x2＝100．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结EH，交AC于点P，过点P作PR⊥FG于点R．过E点作EJ⊥BA交BA延长线于点J，EJ：JH＝1：2，EH＝8，则PR的值为（　　）
​

A．30 B．11 C．4 D．5
【分析】设PR与AB交于点N，利用正方形性质可证得△ACB≌△EAJ（AAS），得出EJ＝AB，AM＝BC，设AB＝x，BC＝y，根据tan∠AHE＝＝，可得EJ＝2y，JH＝4y，利用勾股定理建立方程求解可得x＝8，再由tan∠CAB＝，可得PA＝PH，利用等腰三角形性质和解直角三角形可求得PH＝3，再证明四边形BGRN是矩形，得出NR＝BG＝8，利用PR＝PN+NR即可求得答案．
解：设PR与AB交于点N，

∵四边形ACDE、BCIH、ABGF均为正方形，
∴AE＝AC，BC＝BH，AB＝BG，∠CAE＝∠CBH＝∠ABG＝∠G＝90°，AB∥FG，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠M＝90°，
∴∠ACB+∠CAB＝90°，
∵∠EAJ+∠CAB＝90°，
∴∠ACB＝∠EAJ，
∴△ACB≌△EAJ（AAS），
∴EJ＝AB，AJ＝BC，
∴AJ＝BH＝BC，
设AB＝x，BC＝y，
则EJ＝x，AJ＝BH＝y，
JH＝x+2y，
∵tan∠AHE＝，
∴，即JH＝2EJ，
∴x+2y＝2x，
∴x＝2y，
∴EJ＝2y，JH＝4y，
∵EJ2+JH2＝EH2，
∴（2y）2+（4y）2＝（8）2，
解得：y＝4或y＝﹣4（舍去），
∴x＝8，
∴AJ＝BC＝BH＝4，AB＝BG＝8，
∵∠ABC+∠CBH＝180°，
∴A、B、H三点共线，
∴AH＝AB+BH＝8+4＝12，
∵tan∠CAB＝，
∴tan∠CAB＝tan∠AHE，
∴∠CAB＝∠AHE，
∴PA＝PH，
∵AB∥FG，
∴∠PNB＝∠PRG＝90°，
∴AN＝AH＝×12＝6，
∴＝tan∠CAB＝，
∴PN＝AN＝×6＝3，
∵PR⊥FG，
∴∠PRG＝90°，
∴∠ABC＝∠G＝∠PRG＝90°，
∴四边形BGRN是矩形，
∴NR＝BG＝8，
∴PR＝PN+NR＝3+8＝11．
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，三角函数定义等知识，利用勾股定理建立方程求得AB＝8，BC＝4是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．化简：＝　2　．
【分析】应用二次根式的化简的方法进行计算即可得出答案．
解：＝＝＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简的计算方法进行求解是解决本题的关键．
12．已知一个多边形的每个外角都是45°，则这个多边形的边数为 　八　．
【分析】根据多边形的外角和是360°求解即可．
解：∵360÷45＝8（边），
∴多边形的边数为八，
故答案为：八．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的外角和是360°是解题的关键．
13．已知数据x1，x2的平均数是2，数据x3，x4，x5的平均数是4，则x1，x2，x3，x4，x5这组数据的平均数是 　3.2　．
【分析】根据加权平均数的定义分别求出两组数的和，再按照加权平均数的计算方法计算即可解答．
解：∵数据x1，x2，x3的平均数是2，
数据x4，x5的平均数是4，
∴数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是＝3.2．
故答案为：3.2．
【点评】本题考查的是加权平均数的求法．求出5个数的总和，掌握加权平均数的求法是解答本题的关键．
14．某企业两年前创办时的资金为1000万元，现在已有资金1440万元．若设该企业这两年资金的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为　1000（1+x）2＝1440　．
【分析】根据关系式：现在已有资金1000万元×（1+年平均增长率）2＝现在已有资金1440万元，把相关数值代入即可求解．
解：设该企业这两年资金的年平均增长率为x，根据题意得：
1000（1+x）2＝1440．
故答案为1000（1+x）2＝1440．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
15．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　k＜1　．
【分析】根据根的判别式的意义得到（﹣2）2﹣4k＞0，然后解不等式即可．
解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×k＞0，
解得k＜1．
故答案为：k＜1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
16．已知等腰三角形的底边长为7，腰长是x2﹣8x+15＝0的一个根，则这个三角形周长为 　17　．
【分析】求出方程的解，得出两组情况，看看是否符合三角形三边关系定理，求出即可．
解：x2﹣8x+15＝0，
（x﹣5）（x﹣3）＝0，
x﹣5＝0，x﹣3＝0，
x1＝5，x2＝3，
即①等腰三角形的三边为7，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是5+5+7＝17；
②等腰三角形的三边为3，3，7，此时不符合三角形三边关系定理，
故答案为：17．
【点评】本题考查了解一元二次方程和三角形三边关系定理，等腰三角形性质的应用，关键是确定三角形的三边长．
17．如图，在四边形ABCD中，∠A＝120°，∠C＝70°，将△BMN沿MN翻折，得到△EMN若．若ME∥AD，EN∥DC，则∠D＝　70　度．

【分析】由平行线的性质得出∠BME＝120°，∠ENB＝70°，再由翻折变换的性质得出∠EMN＝∠BMN＝60°，∠ENM＝∠MNB＝35°，进而求出∠B的度数，即可得出∠D的度数．
解：∵ME∥AD，EN∥DC，∠A＝120°，∠C＝70°，
∴∠BME＝∠A＝120°，∠ENB＝∠C＝70°，
∵将△BMN沿MN翻折得△EMN，
∴∠EMN＝∠BMN＝60°，∠ENM＝∠MNB＝35°，∠E＝∠B，
∴∠E＝∠B＝180°﹣60°﹣35°＝85°，
∴∠D＝360°﹣120°﹣70°﹣85°＝85°，
故答案为：70．
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质、平行线的性质、三角形内角和定理以及多边形内角和定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质是解题关键．
18．如图，O是平面直角坐标系原点，AB∥OC，AO⊥OC，AB＝1，OC＝4，P为线段AO上一个动点，连结PB并延长至点E，使得点E落在直线x＝2上，以PE，PC为邻边作▱PEFC，则对角线PF的最小值为 　6　．

【分析】作FN⊥x轴于N，EM⊥y轴于M，连接PF．利用全等三角形的性质证明CN＝EM＝2，推出ON＝6，根据垂线段最短解决问题即可．
解：作FN⊥x轴于N，EM⊥y轴于M，连接PF．
∵四边形PEFC是平行四边形，
∴PE＝CF，PE∥CF，
∴∠FCN＝∠ETC，
∵EM⊥y轴，FN⊥x轴，
∴∠EMP＝∠FNC＝90°，
∵EM∥TC，
∴∠MEP＝∠ETC，
∴∠MEP＝∠FCN，
∴△EMA≌△CNF（AAS），
∴EM＝CN＝2，
∵OC＝4，
∴ON＝OC+CN＝4+2＝6，
当PF⊥FN时，PF的值最小，此时PF＝ON＝6，
∴PF的最小值为6．
故答案为6．

【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最短问题．
三、解答题（共46分）
19．计算：．
【分析】先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简二次根式后合并即可．
解：原式＝4﹣+2
＝4﹣+2
＝5．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
20．解方程：x2+6x﹣7＝0．
【分析】首先把一元二次方程x2+6x﹣7＝0转化成两个一元一次方程的乘积，即（x+7）（x﹣1）＝0，然后解一元一次方程即可．
解：∵x2+6x﹣7＝0，
∴（x+7）（x﹣1）＝0，
∴x1＝﹣7或x2＝1．
【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的步骤，此题难度不大．
21．某工艺品厂草编车间共有16名工人，调查每个工人的日均生产能力，获得数据如下表：
日均生产能力（件）
10
11
12
13
14
16
人数
1
2
6
4
2
1
（1）这16名工人日均生产件数的平均数＝　12.5　件，众数＝　12　件，中位数＝　12　件；
（2）为了提高工作效率和工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施，如果你是管理者，应选择什么统计量作为日生产件数的定额？
【分析】（1）平均数＝加工零件总数÷总人数，中位数是将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果数据的个数是偶数就是中间两个数的平均数，众数是指一组数据中出现次数最多的数据；
（2）分别从平均数、中位数和众数的角度，讨论达标人数和获奖人数情况，从而得出结论．
解：（1）由表格可得，
平均数为：×（10+11×2+12×6+13×4+14×2+16）＝12.5（件），
12出现的次数最多，故众数是12，
16名工人日均生产件数从小到大排列，排在中间的数分别为12、12，故中位数是＝12（件）；
故答案为：12.5，12，12；
（2）当定额为13个时，有13人达标，3人获奖，不利于提高工人的积极性，
当定额为12个时，有9人达标，7人获奖，利于提高大多数工人的积极性，
∴定额为12个时，有利于提高大多数工人的积极性，
故应选择中位数作为日生产件数的定额．
【点评】本题考查了统计量的选择，平均数、众数、中位数的意义，掌握平均数、众数、中位数的定义是关键．
22．如图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，所作图形的顶点均在格点上且两图形不全等，不要求写作法．
（1）在图①中以线段AB为边作一个平行四边形；
（2）在图②中以线段AB为边作一个平行四边形，且有一条对角线长为2．
​
【分析】（1）根据平行四边形的定义画出图形即可（答案不唯一）；
（2）根据要求画出图形（答案不唯一）．
解：（1）如图①中，平行四边形ABCD即为所求；
（2）如图②中，平行四边形ABCD即为所求．

【点评】本题考查作图﹣全等图形，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质，属于中考常考题型．
23．根据以下信息，探索完成任务．
如何设计种植方案？
素材1
小明以“种植农作物”为主题在自己家100平方米的土地上进行课外实践，现有A、B两种作物的相关信息如下表所示：

A作物
B作物
每平方米种植株树（株）
2
10
单株产量（千克）
1.2
0.5

素材2
由于A作物植株间距较大，可增加A作物每平方米的种植株树．经过调研发现，每平方米种植A作物每增加1株，A作物的单株产量减少0.1千克．
素材3
若同时种植A、B两种作物，实行分区域种植．
问题解决
单一种植（全部种植A作物）
任务1：明确数量关系
设每平方米增加x株A作物（x为正整数），则每平方米有 　（2+x）　株，单株产量为
　（1.2﹣0.1x）　千克． （用含x的代数式表示）
任务2：计算产量
要使A作物每平方米产量为4.8千克，则每平方米应种植多少株？
分区种植（种植A、B两种作物）
任务3：规划种植方案
设这100平方米的土地中有a平方米用于种植A作物，且每平方米产量最大，其余区域按照每平方米10株种植B作物，当这100平方米总产量不低于496千克时，则a的取值范围是 　a≤4　.
【分析】任务一：根据题意直接得出结论；
任务二：根据单株产量×每平米的株数＝4.8列出方程，解方程即可；
任务三：现根据种植A作物每平米的产量＝单株产量×每平米的株数列出函数解析式，根据函数的性质求出种植A作物每平米的最高产量，再根据100平米种植A作物和B作物的产量之和≥496列出不等式，解不等式即可．
解：任务一：设每平方米增加x株A作物（x为正整数），则每平方米有（2+x）株，单株产量为（1.2﹣0.1x）千克，
故答案为：（2+x），（1.2﹣0.1x）；
任务二：根据题意得：（2+x）（1.2﹣0.1x）＝4.8，
整理得：x2﹣10x+24＝0，
解得：x1＝4，x2＝6，
∴x+4＝6或x+2＝8，
答：每平方米应种植6株或8株；
任务三：设种植A作物每平方米的产量为y千克，
根据题意得：y＝（2+x）（1.2﹣0.1x）＝﹣0.1x2+x+2.4＝﹣0.1（x﹣5）2+4.9，
∵﹣0.1＜0，
∴当x＝5时，y有最大值，最大值为4.9，
∴种植A作物每平方米最大产量为1.9千克，
根据题意得：4.9a+（100﹣a）×10×0.5≥496，
解得a≤40，
则a的取值范围是a≤40，
故答案为：a≤40．
【点评】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和一元二次方程．
24．如图，在平面直角坐标系中，以B为原点，C（6，0），A（0，8），有一动点P以每秒3个单位的速度从点C出发向终点B运动，同时还有一动点Q以每秒5个单位的速度也从点C出发，向终点A运动，连结PQ，且PQ⊥BC，以CP，CQ为邻边作▱CQMP，设动点P的运动时间为t秒．
（1）BP＝　6﹣3t　；（用含t的代数式表示）
（2）连结BM，当△BPM为等腰三角形时，求t的值；
（3）若以直线AM为对称轴，当点Q的对称点恰好落在y轴上时，则t的值为 　　．（ 直接写出答案）
​
【分析】（1）根据题意有BP＝BC﹣CP，进而得可得答案；
（2）分三种情况，利用等腰三角形，勾股定理列方程解答即可；
（3）设Q关于AM的对称点为Q'，过M作MR⊥BC于R，延长QM交AB于K，可得CQ＝5t，PR＝MQ＝CP＝3t，PQ＝4t＝MR，由MQ∥CP，CP⊥AB，知∠QKQ'＝90°，四边形KBRM是矩形，在Rt△KMQ'中可得KQ'＝＝，而AQ＝AC﹣CQ＝10﹣5t，即得8﹣4t+＝10﹣5t，解方程可得答案．
解：（1）设点P的运动时间为t秒，则CP＝3t，
∵C（6，0），
∴BC＝6，
∴BP＝BC﹣PC＝6﹣3t，
故答案为：6﹣3t；
（2）设点P的运动时间为t秒，则CP＝3t，CQ＝5t，
∵四边形CQMP是平行四边形，
∴MP＝CQ＝5t，
①当BP＝PM时，如图：

∴6﹣3t＝5t，
解得：t＝；
②当BM＝PM时，过M作MH⊥BC于H，如图：

∵PQ⊥BC，MH⊥BC，
∴MH∥PQ，
∵四边形CQMP是平行四边形，
∴MQ∥CP，MQ＝CP，
∴四边形MHPQ是矩形，
∴HP＝MQ＝CP，
∵BM＝PM，MH⊥BC，
∴BH＝HP，
∴BH＝HP＝CP，
∴CP＝BC＝×6＝2，
∴t＝＝；
③当BM＝BP时，过M作MG⊥BC于G，如图：

∵PQ⊥BC，CP＝3t，CQ＝5t，
∴PQ＝4t，
同②可得GP＝MQ＝CP＝3t，MG＝PQ＝4t，
∴BG＝BC﹣GP﹣CP＝6﹣6t，BM＝BP＝BC﹣CP＝6﹣3t，
在Rt△BGM中，BG2+MG2＝BM2，
∴（6﹣6t）2+（4t）2＝（6﹣3t）2，
解得t＝0（舍去）或t＝；
综上所述，当△BPM为等腰三角形时，t的值为或或；
（3）设Q关于AM的对称点为Q'，过M作MR⊥BC于R，延长QM交AB于K，如图：

同（2）可得CQ＝5t，PR＝MQ＝CP＝3t，PQ＝4t＝MR，
∵MQ∥CP，CP⊥AB，
∴MQ⊥AB，即∠QKQ'＝90°，
∵∠KBR＝90°＝∠BRM，
∴四边形KBRM是矩形，
∴KB＝MR＝PQ＝4t，KM＝BR＝BC﹣PR﹣CP＝6﹣6t，
∴AK＝AB﹣KB＝8﹣4t，
∵点Q的对称点为Q'，
∴MQ'＝MQ＝3t，
在Rt△KMQ'中，
KQ'＝＝，
∴AQ'＝AK+KQ'＝8﹣4t+，
∵AB＝8，BC＝6，
∴AC＝10，
∴AQ＝AC﹣CQ＝10﹣5t，
∵AQ'＝AQ，
∴8﹣4t+＝10﹣5t，
解得t＝2（不符合题意，舍去）或t＝，
∴t的值为；
故答案为：．
【点评】本题考查四边形综合应用，涉及等腰三角形性质及应用，平行四边形性质及应用，矩形的判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．