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高考数学二轮复习培优专题第6讲 导数的极值与最值题型总结（含解析）
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这是一份高考数学二轮复习培优专题第6讲 导数的极值与最值题型总结（含解析），共37页。
第6讲 导数的极值与最值题型总结
【考点分析】
考点一：函数的驻点
若，我们把叫做函数的驻点．
考点二：函数的极值点与极值
①极大值点与极大值：函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作，其中叫做函数的极大值点
②极小值点与极小值：函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作，其中叫做函数的极小值点
考点三：求可导函数极值的步骤
①先确定函数的定义域；
②求导数；
③求方程的根；
④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.
注意：可导函数在满足是在取得极值的必要不充分条件，如，，但不是极值点.
考点四：函数的最值
一个连续函数在闭区间上一定有最值，最值要么在极值点处取得，要么在断点处取得。
求函数最值的步骤为：
①求在内的极值（极大值或极小值）；
②将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
【题型目录】
题型一：求函数的极值与极值点
题型二：根据极值、极值点求参数的值
题型三：根据极值、极值点求参数的范围
题型四：利用导数求函数的最值（不含参）
题型五：根据最值求参数
题型六：根据最值求参数范围
【典例例题】
题型一：求函数的极值与极值点
【方法总结】
利用导数求函数极值的步骤如下：
（1）求函数的定义域；
（2）求导；
（3）解方程，当；
（4）列表，分析函数的单调性，求极值：
①如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值；
②如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值
【例1】(2022石泉县石泉中学)函数的极小值为( )
A．0 B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，
当时，，单调递增；
当或时，，单调递减；
所以当时，函数取得极小值，
极小值为.
故选：A.
【例2】(2021·河南新乡市)已知函数的图象在处的切线方程为，则的极大值为( )
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】因为，所以，
又因为函数在图象在处的切线方程为，
所以，，解得，.
由，，，，，知在处取得极大值，.故选：A.
【例3】若函数在上有小于的极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由
因为在上有小于的极值点，所以有小于0的根，由的图像如图：
可知有小于0的根需要，所以选择B
【例4】（2022·江西师大附中三模（理））已知函数为的导函数．
(1)判断函数在区间上是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；
【答案】(1)存在；极小值
【分析】（1）转化为判断导函数是否存在变号零点，对求导后，判断的单调性，结合零点存在性定理可得结果；
【解析】(1)由，可得，
则，
令，其中，可得，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
因为，所以存在，使得，
当时，单调递减；当时，单调递增，
所以当时，函数取得极小值．
【例5】（2022·江苏苏州·模拟预测）函数．
(1)求函数在上的极值；
【答案】(1)极大值，；极小值，；
【分析】（1）由题可得，进而可得；
【解析】(1)∵，
∴，，
由，可得，或，
∴，单调递增，，单调递减，，单调递增，
∴时，函数有极大值，时，函数有极小值；
【题型专练】
1.已知e为自然对数的底数，设函数，则
A．1是的极小值点 B．﹣1是的极小值点
C．1是的极大值点 D．﹣1是的极大值点
【答案】B
【解析】
【详解】
试题分析：，当时，，当时，，当时，，所以当时，函数取得极小值，是函数的极小值点，故选B.
考点：导数与极值
2.（2022福建省福建师大附中高二期末多选）定义在的函数，已知是它的极大值点，则以下结论正确的是（ ）
A．是的一个极大值点
B．是的一个极小值点
C．是的一个极大值点
D．是的一个极小值点
【答案】AD
【解析】是的极大值点，就是存在正数，使得在上，，在上，．
设，，
当时，，，，同理时，，∴是的一个极大值点，从而是的一个极小值点，是的一个极小值点．不能判定是不是的极值点．故选：AD.
3.（2022江西高三期中（文））已知函数，，其中.
（1）求函数的极值；
（2）若的图像在，处的切线互相垂直，求的最小值.
【答案】（1）答案见解析；（2）1.
【解析】
（1）函数的定义或为，
，
若，恒成立，此时在上单调递增，无极值；
若时，，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
当时，有极小值，无极大值.
（2），则，其中，，
，且，，
，
当且仅当时取等号，
当，时，取最小值1.
题型二：根据极值、极值点求参数的值
【方法总结】
解含参数的极值问题要注意：
①是为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验；
②若函数在区间内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上的单调函数没有极值．
【例1】(2022全国课时练习)若函数的极小值点是，则的极大值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，函数，可得，
所以，解得，故，
可得，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值为．故选：C.
【例2】(2021·全国课时练习)若函数在处取得极小值，则a=__________．
【答案】2
【解析】由可得，
因为函数在处取得极小值，
所以，解得或，
若，则，
当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增；所以函数在处取得极小值，符合题意；
当时，，
当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增；所以函数在处取得极大值，不符合题意；
综上：.
故答案为：2.
【例3】（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数在处取极小值，且的极大值为4，则（ ）
A．-1 B．2 C．-3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
对求导，由函数在处取极小值，所以，所以，，对求导，求单调区间及极大值，由的极大值为4，列方程得解.
【详解】
解：，所以
因为函数在处取极小值，所以，所以，，，
令，得或，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，所以在处有极大值为，解得，所以.
故选：B
【题型专练】
1．设函数，若是函数是极大值点，则函数的极小值为________
【答案】
【解析】函数
是函数是极大值点则
或
当时的极小值为故答案为：
2．（2023全国高三专题练习）已知函数，设是的极值点，则a=___，的单调增区间为___.
【答案】
【解析】
由题意可得：
是的极值点
即
令，可得
的单调递增区间为
3．（2023河南省实验中学高二月考）函数在处有极值，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得，选D.
点睛：函数在点处由极值，则必有但要注意不一定是的极值点.
题型三：根据极值、极值点求参数的范围
【例1】（2022·四川绵阳·二模（文））若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出，分，，，分别讨论出函数的单调区间，从而可得其极值情况，从而得出答案.
【详解】
，
若时，当时，；当时，；
则在上单调递减；在上单调递增.
所以当时，取得极小值，与条件不符合,故满足题意.
当时，由可得或；由可得
所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，取得极大值，满足条件.
当时，由可得或；由可得
所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，取得极小值，不满足条件.
当时，在上恒成立，即在上单调递增.
此时无极值.
综上所述：满足条件
故选：A
【例2】（2022·河南·高三阶段练习（文））若函数在上无极值，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求，由分析可得恒成立，利用即可求得实数的取值范围.
【详解】
由可得
，
恒成立，为开口向上的抛物线，
若函数在上无极值，
则恒成立，所以，
解得：，
所以实数的取值范围为，
故选：D.
【例3】（2022·全国·高三专题练习）函数在内有极值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由可导函数在开区间内有极值的充要条件即可作答.
【详解】
由得，，
因函数在内有极值，则时，有解，
即在时，函数与直线y=a有公共点，
而，即在上单调递减，，则，显然在零点左右两侧异号，
所以实数的取值范围是.
故选：C
【点睛】
结论点睛：可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．
【例4】（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数，若是的极小值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据导函数的正负，对分类讨论，判断极值点，即可求解.
【详解】
由得，令，
若，则 ，此时在单调递增，在 单调递减，这与是的极小值点矛盾，故舍去.
若，可知是的极大值点，故不符合题意.
若，，此时在单调递增，在 单调递减，可知是的极大值点，故不符合题意.
当 ，，，此时在单调递增，在 单调递减，可知是的极小值点，符合题意.
若，在定义域内单调递增，无极值，不符合题意，舍去.
综上可知：
故选：B
【例5】（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知函数，．
(1)当时，过做函数的切线，求切线方程；
(2)若函数存在极值，求极值的取值范围．
【答案】(1)，(2)
【解析】
【分析】
（1）设切点，再根据导数的几何意义求解即可；
（2）求导分析导函数为0时的情况，设极值点为得到，代入极值再构造函数，求导分析单调性与取值范围即可
(1)
由题，当时，，，
设切点为，则，
故切线方程为，
又切线过，故，即，
设，，则，
故为增函数.又，
故有唯一解，
故切点为，斜率为1，故切线方程为，即；
(2)
因为，为减函数，故若函数存在极值，
则在区间上有唯一零点设为，
则，即，
故极值，
设，，则，
故为增函数，故，故，即，
故极值的取值范围
【点睛】
本题主要考查了过点的切线问题，同时也考查了利用导数研究函数的极值问题，需要根据题意设极值点，得到极值点满足的关系，再代入极值构造函数分析，属于难题
【例6】（2022·天津·耀华中学二模）已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若存在两个极小值点，求实数的取值范围.
【答案】(1)递减区间为，递增区间为，(2)
【解析】
【分析】
（1）当时，求得，令，利用导数求得，进而求得函数的单调区间；
（2）求得，令，结合单调性得到，进而得到，分和，两种情况分类讨论，结合单调性与极值点的概念，即可求解.
(1)
解：当时，函数，
可得，
令，可得，所以函数单调递增，
因为，所以，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)
解：由函数，
可得，
令，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，
当时，可得，所以，
①当时，，此时当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数的极小值为，无极大值；
②当时，，
又由在上单调递增，所以在上有唯一的零点，且，
因为当时，令，可得，
又因为，所以，即，所以，
所以，，
因为在上单调递减，所以在上有唯一的零点，且，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数有两个极小值点，故实数的取值范围为.
【题型专练】
1．（2022贵州遵义·高三）若函数无极值点则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
,
，
由函数无极值点知，
至多1个实数根，
，
解得，
实数a的取值范围是，
故选：B
2.（2022湖南湘潭·高三月考（理））已知函数有两个极值点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为有两个极值点，所以有两个不同实数根，所以有两个不同实数根，
所以有两个不同实数根，显然，
所以有两个不同实数根，记，，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
又因为时，；当时，；当时，，
所以当有两个不同实数根时 ，
所以，所以，
故选：D.
3.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出函数的导数，由导函数有两个零点可得实数的取值范围.
【详解】
∵有两个不同的极值点，
∴在有2个不同的零点，
∴在有2个不同的零点，
∴，解得．
故选：D.
4.（2020·辽宁高三月考）已知函数有两个不同的极值点，，则a的取值范围___________；且不等式恒成立，则实数的取值范围___________.
【答案】
【解析】
，
因为函数有两个不同的极值点,
所以方程有两个不相等的正实数根，
于是有：，解得.
,
设,
，故在上单调递增，
故，所以.
因此的取值范围是
故答案为：；
5.（2022·江苏南通·高二期末）若x＝a是函数的极大值点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求导后，得导函数的零点，比较两数的大小，分别判断在两侧的导数符号，确定函数单调性，从而确定是否在处取到极大值，即可求得的范围．
【详解】
解：，
令，得：
当 ，即
此时在区间单调递增，上单调递减，上单调递增，符合x＝a是函数的极大值点，
反之，当 ，即，此时在区间单调递增，上单调递减，上单调递增，x＝a是函数的极小值点，不符合题意；
当 ，即，恒成立，函数在上单调递增，无极值点.
综上得：.
故选：A.
6.（2020·江苏盐城·高三期中）若函数在上存在两个极值点，则的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
因为，
所以，
设，
因为函数在上存在两个极值点，
所以在上存在两个零点，
所以在上存在两个零点，设为且，
所以根据韦达定理有：，
故
，
因为，
所以，
，
由于，
所以.
故答案为：.
7.(2018年北京高考题)设函数。
（1）若曲线在点处的切线斜率为0，求；
（2）讨论的单调性,若在处取得极小值，求的取值范围。
【解析】:（1），，得；
（2）=，
①当时，导数为一次函数型，当时，单调递增，当时，单调递减。 是极大值 ；
②当时，开口向上，两根分别为，1；两根大小不确定，
i.当时，，当，时，单调递增，当时，单调递减，是极小值；
ii.当时，单调递增，无极值 ；
iii.当时，，当，时，单调递增，当时，单调递
减，是极大值；
③当时，开口向下，，当，时，单调递减，当时，单
调递增，是极大值；综上可知。
题型四：利用导数求函数的最值（不含参）
【方法总结】
导数求函数的极值与闭区间上的最值，设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值和最小值的步骤如下：
①求函数在内的极值；
②将函数)的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
【例1】(2022江苏单元测试)函数在[0，2]上的最大值是( )
A． B． C．0 D．
【答案】A
【解析】由，得，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以，故选：A
【例2】(2022全国课时练习)函数y＝的最大值为( )
A．e－1 B．e C．e2 D．10
【答案】A
【解析】令 当时， ；当 时 ，
所以函数得极大值为 ，因为在定义域内只有一个极值，所以故选：A.
【例3】函数在上的最大值为（ ）
A． B．π C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用导数研究的单调性，进而求其最大值.
【详解】
由题意，在上，即单调递增，
∴.
故选：B
【例4】（2020·北京高三期中）已知函数
（1）求不等式的解集；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）或；（2）最小值，最大值.
【解析】
（1）因为，
由，得.
所以或.
所以不等式的解集为或；
（2）由得：.
令，得，或（舍）.
与在区间[0，2]上的情况如下：
x
0
（0，1）
1
（1，2）
2
－
0
+
0
减
增
所以当时，取得最小值；
当时，取得最大值.
【例5】（2022·全国·高三专题练习）函数的最小值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】
先证明出成立，对原函数进行同构构造后直接求解.
【详解】
记.
因为.令，解得：；令，解得：；
所以在上单减，在上单增，所以.
所以，即.
所以，当且仅当时等号成立．
记.
因为在上单增，在上单增，所以在上单增.
又，，
所以有且只有一个实根.
而存在唯一一个使得.
即存在唯一一个使得.
所以函数的最小值为1.
故答案为：1
【题型专练】
1.（2022·河南郑州·三模（文））在区间上的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求导函数，分析其导函数的符号，得出原函数的单调性，从而可求得最小值．
【详解】
因为，所以，令，解得，
所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以函数在上的最小值为，
故选：B．
2.（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先对函数求导，求出函数的单调区间，进而可求出函数的最大值
【详解】
解：由，得，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
因为，
所以函数的最大值为，
故选：B
3.函数在（0，e]上的最大值为（ ）
A．－1 B．1 C．0 D．e
【答案】A
【解析】
【分析】
对函数求导，然后求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值
【详解】
由，得，
当时，，当，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，
故选：A
4.已知函数，，则函数的最大值为（ ）
A．0 B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的导函数的正负性判断函数在已知区间的单调性，结合余弦函数的性质进行求解即可.
【详解】
∵，∴当时，单调递增，
当时， 单调递减，
∴.
故选：C.
题型五：根据最值求参数
【例1】(2021·南昌市新建一中)已知函数在处取得极小值，则在的最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，则，
由题意可得，解得，则，
，令，可得或，列表如下：
极大值
极小值
所以，函数的极大值为，极小值为，
又，，
，则，
所以，.
故选：B.
【例2】(2020·陕西省子洲中学)若函数在[0，3]上的最大值为5，则m=( )
A．3 B．4 C．5 D．8
【答案】C
【解析】，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
当时，，当时，，
则函数在上的最大值为，则.
故选：C.
【例3】(2021·江苏测试)已知函数在上的最大值为，则a的值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，
得，
当时，若，则单调递减，
若，则单调递增，
故当时，函数有最大值，
解得，不符合题意.
当时，函数在上单调递减，最大值为，不符合题意.
当时，函数在上单调递减.此时最大值为，
解得，符合题意.
故a的值为.
故选：A.
【例4】【2019年高考全国Ⅲ卷】已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）或.
【解析】（1）．令，得x=0或.
若a>0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减；
若a=0，在单调递增；
若a<0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减.
（2）满足题设条件的a，b存在.
（i）当a≤0时，由（1）知，在[0，1]单调递增，所以在区间[0，l]的最小值为，最大值为.此时a，b满足题设条件当且仅当，，即a=0，．
（ii）当a≥3时，由（1）知，在[0，1]单调递减，所以在区间[0，1]的最大值为，最小值为．此时a，b满足题设条件当且仅当，b=1，即a=4，b=1．
（iii）当0
题型五：根据最值求参数范围
【例1】（2020·河北省石家庄二中高二月考）函数在区间上有最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于，故函数在和上递增，在上递减，，画出函数图像如下图所示，由于函数在区间上有最大值，根据图像可知，即，故选D.
【例2】（2020·通榆县第一中学校高三月考（文））若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
由题意得：，
令解得；令解得或，
所以函数在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，
故函数在处取到极大值2，
所以极大值必是区间上的最大值，
∴，
解得.检验满足题意
故答案为：.
【例3】（2020·四川省阆中东风中学校高三月考（文））已知函数，其中为常数，且.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在处取得极值，且在的最大值为1，求的值.
【答案】（1）在和上单调递增，在上单调递减；（2）或.
【解析】
（1），，令，得或1，则列表如下：
1
+
0
_
0
+
增
极大值
减
极小值
增
所以在和上单调递增，在上单调递减.
（2）∵，
令，，，
因为在处取得极值，
所以，
①时，在上单调递增，在上单调递减，
所以在区间上的最大值为，令，解得；
②当，；
(i)当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
所以最大值1可能在或处取得，而，
∴，
∴，
(ii)当时，在区间上单调递增；上单调递减，上单调递增，
所以最大值1可能在或处取得而，
所以，解得，与矛盾；
(iii)当时，在区间上单调递增，在单调递减，
所以最大值1可能在处取得，而，矛盾，
综上所述，或
【例4】（2022·山西运城·模拟预测（理））已知函数，若函数在上存在最小值.则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
先利用导数判断出函数的极值点，建立不等式，即可求出的取值范围.
【详解】
，，
当时，，单调递减；当或时，，单调递增，
∴在处取得极小值，在处取得极大值.
令，解得或，
又∵函数在上存在最小值，且为开区间，
所以，解得.
即的取值范围是.
故答案为：.
【例5】（2022·浙江湖州·高三期末）若函数存在最小值，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
对函数求导，可知当时，函数在上单调递增，无最小值；当时，有两个不等实根，由此可知函数的单调性，再根据函数图象趋势，结合极小值情况，进而确定最小值，由此即可求出结果.
【详解】
因为函数，所以，
当时，， ，又，
所以，所以函数在上单调递增，此时无最小值；
当时，则有两个不等实根，
设两个不等实根，
则，
所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减；
所以是函数的极小值点，
又时，，所以，
所以要使得函数存在最小值，则函数的最小值只能为，且，
即，所以，
即，解得，所以.
故答案为：.
【题型专练】
1.（2022·陕西·模拟预测（理））若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由导函数求得极大值，利用极大值点在区间上，且的极大值可得参数范围．
【详解】
，
或时，，时，，
所以在和上都递增，在上递减，
，
在区间上有最大值，则，解得．
故答案为：．
2.(2021·全国课时练习)已知函数在区间上存在最小值，则a的取值范围为_______．
【答案】
【解析】，时，或，
当或时，，当时，，
所以函数的单调递增区间是和，函数的单调递减区间是，
所以函数的极大值点是，极小值点是0，且，
那么当，解得或，
所以函数在区间上存在最小值，
则 ，解得：.
故答案为：.
3.(2021·江苏)若函数在区间上存在最小值，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，
令，解得或；令，解得.
故的单调递增区间为和，单调递减区间为，
所以，函数在处取得极小值，
由于函数在区间内取到最小值，则，
由可得，可得,
即，解得.
因此，实数的取值范围是.故选：C.
4.（2022北京市第十三中学高三开学考试）已知函数.
（1）函数的最大值等于________；
（2）若对任意，都有成立，则实数a的最小值是________.
【答案】 1
【解析】
（1）函数定义域是，，
时，，递增，时，，递减，
∴时，取得极大值也是最大值；
（2）若对任意，都有成立，
等价于当时，，
由（1）当时，，且，满足题意；
当，在上递增，，在递减，，
只要即可，∴，
综上，的最小值是1.．
故答案为：；1．
5.（2022重庆高二期末）已知函数，若关于的方程恰有两个不同的实数根和，则的取值范围是______，的最大值为_____.
【答案】
【解析】
作出函数的图像如下图所示，要使关于的方程恰有两个不同的实数根和，则需，解得，
不妨设，则，令，则，所以，
令，则，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当时，取得最大值，所以的最大值为，
故答案为：；.
6.（2022宁夏石嘴山市第一中学高三月考（文））设函数.
①若，则的最大值为____________________；
②若无最大值，则实数的取值范围是_________________.
【答案】2
【解析】
①若，则，时的值域为，
时，则
故时，单调递增；时，单调递减，
，故值域为，
综上，值域为，最大值为2；
②函数，故时的值域为，所以要使无最大值，则需时的最大值小于.
由，知，
当时在上单调递增，，故解得；
当时或，故且，无解，
综上，要使无最大值，则.
故答案为：2；.
第6讲 导数的极值与最值题型总结
【考点分析】
考点一：函数的驻点
若，我们把叫做函数的驻点．
考点二：函数的极值点与极值
①极大值点与极大值：函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作，其中叫做函数的极大值点
②极小值点与极小值：函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作，其中叫做函数的极小值点
考点三：求可导函数极值的步骤
①先确定函数的定义域；
②求导数；
③求方程的根；
④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.
注意：可导函数在满足是在取得极值的必要不充分条件，如，，但不是极值点.
考点四：函数的最值
一个连续函数在闭区间上一定有最值，最值要么在极值点处取得，要么在断点处取得。
求函数最值的步骤为：
①求在内的极值（极大值或极小值）；
②将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
【题型目录】
题型一：求函数的极值与极值点
题型二：根据极值、极值点求参数的值
题型三：根据极值、极值点求参数的范围
题型四：利用导数求函数的最值（不含参）
题型五：根据最值求参数
题型六：根据最值求参数范围
【典例例题】
题型一：求函数的极值与极值点
【方法总结】
利用导数求函数极值的步骤如下：
（1）求函数的定义域；
（2）求导；
（3）解方程，当；
（4）列表，分析函数的单调性，求极值：
①如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值；
②如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值
【例1】(2022石泉县石泉中学)函数的极小值为( )
A．0 B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，
当时，，单调递增；
当或时，，单调递减；
所以当时，函数取得极小值，
极小值为.
故选：A.
【例2】(2021·河南新乡市)已知函数的图象在处的切线方程为，则的极大值为( )
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】因为，所以，
又因为函数在图象在处的切线方程为，
所以，，解得，.
由，，，，，知在处取得极大值，.故选：A.
【例3】若函数在上有小于的极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由
因为在上有小于的极值点，所以有小于0的根，由的图像如图：
可知有小于0的根需要，所以选择B
【例4】（2022·江西师大附中三模（理））已知函数为的导函数．
(1)判断函数在区间上是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；
【答案】(1)存在；极小值
【分析】（1）转化为判断导函数是否存在变号零点，对求导后，判断的单调性，结合零点存在性定理可得结果；
【解析】(1)由，可得，
则，
令，其中，可得，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
因为，所以存在，使得，
当时，单调递减；当时，单调递增，
所以当时，函数取得极小值．
【例5】（2022·江苏苏州·模拟预测）函数．
(1)求函数在上的极值；
【答案】(1)极大值，；极小值，；
【分析】（1）由题可得，进而可得；
【解析】(1)∵，
∴，，
由，可得，或，
∴，单调递增，，单调递减，，单调递增，
∴时，函数有极大值，时，函数有极小值；
【题型专练】
1.已知e为自然对数的底数，设函数，则
A．1是的极小值点 B．﹣1是的极小值点
C．1是的极大值点 D．﹣1是的极大值点
【答案】B
【解析】
【详解】
试题分析：，当时，，当时，，当时，，所以当时，函数取得极小值，是函数的极小值点，故选B.
考点：导数与极值
2.（2022福建省福建师大附中高二期末多选）定义在的函数，已知是它的极大值点，则以下结论正确的是（ ）
A．是的一个极大值点
B．是的一个极小值点
C．是的一个极大值点
D．是的一个极小值点
【答案】AD
【解析】是的极大值点，就是存在正数，使得在上，，在上，．
设，，
当时，，，，同理时，，∴是的一个极大值点，从而是的一个极小值点，是的一个极小值点．不能判定是不是的极值点．故选：AD.
3.（2022江西高三期中（文））已知函数，，其中.
（1）求函数的极值；
（2）若的图像在，处的切线互相垂直，求的最小值.
【答案】（1）答案见解析；（2）1.
【解析】
（1）函数的定义或为，
，
若，恒成立，此时在上单调递增，无极值；
若时，，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
当时，有极小值，无极大值.
（2），则，其中，，
，且，，
，
当且仅当时取等号，
当，时，取最小值1.
题型二：根据极值、极值点求参数的值
【方法总结】
解含参数的极值问题要注意：
①是为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验；
②若函数在区间内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上的单调函数没有极值．
【例1】(2022全国课时练习)若函数的极小值点是，则的极大值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，函数，可得，
所以，解得，故，
可得，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值为．故选：C.
【例2】(2021·全国课时练习)若函数在处取得极小值，则a=__________．
【答案】2
【解析】由可得，
因为函数在处取得极小值，
所以，解得或，
若，则，
当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增；所以函数在处取得极小值，符合题意；
当时，，
当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增；所以函数在处取得极大值，不符合题意；
综上：.
故答案为：2.
【例3】（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数在处取极小值，且的极大值为4，则（ ）
A．-1 B．2 C．-3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
对求导，由函数在处取极小值，所以，所以，，对求导，求单调区间及极大值，由的极大值为4，列方程得解.
【详解】
解：，所以
因为函数在处取极小值，所以，所以，，，
令，得或，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，所以在处有极大值为，解得，所以.
故选：B
【题型专练】
1．设函数，若是函数是极大值点，则函数的极小值为________
【答案】
【解析】函数
是函数是极大值点则
或
当时的极小值为故答案为：
2．（2023全国高三专题练习）已知函数，设是的极值点，则a=___，的单调增区间为___.
【答案】
【解析】
由题意可得：
是的极值点
即
令，可得
的单调递增区间为
3．（2023河南省实验中学高二月考）函数在处有极值，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得，选D.
点睛：函数在点处由极值，则必有但要注意不一定是的极值点.
题型三：根据极值、极值点求参数的范围
【例1】（2022·四川绵阳·二模（文））若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出，分，，，分别讨论出函数的单调区间，从而可得其极值情况，从而得出答案.
【详解】
，
若时，当时，；当时，；
则在上单调递减；在上单调递增.
所以当时，取得极小值，与条件不符合,故满足题意.
当时，由可得或；由可得
所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，取得极大值，满足条件.
当时，由可得或；由可得
所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，取得极小值，不满足条件.
当时，在上恒成立，即在上单调递增.
此时无极值.
综上所述：满足条件
故选：A
【例2】（2022·河南·高三阶段练习（文））若函数在上无极值，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求，由分析可得恒成立，利用即可求得实数的取值范围.
【详解】
由可得
，
恒成立，为开口向上的抛物线，
若函数在上无极值，
则恒成立，所以，
解得：，
所以实数的取值范围为，
故选：D.
【例3】（2022·全国·高三专题练习）函数在内有极值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由可导函数在开区间内有极值的充要条件即可作答.
【详解】
由得，，
因函数在内有极值，则时，有解，
即在时，函数与直线y=a有公共点，
而，即在上单调递减，，则，显然在零点左右两侧异号，
所以实数的取值范围是.
故选：C
【点睛】
结论点睛：可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．
【例4】（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数，若是的极小值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据导函数的正负，对分类讨论，判断极值点，即可求解.
【详解】
由得，令，
若，则 ，此时在单调递增，在 单调递减，这与是的极小值点矛盾，故舍去.
若，可知是的极大值点，故不符合题意.
若，，此时在单调递增，在 单调递减，可知是的极大值点，故不符合题意.
当 ，，，此时在单调递增，在 单调递减，可知是的极小值点，符合题意.
若，在定义域内单调递增，无极值，不符合题意，舍去.
综上可知：
故选：B
【例5】（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知函数，．
(1)当时，过做函数的切线，求切线方程；
(2)若函数存在极值，求极值的取值范围．
【答案】(1)，(2)
【解析】
【分析】
（1）设切点，再根据导数的几何意义求解即可；
（2）求导分析导函数为0时的情况，设极值点为得到，代入极值再构造函数，求导分析单调性与取值范围即可
(1)
由题，当时，，，
设切点为，则，
故切线方程为，
又切线过，故，即，
设，，则，
故为增函数.又，
故有唯一解，
故切点为，斜率为1，故切线方程为，即；
(2)
因为，为减函数，故若函数存在极值，
则在区间上有唯一零点设为，
则，即，
故极值，
设，，则，
故为增函数，故，故，即，
故极值的取值范围
【点睛】
本题主要考查了过点的切线问题，同时也考查了利用导数研究函数的极值问题，需要根据题意设极值点，得到极值点满足的关系，再代入极值构造函数分析，属于难题
【例6】（2022·天津·耀华中学二模）已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若存在两个极小值点，求实数的取值范围.
【答案】(1)递减区间为，递增区间为，(2)
【解析】
【分析】
（1）当时，求得，令，利用导数求得，进而求得函数的单调区间；
（2）求得，令，结合单调性得到，进而得到，分和，两种情况分类讨论，结合单调性与极值点的概念，即可求解.
(1)
解：当时，函数，
可得，
令，可得，所以函数单调递增，
因为，所以，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)
解：由函数，
可得，
令，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，
当时，可得，所以，
①当时，，此时当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数的极小值为，无极大值；
②当时，，
又由在上单调递增，所以在上有唯一的零点，且，
因为当时，令，可得，
又因为，所以，即，所以，
所以，，
因为在上单调递减，所以在上有唯一的零点，且，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数有两个极小值点，故实数的取值范围为.
【题型专练】
1．（2022贵州遵义·高三）若函数无极值点则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
,
，
由函数无极值点知，
至多1个实数根，
，
解得，
实数a的取值范围是，
故选：B
2.（2022湖南湘潭·高三月考（理））已知函数有两个极值点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为有两个极值点，所以有两个不同实数根，所以有两个不同实数根，
所以有两个不同实数根，显然，
所以有两个不同实数根，记，，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
又因为时，；当时，；当时，，
所以当有两个不同实数根时 ，
所以，所以，
故选：D.
3.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出函数的导数，由导函数有两个零点可得实数的取值范围.
【详解】
∵有两个不同的极值点，
∴在有2个不同的零点，
∴在有2个不同的零点，
∴，解得．
故选：D.
4.（2020·辽宁高三月考）已知函数有两个不同的极值点，，则a的取值范围___________；且不等式恒成立，则实数的取值范围___________.
【答案】
【解析】
，
因为函数有两个不同的极值点,
所以方程有两个不相等的正实数根，
于是有：，解得.
,
设,
，故在上单调递增，
故，所以.
因此的取值范围是
故答案为：；
5.（2022·江苏南通·高二期末）若x＝a是函数的极大值点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求导后，得导函数的零点，比较两数的大小，分别判断在两侧的导数符号，确定函数单调性，从而确定是否在处取到极大值，即可求得的范围．
【详解】
解：，
令，得：
当 ，即
此时在区间单调递增，上单调递减，上单调递增，符合x＝a是函数的极大值点，
反之，当 ，即，此时在区间单调递增，上单调递减，上单调递增，x＝a是函数的极小值点，不符合题意；
当 ，即，恒成立，函数在上单调递增，无极值点.
综上得：.
故选：A.
6.（2020·江苏盐城·高三期中）若函数在上存在两个极值点，则的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
因为，
所以，
设，
因为函数在上存在两个极值点，
所以在上存在两个零点，
所以在上存在两个零点，设为且，
所以根据韦达定理有：，
故
，
因为，
所以，
，
由于，
所以.
故答案为：.
7.(2018年北京高考题)设函数。
（1）若曲线在点处的切线斜率为0，求；
（2）讨论的单调性,若在处取得极小值，求的取值范围。
【解析】:（1），，得；
（2）=，
①当时，导数为一次函数型，当时，单调递增，当时，单调递减。 是极大值 ；
②当时，开口向上，两根分别为，1；两根大小不确定，
i.当时，，当，时，单调递增，当时，单调递减，是极小值；
ii.当时，单调递增，无极值 ；
iii.当时，，当，时，单调递增，当时，单调递
减，是极大值；
③当时，开口向下，，当，时，单调递减，当时，单
调递增，是极大值；综上可知。
题型四：利用导数求函数的最值（不含参）
【方法总结】
导数求函数的极值与闭区间上的最值，设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值和最小值的步骤如下：
①求函数在内的极值；
②将函数)的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
【例1】(2022江苏单元测试)函数在[0，2]上的最大值是( )
A． B． C．0 D．
【答案】A
【解析】由，得，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以，故选：A
【例2】(2022全国课时练习)函数y＝的最大值为( )
A．e－1 B．e C．e2 D．10
【答案】A
【解析】令 当时， ；当 时 ，
所以函数得极大值为 ，因为在定义域内只有一个极值，所以故选：A.
【例3】函数在上的最大值为（ ）
A． B．π C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用导数研究的单调性，进而求其最大值.
【详解】
由题意，在上，即单调递增，
∴.
故选：B
【例4】（2020·北京高三期中）已知函数
（1）求不等式的解集；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）或；（2）最小值，最大值.
【解析】
（1）因为，
由，得.
所以或.
所以不等式的解集为或；
（2）由得：.
令，得，或（舍）.
与在区间[0，2]上的情况如下：
x
0
（0，1）
1
（1，2）
2
－
0
+
0
减
增
所以当时，取得最小值；
当时，取得最大值.
【例5】（2022·全国·高三专题练习）函数的最小值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】
先证明出成立，对原函数进行同构构造后直接求解.
【详解】
记.
因为.令，解得：；令，解得：；
所以在上单减，在上单增，所以.
所以，即.
所以，当且仅当时等号成立．
记.
因为在上单增，在上单增，所以在上单增.
又，，
所以有且只有一个实根.
而存在唯一一个使得.
即存在唯一一个使得.
所以函数的最小值为1.
故答案为：1
【题型专练】
1.（2022·河南郑州·三模（文））在区间上的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求导函数，分析其导函数的符号，得出原函数的单调性，从而可求得最小值．
【详解】
因为，所以，令，解得，
所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以函数在上的最小值为，
故选：B．
2.（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先对函数求导，求出函数的单调区间，进而可求出函数的最大值
【详解】
解：由，得，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
因为，
所以函数的最大值为，
故选：B
3.函数在（0，e]上的最大值为（ ）
A．－1 B．1 C．0 D．e
【答案】A
【解析】
【分析】
对函数求导，然后求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值
【详解】
由，得，
当时，，当，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，
故选：A
4.已知函数，，则函数的最大值为（ ）
A．0 B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的导函数的正负性判断函数在已知区间的单调性，结合余弦函数的性质进行求解即可.
【详解】
∵，∴当时，单调递增，
当时， 单调递减，
∴.
故选：C.
题型五：根据最值求参数
【例1】(2021·南昌市新建一中)已知函数在处取得极小值，则在的最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，则，
由题意可得，解得，则，
，令，可得或，列表如下：
极大值
极小值
所以，函数的极大值为，极小值为，
又，，
，则，
所以，.
故选：B.
【例2】(2020·陕西省子洲中学)若函数在[0，3]上的最大值为5，则m=( )
A．3 B．4 C．5 D．8
【答案】C
【解析】，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
当时，，当时，，
则函数在上的最大值为，则.
故选：C.
【例3】(2021·江苏测试)已知函数在上的最大值为，则a的值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，
得，
当时，若，则单调递减，
若，则单调递增，
故当时，函数有最大值，
解得，不符合题意.
当时，函数在上单调递减，最大值为，不符合题意.
当时，函数在上单调递减.此时最大值为，
解得，符合题意.
故a的值为.
故选：A.
【例4】【2019年高考全国Ⅲ卷】已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）或.
【解析】（1）．令，得x=0或.
若a>0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减；
若a=0，在单调递增；
若a<0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减.
（2）满足题设条件的a，b存在.
（i）当a≤0时，由（1）知，在[0，1]单调递增，所以在区间[0，l]的最小值为，最大值为.此时a，b满足题设条件当且仅当，，即a=0，．
（ii）当a≥3时，由（1）知，在[0，1]单调递减，所以在区间[0，1]的最大值为，最小值为．此时a，b满足题设条件当且仅当，b=1，即a=4，b=1．
（iii）当0
题型五：根据最值求参数范围
【例1】（2020·河北省石家庄二中高二月考）函数在区间上有最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于，故函数在和上递增，在上递减，，画出函数图像如下图所示，由于函数在区间上有最大值，根据图像可知，即，故选D.
【例2】（2020·通榆县第一中学校高三月考（文））若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
由题意得：，
令解得；令解得或，
所以函数在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，
故函数在处取到极大值2，
所以极大值必是区间上的最大值，
∴，
解得.检验满足题意
故答案为：.
【例3】（2020·四川省阆中东风中学校高三月考（文））已知函数，其中为常数，且.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在处取得极值，且在的最大值为1，求的值.
【答案】（1）在和上单调递增，在上单调递减；（2）或.
【解析】
（1），，令，得或1，则列表如下：
1
+
0
_
0
+
增
极大值
减
极小值
增
所以在和上单调递增，在上单调递减.
（2）∵，
令，，，
因为在处取得极值，
所以，
①时，在上单调递增，在上单调递减，
所以在区间上的最大值为，令，解得；
②当，；
(i)当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
所以最大值1可能在或处取得，而，
∴，
∴，
(ii)当时，在区间上单调递增；上单调递减，上单调递增，
所以最大值1可能在或处取得而，
所以，解得，与矛盾；
(iii)当时，在区间上单调递增，在单调递减，
所以最大值1可能在处取得，而，矛盾，
综上所述，或
【例4】（2022·山西运城·模拟预测（理））已知函数，若函数在上存在最小值.则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
先利用导数判断出函数的极值点，建立不等式，即可求出的取值范围.
【详解】
，，
当时，，单调递减；当或时，，单调递增，
∴在处取得极小值，在处取得极大值.
令，解得或，
又∵函数在上存在最小值，且为开区间，
所以，解得.
即的取值范围是.
故答案为：.
【例5】（2022·浙江湖州·高三期末）若函数存在最小值，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
对函数求导，可知当时，函数在上单调递增，无最小值；当时，有两个不等实根，由此可知函数的单调性，再根据函数图象趋势，结合极小值情况，进而确定最小值，由此即可求出结果.
【详解】
因为函数，所以，
当时，， ，又，
所以，所以函数在上单调递增，此时无最小值；
当时，则有两个不等实根，
设两个不等实根，
则，
所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减；
所以是函数的极小值点，
又时，，所以，
所以要使得函数存在最小值，则函数的最小值只能为，且，
即，所以，
即，解得，所以.
故答案为：.
【题型专练】
1.（2022·陕西·模拟预测（理））若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由导函数求得极大值，利用极大值点在区间上，且的极大值可得参数范围．
【详解】
，
或时，，时，，
所以在和上都递增，在上递减，
，
在区间上有最大值，则，解得．
故答案为：．
2.(2021·全国课时练习)已知函数在区间上存在最小值，则a的取值范围为_______．
【答案】
【解析】，时，或，
当或时，，当时，，
所以函数的单调递增区间是和，函数的单调递减区间是，
所以函数的极大值点是，极小值点是0，且，
那么当，解得或，
所以函数在区间上存在最小值，
则 ，解得：.
故答案为：.
3.(2021·江苏)若函数在区间上存在最小值，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，
令，解得或；令，解得.
故的单调递增区间为和，单调递减区间为，
所以，函数在处取得极小值，
由于函数在区间内取到最小值，则，
由可得，可得,
即，解得.
因此，实数的取值范围是.故选：C.
4.（2022北京市第十三中学高三开学考试）已知函数.
（1）函数的最大值等于________；
（2）若对任意，都有成立，则实数a的最小值是________.
【答案】 1
【解析】
（1）函数定义域是，，
时，，递增，时，，递减，
∴时，取得极大值也是最大值；
（2）若对任意，都有成立，
等价于当时，，
由（1）当时，，且，满足题意；
当，在上递增，，在递减，，
只要即可，∴，
综上，的最小值是1.．
故答案为：；1．
5.（2022重庆高二期末）已知函数，若关于的方程恰有两个不同的实数根和，则的取值范围是______，的最大值为_____.
【答案】
【解析】
作出函数的图像如下图所示，要使关于的方程恰有两个不同的实数根和，则需，解得，
不妨设，则，令，则，所以，
令，则，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当时，取得最大值，所以的最大值为，
故答案为：；.
6.（2022宁夏石嘴山市第一中学高三月考（文））设函数.
①若，则的最大值为____________________；
②若无最大值，则实数的取值范围是_________________.
【答案】2
【解析】
①若，则，时的值域为，
时，则
故时，单调递增；时，单调递减，
，故值域为，
综上，值域为，最大值为2；
②函数，故时的值域为，所以要使无最大值，则需时的最大值小于.
由，知，
当时在上单调递增，，故解得；
当时或，故且，无解，
综上，要使无最大值，则.
故答案为：2；.
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