北师大版九年级上册4 用因式分解法求解一元二次方程同步测试题

这是一份北师大版九年级上册4 用因式分解法求解一元二次方程同步测试题，共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年北师大版九年级数学上册《2.4用因式分解法求解一元二次方程》
自主学习同步练习题（附答案）
一、单选题
1．一元二次方程x2=x的根是（    ）
A．x1=x2=0 B．x1=x2=1
C．x1=0，x2=1 D．x1=0，x2=−1
2．方程2x+32=42x+3的解是（    ）
A．−32，12 B．32，−12 C．−32 D．32
3．若菱形对角线的长是方程x2−8x+15=0的根，则菱形的面积等于（    ）
A．15 B．152 C．8 D．4
4．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2−6x+8=0的两根，则该等腰三角形的周长是（    ）
A．10或8 B．10 C．8 D．12
5．已知关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x=2,x=−3，则方程x2+px+q=0可化为（    ）
A．x−3x+2=0 B．x+3x−2=0
C．x−2x−3=0 D．x−2x+3=0
6．若a，b是两个实数，定义一种运算“△”，a△b=a(a+b)，则方程x△(x−1)=2x−1 的实数根是（　　）．
A．x1=12，x2=1 B．x1=2，x2=1
C．x1=−2，x2=1 D．x1=−12，x2=1
7．若直角三角形的两边长分别是方程x2−14x+48=0的两根，则该直角三角形的面积是（    ）
A．48 B．24 C．48或127 D．24或67
8．若关于x的一元二次方程a(x+m)2+n=0(a≠0)的两根分别为x1=−2,x2=1，则关于x的一元二次方程a(x+m−2022)2+n=0(a≠0)的两根分别为（    ）
A．x1=−2,x2=1 B．x1=2020,x2=2023
C．x1=−2020,x2=2023 D．x1=−2024,x2=−2019
二、填空题
9．一元二次方程x2+2x+1=0的解是________________．
10．方程x−52−2x−5=0的根为_________________．

11．若关于x的一元二次方程a+2x2−2x+a2−4=0有一个根是0，则a的值为______．
12．一个三角形的两边长分别为2和3，第三边长是方程x2−10x+21=0的根，则三角形的周长为________．
13．若实数x、y满足x2+y21−x2−y2+6=0，则x2+y2=________．
14．已知关于x的方程x2+3x+k2+1=0①与4x2+6x+3−k=0②，若方程①的一个根是方程②的一个根的2倍，则k=________．
15．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为一元二次方程x−2x−5=0的一个根，则菱形ABCD的另一条对角线长______．
16．阅读理解：对于x3−n2+1x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3−n2+1x+n=x3−n2x−x+n=xx2−n2−x−n
=xx−nx+n−x−n=x−nx2+nx−1．
理解运用：如果x3−n2+1x+n=0，那么x−nx2+nx−1=0，即有x−n=0或x2+nx−1=0，
因此，方程x−n=0和x2+nx−1=0的所有解就是方程x3−n2+1x+n=0的解．
解决问题：求方程x3+3x2−4x−12=0的解为______．
三、解答题
17．解下列一元二次方程．
(1)x2−4x−12=0
(2)x(4x−1)=3(4x−1)
18．解方程：
(1)−x2+9x=18
(2)3x−22−x2+4=0
19．已知关于x的一元二次方程mx2−(3m+2)x+6=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)如果方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
20．已知关于x的一元二次方程x2−2k+1x+k2+k=0．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，
①若k=3时，请判断△ABC的形状并说明理由；
②若△ABC是等腰三角形，求k的值．

21．阅读下面的材料：
解方程x4−5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点．
它的解法通常采用换元法降次：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2−5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y1=1时，x2=1，所以x=±1；当y2=4时，x2=4，所以x=±2；所以原方程有四个根：x1=1，x2=−1，x3=2，x4=−2．
仿照上述换元法解下列方程．
(1)x4+5x2−6=0；
(2)x+1x−6xx+1+1=0．



























参考答案
1．解：x2=x，
∴x2−x=0，
即xx−1=0，
∴x1=0，x2=1，
故选：C．
2．解：移项，得2x+32−42x+3=0，
则2x+32x−1=0，
∴2x+3=0或2x−1=0，
∴x1=−32，x2=12．
故选：A．
3．解：∵x2−8x+15=0，
∴(x−3)(x−5)=0，
则x−3=0或x−5=0，
解得x1=3，x2=5，
∴菱形的面积等于12×3×5=152，
故选： B．
4．解：解方程x2−6x+8=0得：x=4或2，
①当等腰三角形的三边为2，2，4时，2+2=4，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形，舍去；
②当等腰三角形的三边为2，4，4时，此时能组成三角形，三角形的周长是2+4+4=10，
故选：B．
5．解：∵关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x=2,x=−3，
∴方程x2+px+q=0化为x−2x+3=0．
故选：D．
6．解：∵x△(x−1)=2x−1，
∴x(x+x−1)=2x−1，
移项得，
x(2x−1)−(2x−1)=0，
提公因式得，
(2x−1)(x−1)=0，
2x−1=0 或x−1=0 ，
所以x1=12，x2=1，
故选：A．
7．解:解方程x2−14x+48=0得x1=6，x2=8
当6和8分别为直角三角形的直角边时，面积为12×6×8=24；
当8为斜边，6为直角边时根据勾股定理得另一直角边为82−62=27，面积为12×27×6=67；
则该直角三角形的面积是24或67，
故选：D．
8．解：设t=x−2022，则a(x+m−2022)2+n=0(a≠0)变为：
a(t+m)2+n=0(a≠0)，
∵一元二次方程a(x+m)2+n=0(a≠0)的两根分别为x1=−2,x2=1，
∴一元二次方程a(t+m)2+n=0(a≠0)的两根分别为t1=−2,t2=1，
∴x−2022=−2或者x−2022=1，
解得x1=2020,x2=2023．
故选：B
9．解:x2+2x+1=0
x+12=0
即：x+1=0，
解为：x1=x2=−1，
故答案为：x1=x2=−1．
10．解：x−52−2x−5=0
x−5x−5−2=0，
x−5x−7=0，
∴x1=5，x2=7，
故答案为：x1=5，x2=7．
11．解：把x=0代入方程a+2x2−2x+a2−4=0得：a2−4=0，
a+2a−2=0，
可得a+2=0或a−2=0，
解得：a=−2或a=2，
当a=−2时，a+2=0，此时方程不是一元二次方程，a=−2舍去；
则a的值为2．
故答案为：2．
12．解：解方程x2−10x+21=0得x1=3，x2=7，
∵10，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：①k=3时，方程为x2−7x+12=0，
解得x1=3,x2=4，
∴AB=3,AC=4，
∵BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形；
②∵Δ=1>0，
∴AB≠AC，
∴AB,AC中有一个数为5．
当x=5时，原方程为：25−52k+1+k2+k=0，
即k2−9k+20=0，
解得：k1=4,k2=5．
当k=4时，原方程为x2−9x+20=0．
∴x1=4,x2=5．
由三角形的三边关系，得4、5、5能围成等腰三角形，
∴k=4符合题意；
当k=5时，原方程为x2−11x+30=0，
解得：x1=5,x2=6．
由三角形的三边关系，得5、5、6能围成等腰三角形，
∴k=5符合题意．
综上所述：k的值为4或5．
21．解:（1）令x2=y
∴y2+5y−6=0
∴(y+6)(y−1)=0
∴y1=−6，y2=1
∴x2=−6（舍去），x2=1  
∴x=±1；
（2）令x+1x=y  
∴y−6y+1=0
∴y2+y−6=0   
∴(y+3)(y−2)=0
∴y1=−3，y2=2
∴x+1x=−3，x+1x=2       
∴x1=−14，x2=1
经检验，x1=−14，x2=1为原方程的解.