八年级下学期期末数学试题（解析版）

这是一份八年级下学期期末数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了考试结束后，考生上交答题卡．， 下列命题是真命题的是等内容，欢迎下载使用。
第二学期学业水平测试卷
八年级 数学
注意事项：
1.本试卷共6页，22小题，满分100分；
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，正确粘贴条形码；
3.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑；
4.非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液；不按以上要求作答无效；
5.考试结束后，考生上交答题卡．
一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶．下列四幅标识图，其中文字上面图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2. 下列因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据因式分解的定义进行逐一判断即可：把一个多项式分解成几个整式的乘积形式，这种方法叫做因式分解．
【详解】解：A、这是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
B、，因式分解正确，符合题意；
C、，等式左边不是多项式，不是因式分解，不符合题意；
D、，等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，用平方差公式分解因式，熟知分解因式的定义是解题的关键．
3. 将分式中的，的值同时扩大2倍，则分式的值（ ）
A. 扩大2倍 B. 缩小到原来的 C. 保持不变 D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】应用分式的基本性质进行计算，即可得出答案．
【详解】解：根据题意，x、y的值同时扩大2倍，则

所以分式的值不变．
故选：C．
【点睛】本题重要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质进行求解是解决本题的关键．
4. 交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到下图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据标志牌的含义列不等式即可求解．
【详解】解：由题意得：，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查不等式的定义，理解标志牌的意义是求解本题的关键．
5. 三条公路将三个A，，村庄连成一个三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）
A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点
【答案】C
【解析】
【分析】根据角平分线的性质： “角平分线上的点到角两边的距离相等”可知，应建在三条平分线的交点．
【详解】解：∵集贸市场到三条公路的距离相等，
∴集贸市场应建在三条平分线的交点．
故选：C
【点睛】本题考查角平分线的性质的应用，理解角平分线上的点到角两边距离相等是解题的关键．
6. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的位置关系如图所示，则关于的不等式的解集为（）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解∶直线与直线的交点的横坐标为2，
当时，，
关于的不等式的解集为．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握图象法解不等式，是解题的关键．
7. 在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．

对这两种画法的描述中正确的是（ ）
A. 小赵同学作图判定的依据是
B. 小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
C. 小刘同学作图判定的依据是
D. 小刘同学第一步作图时，用圆规截取长度是线段的长
【答案】A
【解析】
【分析】根据演示确定作图的具体步骤，结合全等的判定方法判断．
【详解】由图示知，小赵第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为；小刘第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为．
故选：A．
【点睛】本题考查尺规作图，三角全等的判定，掌握一般三角全等、直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
8. 如图，设计一张折叠型方桌子，若，，将桌子放平后，要使距离地面的高为，则两条桌腿需要叉开的为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作于，根据题意，得在中，，，由此可以推出，接着可以求出，再根据三角形的内角和即可求出的度数．
【详解】解：作于．

，，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】此题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．作出辅助线得到是解题的关键．
9. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 等腰三角形的角平分线、中线和高重合
C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角等于
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和正多边形的性质依次判断．
【详解】解：A、若，则，错误，故不是真命题；
B、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高重合，错误，故不是真命题；
C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，错误，故不是真命题；
D、一个正多边形的内角和为，则这个正多边形是六边形，它的一个外角等于，正确，是真命题；
故选：D．
【点睛】此题考查了真命题：正确的命题是真命题，熟练掌握不等式的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和正多边形的性质是解题的关键．
10. 如图，在四边形纸片中，，，，，点是线段的中点，点在线段上，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（ ）

A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由折叠可知，所以当A，，E三点共线时，的长度最小，作交CD的延长线于点G，根据勾股定理分别求出的长度，即可求长度的最小值．
【详解】解：连接AE，过点A作交CD的延长线于点G，

，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
为CD的中点，，
，
，
；
由折叠可知，，
∴，
当A，，E共线时，的长度最小，
此时，，
故选：C
【点睛】本题考查折叠问题，勾股定理，平行四边形的性质，关键是构造直角三角形求AE的长度．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 分解因式：___．
【答案】
【解析】
【分析】直接提取公因式即可
【详解】解：．
故答案为: .
12. 要使分式有意义，x的取值应满足_________．
【答案】x≠2
【解析】
【详解】解：根据分式有意义的条件，分母不为0，可知x-2≠0，
解得x≠2.
故答案为x≠2.
13. 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，称为平面图形的镶嵌．某工人师傅在铺地板时把四块完全相同的图案（图1）拼成一个如图所示的大图案（图2），经过测量，，，，两点间的距离为，阴影部分的面积为__________．

【答案】1200
【解析】
【分析】连接，这四个平面图形都可以拼成平行四边形，根据勾股定理的逆定理证出，根据阴影部分的面积,即可得出答案．
【详解】解：连接，如图，

由镶嵌和割补法可得，这四个平面图形都可以拼成平行四边形，
∴这四个平面图形的面积等于平行四边形的面积，
，
，
，
，
阴影部分的面积
故答案为：1200．
【点睛】本题考查了平面镶嵌（密铺），两点间的距离，勾股定理的逆定理，平行四边形的性质，三角形的面积，掌握这四个平面图形转化成平行四边形是解题的关键．
14. 如图，在一块长方形草坪中间，有一条处处宽的“曲径”，则“曲径”的面积为 _________ ．

【答案】
【解析】
【分析】根据平移的性质可得，这块草地的绿地部分可看作是长为，宽为的矩形，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意可得：这块草地的绿地面积为，
则“曲径”的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
15. 如图，在中，，，点是外一点，若，．，则线段的长为__________．

【答案】
【解析】
【分析】在外作等边，过点E作交延长线于F，连接，根据等边三角形的性质，得，，从而求得，得等腰直角，利用勾股定理求出，，再证是等边三角形，得，然后证明，得，即可求解．
【详解】解：如图，在外作等边，过点E作交延长线于F，连接，

∵等边，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又由勾股定理得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∵，，
∴是等边三角形，
∴
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质．通过作辅助线构造全等三角形与直角三角形是解题的关键．
三、解答题（共7小题，共55分，其中16题8分，17题6分，18题6分，19题8分，20题8分，21题9分，22题10分）
16. （1）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）解方程：．
【答案】（1），见解析；（2）原方程无解
【解析】
【分析】对于（1），先分别求出两个不等式的解集，即可得出不等式组的解集；
对于（2），根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验，可得答案．
【详解】（1）解不等式①，得；
解不等式②，得．
在同一条数轴上表示不等式①②的解集如下：

原不等式组的解集为：；
（2）方程两边都乘以得，，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
系数化为1，得．
经检验：是原方程的增根，原方程无解．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解分式方程，掌握解不等式组和解分式方程的步骤是解题的关键．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】直接利用分式加减运算法则化简，进而得出答案．
【详解】
，

，
∵，
∴原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，正确进行分式的加减运算是解题关键．
18. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．

（1）将向右平移6个单位长度得到，请画出；
（2）画出关于点的中心对称图形；
（3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）．
【解析】
【分析】（1）分别确定A，B，C平移后的对应点，，，再顺次连接，，即可；
（2）分别确定，，旋转后的对应点，，，再顺次连接，，即可；
（3）利用旋转的性质，分别连接两组对应点的连线，从而可得答案．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
如图，即为所求；
【小问3详解】
根据图形可知：
旋转中心的坐标为：．
【点睛】本题考查的是画平移图形，画关于原点对称的图形，坐标与图形，掌握旋转的性质进行画图是解本题的关键．
19. 如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．

【答案】（1）见解析；（2）平行四边形DEFB的周长＝
【解析】
【分析】（1）证DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，BC＝2DE，再证DE＝BF，即可得出四边形DEFB是平行四边形；
（2）由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，得BD＝EF，再由勾股定理求出BD＝10（cm），即可求解．
【详解】（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，BC＝2DE，
∵CF＝3BF，
∴BC＝2BF，
∴DE＝BF，
∴四边形DEFB是平行四边形；
（2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，
∴BD＝EF，
∵D是AC的中点，AC＝12cm，
∴CD＝AC＝6（cm），
∵∠ACB＝90°，
∴BD＝＝10（cm），
∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形DEFB为平行四边形是解题的关键．
20. “日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人．”深圳南山的荔枝以肉厚多汁深受大众的喜爱．某超市用2000元购进一批桂味荔枝和用3000元购进糯米糍荔枝的千克数相同，已知每千克糯米糍荔枝价格比每千克桂味荔枝的价格多10元．
（1）求桂味荔枝、糯米糍荔枝每千克的进货价格；
（2）这两种荔枝销售很好，超市决定再进这两种荔枝共300千克，且糯米糍荔枝的数量不超过桂味荔枝数量的2倍，桂味荔枝以25元/千克销售，糯米糍荔枝以38元/千克销售，请问桂味、糯米糍荔枝各进货多少千克时获得利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）桂味荔枝进货单价为20元/千克，糯米糍荔枝进货单价为30元/千克
（2）桂味荔枝进100千克，糯米糍荔枝进200千克时，商场获利最大为2100元
【解析】
【分析】（1）设桂味荔枝的单价为元/千克，则糯米糍荔枝的单价为元/千克，根据题意列出分式方程求解即可；
（2）设桂味荔枝千克，则糯米糍荔枝千克，利润为元，根据题意列出一元一次不等式，表示出利润y，然后利用一次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设桂味荔枝的单价为元/千克，则糯米糍荔枝的单价为元/千克，
由题意得，，
解得：．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
．
答：桂味荔枝进货单价20元/千克，糯米糍荔枝进货单价为30元/千克．
【小问2详解】
设桂味荔枝千克，则糯米糍荔枝千克，利润为元．
由题意得：，


．
，随的增大而减小，
当时，（元）
千克
答：桂味荔枝进100千克，糯米糍荔枝进200千克时，商场获利最大为2100元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确建立方程，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
21. 【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则．
例：已知，，其中，求证：
证明：

，故
【新知理解】
（1）比较大小：__________．（填“”，“＝”，“”）
【问题解决】
（2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示（为正整数），其面积分别为，．请比较，的大小关系．

【拓展应用】
（3）请用“作差法”解决下列问题：
某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有A，B两种方案可供选择，A方案：每次按原价打9折收费；B方案：前5次按照原价收费，从第6次起每次打8折．请问游泳的学生选择哪种方案更合算？
【答案】（1）＜；（2）；（3）少于10次时选A方案，刚好10次时选AB方案都一样，多于10次时选B方案
【解析】
【分析】（1）根据题中的方法作差解答；
（2）先分别表示出两个平行四边形的面积，再利用作差法计算判断；
（3）设原价为元，去的次数为（为正整数），总价分别为，元，分
（ⅰ）当时，（ⅱ）当时，分别计算判断．
【详解】（1）∵，
∴，
故答案为：；
（2），
，
．
是正整数，，
，即．
（3）设原价为元，去的次数为（为正整数），总价分别为，元．
由题意得：（ⅰ）当时，，是正整数，
，，
此时A方案合算．
（ⅱ）当时，，，
．
，是正整数，
①当时，，此时方案A合算．
②当时，，此时方案A，B是一样的．
③当时，，此时方案B合算．
综上所述：少于10次时选A方案，刚好10次时选AB方案都一样，多于10次时选B方案．
【点睛】此题考查了作差法比较两个数的大小，一次函数的性质及应用，正确理解题意是解题的关键．
22. 【探究发现】
（1）如图1，在中，．，垂足为，点在上，连接，．则有下列命题：①；②，请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程．
【类比迁移】
（2）如图2，在中，，，点在三角形的内部，过点作，且，连接．求证：．
【拓展提升】
（3）如图3．在中，，，把线段绕点顺时针方向旋转到，把线段绕点逆时针旋转到，分别连接，，，请直接写出面积的最大值．

【答案】（1）选择①或②，见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）选择①，先利用等腰三角形“三线合一”性质得到，即可由证明；选择②，先利用等腰三角形“三线合一”性质得到，即可由证明．
（2）过点作于，先证明，，三点共线，都在的垂直平分线上，从而得出，，继而得出，则，即可得出结论．
（3）延长交于E，由旋转得：，，，从而可得出，，由勾股定理，得，所以，所以当时，此时，再过点A作于D，作线段，交于O，使，从而求出， ，，由勾股定理，得，即可求解．
【详解】（1）选择①
证明：，，
，
又，

选择②
证明：，，
，
又，
．

（2）过点作于，

，，
，，三点共线，都在的垂直平分线上，，
，
，
，
，即，
，
，
，
．
（3）延长交于E，如图，

由旋转得：，，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
由勾股定理，得，
∴，
∵在中，，，
∴当时，此时，
过点A作于D，
∴，，
作线段，交于O，使，
∴，
∴，，
∴，
∴，
由勾股定理，得，
∴，
由勾股定理，得，
∴．