2023年广东省汕头市中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年广东省汕头市中考数学二模试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年广东省汕头市中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个数中，比−1小的数是(    )
A. −2 B. −12 C. 0 D. 1
2. 以下调查中适合作抽样调查的有(    )
①了解全班同学期末考试的成绩情况；
②了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况；
③了解“神七”飞船各部件的安全情况；
④了解《长江作业本》在全省七年级学生中受欢迎的程度．
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
3. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是(    )
A.
B.
C.
D.


4. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是(    )
A. 14 B. 13 C. 12 D. 23
5. 若两个相似三角形的周长之比是1：2，则它们的面积之比是(    )
A. 1：2 B. 1： 2 C. 2：1 D. 1：4
6. 在平面直角坐标系中，将点A(1,−2)向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是(    )
A. (−1,1) B. (−1,−2) C. (−1,2) D. (1,2)
7. 如图，AC与BD交于点O，AB//CD，∠A=45°，∠AOD=75°，则∠D的度数为(    )
A. 30°
B. 40°
C. 60°
D. 75°
8. 若点P(a+2,1−a)在第二象限，则a的取值范围是(    )
A. −2−2 D. a<−2
9. 如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是(    )
A. x=3y=−1
B. x=−3y=−1
C. x=−3y=1
D. x=3y=1
10. 如图，已知⊙O的半径为3，弦CD=4，A为⊙O上一动点(点A与点C、D不重合)，连接AO并延长交CD于点E，交⊙O于点B，P为CD上一点，当∠APB=120°时，则AP⋅BP的最大值为(    )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 12
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 单项式−3πx2y4的系数为          ，次数是          ．
12. 已知x=2y+3，则代数式4x−8y+9的值是______．
13. 八年级(2)班5名女生的体重(单位：kg)分别为：35、38、38、42、40，这组数据的中位数是______ ．
14. 如图，在矩形ABCD中，BC=4，∠BDC的平分线交BC于点P，作点P关于BD的对称点P′，若点P′落在矩形ABCD的边上，则AB的长为______．


15. 如图，在扇形AOB中，∠AOB=120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥AO，若OA=6，则图中阴影部分的周长为______ (结果保留π)．


三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
计算：(1−π)0−2cos45°+|1− 2|−(14)−1．
17. (本小题8.0分)
解方程：x2−6x−7=0．
18. (本小题8.0分)
如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°(A、B、D三点在同一直线上).请你根据他们的测量数据计算这棵树的高度．

19. (本小题8.0分)
某住宅小区计划购买并种植甲、乙两种树苗共300株.已知甲种树苗每株60元，乙种树苗每株90元．
(1)若购买树苗共用21000元，问甲、乙两种树苗应各买多少株？
(2)据统计，甲、乙两种树苗每株树苗对空气的净化指数分别为0.2和0.6，若要保证该小区的空气净化指数之和不低于90，则甲树苗最多可以买多少株？
20. (本小题8.0分)
如图，点A、B、C都在圆O上．
(1)过点C作圆O的切线l；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，若l//AB，AB=8，CD=2，求圆O的半径．

21. (本小题8.0分)
如图，四边形ABCD是正方形，将四边形BCFE沿EF翻折，点B、C的对应点分别为M、N，点M恰好是AD的中点．
(1)若AD=8，求AE的长度；
(2)若MN与CD的交点为G，连接EG，试说明AE+DG=EG．

22. (本小题8.0分)
如图，平行四边形OABC的边OC在x轴正半轴上，点C的坐标为(4,0)，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A(1,4)，D是BC边的中点．
(1)求反比例函数的解析式及点D的坐标．
(2)尺规作图：过点D作AB的平行线，交平行四边形OABC的OA边于点M，交反比例函数y=kx(x>0)的图象于点P.(保留作图痕迹，不写作法)
(3)在(2)的条件下，连接OP，AP，求△AOP的面积．

23. (本小题8.0分)
如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，
①是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．
②设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，直接写出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：根据有理数比较大小的方法，可得
−2<−1，−12>−1，0>−1，1>−1，
所以四个数中，比−1小的数是−2．
故选：A．
有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．

2.【答案】C 
【解析】解：①了解全班同学期末考试的成绩情况全面调查；
②了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况抽样调查；
③了解“神七”飞船各部件的安全情况全面调查；
④了解《长江作业本》在全省七年级学生中受欢迎的程度抽样调查，
故选：C．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．

3.【答案】A 
【解析】解：从正面看，共有两列，从左到右小正方形的个数分别为3、1．
故选：A．
根据主视图是从物体的正面看得到的视图解答即可．
本题考查的是几何体简单组合体的三视图，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图是解题的关键．

4.【答案】C 
【解析】解：画树形图得：

由树形图可知共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果，
∴一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的的概率为24=12，
故选：C．
画树状图，共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果，再由概率公式求解即可．
本题考查了求随机事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．

5.【答案】D 
【解析】解：∵两个相似三角形的周长之比是1：2，
∴两个相似三角形的相似比是1：2，
∴它们的面积之比是：1：4，
故选：D．
根据相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．

6.【答案】A 
【解析】[分析]
根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可．
本题考查了坐标的平移，掌握坐标平移变化规律是本题的解题关键．
[解答]
解：∵将点A(1,−2)向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，
∴点A′的横坐标为1−2=−1，纵坐标为−2+3=1，
∴A′的坐标为(−1,1)．
故选A．

7.【答案】C 
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠C=∠A=45°，
∵∠AOB=75°，
∴∠COD=75°，
在△COD中，
∵∠C+∠COD+∠D=180°，
∴∠D=180°−45°−75°=60°．
故选：C．
首先根据两直线平行，内错角相等得出∠C=∠A=45°，由对顶角的性质定理可得∠COD=∠AOB=75°，然后由△COD的内角和为180°，求出∠D的大小．
本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握基本知识．

8.【答案】D 
【解析】解：由P(1−a,a+2)在第四象限，得a+2<01−a>0，
解得a<−2．
故选：D．
根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案．
本题考查了点的坐标，利用第四项限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零得出不等式组是解题关键．

9.【答案】C 
【解析】解：根据函数图可知，
函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P的坐标是(−3,1)，
故y=ax+by=kx的解是x=−3y=1，
故选：C．
根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解．
本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．

10.【答案】C 
【解析】解：延长AP交⊙O于T，连接BT.设PC=x．

∵AB是直径，
∴∠ATB=90°，
∵∠APB=120°，
∴∠BPT=60°，
∴PT=PB⋅cos60°=12PB，
∵PA⋅PB=2PA⋅PT=2PC⋅PD=2x⋅(4−x)=−2(x−2)2+8，
∵−2<0，
∴x=2时，PA⋅PB的最大值为8，
故选：C．
延长AP交⊙O于T，连接BT.设PC=x.构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
本题考查圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

11.【答案】−3π4  
3
 
【解析】解：单项式−3πx2y4的系数为−3π4，次数是3，
故答案为：−3π4，3．
根据单项式系数和次数的概念求解即可．
本题考查了单项式的知识，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．

12.【答案】21 
【解析】解：因为x=2y+3，
所以x−2y=3，
则代数式4x−8y+9=4(x−2y)+9 =4×3+9 =21，
故答案为：21．
直接将已知代数式变形进而代入原式求出答案．
此题主要考查了代数式求值，正确将原式变形是解题关键．

13.【答案】38 
【解析】解：排列得：35、38、38、40、42，
则中位数为38，
故答案为：38．
将5个数据按照从小到大顺序排列，找出中位数即可．
此题考查了中位数，熟练掌握中位数的求法是解本题的关键．

14.【答案】4 33 
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠A=90°，AD=BC=4，
∵PD平分∠BDC，
∴∠CDP=∠BDP，
∵作点P关于BD的对称点P′，若点P′落在矩形ABCD的边上，
∴∠ADB=∠BDP，
∴∠ADB=∠BDP=∠CDP=13×90°=30°，
∴BD=2AB，
∵BD2−AB2=AD2，
∴(2AB)2−AB2=42，
∴AB=4 33，
故答案为：4 33．
根据矩形的性质得到∠ADC=∠A=90°，AD=BC=4，根据角平分线的定义得到∠CDP=∠BDP，根据轴对称的性质得到∠ADB=∠BDP，求得∠ADB=∠BDP=∠CDP=13×90°=30°，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，角平分线的定义，求得∠ADB=30°是解题的关键．

15.【答案】6+π 
【解析】解：∵∠AOB=120°，OA=OB，
∴∠A=∠B=30°，
∵OC⊥AO，
∴∠AOC=90°，
∴∠BOC=30°，
∴∠B=∠BOD，
∴OD=BD，
∵OA=OB=6，
∴BD+CD=OD+CD=OA=6，
∵弧BC的长为30π×6180=π，
∴图中阴影部分的周长为：6+π．
故答案为：6+π．
根据等腰三角形的性质得OD=BD，所以BD+CD=OD+CD=OA=6，再计算出弧BC的长，即可求出答案．
本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．

16.【答案】解：(1−π)0−2cos45°+|1− 2|−(14)−1
=1−2× 22+ 2−1−4
=1− 2+ 2−1−4
=−4． 
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．

17.【答案】解：原方程可化为：(x−7)(x+1)=0，
x−7=0或x+1=0；
解得：x1=7，x2=−1． 
【解析】观察原方程，可运用二次三项式的因式分解法进行求解．
本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．

18.【答案】解：∵∠CBD=60°，∠CBD=∠A+∠ACB，
∴∠ACB=∠CBD−∠A=60°−30°=30°，
∵∠A=30°，
∴∠A=∠ACB，
∵AB=10，
∴BC=AB=10，
在R△BCD中，CD=BC⋅sin∠CBD=10× 32=5 3．
答：这棵树的高度为5 3米． 
【解析】首先利用三角形的外角的性质求得∠ACB的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC中，利用三角函数即可求解．
此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是三角形的外角、特殊角的三角函数值、等腰三角形的性质，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．

19.【答案】解：(1)设甲种树苗买x株，则乙种树苗买(300−x)株，
60x+90(300−x)=21000，
x=200，
300−200=100，
答：甲种树苗买200株，则乙种树苗买100株．
(2)设买x株甲种树苗，(300−x)株乙种树苗时该小区的空气净华指数之和不低于90，
0.2x+0.6(300−x)≥90，
0.2x+180−0.6x≥90，
−0.4x≥−90，
x≤225，
即应买225株甲种树苗． 
【解析】(1)设甲种树苗买x株，则乙种树苗买(300−x)株，根据“甲树苗的费用+乙树苗的费用=21000”作为相等关系列方程即可求解；
(2)设买x株甲种树苗，(300−x)株乙种树苗时该小区的空气净化指数之和不低于90，先根据“空气净化指数之和不低于90”列不等式求得x的取值范围．
本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．

20.【答案】解：(1)如图，直线l即为所求；

(2)∵l与圆O相切，
∴l⊥OC，
∵l//AB，
∴AB⊥OC，
∴DB=12
在Rt△ODB中，设OD=x，则OB=x−2，根据勾股定理可得：OD2+BD2=OB2，
∴(x−2)2+42=x2，
∴x=5．
∴圆O的半径为5． 
【解析】(1)过点C作l⊥OC即可；
(2)由l与圆O相切以及l//AB可得△ODB为直角三角形，设OD=x，则OB=x−2，根据勾股定理即可求得结果．
本题主要考查尺规作图以及与圆有关的性质，掌握过直线外一点作已知直线的垂线是解题的关键，同时也考查了垂径定理以及勾股定理．

21.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵M是AD的中点，
∴AM=DM=12AD，
∵AD=8，
∴AB=8，AM=12×8=4，
由翻折得ME=BE，
∵AE2+AM2=ME2，且ME=BE=8−AE，
∴AE2+42=(8−AE)2，
解得AE=3，
∴AE的长度是3．
(2)延长BA、GM交于点H，则∠MAH=∠D=90°，
在△AMH和△DMG中，
∠MAH=∠DAM=DM∠AMH=∠DMG，
∴△AMH≌△DMG(ASA)，
∴AH=DG，∠H=∠DGM，
∵∠EMG=∠B=90°，
∴∠AME=∠DGM=90°−∠AMG，
∴AMEM=cos∠AME=cos∠DGM=DGMG，
∴AMDG=EMMG，
∴tan∠MGE=EMMG=AMDG=DMDG=tan∠DGM，
∴∠MGE=∠DGM，
∴∠H=∠MGE，
∴EH=EG，
∵AE+DG=AE+AH=EH，
∴AE+DG=EG． 
【解析】(1)由正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，因为AD=8，所以AB=8，AM=AD=4，由翻折得ME=BE，根据勾股定理得AE2+42=(8−AE)2，求得AE=3，则AE的长度是3；
(2)延长BA、GM交于点H，可证明△AMH≌△DMG，得AH=DG，∠H=∠DGM，而∠AME=∠DGM=90°−∠AMG，则AMEM=cos∠AME=cos∠DGM=DGMG，所以tan∠MGE=EMMG=AMDG=DMDG=tan∠DGM，则∠MGE=∠DGM，所以∠H=∠MGE，得EH=EG，即可证明AE+DG=EG．
此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．

22.【答案】解：(1)把点A(1,4)代入y=kx(x>0)得k=4．
∴反比例函数的解析式为y=4x(x>0)．
∵平行四边形OABC的边OC在x轴正半轴上，点C的坐标为(4,0)，
∴OC=AB=4，AB//x轴．
又∵A(1,4)，
∴B(5,4)．
∵D是BC边的中点，
∴D(92,2)．
(2)作线段OA的垂直平分线交OA于点M，作直线DM，直线DM即为所求，且交反比例函数图象于点P，如图所示：

∵平行四边形OABC的边OC在x轴正半轴上，M，D为OA，BC的中点，
∴AM=12OA=12BC=BD，OA//BC，
∴四边形AMDB为平行四边形，
∴DM//AB．
(3)∵点A(1,4)，点M为OA的中点，
∴点M(12,2)，
∴P点的纵坐标为2，
把y=2代入y=4x(x>0)，得x=2．
∴点P(2,2)．
∴MP=32．
∴S△AOP=12MP⋅(yA−yO)=12×32×(4−0)=3． 
【解析】(1)待定系数法求出反比例函数解析式，平行四边形的性质求出点B的坐标，中点坐标公式，求出点D的坐标；
(2)作线段OA的垂直平分线交OA于点M，作直线DM，直线DM即为所求，且交反比例函数图象于点P．
(3)先求出M，P的坐标，利用S△AOP=12MP⋅(yA−yO)进行求解即可．
本题考查反比例函数的图象与性质，用待定系数法确定反比例函数的解析式，平行四边形的性质，尺规作图，三角形的面积公式．熟练掌握相关知识点并灵活运用，是解题的关键．

23.【答案】解：(1)在Rt△AOB中，OA=1，tan∠BAO=OBOA=3，
∴OB=3OA=3，
∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，
∴△DOC≌△AOB(SSS)，
∴OC=OB=3，OD=OA=1．
∴A，B，C的坐标分别为(1,0)，(0,3)，(−3,0)，代入解析式得：
a+b+c=09a−3b+c=0c=3，
解得：a=−1b=−2c=3，
∴抛物线的解析式为y=−x2−2x+3；

(2)①存在点P使△PCD的面积最大，△PCD的面积有最大值为12124.理由如下：
设直线CD解析式为y=kx+m，
把C、D两点坐标代入可得：−3k+m=0m=1，
解得：k=13m=1，
∴直线CD解析式为y=13x+1，
如图2，过P作PN⊥x轴，交x轴于点N，交直线CD于点M，

∵P点横坐标为t，
∴PN=−t2−2t+3，MN=13t+1，
∵P点在第二象限，
∴P点在M点上方，
∴PM=PN−MN=−t2−2t+3−(13t+1)=−t2−73t+2=−(t+76)2+12136，
∴当t=−76时，PM有最大值，最大值为12136，
∵S△PCD=S△PCM+S△PDM=12PM⋅CN+12PM⋅NO=12PM⋅OC=32PM，
∴当PM有最大值时，△PCD的面积有最大值，
∴(S△PCD)max=32×12136=12124，
综上可知，存在点P使△PCD的面积最大，△PCD的面积有最大值为12124；

②当∠CFE=90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于M点，△EFC∽△EMP，

∴EMMP=EFCF=ODCO=13，
∴MP=3ME，
∵点P的横坐标为t，
∴P(t,−t2−2t+3)，
∵P在第二象限，
∴PM=−t2−2t+3，ME=−1−t，
∴−t2−2t+3=3(−1−t)，
解得t1=−2，t2=3，(与P在二象限，横坐标小于0矛盾，舍去)，
当t=−2时，y=−(−2)2−2×(−2)+3=3，
∴P(−2,3)，
∴当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为(−1,4)或(−2,3)． 
【解析】(1)根据正切函数，可得OB，根据旋转的性质，可得△DOC≌△AOB，根据待定系数法，可得函数解析式；
(2)①可求得直线CD的解析式，过P作PN⊥x轴于点N，交CD于点M，可用t表示出PM的长，当PM取最大值时，则△PCD的面积最大，可求得其最大值；
②根据相似三角形的性质，可得PM与ME的关系，根据解方程，可得t的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是利用旋转的性质得出OC，OD的长，又利用了待定系数法；解(2)的关键是利用相似三角形的性质得出MP=3ME．