2023年广东省汕头市龙湖区中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省汕头市龙湖区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  党的十八大以来，以习近平同志为核心的党中央重视技能人才的培育与发展．据报道，截至年底，我国高技能人才超过人，将数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图所示，几何体由个大小相同的立方体组成，其俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列运算中，计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A. 笛卡尔爱心曲线 B. 蝴蝶曲线
C. 费马螺线曲线 D. 科赫曲线

6.  为庆祝中国共产主义青年团建团周年，某校团委组织以“扬爱国精神，展青春风采”为主题的合唱活动，下表是九年级一班的得分情况：

数据，，，，的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知实数、在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知二次函数的图象的一部分如图所示，其中对称轴为：，下列结论：；；；；上述结论中正确结论的个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  已知式子有意义，则的取值范围是______ ．

12.  光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变，这就是折射现象如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处射线是光线的延长线，，，则的度数为        ．

13.  如图所示，第四套人民币中菊花角硬币，则该硬币边缘镌刻的正九边形的一个外角的度数为        ．

14.  已知，则代数式的值是______．

15.  如图，在扇形中，，，点在上，连接，将沿着对折，点恰好与上的点重合，连接，则图中阴影部分的面积是______

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
已知．
化简；
若、是方程的两个根，求的值．

18.  本小题分
教育部在大中小学劳动教育指导纲要试行中明确要求：初中生每周课外生活和家庭生活中，劳动时间不少于小时．某走读制初级中学为了解学生劳动时间的情况，对学生进行了随机抽样调查，并将调查结果制成不完整的统计图表，如图：

平均每周劳动时间的频数统计表

请根据图表信息，回答下列问题．
参加此次调查的总人数是______人，频数统计表中______；
在扇形统计图中，组所在扇形的圆心角度数是______；
该校准备开展以“劳动美”为主题的教育活动，要从报名的男女中随机挑选人在活动中分享劳动心得，请用树状图或列表法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．

19.  本小题分
为庆祝建党周年，某银行发行了、两种纪念币，已知枚型纪念币和枚型纪念币面值共需元，枚型纪念币和枚型纪念币共需元．
求每枚、两种型号的纪念币面值各多少元？
若小明准备用至少元的金额购买两种纪念币共枚，求型纪念币最多能采购多少枚？
在的条件下，若小明至少要购买型纪念币枚，则共有几种购买方案，请罗列出来哪种方案最划算？

20.  本小题分
如图，已知平分．
用尺规作图法，作线段的垂直平分线，垂足为，交于点，交于点；不用写作法，保留作图痕迹
连接，，求证：四边形是菱形．

21.  本小题分
如图在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和．
______ ， ______ ， ______ ；
直接写出不等式的解集；
点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标．

22.  本小题分
如图，点为正方形的边上一动点，直线与相交于点，与的延长线相交于点，以为直径作．
求证：≌；
求证：是的切线；
若正方形的边长为，，求的值．

23.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，顶点为点为对称轴右侧抛物线上的一个动点，其横坐标为，直线交轴于点，过点作交轴于点，轴，交直线于点，交直线于点．

直接写出点，，的坐标；
当时，求的值；
试探究点在运动过程中，是否存在，使四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是，
故选：．
利用绝对值的定义求解即可．
本题主要考查了绝对值，解题的关键是熟记绝对值的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了从不同方向看物体，从上边看得到的图形是俯视图．
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】
解：从上边看，底层是一个小正方形，上层是四个小正方形，．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：，故本选项不合题意；
B.，故本选项不合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，故本选项符合题意．
故选：．
分别根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则逐一判断即可．
本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称的图形，故本选项不符合题意；
D.既是轴对称图形，又是中心对称的图形，故本选项符合题意．
故选：．
如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形；
把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：将数据从小到大排序：，，，，，
中位数为，
故选：．
根据中位数的定义即可得出答案．
本题考查了中位数，掌握将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由图可知，，，且，
A、，故本选项错误，不合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、，故本选项错误，不合题意．
故选：．
根据数轴判断出、的正负情况以及绝对值的大小，再根据有理数的运算法则对各选项进行判断即可．
本题考查了数轴，熟练掌握数轴的特点并判断出、的正负情况以及绝对值的大小是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：线段两个端点的坐标分别为，，
以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，
端点的坐标为：．
故选：．
直接利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以得出即可．
此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，是一元二次方程的两个实数根，
又，，，
，
，
故A不符合题意；
，
故B不符合题意；
，
故C不符合题意，
，
故D符合题意，
故选：．
根据一元二次方程根与系数的关系，根的判别式分别判断即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线的开口向下，
，
对称轴为：，
，
抛物线与轴交于轴的正半轴，
，
，
故不正确；
，当时，，
当时，，
，
，
，
故正确；
，
，
故正确，
当时，，，
函数的最大值为：，
，
，
故正确，
正确，
故选：．
由抛物线的开口方向可判定的符号；结合抛物线的对称轴的符号可判断；通过和的对称性判断；将不等式的两边加上，进而判断出；将，可推出．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解决问题的关键是熟练掌握二次函数及其图象的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
根据分式有意义的条件，即可求解．
本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不等于是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意可知：
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
先根据平行线的性质求出的度数，再根据邻补角的定义即可求解．
本题主要考查了平行线和邻补角，掌握平行线的性质和邻补角的定义是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：正九边形的一个外角的度数为，
故答案为：．
利用外角和除以外角的个数即可得到答案．
此题考查了求正多边形每一个外角的度数，正确理解多边形外角和为，及正多边形的外角个数与边的条数相同，所有外角均相等是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
则代数式，
故答案为：．
直接将已知代数式变形进而代入原式求出答案．
此题主要考查了代数式求值，正确将原式变形是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接交于点，

扇形的面积，
点与点关于对称，
，，
在中，
，
，
，
阴影部分的面积扇形面积四边形的面积，


，
故答案为：．
连接交于点，由翻折的性质可知：，在中，根据特殊锐角三角函数值可知，然后在中，可求得，最后根据阴影部分的面积扇形面积四边形的面积，求解即可．
本题主要考查的是翻折的性质，扇形面积的计算以及特殊锐角三角函数值的应用，根据翻折的性质求得的长，然后再求得的度数是解题的关键．
 

16.【答案】解：

． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】解：


；
、是方程的两个根，
，
则． 

【解析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果；
利用根与系数的关系求出的值，代入计算即可求出值．
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
 

18.【答案】     

【解析】解：参加此次调查的总人数是：人，频数统计表中，
故答案为：，；
组所在扇形的圆心角度数是：，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有种，
恰好抽到一名男生和一名女生的概率为．
由组所占的百分比和频数，即可得出参加此次调查的总人数，由总人数和组所占的百分比即可得出；
由乘以组的人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】解：设每枚种型号的纪念币面值为元，每枚种型号的纪念币面值为元，
由题意得：，
解得：，
答：每枚种型号的纪念币面值为元，每枚种型号的纪念币面值为元；
设型纪念币能采购枚，则型纪念币能采购枚，
由题意得：，
解得：，
答：型纪念币最多能采购枚；
由题意得：，
，
为正整数，
为或或，
共有种购买方案：
型纪念币能采购枚，型纪念币能采购枚，费用为：元；
型纪念币能采购枚，型纪念币能采购枚，费用为：元；
型纪念币能采购枚，型纪念币能采购枚，费用为：元；
，
最划算的购买方案为：型纪念币能采购枚，型纪念币能采购枚． 

【解析】设每枚种型号的纪念币面值为元，每枚种型号的纪念币面值为元，由题意：枚型纪念币和枚型纪念币面值共需元，枚型纪念币和枚型纪念币共需元．列出方程组，解方程组即可；
设型纪念币能采购枚，则型纪念币能采购枚，由题意：小明准备用至少元的金额购买两种纪念币共枚，列出不等式，解之即可；
由题意得，解得，进而求解即可．
本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键时：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找出数量关系，正确列出一元一次不等式；找出数量关系，正确列出一元一次不等式组．
 

20.【答案】解：如图所示：

证明：如图所示：

设与交于点．
是的垂直平分线，
，，，
平分，
，
，，
≌，
，
，
四边形是菱形． 

【解析】按照线段垂直平分线的作图步骤作图即可；
设与交于点由垂直平分线得到，，，由平分得到，由，，即可证明≌，则，得到，结论得证．
此题考查了垂直平分线的作图和性质、菱形判定、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
 

21.【答案】     

【解析】解：把点代入直线，得
，
解得，
点的坐标为：．
把点代入直线，得
，
解得，
点的坐标为：．
反比例函数的图象过点，
，
即反比例函数的解析式为，
观察函数图象，发现：
当或时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
不等式的解集为：或．
把代入得，
，
解得，
即点的坐标为：，
，
，
，即，
，
当点的纵坐标为时，则，
解得，
当点的纵坐标为时，则，
解得，
点的坐标为或．
把点代入直线得到关于的一元一次方程，解之，得到点的坐标，把点代入直线得到关于的一元一次方程，解之，得到点的坐标，把点的坐标代入反比例函数，即可求得的值，即可得到答案；
找出一次函数图象在反比例函数图象的下方的的取值范围，即可得到答案；
把代入一次函数解析式，解之得到点的坐标，求出的面积，进一步求得的面积，根据三角形面积公式即可求得的纵坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点的坐标．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题的关键．
 

22.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
≌；
证明：如图所示，连接，

四边形是正方形，
，，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，即，
是的半径，
是的切线；
解：如图所示，过点作于点，

，，
，
，
，
在中，，
设，则，
，
在中，，，
，
，
，
，
解得，
；
，，
∽，
，
． 

【解析】由正方形的性质得到，，由此即可利用证明≌；
如图所示，连接，由正方形的性质得到，，则，，由全等三角形的性质得到，再由，得到，即可证明，即可推出，即可证明是的切线；
如图所示，过点作于点，先证明，得到，解，得到，设，则，，解求出，由，求出；证明∽，则．
本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，切线的判定，等边对等角等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
 

23.【答案】解：，
当时，，
解得，．
点在点的左侧，
、．
，即，
．

如图，过点作轴于点，交于点．

点的横坐标为，
，
，
，，
轴，
，
当时，，
，即，
当时，，
点在抛物线对称轴的右侧，
；
当时，，
点在抛物线对称轴的右侧，
，
综上所述，或；

存在，理由如下：
当点在轴上方时，
设点，则点的坐标为，
把点的坐标代入的表达式得：，
解得，
故点的坐标为，
则，
由直线的表达式知，，则，
则，
四边形是菱形，则，
即，
解得舍去或，
故点的坐标为；
当点在轴下方时，
同理可得，点的坐标为．
综上，点的坐标为或． 

【解析】当时，求得二次函数图象与轴交点即可得到、坐标，然后利用顶点坐标公式求得点；
如图，过点作轴于点，交于点得到根据轴，得到，当时，，解方程即可得到结论；
分点在轴上方、点在轴下方两种情况，利用，分别求解即可．
本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．