还剩28页未读，
继续阅读
2022-2023学年北京市东城区八年级（下）期末考试数学试卷（含解析）
展开
这是一份2022-2023学年北京市东城区八年级（下）期末考试数学试卷（含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市东城区八年级（下）期末考试数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个式子中，最简二次根式为( )
A. (−2)2 B. 12 C. 34 D. 7
2. 在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是( )
A. 1：2：3：4 B. 1：2：2：1 C. 1：2：1：2 D. 1：1：2：2
3. 下列各式中，计算结果正确的是( )
A. (−1)2=−1 B. ( 3)2=3 C. 4=±2 D. (− 2)2=−2
4. 奥运会的跳水项目是优美的水上运动，中国跳水队被称为“梦之队”.在一次女子单人10米台跳水比赛中，甲、乙两名选手五轮得分的折线统计图如图所示．设甲、乙的平均分依次为x甲、x乙，方差依次为s甲2，s乙2.以下四个推断中，正确的是( )
A. x甲>x乙，s甲2>s乙2 B. x甲>x乙，s甲2s乙2 D. x甲
A. 2 3 B. 2 C. 3 D. 1
6. 在平面直角坐标系xOy中，点P(x1,y1),Q(x2,y2)都在函数y=−2x+3的图象上．若x1
C. y1>y2 D. y2<3
7. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−2,1),B(1,1).若直线y=mx与线段AB 有交点，则m的值不可能是( )
A. 1 B. 12 C. −12 D. −1
8. 画一个四边形，使得该四边形的面积等于已知图形面积的一半．
(1)如图1，已知等腰△ABC，D，E分别是AB,AC的中点，画四边形DBCE；
(2)如图2，已知四边形ABCD，AC⊥BD.四边的中点分别为E，F，G，H，画四边形EFGH；
(3)如图3，已知平行四边形ABCD，点E，G分别在AD,BC上，且EG//AB.点F，H分别在AB,CD上，画四边形EFGH．
以上三种画法中，所有正确画法的序号是( )
A. (1)(3) B. (2) C. (2)(3) D. (1)(2)(3)
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 若二次根式 x−1有意义，则x的取值范围是 ．
10. 北京某月连续10天的最低气温(单位：℃)分别是：13，14，15，15，15，16，16，18，21.这组数据的众数是 ．
11. 若最简二次根式 4−2m与 6是同类二次根式，则m的值是 ．
12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(−3,0)，(2,0)，点D在y轴上，则点C的坐标是 ．
13. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC⊥BC，对角线AC,BD交于点O，点E为边AB 的中点．若AB=10,AC=8，则OE 的长为 ．
14. 如图，将矩形纸片ABCD 沿AE 折叠，顶点B落在CD边上点F处．若AB=3,BC=2，则DF= ．
15. 如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC,CD上，则△EFC的面积为 ．
16. 已知A，B两地相距240km.甲、乙两辆货车分别从A，B两地同时出发，匀速相向而行．图1表示甲、乙两辆货车距A地的距离s(单位：km )与行驶时间t(单位：h )的数量关系；图2表示甲、乙两辆货车间的距离d(单位：km )与行驶时间t(单位：h )的数量关系．
根据以上信息得到以下四个推断：
①甲货车从A地到B地耗时6小时，即a=6；
②出发后2.4 小时甲、乙两辆货车相遇，即b=2.4；
③乙货车的速度是60km/h；
④点P的坐标是4,180．
所有正确推断的序号是 ．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
17. 计算：
(1)( 12− 12)+( 2− 3)；
(2)(2 5+4)×(2 5−4)÷ 8．
四、解答题（本大题共11小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题5.0分)
已知x=2+ 3，求代数式(x−1)2−2x+5的值．
19. (本小题5.0分)
如图，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE=CF．
20. (本小题5.0分)
如图，△ABC为等边三角形．
求作：菱形ABFE，使得∠BAE=150∘．
作法：如图，
①作∠BAC的平分线AD ，交BC 于点D；
②以点A为圆心，AB 长为半径画弧交DA的延长线于点E；
③分别以点B，E为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点F(不是点A)；
④连接BF,EF．
则四边形ABFE为所求作的菱形．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：∵AB=AE=BF=EF，
∴四边形ABFE为菱形(______)(填推理依据)．
∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60∘．
∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC=______ ∘．
∵∠BAE=180∘−∠BAD，∴∠BAE=______ ∘．
21. (本小题6.0分)
某数学兴趣小组研究某地区气温与海拔的关系．下表记录的是气温随海拔变化的情况：
海拔x/km
…
1
1.5
2
m
3.5
…
气温y/℃
…
−1
−4
−7
−10
n
…
小组研究发现，气温y与海拔x满足一次函数关系：y=kx+bk≠0.根据小组的研究发现，回答下列问题．
(1)求出k，b的值；
(2)求表格中m，n的值；
(3)当海拔x满足4⩽x⩽7时，求气温y的变化范围．
22. (本小题5.0分)
在平面直角坐标系xOy中，点P(x,y)的坐标满足y=2−x．
(1)当点P在第一象限时，画出点P组成的图形；
(2)已知点A(−3,0)，当△OPA的面积为6时，求点P的坐标．
23. (本小题5.0分)
下面是证明直角三角形的一个性质的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90∘，BO 是斜边AC 的中线．
求证：BO=12AC．
方法一
证明：如图，延长BO 至点D，使得OD=OB，连接AD,CD．
方法二
证明：如图，取BC 的中点D，连接OD ．
24. (本小题5.0分)
为了解北京市的水资源情况，收集了1978−2020年北京的年降水量(单位：毫米)共43个数据，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
注：降水量是指一定时段内降落在某一点或某一区域上的水层深度，通常以毫米表示．
a.43个数据的频数分布直方图如下(数据分成7组：200⩽x<300，300⩽x<400，400⩽x<500，500⩽x<600，600⩽x<700，700⩽x<800，800⩽x<900)；
b.43个数据中，在500⩽x<600这一组的是：
507 523 527 542 544 547 573 576 579
c.43个数据的平均数、中位数如下：
平均数
中位数
547
n
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中n的值为______；
(2)1978−2020年北京的年降水量高于547毫米的年份共______个；
(3)若2021年，2022年北京的年降水量分别是698毫米，493毫米，则下列推断合理的是______(填写序号)．
①因为698大于n，所以北京2021年降水量比1978−2020年中一半以上年份的年降水量高；
②已知1978−2000年北京的年降水量的方差为21249，2001—2022年北京的年降水量的方差为13486，由此推断2001−2022年北京的年降水量的波动较大；
③1个底面边长为10分米的正方体集水箱2022年共可收集降水约493升．注：1升=1立方分米
25. (本小题5.0分)
A，B两地分别有垃圾20吨，30吨，现要把这些垃圾全部运到C，D两个垃圾处理厂，其中24吨运到C厂．运费标准(单位：元/吨)如下表：
目的地
始发地
C厂
D厂
A地
26
25
B地
15
20
当从A地运送多少吨垃圾到C厂时，从A，B两地运到C厂的总运费大于运到D厂的总运费？
(1)建立函数模型：设从A地运到C厂x吨垃圾．从A，B两地运到C厂的总运费为y1元，运到D厂的总运费为y2元．分别求出y1,y2关于x的函数关系式；
(2)根据函数的图象与性质，解决问题：当y1>y2时，求x的取值范围．
26. (本小题5.0分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=2x的图象平移得到，且经过点(−1,3)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当x>1时，对于x的每一个值，函数y=mx的值均大于函数y=kx+b(k≠0)的值，直接写出m的取值范围．
27. (本小题7.0分)
如图，正方形ABCD.过点B作射线BP ，交DA 的延长线于点P.点A关于直线BP的对称点为E，连接BE,AE,CE.其中AE,CE分别与射线BP交于点G，H．
(1)依题意补全图形；
(2)设∠ABP=α，∠AEB=______(用含α的式子表示)，∠AEC=______ ∘；
(3)若EH=BH，用等式表示线段AE 与CE 之间的数量关系，并证明．
28. (本小题7.0分)
在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN 和点P作出如下定义：若点M，N分别是线段PP1，PP2的中点，连接P1P2，我们称线段P1P2的中点Q是点P关于线段MN 的“关联点”．
(1)已知点M(2,2)，点P关于线段OM的“关联点”是点Q．
①若点P的坐标是2,0，则点Q的坐标是______；
②若点E的坐标是1,−1，点F的坐标是3,−1.点P是线段EF 上任意一点，求线段PQ 长的取值范围；
(2)点A是直线l:y=x+1上的动点．在矩形ABCD 中，边AB//x轴，AB=3,BC=2.点P是矩形ABCD 边上的动点，点P关于其所在边的对边的“关联点”是点Q.过点A作x轴的垂线，垂足为点G.设点G的坐标是t,0.当点A沿着直线l运动到点A′时，点G沿着x轴运动到点G′(t+m,0)，点Q覆盖的区域的面积S满足20⩽S⩽30，直接写出m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，结合选项求解即可．
【详解】解：A． (−2)2=2，不是最简二次根式，所以选项不符合题意；
B. 12=2 3，被开方数12中含有能开得尽方的因式4，因此选项不符合题意；
C. 34= 32，被开方数中含有分母，因此选项不符合题意；
D. 7，是最简二次根式，因此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了最简二次根式的概念，解答本题的关键在于掌握最简二次根式的概念，对各选项进行判断．
2.【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的对角相等，容易得出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴C正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的对角相等的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
3.【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可得到答案．
【详解】解：A、 (−1)2=1，原式计算错误，不符合题意；
B、( 3)2=3，原式计算正确，符合题意；
C、 4=2，原式计算错误，不符合题意；
D、(− 2)2=2原式计算错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，正确对每个选项中的二次根式化简是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】
【分析】根据甲选手波动小可得s甲2x乙，由此即可得到答案．
【详解】解：由统计图可知，甲选手的成绩波动比乙选手的成绩波动小，
∴s甲2
∴甲选手五轮的总成绩大于乙选手五轮的总成绩，
∴甲选手的平均数比乙选手的高，
∴x甲>x乙，
故选B．
【点睛】本题主要考查了折线统计图，平均数和方差的意义，灵活运用所学知识是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】
【分析】根据直角三角形30∘角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2AB=4，再根据勾股定理求出AD．
【详解】∵∠ABC=90∘，∠ACB=30∘，AB=2，
∴AC=2AB=4，
∴BC= AC2−AB2= 42−22=2 3，
∴AD=BC=2 3．
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质、直角三角形30∘角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
6.【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数的图象和性质求解即可．
【详解】∵y=−2x+3，−2<0，3>0
∴y随x的增大而减小，经过第一，二，四象限
∵x1
∴点P在第二象限，故A选项正确，不符合题意；
∵当x=0时，y=3，
∴坐标原点不在此函数图象上，故B选项正确，不符合题意；
∵x1
故选：D．
【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质．
7.【答案】B
【解析】
【分析】分别求出直线y=mx恰好经过A(−2,1)和B(1,1)时m的值，进而结合函数图象求出m的取值范围，由此即可得到答案．
【详解】解：当直线y=mx恰好经过A(−2,1)时，则−2m=1，解得m=−12，
当直线y=mx恰好经过B(1,1)时，则m=1，
∴当直线y=mx与线段AB 有交点时，m⩾1或m⩽−12，
∴四个选项中只有B选项不满足上述条件，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，正确求出m的取值范围是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】
【分析】如图1所示，连接CD，证明S△ADE=S△CDE，进而得到S△ADE12S△ABC；如图2所示，设AC、BD交于O，先求出S四边形ABCD=12AC⋅BD，利用三角形中位线定理得到EF//HG,EF=HG，则四边形EFGH是平行四边形，再证明EH⊥EF，得到四边形EFGH是矩形，则S四边形EFGH=EF⋅EH=12AC⋅12BD=12S四边形ABCD；如图3所示，连接BE ，证明四边形ABGE是平行四边形，得到S△FEG=12S四边形ABGE， S△HFG=12S四边形CDEG，则S四边形EFGH=12S四边形ABCD．
【详解】解：如图1所示，连接CD，
∵E是AC 的中点，
∴S△ADE=S△CDE，
∴S△ADE
∴S四边形DBCE>12S△ABC，故(1)画法错误；
如图2所示，设AC、BD交于O，
∵AC⊥BD，
∴S四边形ABCD=S△ABO+S△CBO+S△ADO+S△CDO
=12OB⋅OA+12OB⋅OC+12OD⋅OA+12OD⋅OC
=12OB⋅AC+12OD⋅AC
=12AC⋅BD，
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF//AC,EF=12AC，
同理可得HG//AC,GH=12AC,EH=12BD,EH//BD，
∴EF//HG,EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴EH⊥EF，
∴四边形EFGH是矩形，
∴S四边形EFGH=EF⋅EH=12AC⋅12BD=14AC⋅BD=12S四边形ABCD，故(2)画法正确；
如图3所示，连接BE ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∵EG//AB，
∴四边形ABGE是平行四边形，
∴S△BEG=12S四边形ABGE，
∵AB//EG，
∴S△BEG=S△EFG，
∴S△EFG=12S四边形ABGE，
同理可得S△HFG=12S四边形CDEG，
∴S△EFG+S△HFG=12S四边形ABGE+12S四边形CDEG
∴S四边形EFGH=12S四边形ABCD，故(3)画法正确；
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，三角形中位线定理等等，熟知相关知识是解题的关键．
9.【答案】x≥1
【解析】
【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x−1≥0，
∴x≥1，
故答案为：x≥1．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0．
10.【答案】15
【解析】
【分析】根据众数的概念求解即可．
【详解】15出现的次数最多，
∴众数是15．
故答案为：15．
【点睛】此题考查了众数，解题的关键是熟练掌握众数的概念．众数是一组数据中出现次数最多的数据．
11.【答案】−1
【解析】
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的性质，通过计算，即可完成求解．
【详解】解：∵ 6是最简二次根式，且最简二次根式 4−2m与 6是同类二次根式
∴4−2m=6
∴m=−1，
故答案为：−1 ．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式，熟知同类二次根式的定义是解题的关键：如果两个最简二次根式的被开方数相同，那么这两个二次根式叫做同类二次根式．
12.【答案】(5,4)
【解析】
【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．
【详解】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(−3,0)，(2,0)，点D在y轴上，
∴AB=5，
∴DO=4，
∴点C的坐标是：(5,4)．
故答案为：(5,4)．
13.【答案】3
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出BC=6，再证明OE 为△ABC的中位线，则OE=12BC=3．
【详解】解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90∘，
∵AB=10,AC=8，
∴BC= AB2−AC2= 102−82=6，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AO=CO，即点O为AC 的中点，
又∵点E为边AB的中点，
∴ OE 为△ABC的中位线，
∴OE=12BC=3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
14.【答案】 5
【解析】
【分析】由矩形的性质可得AD=BC=2,∠D=90∘，再由折叠的性质可得AF=AB=3，据此利用勾股定理求出答案即可．
【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD=BC=2,∠D=90∘，
由折叠的性质可得AF=AB=3，
∴在Rt△ADF中，由勾股定理得DF= AF2−AD2= 5，
故答案为： 5．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形与折叠问题，灵活运用所学知识是解题的关键．
15.【答案】1
【解析】
【分析】根据正方形的性质和等边三角形的性质分别得到AB=AD=BC=CD,∠B=∠D=∠C=90∘，AE=AF=EF=2，由此可证明Rt△ABE≌Rt△ADF得到BE=DF，进一步证明△CEF是等腰直角三角形，得到CE=CF= 22EF= 2，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD,∠B=∠D=∠C=90∘，
∵△AEF是边长为2的等边三角形，
∴AE=AF=EF=2，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，
∴BE=DF，
∴BC−BE=DC−DF，即CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CE=CF= 22EF= 2，
∴S△CEF=12CE⋅CF=1，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，证明△CEF是等腰直角三角形是解题的关键．
16.【答案】【答案】①②③
【解析】
【分析】由图1可知乙车先到达目的地，由此结合图2可知甲货车从A地到B地耗时6小时，即a=6，即可判断①；根据当出发后2.4 小时后，甲、乙两车的距离为0，即此时两车相遇，即可判断②；求出甲车的速度，进而根据当出发后2.4 小时后两车相距为0求出乙车的速度即可判断③；求出乙车到达目的地的时间，进而求出此时甲车的路程即可判断④．
【详解】解：由图1可知乙比甲先到达目的地，
∴由图2可知，甲货车从A地到B地耗时6小时，即a=6，故①正确；
由图2可知，当出发后2.4 小时后，甲、乙两车的距离为0，即此时两车相遇，
∴b=2.4，故②正确；
∵甲车的速度为240÷6=40(km/h)，
∴乙车的速度为240÷2.4−40=60(km/h)，故③正确；
乙车到达A地的时间为240÷6=4h，
∴此时甲车行驶的路程为4×40=160(km)，
∴点P的坐标是4,160，故④错误；
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，正确读懂函数图象是解题的关键．
17.【答案】(1)解：原式=2 3− 22+ 2− 3
= 3+ 22；
(2)解：原式=[(2 5)2−42]÷2 2
=(20−16)÷2 2
=4÷2 2
= 2．
【解析】
【分析】(1)先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可；
(2)根据二次根式的混合计算法则求解即可．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
18.【答案】解：(x−1)2−2x+5
=x2−2x+1−2x+5
=x2−4x+6
=(x−2)2+2
当x=2+ 3时，
原式=(2+ 3−2)2+2
=( 3)2+2
=3+2
=5．
【解析】
【分析】利用完全平方公式，将(x−1)2−2x+5变式为(x−2)2+2，再代入数值解题．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式、二次根式的性质，是重要考点，掌握完全平方公式是解题关键．
19.【答案】证明：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠BAE=∠DCF．
又BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90°．
在△ABE与△CDF中，
{∠AEB=∠CFD∠BAE=∠DCFAB=CD ，
∴得△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AE=CF．
【解析】
【分析】由全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△CDF，则对应边相等，即AE=CF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
20.【答案】(1)解：如图所示，即为所求；
(2)四条边相等的四边形是菱形；30；150
【解析】
【分析】(1)根据题意作图即可；
(2)先证明四边形ABFE为菱形，再根据等边三角形的性质得到∠BAD=30∘，则由平角的定义可得∠BAE=180∘−∠BAD=150∘．
【详解】(1)见答案
(2)证明：∵AB=AE=BF=EF，
∴四边形ABFE为菱形(四条边相等的四边形是菱形)．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60∘．
∵ AD 平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC=30∘．
∵∠BAE=180∘−∠BAD，
∴∠BAE=150∘．
故答案为：四条边相等的四边形是菱形；30；150．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定，等边三角形的性质，角平分线的尺规作图，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)将1,−1，2,−7代入y=kx+b得，
k+b=−12k+b=−7，解得k=−6b=5
∴y=−6x+5．
(2)当y=−10时，即−10=−6x+5，解得x=2.5
∴m=2.5．
当x=3.5时，即y=−6×3.5+5=−16
∴n=−16；
(3)∵y=−6x+5，
∴y随x的增大而减小
∴当x=4时，y=−6×4+5=−19；
当x=7时，y=−6×7+5=−37；
∴气温y的变化范围为−37⩽y⩽−19．
【解析】
【分析】(1)利用待定系数法求解即可；
(2)将y=−10和x=3.5分别代入求解即可；
(3)首先根据一次函数的性质得到y随x的增大而减小，然后分别求出x=4和x=7时y的值，进而求解即可．
【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求解一次函数解析式，一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的有关性质．
22.【答案】(1)解：在y=2−x中，当x=0时，y=2，当y=2−x=0时，x=2；
∵点P在第一象限，且点P(x,y)的坐标满足y=2−x，
∴如图所示，点P组成的图形为：线段CD (不包括端点)，其中C(0,2)，D(2,0)．
(2)解：∵A(−3,0)，
∴OA=3，
∵△OPA的面积为6，
∴S△OAP=12OA⋅|yP|=6，
∴12×3|yP|=6，
∴|yP|=4，即yP=±4，
当y=4时，则4=2−x，解得x=−2；
当y=−4时，则−4=2−x，解得x=6；
∴点P的坐标为−2,4或(6,−4)．
【解析】
【分析】(1)先求出一次函数y=2−x与x轴，y轴的交点坐标，再根据点P在一次函数图象上且在第一象限即可得到答案；
(2)先求出OA=3，再根据三角形面积公式求出yP=±4，由此即可得到答案．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，画一次函数图象，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．
23.【答案】证明：方法一：∵点O 是AC 边的中点，
∴OA=OC，
又∵OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC=90∘，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∴OB=12BD=12AC．
方法二：∵ BO 是斜边AC 的中线，
∴点O是AC 的中点，
∵ BC 的中点D，
∴ OD 是△ABC的中位线，
∴OD//AB，
∴∠ODC=∠ABC=90∘，
∴ OD 垂直平分线BC ，
∴OB=OC，
∵OC=12AC，
∴BO=12AC．
【解析】
【分析】方法一：先证明四边形ABCD是平行四边形，进而证明四边形ABCD是矩形，则由矩形的性质可得OB=12BD=12AC．
方法二：证明OD 是△ABC的中位线，得到OD//AB，则OD 垂直平分BC ，由线段垂直平分线的性质可得OB=OC=12AC．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，三角形中位线的性质，线段垂直平分线的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
24.【答案】(1) 527；
(2)18；
(3)①③．
【解析】
【分析】(1)根据中位数的定义进行求解即可；
(2)根据统计图中的数据进行求解即可；
(3)根据中位数的定义即可判断①；根据方差越小，波动越小即可判断②；计算出收集的雨水体积即可判断③．
【详解】(1)解：∵一共有43个数据，
∴中位数是第22个数据(从低到高排列)，即中位数为527，
∴n=527，
故答案为：527 ；
(2)解：由统计图的数据可知，1978−2020年北京的年降水量高于547毫米的年份共3+7+7+1=18个，
故答案为：18
(3)解：∵698>527，
∴北京2021年降水量比1978−2020年中一半以上年份的年降水量高，故①正确；
∵已知1978−2000年北京的年降水量的方差为21249，2001—2022年北京的年降水量的方差为13486，且13486<21249
∴推断2001−2022年北京的年降水量的波动较小，故②错误；
10×10×4.93=493(dm3)，
∴1个底面边长为10分米的正方体集水箱2022年共可收集降水约493升，故③正确；
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，中位数，方差与稳定性之间的关系，熟知相关知识是解题的关键．
25.【答案】(1)解：由题意得，y1=26x+15(24−x)=11x+360，
y2=25(20−x)+20(30−24+x)=−5x+620；
(2)解：当y1>y2时，则11x+360>−5x+620，
解得x>16.25，
又∵x⩽20，
∴16.25
【解析】
【分析】(1)根据运费=垃圾数量×每吨的运费进行求解即可；
(2)根据(1)所求，列出对应的不等式求解即可．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的取值范围，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
26.【答案】(1)解：∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=2x的图象平移得到，
∴k=2，
∴一次函数y=kx+b(k≠0)的解析式为y=2x+b，
∵一次函数y=2x+b经过−1,3，
∴3=2×(−1)+b，即b=5，
∴这个一次函数的解析式为y=2x+5；
(2)m⩾7．
【解析】
【分析】(1)根据平移的性质可得k=2，然后利用待定系数法求解即可；
(2)分别讨论当m=2时，当m<2时，当m>2时，结合当x>1时，对于x的每一个值，函数y=mx的值均大于函数y=kx+b(k≠0)的值解析求解即可．
【详解】(1)见答案；
(2)解：当m=2时，2x>2x+5，即0>5，不成立，
当m<2时，则当x>1时，mx<2x<2x+5不符合题意；
当m>2时，
∵函数y=mx的值均大于函数y=kx+b(k≠0)的值，
∴mx>2x+5，
∴(m−2)x>5，
∴x>5m−2，
∵当x>1时，对于x的每一个值，函数y=mx的值均大于函数y=kx+b(k≠0)的值，
∴x>1是不等式x>5m−2的一个解，
∴5m−2⩽1，
∴m⩾7；
综上所述，m⩾7．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数图象，一次函数与不等式之间的关系等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
27.【答案】解：(1)如图所示，
(2)90∘−α，45；
(3)如图所示，过点E作EM⊥BC交CB 的延长线于点M，
∵∠AEH=45∘，∠EGH=90∘
∴∠EHG=45∘
∴△EHG是等腰直角三角形
∴设EG=HG=AG=a，则EH= 2a，AE=2a
∴EH=BH= 2a
∴GB=GH+BH=a+ 2a
∴BE= EG2+BG2= 4a2+2 2a
∴BC=BE= 4a2+2 2a
∵∠EHG=45∘，EH=BH
∴∠HBE=∠HEB=12∠EHG=22.5∘
∴∠ABG=∠EBG=22.5∘
∴∠ABE=45∘
∴∠MBE=45∘
∵EM⊥BC
∴∠MEB=45∘
∴△EMB是等腰直角三角形
∴EM=BM= 22BE= 2a2+ 2a
∴MC=BM+BC= 2a2+ 2a+ 4a2+2 2a
∴EC= ME2+MC2=(2 2+2)a
∵AE=2a
∴ECAE=(2 2+2)a2a= 2+1
∴EC=( 2+1)AE．
【解析】
【分析】(1)根据题意补全图形即可；
(2)首先根据题意得到BP垂直平分AE ，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可；
(3)过点E作EM⊥BC交CB 的延长线于点M，首先得到△EHG是等腰直角三角形，然后设EG=HG=AG=a，则EH= 2a，AE=2a，根据勾股定理表示出BC=BE= EG2+BG2= 4a2+2 2a，然后证明出△EMB是等腰直角三角形，利用勾股定理得到EC= ME2+MC2=(2 2+2)a，进而求解即可．
【详解】(1)见答案；
(2)∵点A关于直线BP的对称点为E，
∴ BP垂直平分AE
∴BE=AB，AE⊥BP
∴∠AEB=∠BAE=90∘−α；
∴∠EBG=∠ABP=α
∴∠EBC=∠EBP+∠ABP+∠ABC=2α+90∘
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC
∵BE=AB
∴BE=BC
∴∠BEC=∠BCE=12(180∘−∠EBC)=45∘−α
∴∠AEC=∠AEB−∠BEC=45∘；
故答案为：90∘−α，45；
(3)见答案．
【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
28.【答案】(1)①0,2；
②设点O和点M分别是PP1，PP2的中点，P(s,−1)(1⩽s⩽3)，
∴P1(−s,1),P2(4−s,5)，
∵点Q是P1P2的中点，
∴点Q的坐标为−s+4−s2,1+52，即2−s,3，
∴PQ2=(2−s−s)2+[3−(−1)]2
=4(s−1)2+16，
∵1⩽s⩽3，
∴s−1>0，
∴当s增大时，s−1的值也增大，则(s−1)2的值也增大，
当s=1时，PQ2=16，即PQ=4；
当s=3时，PQ2=32，即PQ=4 2；
∴4⩽PQ⩽4 2；
(2)−3⩽m⩽−2或2⩽m⩽3
【解析】
【分析】(1)①设点O和点M分别是PP1，PP2的中点，根据定义求出P1(−2,0),P2(2,4)，再由点Q是P1P2的中点即可得到答案；
②设点O和点M分别是PP1，PP2的中点，P(s,−1)(1⩽s⩽3)，同理可得Q(2−s,3)，由勾股定理得到PQ2=4(s−1)2+16，据此求解即可；
(2)设A(a,a+1)，则B(a+3,a+1)，C(a+3,a+3)，D(a,a+3)，当点P在AD 上时，设P(a,b)(a+1⩽b⩽a+3)，点C和点B分别是PP1，PP2的中点，则P1(a+6,2a+6−b)，P2(a+6,2a+2−b)，点Q的坐标为a+6,2a+4−b，由此可得到点Q在直线x=a+6上的一条线段上该线段的两个端点坐标分别为E(a+6,a+3),F(a+6,a−1)；同理可得当点P在AB 上时，点Q在直线y=a+4的一条线段上，该线段的两个端点坐标分别J(a,a+4),K(a+3,a+4).故当点A在平移的过程中，点Q覆盖的面积即为平行四边形JKML和平行四边形EFGH面积之和的两倍(面积无重叠时)；根据平移的性质可得当点G沿着水平方向移动m个单位长度时，相当于平行四边形JKML边JK 上的高为m，平行四边形EFGH边EF 上的高为m，由此可得S=10|m|(当且仅当面积没有重叠的时候)，当m=±3时，如下图所示，刚好点Q覆盖的四个区域没有重合的部分，故当|m|⩽3时，面积没有重叠的部分，当|m|>3时，S>30，由此根据20⩽S⩽30列出不等式求解即可．
【详解】(1)解：①设点O和点M分别是PP1，PP2的中点，
∵M(2,2)，点P的坐标是2,0，
∴P1(−2,0),P2(2,4)，
∵点Q是P1P2的中点，
∴点Q的坐标为−2+22,0+42，即0,2，
故答案为：0,2；
②见答案 ；
(2)解：设A(a,a+1)，则B(a+3,a+1)，C(a+3,a+3)，D(a,a+3)，
当点P在AD上时，设P(a,b)(a+1⩽b⩽a+3)，点C和点B分别是PP1，PP2的中点，
∴P1(a+6,2a+6−b)，P2(a+6,2a+2−b)，
∵点Q是P1P2的中点，
∴点Q的坐标为a+6+a+62,2a+6−b+2a+2−b2，即a+6,2a+4−b，
∵a+1⩽b⩽a+3
∴a+1⩽2a+4−b⩽a+3，
∴点Q在直线x=a+6上的一条线段上该线段的两个端点坐标分别为E(a+6,a+3),F(a+6,a−1)；
同理可得当点P在AB 上时，点Q在直线y=a+4的一条线段上，该线段的两个端点坐标分别为J(a,a+4),K(a+3,a+4)，
∴EF=2,JK=3；
∴当点A在平移的过程中，点Q覆盖的面积即为平行四边形JKML和平行四边形EFGH面积之和的两倍(面积无重叠时)，
∵点A在直线y=x+1上，
∴当点G沿着水平方向移动m个单位长度时，相当于平行四边形JKML边KJ 上的高为m，平行四边形EFGH边EF 上的高为m，
∴S=2(2|m|+3|m|)=10|m|(当且仅当面积没有重叠的时候)，
当m=±3时，如下图所示，刚好点Q覆盖的四个区域没有重合的部分，故当|m|⩽3时，面积没有重叠的部分，
当|m|>3时，S>30，
∵20⩽S⩽30，
∴20⩽10|m|⩽30，
∴2⩽|m|⩽3，
∴−3⩽m⩽−2或2⩽m⩽3
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一次函数与几何综合，勾股定理，平行四边形的性质，平移的性质等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
2022-2023学年北京市东城区八年级（下）期末考试数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个式子中，最简二次根式为( )
A. (−2)2 B. 12 C. 34 D. 7
2. 在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是( )
A. 1：2：3：4 B. 1：2：2：1 C. 1：2：1：2 D. 1：1：2：2
3. 下列各式中，计算结果正确的是( )
A. (−1)2=−1 B. ( 3)2=3 C. 4=±2 D. (− 2)2=−2
4. 奥运会的跳水项目是优美的水上运动，中国跳水队被称为“梦之队”.在一次女子单人10米台跳水比赛中，甲、乙两名选手五轮得分的折线统计图如图所示．设甲、乙的平均分依次为x甲、x乙，方差依次为s甲2，s乙2.以下四个推断中，正确的是( )
A. x甲>x乙，s甲2>s乙2 B. x甲>x乙，s甲2
A. 2 3 B. 2 C. 3 D. 1
6. 在平面直角坐标系xOy中，点P(x1,y1),Q(x2,y2)都在函数y=−2x+3的图象上．若x1
C. y1>y2 D. y2<3
7. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−2,1),B(1,1).若直线y=mx与线段AB 有交点，则m的值不可能是( )
A. 1 B. 12 C. −12 D. −1
8. 画一个四边形，使得该四边形的面积等于已知图形面积的一半．
(1)如图1，已知等腰△ABC，D，E分别是AB,AC的中点，画四边形DBCE；
(2)如图2，已知四边形ABCD，AC⊥BD.四边的中点分别为E，F，G，H，画四边形EFGH；
(3)如图3，已知平行四边形ABCD，点E，G分别在AD,BC上，且EG//AB.点F，H分别在AB,CD上，画四边形EFGH．
以上三种画法中，所有正确画法的序号是( )
A. (1)(3) B. (2) C. (2)(3) D. (1)(2)(3)
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 若二次根式 x−1有意义，则x的取值范围是 ．
10. 北京某月连续10天的最低气温(单位：℃)分别是：13，14，15，15，15，16，16，18，21.这组数据的众数是 ．
11. 若最简二次根式 4−2m与 6是同类二次根式，则m的值是 ．
12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(−3,0)，(2,0)，点D在y轴上，则点C的坐标是 ．
13. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC⊥BC，对角线AC,BD交于点O，点E为边AB 的中点．若AB=10,AC=8，则OE 的长为 ．
14. 如图，将矩形纸片ABCD 沿AE 折叠，顶点B落在CD边上点F处．若AB=3,BC=2，则DF= ．
15. 如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC,CD上，则△EFC的面积为 ．
16. 已知A，B两地相距240km.甲、乙两辆货车分别从A，B两地同时出发，匀速相向而行．图1表示甲、乙两辆货车距A地的距离s(单位：km )与行驶时间t(单位：h )的数量关系；图2表示甲、乙两辆货车间的距离d(单位：km )与行驶时间t(单位：h )的数量关系．
根据以上信息得到以下四个推断：
①甲货车从A地到B地耗时6小时，即a=6；
②出发后2.4 小时甲、乙两辆货车相遇，即b=2.4；
③乙货车的速度是60km/h；
④点P的坐标是4,180．
所有正确推断的序号是 ．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
17. 计算：
(1)( 12− 12)+( 2− 3)；
(2)(2 5+4)×(2 5−4)÷ 8．
四、解答题（本大题共11小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题5.0分)
已知x=2+ 3，求代数式(x−1)2−2x+5的值．
19. (本小题5.0分)
如图，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE=CF．
20. (本小题5.0分)
如图，△ABC为等边三角形．
求作：菱形ABFE，使得∠BAE=150∘．
作法：如图，
①作∠BAC的平分线AD ，交BC 于点D；
②以点A为圆心，AB 长为半径画弧交DA的延长线于点E；
③分别以点B，E为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点F(不是点A)；
④连接BF,EF．
则四边形ABFE为所求作的菱形．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：∵AB=AE=BF=EF，
∴四边形ABFE为菱形(______)(填推理依据)．
∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60∘．
∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC=______ ∘．
∵∠BAE=180∘−∠BAD，∴∠BAE=______ ∘．
21. (本小题6.0分)
某数学兴趣小组研究某地区气温与海拔的关系．下表记录的是气温随海拔变化的情况：
海拔x/km
…
1
1.5
2
m
3.5
…
气温y/℃
…
−1
−4
−7
−10
n
…
小组研究发现，气温y与海拔x满足一次函数关系：y=kx+bk≠0.根据小组的研究发现，回答下列问题．
(1)求出k，b的值；
(2)求表格中m，n的值；
(3)当海拔x满足4⩽x⩽7时，求气温y的变化范围．
22. (本小题5.0分)
在平面直角坐标系xOy中，点P(x,y)的坐标满足y=2−x．
(1)当点P在第一象限时，画出点P组成的图形；
(2)已知点A(−3,0)，当△OPA的面积为6时，求点P的坐标．
23. (本小题5.0分)
下面是证明直角三角形的一个性质的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90∘，BO 是斜边AC 的中线．
求证：BO=12AC．
方法一
证明：如图，延长BO 至点D，使得OD=OB，连接AD,CD．
方法二
证明：如图，取BC 的中点D，连接OD ．
24. (本小题5.0分)
为了解北京市的水资源情况，收集了1978−2020年北京的年降水量(单位：毫米)共43个数据，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
注：降水量是指一定时段内降落在某一点或某一区域上的水层深度，通常以毫米表示．
a.43个数据的频数分布直方图如下(数据分成7组：200⩽x<300，300⩽x<400，400⩽x<500，500⩽x<600，600⩽x<700，700⩽x<800，800⩽x<900)；
b.43个数据中，在500⩽x<600这一组的是：
507 523 527 542 544 547 573 576 579
c.43个数据的平均数、中位数如下：
平均数
中位数
547
n
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中n的值为______；
(2)1978−2020年北京的年降水量高于547毫米的年份共______个；
(3)若2021年，2022年北京的年降水量分别是698毫米，493毫米，则下列推断合理的是______(填写序号)．
①因为698大于n，所以北京2021年降水量比1978−2020年中一半以上年份的年降水量高；
②已知1978−2000年北京的年降水量的方差为21249，2001—2022年北京的年降水量的方差为13486，由此推断2001−2022年北京的年降水量的波动较大；
③1个底面边长为10分米的正方体集水箱2022年共可收集降水约493升．注：1升=1立方分米
25. (本小题5.0分)
A，B两地分别有垃圾20吨，30吨，现要把这些垃圾全部运到C，D两个垃圾处理厂，其中24吨运到C厂．运费标准(单位：元/吨)如下表：
目的地
始发地
C厂
D厂
A地
26
25
B地
15
20
当从A地运送多少吨垃圾到C厂时，从A，B两地运到C厂的总运费大于运到D厂的总运费？
(1)建立函数模型：设从A地运到C厂x吨垃圾．从A，B两地运到C厂的总运费为y1元，运到D厂的总运费为y2元．分别求出y1,y2关于x的函数关系式；
(2)根据函数的图象与性质，解决问题：当y1>y2时，求x的取值范围．
26. (本小题5.0分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=2x的图象平移得到，且经过点(−1,3)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当x>1时，对于x的每一个值，函数y=mx的值均大于函数y=kx+b(k≠0)的值，直接写出m的取值范围．
27. (本小题7.0分)
如图，正方形ABCD.过点B作射线BP ，交DA 的延长线于点P.点A关于直线BP的对称点为E，连接BE,AE,CE.其中AE,CE分别与射线BP交于点G，H．
(1)依题意补全图形；
(2)设∠ABP=α，∠AEB=______(用含α的式子表示)，∠AEC=______ ∘；
(3)若EH=BH，用等式表示线段AE 与CE 之间的数量关系，并证明．
28. (本小题7.0分)
在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN 和点P作出如下定义：若点M，N分别是线段PP1，PP2的中点，连接P1P2，我们称线段P1P2的中点Q是点P关于线段MN 的“关联点”．
(1)已知点M(2,2)，点P关于线段OM的“关联点”是点Q．
①若点P的坐标是2,0，则点Q的坐标是______；
②若点E的坐标是1,−1，点F的坐标是3,−1.点P是线段EF 上任意一点，求线段PQ 长的取值范围；
(2)点A是直线l:y=x+1上的动点．在矩形ABCD 中，边AB//x轴，AB=3,BC=2.点P是矩形ABCD 边上的动点，点P关于其所在边的对边的“关联点”是点Q.过点A作x轴的垂线，垂足为点G.设点G的坐标是t,0.当点A沿着直线l运动到点A′时，点G沿着x轴运动到点G′(t+m,0)，点Q覆盖的区域的面积S满足20⩽S⩽30，直接写出m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，结合选项求解即可．
【详解】解：A． (−2)2=2，不是最简二次根式，所以选项不符合题意；
B. 12=2 3，被开方数12中含有能开得尽方的因式4，因此选项不符合题意；
C. 34= 32，被开方数中含有分母，因此选项不符合题意；
D. 7，是最简二次根式，因此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了最简二次根式的概念，解答本题的关键在于掌握最简二次根式的概念，对各选项进行判断．
2.【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的对角相等，容易得出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴C正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的对角相等的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
3.【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可得到答案．
【详解】解：A、 (−1)2=1，原式计算错误，不符合题意；
B、( 3)2=3，原式计算正确，符合题意；
C、 4=2，原式计算错误，不符合题意；
D、(− 2)2=2原式计算错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，正确对每个选项中的二次根式化简是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】
【分析】根据甲选手波动小可得s甲2
【详解】解：由统计图可知，甲选手的成绩波动比乙选手的成绩波动小，
∴s甲2
∴甲选手五轮的总成绩大于乙选手五轮的总成绩，
∴甲选手的平均数比乙选手的高，
∴x甲>x乙，
故选B．
【点睛】本题主要考查了折线统计图，平均数和方差的意义，灵活运用所学知识是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】
【分析】根据直角三角形30∘角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2AB=4，再根据勾股定理求出AD．
【详解】∵∠ABC=90∘，∠ACB=30∘，AB=2，
∴AC=2AB=4，
∴BC= AC2−AB2= 42−22=2 3，
∴AD=BC=2 3．
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质、直角三角形30∘角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
6.【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数的图象和性质求解即可．
【详解】∵y=−2x+3，−2<0，3>0
∴y随x的增大而减小，经过第一，二，四象限
∵x1
∴点P在第二象限，故A选项正确，不符合题意；
∵当x=0时，y=3，
∴坐标原点不在此函数图象上，故B选项正确，不符合题意；
∵x1
故选：D．
【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质．
7.【答案】B
【解析】
【分析】分别求出直线y=mx恰好经过A(−2,1)和B(1,1)时m的值，进而结合函数图象求出m的取值范围，由此即可得到答案．
【详解】解：当直线y=mx恰好经过A(−2,1)时，则−2m=1，解得m=−12，
当直线y=mx恰好经过B(1,1)时，则m=1，
∴当直线y=mx与线段AB 有交点时，m⩾1或m⩽−12，
∴四个选项中只有B选项不满足上述条件，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，正确求出m的取值范围是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】
【分析】如图1所示，连接CD，证明S△ADE=S△CDE，进而得到S△ADE
【详解】解：如图1所示，连接CD，
∵E是AC 的中点，
∴S△ADE=S△CDE，
∴S△ADE
∴S四边形DBCE>12S△ABC，故(1)画法错误；
如图2所示，设AC、BD交于O，
∵AC⊥BD，
∴S四边形ABCD=S△ABO+S△CBO+S△ADO+S△CDO
=12OB⋅OA+12OB⋅OC+12OD⋅OA+12OD⋅OC
=12OB⋅AC+12OD⋅AC
=12AC⋅BD，
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF//AC,EF=12AC，
同理可得HG//AC,GH=12AC,EH=12BD,EH//BD，
∴EF//HG,EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴EH⊥EF，
∴四边形EFGH是矩形，
∴S四边形EFGH=EF⋅EH=12AC⋅12BD=14AC⋅BD=12S四边形ABCD，故(2)画法正确；
如图3所示，连接BE ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∵EG//AB，
∴四边形ABGE是平行四边形，
∴S△BEG=12S四边形ABGE，
∵AB//EG，
∴S△BEG=S△EFG，
∴S△EFG=12S四边形ABGE，
同理可得S△HFG=12S四边形CDEG，
∴S△EFG+S△HFG=12S四边形ABGE+12S四边形CDEG
∴S四边形EFGH=12S四边形ABCD，故(3)画法正确；
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，三角形中位线定理等等，熟知相关知识是解题的关键．
9.【答案】x≥1
【解析】
【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x−1≥0，
∴x≥1，
故答案为：x≥1．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0．
10.【答案】15
【解析】
【分析】根据众数的概念求解即可．
【详解】15出现的次数最多，
∴众数是15．
故答案为：15．
【点睛】此题考查了众数，解题的关键是熟练掌握众数的概念．众数是一组数据中出现次数最多的数据．
11.【答案】−1
【解析】
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的性质，通过计算，即可完成求解．
【详解】解：∵ 6是最简二次根式，且最简二次根式 4−2m与 6是同类二次根式
∴4−2m=6
∴m=−1，
故答案为：−1 ．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式，熟知同类二次根式的定义是解题的关键：如果两个最简二次根式的被开方数相同，那么这两个二次根式叫做同类二次根式．
12.【答案】(5,4)
【解析】
【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．
【详解】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(−3,0)，(2,0)，点D在y轴上，
∴AB=5，
∴DO=4，
∴点C的坐标是：(5,4)．
故答案为：(5,4)．
13.【答案】3
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出BC=6，再证明OE 为△ABC的中位线，则OE=12BC=3．
【详解】解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90∘，
∵AB=10,AC=8，
∴BC= AB2−AC2= 102−82=6，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AO=CO，即点O为AC 的中点，
又∵点E为边AB的中点，
∴ OE 为△ABC的中位线，
∴OE=12BC=3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
14.【答案】 5
【解析】
【分析】由矩形的性质可得AD=BC=2,∠D=90∘，再由折叠的性质可得AF=AB=3，据此利用勾股定理求出答案即可．
【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD=BC=2,∠D=90∘，
由折叠的性质可得AF=AB=3，
∴在Rt△ADF中，由勾股定理得DF= AF2−AD2= 5，
故答案为： 5．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形与折叠问题，灵活运用所学知识是解题的关键．
15.【答案】1
【解析】
【分析】根据正方形的性质和等边三角形的性质分别得到AB=AD=BC=CD,∠B=∠D=∠C=90∘，AE=AF=EF=2，由此可证明Rt△ABE≌Rt△ADF得到BE=DF，进一步证明△CEF是等腰直角三角形，得到CE=CF= 22EF= 2，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD,∠B=∠D=∠C=90∘，
∵△AEF是边长为2的等边三角形，
∴AE=AF=EF=2，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，
∴BE=DF，
∴BC−BE=DC−DF，即CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CE=CF= 22EF= 2，
∴S△CEF=12CE⋅CF=1，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，证明△CEF是等腰直角三角形是解题的关键．
16.【答案】【答案】①②③
【解析】
【分析】由图1可知乙车先到达目的地，由此结合图2可知甲货车从A地到B地耗时6小时，即a=6，即可判断①；根据当出发后2.4 小时后，甲、乙两车的距离为0，即此时两车相遇，即可判断②；求出甲车的速度，进而根据当出发后2.4 小时后两车相距为0求出乙车的速度即可判断③；求出乙车到达目的地的时间，进而求出此时甲车的路程即可判断④．
【详解】解：由图1可知乙比甲先到达目的地，
∴由图2可知，甲货车从A地到B地耗时6小时，即a=6，故①正确；
由图2可知，当出发后2.4 小时后，甲、乙两车的距离为0，即此时两车相遇，
∴b=2.4，故②正确；
∵甲车的速度为240÷6=40(km/h)，
∴乙车的速度为240÷2.4−40=60(km/h)，故③正确；
乙车到达A地的时间为240÷6=4h，
∴此时甲车行驶的路程为4×40=160(km)，
∴点P的坐标是4,160，故④错误；
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，正确读懂函数图象是解题的关键．
17.【答案】(1)解：原式=2 3− 22+ 2− 3
= 3+ 22；
(2)解：原式=[(2 5)2−42]÷2 2
=(20−16)÷2 2
=4÷2 2
= 2．
【解析】
【分析】(1)先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可；
(2)根据二次根式的混合计算法则求解即可．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
18.【答案】解：(x−1)2−2x+5
=x2−2x+1−2x+5
=x2−4x+6
=(x−2)2+2
当x=2+ 3时，
原式=(2+ 3−2)2+2
=( 3)2+2
=3+2
=5．
【解析】
【分析】利用完全平方公式，将(x−1)2−2x+5变式为(x−2)2+2，再代入数值解题．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式、二次根式的性质，是重要考点，掌握完全平方公式是解题关键．
19.【答案】证明：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠BAE=∠DCF．
又BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90°．
在△ABE与△CDF中，
{∠AEB=∠CFD∠BAE=∠DCFAB=CD ，
∴得△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AE=CF．
【解析】
【分析】由全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△CDF，则对应边相等，即AE=CF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
20.【答案】(1)解：如图所示，即为所求；
(2)四条边相等的四边形是菱形；30；150
【解析】
【分析】(1)根据题意作图即可；
(2)先证明四边形ABFE为菱形，再根据等边三角形的性质得到∠BAD=30∘，则由平角的定义可得∠BAE=180∘−∠BAD=150∘．
【详解】(1)见答案
(2)证明：∵AB=AE=BF=EF，
∴四边形ABFE为菱形(四条边相等的四边形是菱形)．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60∘．
∵ AD 平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC=30∘．
∵∠BAE=180∘−∠BAD，
∴∠BAE=150∘．
故答案为：四条边相等的四边形是菱形；30；150．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定，等边三角形的性质，角平分线的尺规作图，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)将1,−1，2,−7代入y=kx+b得，
k+b=−12k+b=−7，解得k=−6b=5
∴y=−6x+5．
(2)当y=−10时，即−10=−6x+5，解得x=2.5
∴m=2.5．
当x=3.5时，即y=−6×3.5+5=−16
∴n=−16；
(3)∵y=−6x+5，
∴y随x的增大而减小
∴当x=4时，y=−6×4+5=−19；
当x=7时，y=−6×7+5=−37；
∴气温y的变化范围为−37⩽y⩽−19．
【解析】
【分析】(1)利用待定系数法求解即可；
(2)将y=−10和x=3.5分别代入求解即可；
(3)首先根据一次函数的性质得到y随x的增大而减小，然后分别求出x=4和x=7时y的值，进而求解即可．
【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求解一次函数解析式，一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的有关性质．
22.【答案】(1)解：在y=2−x中，当x=0时，y=2，当y=2−x=0时，x=2；
∵点P在第一象限，且点P(x,y)的坐标满足y=2−x，
∴如图所示，点P组成的图形为：线段CD (不包括端点)，其中C(0,2)，D(2,0)．
(2)解：∵A(−3,0)，
∴OA=3，
∵△OPA的面积为6，
∴S△OAP=12OA⋅|yP|=6，
∴12×3|yP|=6，
∴|yP|=4，即yP=±4，
当y=4时，则4=2−x，解得x=−2；
当y=−4时，则−4=2−x，解得x=6；
∴点P的坐标为−2,4或(6,−4)．
【解析】
【分析】(1)先求出一次函数y=2−x与x轴，y轴的交点坐标，再根据点P在一次函数图象上且在第一象限即可得到答案；
(2)先求出OA=3，再根据三角形面积公式求出yP=±4，由此即可得到答案．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，画一次函数图象，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．
23.【答案】证明：方法一：∵点O 是AC 边的中点，
∴OA=OC，
又∵OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC=90∘，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∴OB=12BD=12AC．
方法二：∵ BO 是斜边AC 的中线，
∴点O是AC 的中点，
∵ BC 的中点D，
∴ OD 是△ABC的中位线，
∴OD//AB，
∴∠ODC=∠ABC=90∘，
∴ OD 垂直平分线BC ，
∴OB=OC，
∵OC=12AC，
∴BO=12AC．
【解析】
【分析】方法一：先证明四边形ABCD是平行四边形，进而证明四边形ABCD是矩形，则由矩形的性质可得OB=12BD=12AC．
方法二：证明OD 是△ABC的中位线，得到OD//AB，则OD 垂直平分BC ，由线段垂直平分线的性质可得OB=OC=12AC．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，三角形中位线的性质，线段垂直平分线的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
24.【答案】(1) 527；
(2)18；
(3)①③．
【解析】
【分析】(1)根据中位数的定义进行求解即可；
(2)根据统计图中的数据进行求解即可；
(3)根据中位数的定义即可判断①；根据方差越小，波动越小即可判断②；计算出收集的雨水体积即可判断③．
【详解】(1)解：∵一共有43个数据，
∴中位数是第22个数据(从低到高排列)，即中位数为527，
∴n=527，
故答案为：527 ；
(2)解：由统计图的数据可知，1978−2020年北京的年降水量高于547毫米的年份共3+7+7+1=18个，
故答案为：18
(3)解：∵698>527，
∴北京2021年降水量比1978−2020年中一半以上年份的年降水量高，故①正确；
∵已知1978−2000年北京的年降水量的方差为21249，2001—2022年北京的年降水量的方差为13486，且13486<21249
∴推断2001−2022年北京的年降水量的波动较小，故②错误；
10×10×4.93=493(dm3)，
∴1个底面边长为10分米的正方体集水箱2022年共可收集降水约493升，故③正确；
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，中位数，方差与稳定性之间的关系，熟知相关知识是解题的关键．
25.【答案】(1)解：由题意得，y1=26x+15(24−x)=11x+360，
y2=25(20−x)+20(30−24+x)=−5x+620；
(2)解：当y1>y2时，则11x+360>−5x+620，
解得x>16.25，
又∵x⩽20，
∴16.25
【解析】
【分析】(1)根据运费=垃圾数量×每吨的运费进行求解即可；
(2)根据(1)所求，列出对应的不等式求解即可．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的取值范围，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
26.【答案】(1)解：∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=2x的图象平移得到，
∴k=2，
∴一次函数y=kx+b(k≠0)的解析式为y=2x+b，
∵一次函数y=2x+b经过−1,3，
∴3=2×(−1)+b，即b=5，
∴这个一次函数的解析式为y=2x+5；
(2)m⩾7．
【解析】
【分析】(1)根据平移的性质可得k=2，然后利用待定系数法求解即可；
(2)分别讨论当m=2时，当m<2时，当m>2时，结合当x>1时，对于x的每一个值，函数y=mx的值均大于函数y=kx+b(k≠0)的值解析求解即可．
【详解】(1)见答案；
(2)解：当m=2时，2x>2x+5，即0>5，不成立，
当m<2时，则当x>1时，mx<2x<2x+5不符合题意；
当m>2时，
∵函数y=mx的值均大于函数y=kx+b(k≠0)的值，
∴mx>2x+5，
∴(m−2)x>5，
∴x>5m−2，
∵当x>1时，对于x的每一个值，函数y=mx的值均大于函数y=kx+b(k≠0)的值，
∴x>1是不等式x>5m−2的一个解，
∴5m−2⩽1，
∴m⩾7；
综上所述，m⩾7．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数图象，一次函数与不等式之间的关系等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
27.【答案】解：(1)如图所示，
(2)90∘−α，45；
(3)如图所示，过点E作EM⊥BC交CB 的延长线于点M，
∵∠AEH=45∘，∠EGH=90∘
∴∠EHG=45∘
∴△EHG是等腰直角三角形
∴设EG=HG=AG=a，则EH= 2a，AE=2a
∴EH=BH= 2a
∴GB=GH+BH=a+ 2a
∴BE= EG2+BG2= 4a2+2 2a
∴BC=BE= 4a2+2 2a
∵∠EHG=45∘，EH=BH
∴∠HBE=∠HEB=12∠EHG=22.5∘
∴∠ABG=∠EBG=22.5∘
∴∠ABE=45∘
∴∠MBE=45∘
∵EM⊥BC
∴∠MEB=45∘
∴△EMB是等腰直角三角形
∴EM=BM= 22BE= 2a2+ 2a
∴MC=BM+BC= 2a2+ 2a+ 4a2+2 2a
∴EC= ME2+MC2=(2 2+2)a
∵AE=2a
∴ECAE=(2 2+2)a2a= 2+1
∴EC=( 2+1)AE．
【解析】
【分析】(1)根据题意补全图形即可；
(2)首先根据题意得到BP垂直平分AE ，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可；
(3)过点E作EM⊥BC交CB 的延长线于点M，首先得到△EHG是等腰直角三角形，然后设EG=HG=AG=a，则EH= 2a，AE=2a，根据勾股定理表示出BC=BE= EG2+BG2= 4a2+2 2a，然后证明出△EMB是等腰直角三角形，利用勾股定理得到EC= ME2+MC2=(2 2+2)a，进而求解即可．
【详解】(1)见答案；
(2)∵点A关于直线BP的对称点为E，
∴ BP垂直平分AE
∴BE=AB，AE⊥BP
∴∠AEB=∠BAE=90∘−α；
∴∠EBG=∠ABP=α
∴∠EBC=∠EBP+∠ABP+∠ABC=2α+90∘
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC
∵BE=AB
∴BE=BC
∴∠BEC=∠BCE=12(180∘−∠EBC)=45∘−α
∴∠AEC=∠AEB−∠BEC=45∘；
故答案为：90∘−α，45；
(3)见答案．
【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
28.【答案】(1)①0,2；
②设点O和点M分别是PP1，PP2的中点，P(s,−1)(1⩽s⩽3)，
∴P1(−s,1),P2(4−s,5)，
∵点Q是P1P2的中点，
∴点Q的坐标为−s+4−s2,1+52，即2−s,3，
∴PQ2=(2−s−s)2+[3−(−1)]2
=4(s−1)2+16，
∵1⩽s⩽3，
∴s−1>0，
∴当s增大时，s−1的值也增大，则(s−1)2的值也增大，
当s=1时，PQ2=16，即PQ=4；
当s=3时，PQ2=32，即PQ=4 2；
∴4⩽PQ⩽4 2；
(2)−3⩽m⩽−2或2⩽m⩽3
【解析】
【分析】(1)①设点O和点M分别是PP1，PP2的中点，根据定义求出P1(−2,0),P2(2,4)，再由点Q是P1P2的中点即可得到答案；
②设点O和点M分别是PP1，PP2的中点，P(s,−1)(1⩽s⩽3)，同理可得Q(2−s,3)，由勾股定理得到PQ2=4(s−1)2+16，据此求解即可；
(2)设A(a,a+1)，则B(a+3,a+1)，C(a+3,a+3)，D(a,a+3)，当点P在AD 上时，设P(a,b)(a+1⩽b⩽a+3)，点C和点B分别是PP1，PP2的中点，则P1(a+6,2a+6−b)，P2(a+6,2a+2−b)，点Q的坐标为a+6,2a+4−b，由此可得到点Q在直线x=a+6上的一条线段上该线段的两个端点坐标分别为E(a+6,a+3),F(a+6,a−1)；同理可得当点P在AB 上时，点Q在直线y=a+4的一条线段上，该线段的两个端点坐标分别J(a,a+4),K(a+3,a+4).故当点A在平移的过程中，点Q覆盖的面积即为平行四边形JKML和平行四边形EFGH面积之和的两倍(面积无重叠时)；根据平移的性质可得当点G沿着水平方向移动m个单位长度时，相当于平行四边形JKML边JK 上的高为m，平行四边形EFGH边EF 上的高为m，由此可得S=10|m|(当且仅当面积没有重叠的时候)，当m=±3时，如下图所示，刚好点Q覆盖的四个区域没有重合的部分，故当|m|⩽3时，面积没有重叠的部分，当|m|>3时，S>30，由此根据20⩽S⩽30列出不等式求解即可．
【详解】(1)解：①设点O和点M分别是PP1，PP2的中点，
∵M(2,2)，点P的坐标是2,0，
∴P1(−2,0),P2(2,4)，
∵点Q是P1P2的中点，
∴点Q的坐标为−2+22,0+42，即0,2，
故答案为：0,2；
②见答案 ；
(2)解：设A(a,a+1)，则B(a+3,a+1)，C(a+3,a+3)，D(a,a+3)，
当点P在AD上时，设P(a,b)(a+1⩽b⩽a+3)，点C和点B分别是PP1，PP2的中点，
∴P1(a+6,2a+6−b)，P2(a+6,2a+2−b)，
∵点Q是P1P2的中点，
∴点Q的坐标为a+6+a+62,2a+6−b+2a+2−b2，即a+6,2a+4−b，
∵a+1⩽b⩽a+3
∴a+1⩽2a+4−b⩽a+3，
∴点Q在直线x=a+6上的一条线段上该线段的两个端点坐标分别为E(a+6,a+3),F(a+6,a−1)；
同理可得当点P在AB 上时，点Q在直线y=a+4的一条线段上，该线段的两个端点坐标分别为J(a,a+4),K(a+3,a+4)，
∴EF=2,JK=3；
∴当点A在平移的过程中，点Q覆盖的面积即为平行四边形JKML和平行四边形EFGH面积之和的两倍(面积无重叠时)，
∵点A在直线y=x+1上，
∴当点G沿着水平方向移动m个单位长度时，相当于平行四边形JKML边KJ 上的高为m，平行四边形EFGH边EF 上的高为m，
∴S=2(2|m|+3|m|)=10|m|(当且仅当面积没有重叠的时候)，
当m=±3时，如下图所示，刚好点Q覆盖的四个区域没有重合的部分，故当|m|⩽3时，面积没有重叠的部分，
当|m|>3时，S>30，
∵20⩽S⩽30，
∴20⩽10|m|⩽30，
∴2⩽|m|⩽3，
∴−3⩽m⩽−2或2⩽m⩽3
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一次函数与几何综合，勾股定理，平行四边形的性质，平移的性质等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
相关试卷
2022-2023学年北京市东城区七年级（下）期末考试数学试卷（含答案解析）： 这是一份2022-2023学年北京市东城区七年级（下）期末考试数学试卷（含答案解析），共21页。试卷主要包含了 4的算术平方根是等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市东城区汇文中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年北京市东城区汇文中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷（含解析） (2)： 这是一份2022-2023学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷（含解析） (2)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
