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2022-2023学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷
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这是一份2022-2023学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个式子中，最简二次根式为( )
A. (−2)2 B. 12 C. 34 D. 7
2. 在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是( )
A. 1：2：3：4 B. 1：2：2：1 C. 1：2：1：2 D. 1：1：2：2
3. 下列各式中，计算结果正确的是( )
A. (−1)2=−1 B. ( 3)2=3 C. 4=±2 D. (− 2)2=−2
4. 奥运会的跳水项目是优美的水上运动，中国跳水队被称为“梦之队”，在一次女子单人10米台跳水比赛中，甲、乙两名选手五轮得分的折线统计图如图所示.设甲、乙的平均分依次为x甲−，x乙−，方差依次为S甲2，S乙2.以下四个推断中，正确的是( )
A. x甲−>x乙−，S甲2>S乙2 B. x甲−>x乙−，S甲2S乙2 D. x甲−
A. 2 3 B. 2 C. 3 D. 1
6. 在平面直角坐标系xOy中，点P(x1,y1)，Q(x2,y2)都在函数y=−2x+3的图象上，若x1
C. y1>y2 D. y2<3
7. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−2,1)，B(1,1).若直线y=mx与线段AB有交点，则m的值不可能是( )
A. 1 B. 12 C. −12 D. −1
8. 画一个四边形，使得该四边形的面积等于已知图形面积的一半．
(1)如图1，已知等腰△ABC，D，E分别是AB，AC的中点，画四边形DBCE；
(2)如图2，已知四边形ABCD，AC⊥BD.四边的中点分别为E，F，G，H，画四边形EFGH；
(3)如图3，已知平行四边形ABCD，点E，G分别在AD，BC上，且EG//AB，点F，H分别在AB，CD上，画四边形EFGH．
以上三种画法中，所有正确画法的序号是( )
A. (1)(3) B. (2) C. (2)(3) D. (1)(2)(3)
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 若二次根式 x−1有意义，则x的取值范围是______．
10. 北京某月连续10天的最低气温(单位：℃)分别是：13，14，15，15，15，16，16，18，18，21，这组数据的众数是______ ．
11. 若最简二次根式 4−2m与 6是同类二次根式，则m的值是______ ．
12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(−3,0)，(2,0)，点D在y轴上，则点C的坐标是______．
13. 如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，对角线AC，BD交于点O，点E为边AB的中点，若AB=10，AC=8，则OE的长为______ ．
14. 如图，将矩形纸片ABCD沿AE折叠，顶点B落在CD边上点F处，若AB=3，BC=2，则DF= ______ ．
15. 如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC，CD上，则△EFC的面积为______ ．
16. 已知A，B两地相距240km.甲、乙两辆货车分别从A，B两地同时出发，匀速相向而行.图1表示甲、乙两辆货车距A地的距离s(单位：km)与行驶时间t(单位：h)的数量关系；图2表示甲、乙两辆货车间的距离d(单位：km)与行驶时间t(单位：h)的数量关系．
根据以上信息得到以下四个推断：
①甲货车从A地到B地耗时6小时，即a=6；
②出发后2.4小时甲、乙两辆货车相遇，即b=2.4；
③乙货车的速度是60km/h；
④点P的坐标是(4,180)．
所有正确推断的序号是______ ．
三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：
(1)( 12− 12)+( 2− 3)；
(2)(2 5+4)×(2 5−4)÷ 8．
18. (本小题5.0分)
已知x=2+ 3，求代数式(x−1)2−2x+5的值．
19. (本小题5.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F．
求证：AE=CF．
(说明：写出证明过程中的重要依据)
20. (本小题5.0分)
如图，△ABC为等边三角形．
求作：菱形ABFE，使得∠BAE=120°．
作法：如图，
①作∠BAC的平分线AD，交BC于点D；
②以点A为圆心，AB长为半径画弧交DA的延长线于点E；
③分别以点B，E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F(不是点A)；
④连接BF，EF．
则四边形ABFE为所求作的菱形．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：∵AB=AE=BF=EF，
∴四边形ABFE为菱形(______ )(填推理依据)．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC= ______ °.
∵∠BAE=180°−∠BAD，
∴∠BAE= ______ °.
21. (本小题6.0分)
某数学兴趣小组研究某地区气温与海拔的关系.如表记录的是气温随海拔变化的情况：
海拔x/km
…
1
1.5
2
m
3.5
…
气温/°C
…
−1
−4
−7
−10
n
…
小组研究发现，气温y与海拔x满足一次函数关系：y=kx+b(k≠0).根据小组的研究发现，回答下列问题．
(1)求出k，b的值；
(2)求表格中m，n的值；
(3)当海拔x满足4≤x≤7时，求气温y的变化范围．
22. (本小题5.0分)
在平面直角坐标系xOy中，点P(x,y)的坐标满足y=2−x．
(1)当点P在第一象限时，画出点P组成的图形；
(2)已知点A(−3,0)，当△OPA的面积为6时，求点P的坐标．
23. (本小题5.0分)
下面是证明直角三角形的一个性质的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是斜边AC的中线．
求证：BO=12AC．
方法一
证明：如图，延长BO至点D，使得OD=OB，连接AD，CD．
方法二
证明：如图，取BC的中点D，连接OD．
24. (本小题5.0分)
为了解北京市的水资源情况，收集了1978−2020年北京的年降水量(单位：毫米)共43个数据，并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息．
注：降水量是指一定时段内降落在某一点或某一区域上的水层深度，通常以毫米表示．
a.43个数据的频数分布直方图如下(数据分成7组：200≤x<300，300≤x<400，400≤x<500，500≤x<600，600≤x<700，700≤x<800，800≤x≤900)：
b.43个数据中，在500≤x<600这一组的是：
507 523 527 542 544 547 573 576 579
c.43个数据的平均数、中位数如下：
平均数
中位数
547
n
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中n的值为______ ；
(2)1978−2020年北京的年降水量高于547毫米的年份共______ ；
(3)若2021年，2022年北京的年降水量分别是698毫米，493毫米，则下列推断合理的是______ ；(填写序号)
①因为698大于n，所以北京2021年降水量比1978−2020年中一半以上年份的年降水量高；
②已知1978−2000年北京的年降水量的方差为21249，2001−2022年北京的年降水量的方差为13486.由此推断2001−2022年北京的年降水量的波动较大；
③1个底面边长为10分米的正方体集水箱2022年共可收集降水约493升．
注：1升=1立方分米
25. (本小题5.0分)
A，B两地分别有垃圾20吨，30吨，现要把这些垃圾全部运到C，D两个垃圾处理厂，其中24吨运到C厂.运费标准(单位：元/吨)如表：
始发地/目的地
C厂
D厂
A地
26
25
B地
15
20
当从A地运送多少吨垃圾到C厂时，从A，B两地运到C厂的总运费大于运到D厂的总运费？
(1)建立函数模型
设从A地运到C厂x吨垃圾.从A，B两地运到C厂的总运费为y1元，运到D厂的总运费为y2元.分别求出y1，y2关于x的函数关系式；
(2)根据函数的图象与性质，解决问题：当y1>y2时，求x的取值范围．
26. (本小题5.0分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=2x的图象平移得到，且经过点(−1,3)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当x>1时，对于x的每一个值，函数y=mx的值均大于函数y=kx+b(k≠0)的值，直接写出m的取值范围．
27. (本小题7.0分)
如图，正方形ABCD.过点B作射线BP，交DA的延长线于点P.点A关于直线BP的对称点为E，连接BE，AE，CE.其中AE，CE分别与射线BP交于点G，H．
(1)依题意补全图形；
(2)设∠ABP=α，∠AEB= ______ (用含α的式子表示)，∠AEC= ______ °；
(3)若EH=BH，用等式表示线段AE与CE之间的数量关系，并证明．
28. (本小题7.0分)
在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN和点P作出如下定义：若点M，N分别是线段PP1，PP2的中点，连接P1P2，我们称线段P1P2的中点Q是点P关于线段MN的“关联点”．
(1)已知点M(2,2)，点P关于线段OM的“关联点”是点Q；
①若点P的坐标是(2,0)，则点Q的坐标是______ ；
②若点E的坐标是(1,−1)，点F的坐标是(3,−1).点P是线段EF上任意一点，求线段PQ长的取值范围；
(2)点A是直线l：y=x+1上的动点.在矩形ABCD中，边AB//x轴，AB=3，BC=2.点P是矩形ABCD边上的动点，点P关于其所在边的对边的“关联点”是点Q.过点A作x轴的垂线，垂足为点G.设点G的坐标是(t,0).当点A沿着直线l运动到点A′时，点G沿着x轴运动到点G′(t+m,0)，点Q覆盖的区域的面积S满足20≤S≤30，直接写出m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、 (−2)2=2，故A不符合题意；
B、 12=2 3，故B不符合题意；
C、 34= 32，故C不符合题意；
D、 7是最简二次根式，故D符合题意；
故选：D．
根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，AB//CD，
∴∠B+∠C=180°，∠A+∠D=180°，
即∠A和∠C的数相等，∠B和∠D的数相等，且∠B+∠C=∠A+∠D，
故选：C．
根据平行四边形的性质得到∠A=∠C，∠B=∠D，∠B+∠C=180°，∠A+∠D=180°，根据以上结论即可选出答案．
本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能根据平行四边形的性质进行判断是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．
3.【答案】B
【解析】解：∵ (−1)2=|−1|=1，
∴A选项的计算不正确，不符合题意；
∵( 3)2=3，
∴B选项的计算正确，符合题意；
∵ 4=2，
∴C选项的计算不正确，不符合题意；
∵(− 2)2=2，
∴D选项的计算不正确，不符合题意．
故选：B．
利用二次根式的性质和算术平方根的意义对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：根据折线统计图可知，甲、乙两名选手五轮得分中，第五轮成绩相同，第一轮与第三轮中甲选手成绩略低于乙选手成绩，第二轮与第四轮中甲选手成绩高于乙选手成绩，并且高出的得分明显大于低出的得分，所以x甲−>x乙−，
又因为甲选手五轮得分偏离平均值较小，波动较小，而乙选手五轮得分偏离平均值较大，波动较大，所以S甲2
根据折线统计图以及平均数、方差的意义求解即可．
本题考查的是折线统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了平均数、方差．
5.【答案】A
【解析】解：过O点作OH⊥AD，
∵四边形ABCD是矩形，∠AOB=60度，
∴△AOB是等边三角形，AO=BO=2，∠BAO=60°，
∴∠DAO=30°．
在Rt△AHO中，AO=2，∠HAO=30°，
∴AH= 3．
∴AD=2AH=2 3．
故选：A．
根据矩形的性质及∠AOB=60°，可得△ABO是等边三角形，从而得到等腰△AOD的底角∠DAO=30°，过O点作OH⊥AD，先求出AH长，计算其2倍就是AD长．
本题主要考查了矩形的性质，解题的关键是熟悉矩形的对角线互相平分且相等的性质．
6.【答案】D
【解析】解：∵一次函数y=−2x+3，a=−2<0，b=3>0，
∴图象过第一、二、四象限，y随x的增大而减小，
∴坐标原点不在此函数图象上，故B正确，不合题意；
∵x1
故A、C正确，不合题意，D错误，符合题意．
故选：D．
利用一次函数解析式得出其经过的象限，y随x的增大而减小，进而根据一次函数的性质以及图象上点的坐标特征判断即可．
此题主要考查了一次函数图象上点的坐标性质和一次函数增减性，正确利用一次函数增减性是解题关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵直线y=mx与线段AB有交点，
∴当直线y=mx过A(−2,1)时，m值最小，则有−2m=1，解得m=−12；
当直线y=mx过B(1,1)时，m值最大，则m=1，
∴m的取值范围为m≤−12或m≥1．
故选：B．
因为直线y=mx与线段AB有交点，求得当直线y=mx过A(−2,1)或B(1,1)时的m的值，然后根据图象从而得到m的取值范围．
本题考查了一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是运用数形结合的思想进行转化解题．
8.【答案】C
【解析】解：(1)∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE=12BC，DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC=1：4，
∴四边形DBCE的面积=34四边形ABC的面积，所以(1)不符合题意；
(2)∵四边的中点分别为E，F，G，H，
∴EH//BD，FG//BD，EF//AC，HG//AC，EH=12BD，EF=12AC，
∴EH//FG，EF//HG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴EF⊥FH，
∴▱EFGH为矩形，∴S矩形EFGH=FE⋅EH=14BD⋅AC，
S四边形ABCD=12BD⋅AC，
∴S矩形EFGH=12S四边形ABCD，
故②正确；
(3)在▱ABCD，有AB//CD，AD//BC，
∵EG//AB，
∴EG//CD，
∴四边形ABGE、四边形CDEG都是平行四边形，
∴S△EFG=12S四边形ABGE，S△EGH=12S四边形CDEG，
∴S四边形EFGH=12S四边形ABCD，
故③正确；
故选：C．
(1)根据相似三角形的性质求解；
(2)根据中点四边形的性质求解；
(3)根据平行四边形是性质求解．
本题考查了作图−复杂作图，掌握三角形中位线的性质、相似三角形的性质及平行四边形是性质是解题的关键．
9.【答案】x≥1
【解析】解：根据二次根式有意义的条件，x−1≥0，
∴x≥1．
故答案为：x≥1．
根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．
此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可．
10.【答案】15
【解析】解：15出现了3次，出现的次数最多，故这组数据的众数是15．
故答案为：15．
根据众数的定义求解可得．
本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
11.【答案】−1
【解析】解：∵最简二次根式 4−2m与 6是同类二次根式，
∴4−2m=6，
∴m=−1．
故答案为：−1．
利用同类二次根式的意义得到关于m的方程，解方程即可得出结论．
本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式的意义，熟练掌握上述定义是解题的关键．
12.【答案】(5,4)
【解析】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(−3,0)，(2,0)，点D在y轴上，
∴AB=5，
∴DO=4，
∴点C的坐标是：(5,4)．
故答案为：(5,4)．
利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．
此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，得出DO的长是解题关键．
13.【答案】3
【解析】解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴BC= AB2−AC2= 102−82=6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC；
又∵点E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=12BC=3，
故答案为：3．
由勾股定理得BC=6，再由平行四边形的性质得OA=OC，然后证OE是△ABC的中位线，即可解决问题．
此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．
14.【答案】 5
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=2，
∴AD=BC=2，∠D=90°，
由折叠得AF=AB=3，
∴DF= AF2−AD2= 32−22= 5，
故答案为： 5．
由矩形的性质得AD=BC=2，∠D=90°，由折叠得AF=AB=3，则DF= AF2−AD2= 5，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，证明AF=AB=3及AD=BC=2是解题的关键．
15.【答案】1
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
AB=ADAE=AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，
∴BE=DF，
∴CE=CF，∠C=90°，
即△ECF是等腰直角三角形，
由勾股定理得CE2+CF2=EF2，
∴EC= 2，
∴△EFC的面积为12EC⋅CF=12× 2× 2=1．
故答案为：1．
首先根据四边形ABCD是正方形，得出AB=AD，∠B=∠D=90°，再根据△AEF是等边三角形，得出AE=AF，最后根据HL即可证出△ABE≌△ADF；根据全等的性质：CE=CF，∠C=90°，从而得出△ECF是等腰直角三角形，再根据勾股定理得出EC的值，然后利用△EFC的面积=12EC⋅CF代入数据解答即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质，解答本题的关键是对正方形和三角形的性质以及勾股定理的运用要熟练掌握．
16.【答案】①②③
【解析】解：由已知甲从A到B，甲离A越来越远，图象呈上升趋势；
乙从B到A，乙离A越来越近将呈下降趋势，且乙先走完全程，
所以图1反映甲走完全程用时间为ah，再从图2甲走完全程共6h，所以a=6，故①正确；
图2中d=0时两车距离为0，说明两车相遇，出发时间为2.4h，图1中反映图象相交时间为bh，所以b=2.4h，故②正确；
根据图象可知甲的速度为240÷6=40km/h，
∵相遇时间为2.4h，所以乙的速度为(240−2.4×40)÷2.4=60km/h，故③正确；
拐点P说明乙到大B地，走完全程，所以此时时间为240÷60=4h，
两车相距为：240−4×40=80km，所以P(4,80)，故④错误，
故正确的序号是：①②③．
根据题意甲从A地出发到B地，距离A地越来越远，所以图象呈上升趋势；乙从B地出发距离A地越来越近，图象呈下降趋势，从图1中可以看出，图象相交意味着甲和乙相遇时间为b，时间a意味着甲到达B地，走完全程时间a小时；图2反映了两车之间的距离d=0，时间为2.4小时，说明两车相遇，拐点屁说明已到达A地，时间为60说明加到达B地；根据以上信息可得答案．
本题主要考查的是根据题意和图1图2两张图片的结合，获取信息——解决行程问题，可计算出甲的速度乙的速度，同时注意各拐点的坐标以及图象交点的坐标的实际意义解决问题的关键，进而得出答案．
17.【答案】解：(1)( 12− 12)+( 2− 3)
=2 3− 22+ 2− 3
= 3+ 22；
(2)(2 5+4)×(2 5−4)÷ 8
=[(2 5)2−42]÷2 2
=(20−16)÷2 2
=4÷2 2
= 2．
【解析】(1)先本每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
(2)利用二次根式的乘除法法则进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：(x−1)2−2x+5
=x2−2x+1−2x+5
=x2−4x+6
=x2−4x+4+2
=(x−2)2+2，
当x=2+ 3时，原式=(2+ 3−2)2+2=3+2=5，
∴代数式(x−1)2−2x+5的值为5．
【解析】先去括号，再合并同类项，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD(平行四边形对边平行且相等)，
∴∠BAE=∠DCF(两直线平行内错角相等)，
∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，
∴∠AEB=∠CFD=90°(垂直定义)，
∴∠ABE=∠CDF(等角的余角相等)，
∴△ABE≌△CDF(ASA)，
∴AE=CF(全等三角形的对应边相等)．
【解析】可以把要证明相等的线段AE、CF分别放到两个三角形中，即△ABE和△CDF中，寻找它们全等的条件(ASA)，得出对应边相等AE=CF．
此题主要考查平行四边形的性质及三角形全等的判定等知识．
20.【答案】四条边都相等的四边形是菱形 30 150
【解析】解：(1)如图：菱形ABFE即为所求；
(2)∵AB=AE=BF=EF，
∴四边形ABFE为菱形(四条边都相等的四边形是菱形)，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC=30°．
∴∠BAE=180°−∠BAD，
∴∠BAE=150°．
故答案为：四条边都相等的四边形是菱形，30，150．
(1)根据题中步骤作图；
(2)根据角平分线的性质及角的和差求解．
本题考查了复杂作图，掌握角平分线的性质及角的和差是解题的关键．
21.【答案】解：设一次函数表达式为y=kx+b，把(1,−1)、(2.−7)代入得，
k+b=−12k+b=−7，
解得k=−6b=5，
∴一次函数的解析式为：y=−6x+5．
(2)当x=3.5时，n=−6×3.5+5=−16，
当y=−10时，−10=−6m+5，
解得m=2.5．
(3)∵k=−6<0，y随x的增大而减小，
当x=4时，y=−6×4+5=−19，
当x=7时，y=−6×7+5=−37，
∴−19≤y≤−37．
【解析】(1)由表格信息可知点(1,−1)、(2.−7)在一次函数图象上，进而得到关于k、b的方程组；通过解方程组求出k、b的值，再代入所设表达式得到y与x的函数关系式；
(2)分别将x=3.5、y=10代入函数表达式中求出对应的m，n的值；
(3)分别将x=4、x=7代入函数表达式中求出对应的y的值．
此题考查的是一次函数的应用，掌握待定系数法求得解析式是解决此题的关键．
22.【答案】解：(1)如图：BC(不包含两个端点)即为所求；
(2)∵AO=3，△OPA的面积为6，
∴3|y|=12，
∴y=±4，
∴2−x=±4，
解得：x=6或x=−2，
∴P(6,−4)或P(−2,4)．
【解析】(1)根据描点法作图；
(2)根据三角形的面积公式求解．
本题考查了复杂作图，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
23.【答案】解：方法一：如图，延长BO至点D，使得OD=OB，连接AD，CD，
∵BO是斜边AC的中线，
∴AO=CO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∵BO=DO=12BD，
∴BO=12AC；
方法二：如图，取BC的中点D，连接OD，
∵点O是AC的中点，
∴DO是△ABC的中位线，
∴DO//AB，
∴∠ODC=∠ABC=90°，
∴OD是BC的垂直平分线，
∴OB=OC，
∵AO=CO=12AC，
∴BO=12AC．
【解析】方法一：延长BO至点D，使得OD=OB，连接AD，CD，根据三角形中线的定义可得AO=CO，从而可得四边形ABCD是平行四边形，进而可得四边形ABCD是矩形，然后利用矩形的性质可得AC=BD，从而可得BO=12AC，即可解答；
方法二：取BC的中点D，连接OD，再结合已知可得DO是△ABC的中位线，然后利用三角形的中位线定理可得DO//AB，从而可得∠ODC=∠ABC=90°，进而可得OD是BC的垂直平分线，最后利用线段垂直平分线的性质可得OB=OC，从而可得BO=12AC，即可解答．
本题考查了矩形的判定与性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握握矩形的判定与性质，以及三角形的中位线定理是解题的关键．
24.【答案】527 18 ①
【解析】解：(1)∵共43个数据，
∴中位数是把43个数据从小到大排列后的第22个数据，
∵第22个数据落在500≤x<600组，
∴n=527；
故答案为：527；
(2)1978−2020年北京的年降水量高于547毫米的年份共3+7+7+1=18(个)，
故答案为：18；
(3)①因为698大于n，所以北京2021年降水量比1978−2020年中一半以上年份的年降水量高；故符合题意；
②已知1978−2000年北京的年降水量的方差为21249，2001−2022年北京的年降水量的方差为13486.由此推断2001−2022年北京的年降水量的波动较小，故不符合题意；
③1个底面边长为10分米的正方体集水箱2022年共可收集降水约100×100×493=4930(升)故不符合题意．
故答案为：①．
(1)根据中位数的定义即可得到结论；
(2)根据频数分布直方图中的信息即可得到结论；
(3)根据中位数，方差的概念判断即可．
本题考查了频数分布直方图，中位数，众数的定义，方差的概念，熟练掌握位数，众数的定义是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵从A地运到C厂x吨垃圾，
∴从A地运到D厂(20−x)吨垃圾，从B地运到C厂(24−x)吨垃圾，从B地运到D厂30−(24−x)=(x+6)吨垃圾，
∴y1=26x+15(24−x)=11x+360，y2=25(20−x)+20(x+6)=−5x+620；
∴y1=11x+360，y2=−5x+620；
(2)当y1=y2时，11x+360=−5x+620，
∴x=16.25，
∵y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，
∴x>16.25时，y1>y2，
∴x的取值范围是x>16.25．
【解析】(1)由从A地运到C厂x吨垃圾，可知从A地运到D厂(20−x)吨垃圾，从B地运到C厂(24−x)吨垃圾，从B地运到D厂30−(24−x)=(x+6)吨垃圾，即可得y1=11x+360，y2=−5x+620；
(2)求出y1=y2时，x=16.25，由一次函数性质可得x的取值范围是x>16.25．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
26.【答案】解：(1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=2x的图象平移得到，
∴k=2．
∵一次函数y=2x+b的图象过点(−1,3)，
∴3=2×(−1)+b．
∴b=5．
∴这个一次函数的表达式为y=2x+5．
(2)当x=1时，y=2x+5=7，
把点(1,7)代入y=mx，求得m=7，
∵当x>1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=2x+5的值，
∴m≥7．
【解析】(1)据一次函数平移时k不变可知k=2，再把点(−1,3)代入求出b的值，进而可得出结论．
(2)根据点(1,7)结合图象即可求得．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换及一次函数和不等式的关系，熟知一次函数平移的性质是解答此题的关键．
27.【答案】90°−α 45
【解析】解：(1)如图所示，
(2)∵点A关于直线BP的对称点为E，
∴BP垂直平分AE，
∴BE=AB，AE⊥BP，
∴∠AEB=∠BAE=90°−α；
∴∠EBG=∠ABP=α，
∴∠EBC=∠EBP+∠ABP+∠ABC=2α+90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∴BE=AB，
∴BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE=12(180°−∠ECB)=45°−α；
∴∠AEC=∠AEB−∠BEC=45°；
故答案为：90°−α，45；
(3)EC=( 2+1)AE，
证明：如图所示，过点E作EM⊥BC交CB的延长线于点M，
∵∠AEH=45°，∠EGH=45°，
∴∠EHG=45°，
∴△EHG是等腰直角三角形，
∴设EG=HG=AG=a，则EH= 2a，AE=2a，
∴EH=BH= 2a，
∴GB=GH+BH=a+ 2a，
∴BE= EG2+BG2= 4+2 2a，
∴BC=BE= 4+2 2a，
∵∠EHG=45°，EH=BH，
△EMB是等腰直角三角形，
∴EC= ME2+MC2=(2 2+2)a.
∵AE=2a，
∴EC=( 2+1)AE．
(1)根据题意补全图形即可；
(2)首先根据题意得到BP垂直平分AE，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可；
(3)过点E作EM⊥BC交CB的延长线于点M，首先得到△EHG是等腰直角三角形，然后设EG=HG=AG=a，则EH= 2a，AE=2a，根据勾股定理表示出BC=BE= EG2+BG2= 4+2 2a，然后证明出△EMB是等腰直角三角形，利用勾股定理得到EC= ME2+MC2=(2 2+2)a，进而求解即可．
本题考查了四边形综合，等腰直角三角形，线段垂直平分线，解题的关键是掌握相关知识．
28.【答案】(0,2)
【解析】解：(1)①设点O和点M分别是PP1PP2的中点，
∵M(2,2)，点P的坐标是(2,0)，
∴P1(−2,0)，P2(2,4)，
∵点Q是P1P2的中点，
∴点Q的坐标为(−2+22,0+42)，即(0,2)，
故答案为：(0,2)．
②设点O和点M分别是PP1，PP2的中点，P(s,−1)(1≤s≤3)，
∴P1(−s,1)，P2(4−s,5)，
∵点Q是P1P2的中点，
∴点Q的坐标为(−s+4−s2,1+52)，即(2−s,3)，
∴PQ2=(2−s−s)2+[3−(−1)]2=4(s−1)2+16，
∵1≤s≤3，
∴s−1>0，
∴当s增大时，s−1的值也增大，则(s−1)2的值也增大，
∴当s=1时，PQ2=16，即PQ=4；
∴当s=3时，PQ2=32，即PQ=4 2，
∴4≤PQ≤4 2．
(2)设A(a,a+1)，则B(a+3,a+1)，C(a+3,a+3)，D(a,a+3)，
当点P在AD上时，设P(a,b)(a+1≤b≤a+3)，点C和点B分别是PP1，PP2的中点，
∴P1(a+6,2a+6−b)，P2(a+6,2a+2−b)，
∵点Q是P1P2的中点，
∴点Q的坐标为(a+6+a+62,2a+6−b+2a+2−b2)，即(a+6,2a+4−b)，
∵a+1≤b≤a+3，
∴a+1≤2a+4−b≤a+3，
∴点Q在直线x=a+6上的一条线段上，该线段的两个端点坐标分别为E(a+6,a+3)，F(a+6,a−1)；
同理可得当点P在AB上时，点Q在直线y=a+4的一条线段上，该线段的两个端点坐标分别为J(a,a+4)，K(a+3,a+4)，
∴EF=2，JK=3；
∴当点A在平移的过程中，点Q覆盖的面积即为平行四边形JKML和平行四边形EFGH面积之和的两倍(面积无重叠时)，
∵点A在直线y=x+1上，
∴当点G沿着水平方向移动|m|个单位长度时，相当于平行四边形JKML边JK上的高为|m|，平行四边形EFGH边EF上的高为|m|，
∴s=2(2|m|+3|m|)=10|m|(当且仅当面积没有重叠的时候)，
当m=±3时，如图，刚好点Q覆盖的四个区域没有重合的部分，
故当|m|≤3时，面积没有重叠的部分，
当|m|>3时，S>30，
∵20≤S≤30，
∴20≤10|m|≤30，
∴2≤|m|≤3，
∴−3≤m≤−2或2≤m≤3．
(1)①设点O和点M分别是PP1，PP2的中点，根据定义求出P1(−2,0)，P2(2,4)，再由点Q是P1P2的中点即可得到答案；
②设点O和点M分别是PP1，PP2的中点，P(s,−1)(1≤s≤3)，同理可得Q(2−s,3)，由勾股定理得到PQ2=4(s−1)2+16，据此求解即可；
(2)设A(a,a+1)，则B(a+3,a+1)，C(a+3,a+3)，D(a,a+3)，当点P在AD上时，设P(a,b)(a+1≤b≤a+3)，点C和点B分别是PP1，PP2的中点，则P1(a+6,2a+6−b)，P2(a+6,2a+2−b)，点Q的坐标为(a+6,2a+4−b)，由此可得到点Q在直线x=a+6上的一条线段上，该线段的两个端点坐标分别为E(a+6,a+3)，F(a+6,a−1)；同理可得当点P在AB上时，点Q在直线y=a+4的一条线段上，该线段的两个端点坐标分别J(a,a+4)，K(a+3,a+4)，故当点A在平移的过程中，点Q覆盖的面积即为平行四边形JKML和平行四边形EFGH面积之和的两倍(面积无重叠时)；根据平移的性质可得当点G沿着水平方向移动|m|个单位长度时，相当于平行四边形JKML边JK上的高为|m|，平行四边形EFGH边EF上的高为|m|，由此可得S=10|m|(当且仅当面积没有重叠的时候)，当m=±3时，如图所示，刚好点Q覆盖的四个区域没有重合的部分，故当|m|≤3时，面积没有重叠的部分，当|m|>3时，S>30，由此根据20≤S≤30列出不等式求解即可．
本题考查了一次函数的综合应用，主要考查坐标与图形，勾股定理，平行四边形的性质，平移的性质等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
2022-2023学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个式子中，最简二次根式为( )
A. (−2)2 B. 12 C. 34 D. 7
2. 在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是( )
A. 1：2：3：4 B. 1：2：2：1 C. 1：2：1：2 D. 1：1：2：2
3. 下列各式中，计算结果正确的是( )
A. (−1)2=−1 B. ( 3)2=3 C. 4=±2 D. (− 2)2=−2
4. 奥运会的跳水项目是优美的水上运动，中国跳水队被称为“梦之队”，在一次女子单人10米台跳水比赛中，甲、乙两名选手五轮得分的折线统计图如图所示.设甲、乙的平均分依次为x甲−，x乙−，方差依次为S甲2，S乙2.以下四个推断中，正确的是( )
A. x甲−>x乙−，S甲2>S乙2 B. x甲−>x乙−，S甲2
A. 2 3 B. 2 C. 3 D. 1
6. 在平面直角坐标系xOy中，点P(x1,y1)，Q(x2,y2)都在函数y=−2x+3的图象上，若x1
C. y1>y2 D. y2<3
7. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−2,1)，B(1,1).若直线y=mx与线段AB有交点，则m的值不可能是( )
A. 1 B. 12 C. −12 D. −1
8. 画一个四边形，使得该四边形的面积等于已知图形面积的一半．
(1)如图1，已知等腰△ABC，D，E分别是AB，AC的中点，画四边形DBCE；
(2)如图2，已知四边形ABCD，AC⊥BD.四边的中点分别为E，F，G，H，画四边形EFGH；
(3)如图3，已知平行四边形ABCD，点E，G分别在AD，BC上，且EG//AB，点F，H分别在AB，CD上，画四边形EFGH．
以上三种画法中，所有正确画法的序号是( )
A. (1)(3) B. (2) C. (2)(3) D. (1)(2)(3)
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 若二次根式 x−1有意义，则x的取值范围是______．
10. 北京某月连续10天的最低气温(单位：℃)分别是：13，14，15，15，15，16，16，18，18，21，这组数据的众数是______ ．
11. 若最简二次根式 4−2m与 6是同类二次根式，则m的值是______ ．
12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(−3,0)，(2,0)，点D在y轴上，则点C的坐标是______．
13. 如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，对角线AC，BD交于点O，点E为边AB的中点，若AB=10，AC=8，则OE的长为______ ．
14. 如图，将矩形纸片ABCD沿AE折叠，顶点B落在CD边上点F处，若AB=3，BC=2，则DF= ______ ．
15. 如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC，CD上，则△EFC的面积为______ ．
16. 已知A，B两地相距240km.甲、乙两辆货车分别从A，B两地同时出发，匀速相向而行.图1表示甲、乙两辆货车距A地的距离s(单位：km)与行驶时间t(单位：h)的数量关系；图2表示甲、乙两辆货车间的距离d(单位：km)与行驶时间t(单位：h)的数量关系．
根据以上信息得到以下四个推断：
①甲货车从A地到B地耗时6小时，即a=6；
②出发后2.4小时甲、乙两辆货车相遇，即b=2.4；
③乙货车的速度是60km/h；
④点P的坐标是(4,180)．
所有正确推断的序号是______ ．
三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：
(1)( 12− 12)+( 2− 3)；
(2)(2 5+4)×(2 5−4)÷ 8．
18. (本小题5.0分)
已知x=2+ 3，求代数式(x−1)2−2x+5的值．
19. (本小题5.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F．
求证：AE=CF．
(说明：写出证明过程中的重要依据)
20. (本小题5.0分)
如图，△ABC为等边三角形．
求作：菱形ABFE，使得∠BAE=120°．
作法：如图，
①作∠BAC的平分线AD，交BC于点D；
②以点A为圆心，AB长为半径画弧交DA的延长线于点E；
③分别以点B，E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F(不是点A)；
④连接BF，EF．
则四边形ABFE为所求作的菱形．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：∵AB=AE=BF=EF，
∴四边形ABFE为菱形(______ )(填推理依据)．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC= ______ °.
∵∠BAE=180°−∠BAD，
∴∠BAE= ______ °.
21. (本小题6.0分)
某数学兴趣小组研究某地区气温与海拔的关系.如表记录的是气温随海拔变化的情况：
海拔x/km
…
1
1.5
2
m
3.5
…
气温/°C
…
−1
−4
−7
−10
n
…
小组研究发现，气温y与海拔x满足一次函数关系：y=kx+b(k≠0).根据小组的研究发现，回答下列问题．
(1)求出k，b的值；
(2)求表格中m，n的值；
(3)当海拔x满足4≤x≤7时，求气温y的变化范围．
22. (本小题5.0分)
在平面直角坐标系xOy中，点P(x,y)的坐标满足y=2−x．
(1)当点P在第一象限时，画出点P组成的图形；
(2)已知点A(−3,0)，当△OPA的面积为6时，求点P的坐标．
23. (本小题5.0分)
下面是证明直角三角形的一个性质的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是斜边AC的中线．
求证：BO=12AC．
方法一
证明：如图，延长BO至点D，使得OD=OB，连接AD，CD．
方法二
证明：如图，取BC的中点D，连接OD．
24. (本小题5.0分)
为了解北京市的水资源情况，收集了1978−2020年北京的年降水量(单位：毫米)共43个数据，并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息．
注：降水量是指一定时段内降落在某一点或某一区域上的水层深度，通常以毫米表示．
a.43个数据的频数分布直方图如下(数据分成7组：200≤x<300，300≤x<400，400≤x<500，500≤x<600，600≤x<700，700≤x<800，800≤x≤900)：
b.43个数据中，在500≤x<600这一组的是：
507 523 527 542 544 547 573 576 579
c.43个数据的平均数、中位数如下：
平均数
中位数
547
n
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中n的值为______ ；
(2)1978−2020年北京的年降水量高于547毫米的年份共______ ；
(3)若2021年，2022年北京的年降水量分别是698毫米，493毫米，则下列推断合理的是______ ；(填写序号)
①因为698大于n，所以北京2021年降水量比1978−2020年中一半以上年份的年降水量高；
②已知1978−2000年北京的年降水量的方差为21249，2001−2022年北京的年降水量的方差为13486.由此推断2001−2022年北京的年降水量的波动较大；
③1个底面边长为10分米的正方体集水箱2022年共可收集降水约493升．
注：1升=1立方分米
25. (本小题5.0分)
A，B两地分别有垃圾20吨，30吨，现要把这些垃圾全部运到C，D两个垃圾处理厂，其中24吨运到C厂.运费标准(单位：元/吨)如表：
始发地/目的地
C厂
D厂
A地
26
25
B地
15
20
当从A地运送多少吨垃圾到C厂时，从A，B两地运到C厂的总运费大于运到D厂的总运费？
(1)建立函数模型
设从A地运到C厂x吨垃圾.从A，B两地运到C厂的总运费为y1元，运到D厂的总运费为y2元.分别求出y1，y2关于x的函数关系式；
(2)根据函数的图象与性质，解决问题：当y1>y2时，求x的取值范围．
26. (本小题5.0分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=2x的图象平移得到，且经过点(−1,3)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当x>1时，对于x的每一个值，函数y=mx的值均大于函数y=kx+b(k≠0)的值，直接写出m的取值范围．
27. (本小题7.0分)
如图，正方形ABCD.过点B作射线BP，交DA的延长线于点P.点A关于直线BP的对称点为E，连接BE，AE，CE.其中AE，CE分别与射线BP交于点G，H．
(1)依题意补全图形；
(2)设∠ABP=α，∠AEB= ______ (用含α的式子表示)，∠AEC= ______ °；
(3)若EH=BH，用等式表示线段AE与CE之间的数量关系，并证明．
28. (本小题7.0分)
在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN和点P作出如下定义：若点M，N分别是线段PP1，PP2的中点，连接P1P2，我们称线段P1P2的中点Q是点P关于线段MN的“关联点”．
(1)已知点M(2,2)，点P关于线段OM的“关联点”是点Q；
①若点P的坐标是(2,0)，则点Q的坐标是______ ；
②若点E的坐标是(1,−1)，点F的坐标是(3,−1).点P是线段EF上任意一点，求线段PQ长的取值范围；
(2)点A是直线l：y=x+1上的动点.在矩形ABCD中，边AB//x轴，AB=3，BC=2.点P是矩形ABCD边上的动点，点P关于其所在边的对边的“关联点”是点Q.过点A作x轴的垂线，垂足为点G.设点G的坐标是(t,0).当点A沿着直线l运动到点A′时，点G沿着x轴运动到点G′(t+m,0)，点Q覆盖的区域的面积S满足20≤S≤30，直接写出m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、 (−2)2=2，故A不符合题意；
B、 12=2 3，故B不符合题意；
C、 34= 32，故C不符合题意；
D、 7是最简二次根式，故D符合题意；
故选：D．
根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，AB//CD，
∴∠B+∠C=180°，∠A+∠D=180°，
即∠A和∠C的数相等，∠B和∠D的数相等，且∠B+∠C=∠A+∠D，
故选：C．
根据平行四边形的性质得到∠A=∠C，∠B=∠D，∠B+∠C=180°，∠A+∠D=180°，根据以上结论即可选出答案．
本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能根据平行四边形的性质进行判断是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．
3.【答案】B
【解析】解：∵ (−1)2=|−1|=1，
∴A选项的计算不正确，不符合题意；
∵( 3)2=3，
∴B选项的计算正确，符合题意；
∵ 4=2，
∴C选项的计算不正确，不符合题意；
∵(− 2)2=2，
∴D选项的计算不正确，不符合题意．
故选：B．
利用二次根式的性质和算术平方根的意义对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：根据折线统计图可知，甲、乙两名选手五轮得分中，第五轮成绩相同，第一轮与第三轮中甲选手成绩略低于乙选手成绩，第二轮与第四轮中甲选手成绩高于乙选手成绩，并且高出的得分明显大于低出的得分，所以x甲−>x乙−，
又因为甲选手五轮得分偏离平均值较小，波动较小，而乙选手五轮得分偏离平均值较大，波动较大，所以S甲2
根据折线统计图以及平均数、方差的意义求解即可．
本题考查的是折线统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了平均数、方差．
5.【答案】A
【解析】解：过O点作OH⊥AD，
∵四边形ABCD是矩形，∠AOB=60度，
∴△AOB是等边三角形，AO=BO=2，∠BAO=60°，
∴∠DAO=30°．
在Rt△AHO中，AO=2，∠HAO=30°，
∴AH= 3．
∴AD=2AH=2 3．
故选：A．
根据矩形的性质及∠AOB=60°，可得△ABO是等边三角形，从而得到等腰△AOD的底角∠DAO=30°，过O点作OH⊥AD，先求出AH长，计算其2倍就是AD长．
本题主要考查了矩形的性质，解题的关键是熟悉矩形的对角线互相平分且相等的性质．
6.【答案】D
【解析】解：∵一次函数y=−2x+3，a=−2<0，b=3>0，
∴图象过第一、二、四象限，y随x的增大而减小，
∴坐标原点不在此函数图象上，故B正确，不合题意；
∵x1
故A、C正确，不合题意，D错误，符合题意．
故选：D．
利用一次函数解析式得出其经过的象限，y随x的增大而减小，进而根据一次函数的性质以及图象上点的坐标特征判断即可．
此题主要考查了一次函数图象上点的坐标性质和一次函数增减性，正确利用一次函数增减性是解题关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵直线y=mx与线段AB有交点，
∴当直线y=mx过A(−2,1)时，m值最小，则有−2m=1，解得m=−12；
当直线y=mx过B(1,1)时，m值最大，则m=1，
∴m的取值范围为m≤−12或m≥1．
故选：B．
因为直线y=mx与线段AB有交点，求得当直线y=mx过A(−2,1)或B(1,1)时的m的值，然后根据图象从而得到m的取值范围．
本题考查了一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是运用数形结合的思想进行转化解题．
8.【答案】C
【解析】解：(1)∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE=12BC，DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC=1：4，
∴四边形DBCE的面积=34四边形ABC的面积，所以(1)不符合题意；
(2)∵四边的中点分别为E，F，G，H，
∴EH//BD，FG//BD，EF//AC，HG//AC，EH=12BD，EF=12AC，
∴EH//FG，EF//HG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴EF⊥FH，
∴▱EFGH为矩形，∴S矩形EFGH=FE⋅EH=14BD⋅AC，
S四边形ABCD=12BD⋅AC，
∴S矩形EFGH=12S四边形ABCD，
故②正确；
(3)在▱ABCD，有AB//CD，AD//BC，
∵EG//AB，
∴EG//CD，
∴四边形ABGE、四边形CDEG都是平行四边形，
∴S△EFG=12S四边形ABGE，S△EGH=12S四边形CDEG，
∴S四边形EFGH=12S四边形ABCD，
故③正确；
故选：C．
(1)根据相似三角形的性质求解；
(2)根据中点四边形的性质求解；
(3)根据平行四边形是性质求解．
本题考查了作图−复杂作图，掌握三角形中位线的性质、相似三角形的性质及平行四边形是性质是解题的关键．
9.【答案】x≥1
【解析】解：根据二次根式有意义的条件，x−1≥0，
∴x≥1．
故答案为：x≥1．
根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．
此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可．
10.【答案】15
【解析】解：15出现了3次，出现的次数最多，故这组数据的众数是15．
故答案为：15．
根据众数的定义求解可得．
本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
11.【答案】−1
【解析】解：∵最简二次根式 4−2m与 6是同类二次根式，
∴4−2m=6，
∴m=−1．
故答案为：−1．
利用同类二次根式的意义得到关于m的方程，解方程即可得出结论．
本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式的意义，熟练掌握上述定义是解题的关键．
12.【答案】(5,4)
【解析】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(−3,0)，(2,0)，点D在y轴上，
∴AB=5，
∴DO=4，
∴点C的坐标是：(5,4)．
故答案为：(5,4)．
利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．
此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，得出DO的长是解题关键．
13.【答案】3
【解析】解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴BC= AB2−AC2= 102−82=6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC；
又∵点E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=12BC=3，
故答案为：3．
由勾股定理得BC=6，再由平行四边形的性质得OA=OC，然后证OE是△ABC的中位线，即可解决问题．
此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．
14.【答案】 5
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=2，
∴AD=BC=2，∠D=90°，
由折叠得AF=AB=3，
∴DF= AF2−AD2= 32−22= 5，
故答案为： 5．
由矩形的性质得AD=BC=2，∠D=90°，由折叠得AF=AB=3，则DF= AF2−AD2= 5，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，证明AF=AB=3及AD=BC=2是解题的关键．
15.【答案】1
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
AB=ADAE=AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，
∴BE=DF，
∴CE=CF，∠C=90°，
即△ECF是等腰直角三角形，
由勾股定理得CE2+CF2=EF2，
∴EC= 2，
∴△EFC的面积为12EC⋅CF=12× 2× 2=1．
故答案为：1．
首先根据四边形ABCD是正方形，得出AB=AD，∠B=∠D=90°，再根据△AEF是等边三角形，得出AE=AF，最后根据HL即可证出△ABE≌△ADF；根据全等的性质：CE=CF，∠C=90°，从而得出△ECF是等腰直角三角形，再根据勾股定理得出EC的值，然后利用△EFC的面积=12EC⋅CF代入数据解答即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质，解答本题的关键是对正方形和三角形的性质以及勾股定理的运用要熟练掌握．
16.【答案】①②③
【解析】解：由已知甲从A到B，甲离A越来越远，图象呈上升趋势；
乙从B到A，乙离A越来越近将呈下降趋势，且乙先走完全程，
所以图1反映甲走完全程用时间为ah，再从图2甲走完全程共6h，所以a=6，故①正确；
图2中d=0时两车距离为0，说明两车相遇，出发时间为2.4h，图1中反映图象相交时间为bh，所以b=2.4h，故②正确；
根据图象可知甲的速度为240÷6=40km/h，
∵相遇时间为2.4h，所以乙的速度为(240−2.4×40)÷2.4=60km/h，故③正确；
拐点P说明乙到大B地，走完全程，所以此时时间为240÷60=4h，
两车相距为：240−4×40=80km，所以P(4,80)，故④错误，
故正确的序号是：①②③．
根据题意甲从A地出发到B地，距离A地越来越远，所以图象呈上升趋势；乙从B地出发距离A地越来越近，图象呈下降趋势，从图1中可以看出，图象相交意味着甲和乙相遇时间为b，时间a意味着甲到达B地，走完全程时间a小时；图2反映了两车之间的距离d=0，时间为2.4小时，说明两车相遇，拐点屁说明已到达A地，时间为60说明加到达B地；根据以上信息可得答案．
本题主要考查的是根据题意和图1图2两张图片的结合，获取信息——解决行程问题，可计算出甲的速度乙的速度，同时注意各拐点的坐标以及图象交点的坐标的实际意义解决问题的关键，进而得出答案．
17.【答案】解：(1)( 12− 12)+( 2− 3)
=2 3− 22+ 2− 3
= 3+ 22；
(2)(2 5+4)×(2 5−4)÷ 8
=[(2 5)2−42]÷2 2
=(20−16)÷2 2
=4÷2 2
= 2．
【解析】(1)先本每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
(2)利用二次根式的乘除法法则进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：(x−1)2−2x+5
=x2−2x+1−2x+5
=x2−4x+6
=x2−4x+4+2
=(x−2)2+2，
当x=2+ 3时，原式=(2+ 3−2)2+2=3+2=5，
∴代数式(x−1)2−2x+5的值为5．
【解析】先去括号，再合并同类项，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD(平行四边形对边平行且相等)，
∴∠BAE=∠DCF(两直线平行内错角相等)，
∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，
∴∠AEB=∠CFD=90°(垂直定义)，
∴∠ABE=∠CDF(等角的余角相等)，
∴△ABE≌△CDF(ASA)，
∴AE=CF(全等三角形的对应边相等)．
【解析】可以把要证明相等的线段AE、CF分别放到两个三角形中，即△ABE和△CDF中，寻找它们全等的条件(ASA)，得出对应边相等AE=CF．
此题主要考查平行四边形的性质及三角形全等的判定等知识．
20.【答案】四条边都相等的四边形是菱形 30 150
【解析】解：(1)如图：菱形ABFE即为所求；
(2)∵AB=AE=BF=EF，
∴四边形ABFE为菱形(四条边都相等的四边形是菱形)，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC=30°．
∴∠BAE=180°−∠BAD，
∴∠BAE=150°．
故答案为：四条边都相等的四边形是菱形，30，150．
(1)根据题中步骤作图；
(2)根据角平分线的性质及角的和差求解．
本题考查了复杂作图，掌握角平分线的性质及角的和差是解题的关键．
21.【答案】解：设一次函数表达式为y=kx+b，把(1,−1)、(2.−7)代入得，
k+b=−12k+b=−7，
解得k=−6b=5，
∴一次函数的解析式为：y=−6x+5．
(2)当x=3.5时，n=−6×3.5+5=−16，
当y=−10时，−10=−6m+5，
解得m=2.5．
(3)∵k=−6<0，y随x的增大而减小，
当x=4时，y=−6×4+5=−19，
当x=7时，y=−6×7+5=−37，
∴−19≤y≤−37．
【解析】(1)由表格信息可知点(1,−1)、(2.−7)在一次函数图象上，进而得到关于k、b的方程组；通过解方程组求出k、b的值，再代入所设表达式得到y与x的函数关系式；
(2)分别将x=3.5、y=10代入函数表达式中求出对应的m，n的值；
(3)分别将x=4、x=7代入函数表达式中求出对应的y的值．
此题考查的是一次函数的应用，掌握待定系数法求得解析式是解决此题的关键．
22.【答案】解：(1)如图：BC(不包含两个端点)即为所求；
(2)∵AO=3，△OPA的面积为6，
∴3|y|=12，
∴y=±4，
∴2−x=±4，
解得：x=6或x=−2，
∴P(6,−4)或P(−2,4)．
【解析】(1)根据描点法作图；
(2)根据三角形的面积公式求解．
本题考查了复杂作图，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
23.【答案】解：方法一：如图，延长BO至点D，使得OD=OB，连接AD，CD，
∵BO是斜边AC的中线，
∴AO=CO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∵BO=DO=12BD，
∴BO=12AC；
方法二：如图，取BC的中点D，连接OD，
∵点O是AC的中点，
∴DO是△ABC的中位线，
∴DO//AB，
∴∠ODC=∠ABC=90°，
∴OD是BC的垂直平分线，
∴OB=OC，
∵AO=CO=12AC，
∴BO=12AC．
【解析】方法一：延长BO至点D，使得OD=OB，连接AD，CD，根据三角形中线的定义可得AO=CO，从而可得四边形ABCD是平行四边形，进而可得四边形ABCD是矩形，然后利用矩形的性质可得AC=BD，从而可得BO=12AC，即可解答；
方法二：取BC的中点D，连接OD，再结合已知可得DO是△ABC的中位线，然后利用三角形的中位线定理可得DO//AB，从而可得∠ODC=∠ABC=90°，进而可得OD是BC的垂直平分线，最后利用线段垂直平分线的性质可得OB=OC，从而可得BO=12AC，即可解答．
本题考查了矩形的判定与性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握握矩形的判定与性质，以及三角形的中位线定理是解题的关键．
24.【答案】527 18 ①
【解析】解：(1)∵共43个数据，
∴中位数是把43个数据从小到大排列后的第22个数据，
∵第22个数据落在500≤x<600组，
∴n=527；
故答案为：527；
(2)1978−2020年北京的年降水量高于547毫米的年份共3+7+7+1=18(个)，
故答案为：18；
(3)①因为698大于n，所以北京2021年降水量比1978−2020年中一半以上年份的年降水量高；故符合题意；
②已知1978−2000年北京的年降水量的方差为21249，2001−2022年北京的年降水量的方差为13486.由此推断2001−2022年北京的年降水量的波动较小，故不符合题意；
③1个底面边长为10分米的正方体集水箱2022年共可收集降水约100×100×493=4930(升)故不符合题意．
故答案为：①．
(1)根据中位数的定义即可得到结论；
(2)根据频数分布直方图中的信息即可得到结论；
(3)根据中位数，方差的概念判断即可．
本题考查了频数分布直方图，中位数，众数的定义，方差的概念，熟练掌握位数，众数的定义是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵从A地运到C厂x吨垃圾，
∴从A地运到D厂(20−x)吨垃圾，从B地运到C厂(24−x)吨垃圾，从B地运到D厂30−(24−x)=(x+6)吨垃圾，
∴y1=26x+15(24−x)=11x+360，y2=25(20−x)+20(x+6)=−5x+620；
∴y1=11x+360，y2=−5x+620；
(2)当y1=y2时，11x+360=−5x+620，
∴x=16.25，
∵y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，
∴x>16.25时，y1>y2，
∴x的取值范围是x>16.25．
【解析】(1)由从A地运到C厂x吨垃圾，可知从A地运到D厂(20−x)吨垃圾，从B地运到C厂(24−x)吨垃圾，从B地运到D厂30−(24−x)=(x+6)吨垃圾，即可得y1=11x+360，y2=−5x+620；
(2)求出y1=y2时，x=16.25，由一次函数性质可得x的取值范围是x>16.25．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
26.【答案】解：(1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=2x的图象平移得到，
∴k=2．
∵一次函数y=2x+b的图象过点(−1,3)，
∴3=2×(−1)+b．
∴b=5．
∴这个一次函数的表达式为y=2x+5．
(2)当x=1时，y=2x+5=7，
把点(1,7)代入y=mx，求得m=7，
∵当x>1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=2x+5的值，
∴m≥7．
【解析】(1)据一次函数平移时k不变可知k=2，再把点(−1,3)代入求出b的值，进而可得出结论．
(2)根据点(1,7)结合图象即可求得．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换及一次函数和不等式的关系，熟知一次函数平移的性质是解答此题的关键．
27.【答案】90°−α 45
【解析】解：(1)如图所示，
(2)∵点A关于直线BP的对称点为E，
∴BP垂直平分AE，
∴BE=AB，AE⊥BP，
∴∠AEB=∠BAE=90°−α；
∴∠EBG=∠ABP=α，
∴∠EBC=∠EBP+∠ABP+∠ABC=2α+90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∴BE=AB，
∴BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE=12(180°−∠ECB)=45°−α；
∴∠AEC=∠AEB−∠BEC=45°；
故答案为：90°−α，45；
(3)EC=( 2+1)AE，
证明：如图所示，过点E作EM⊥BC交CB的延长线于点M，
∵∠AEH=45°，∠EGH=45°，
∴∠EHG=45°，
∴△EHG是等腰直角三角形，
∴设EG=HG=AG=a，则EH= 2a，AE=2a，
∴EH=BH= 2a，
∴GB=GH+BH=a+ 2a，
∴BE= EG2+BG2= 4+2 2a，
∴BC=BE= 4+2 2a，
∵∠EHG=45°，EH=BH，
△EMB是等腰直角三角形，
∴EC= ME2+MC2=(2 2+2)a.
∵AE=2a，
∴EC=( 2+1)AE．
(1)根据题意补全图形即可；
(2)首先根据题意得到BP垂直平分AE，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可；
(3)过点E作EM⊥BC交CB的延长线于点M，首先得到△EHG是等腰直角三角形，然后设EG=HG=AG=a，则EH= 2a，AE=2a，根据勾股定理表示出BC=BE= EG2+BG2= 4+2 2a，然后证明出△EMB是等腰直角三角形，利用勾股定理得到EC= ME2+MC2=(2 2+2)a，进而求解即可．
本题考查了四边形综合，等腰直角三角形，线段垂直平分线，解题的关键是掌握相关知识．
28.【答案】(0,2)
【解析】解：(1)①设点O和点M分别是PP1PP2的中点，
∵M(2,2)，点P的坐标是(2,0)，
∴P1(−2,0)，P2(2,4)，
∵点Q是P1P2的中点，
∴点Q的坐标为(−2+22,0+42)，即(0,2)，
故答案为：(0,2)．
②设点O和点M分别是PP1，PP2的中点，P(s,−1)(1≤s≤3)，
∴P1(−s,1)，P2(4−s,5)，
∵点Q是P1P2的中点，
∴点Q的坐标为(−s+4−s2,1+52)，即(2−s,3)，
∴PQ2=(2−s−s)2+[3−(−1)]2=4(s−1)2+16，
∵1≤s≤3，
∴s−1>0，
∴当s增大时，s−1的值也增大，则(s−1)2的值也增大，
∴当s=1时，PQ2=16，即PQ=4；
∴当s=3时，PQ2=32，即PQ=4 2，
∴4≤PQ≤4 2．
(2)设A(a,a+1)，则B(a+3,a+1)，C(a+3,a+3)，D(a,a+3)，
当点P在AD上时，设P(a,b)(a+1≤b≤a+3)，点C和点B分别是PP1，PP2的中点，
∴P1(a+6,2a+6−b)，P2(a+6,2a+2−b)，
∵点Q是P1P2的中点，
∴点Q的坐标为(a+6+a+62,2a+6−b+2a+2−b2)，即(a+6,2a+4−b)，
∵a+1≤b≤a+3，
∴a+1≤2a+4−b≤a+3，
∴点Q在直线x=a+6上的一条线段上，该线段的两个端点坐标分别为E(a+6,a+3)，F(a+6,a−1)；
同理可得当点P在AB上时，点Q在直线y=a+4的一条线段上，该线段的两个端点坐标分别为J(a,a+4)，K(a+3,a+4)，
∴EF=2，JK=3；
∴当点A在平移的过程中，点Q覆盖的面积即为平行四边形JKML和平行四边形EFGH面积之和的两倍(面积无重叠时)，
∵点A在直线y=x+1上，
∴当点G沿着水平方向移动|m|个单位长度时，相当于平行四边形JKML边JK上的高为|m|，平行四边形EFGH边EF上的高为|m|，
∴s=2(2|m|+3|m|)=10|m|(当且仅当面积没有重叠的时候)，
当m=±3时，如图，刚好点Q覆盖的四个区域没有重合的部分，
故当|m|≤3时，面积没有重叠的部分，
当|m|>3时，S>30，
∵20≤S≤30，
∴20≤10|m|≤30，
∴2≤|m|≤3，
∴−3≤m≤−2或2≤m≤3．
(1)①设点O和点M分别是PP1，PP2的中点，根据定义求出P1(−2,0)，P2(2,4)，再由点Q是P1P2的中点即可得到答案；
②设点O和点M分别是PP1，PP2的中点，P(s,−1)(1≤s≤3)，同理可得Q(2−s,3)，由勾股定理得到PQ2=4(s−1)2+16，据此求解即可；
(2)设A(a,a+1)，则B(a+3,a+1)，C(a+3,a+3)，D(a,a+3)，当点P在AD上时，设P(a,b)(a+1≤b≤a+3)，点C和点B分别是PP1，PP2的中点，则P1(a+6,2a+6−b)，P2(a+6,2a+2−b)，点Q的坐标为(a+6,2a+4−b)，由此可得到点Q在直线x=a+6上的一条线段上，该线段的两个端点坐标分别为E(a+6,a+3)，F(a+6,a−1)；同理可得当点P在AB上时，点Q在直线y=a+4的一条线段上，该线段的两个端点坐标分别J(a,a+4)，K(a+3,a+4)，故当点A在平移的过程中，点Q覆盖的面积即为平行四边形JKML和平行四边形EFGH面积之和的两倍(面积无重叠时)；根据平移的性质可得当点G沿着水平方向移动|m|个单位长度时，相当于平行四边形JKML边JK上的高为|m|，平行四边形EFGH边EF上的高为|m|，由此可得S=10|m|(当且仅当面积没有重叠的时候)，当m=±3时，如图所示，刚好点Q覆盖的四个区域没有重合的部分，故当|m|≤3时，面积没有重叠的部分，当|m|>3时，S>30，由此根据20≤S≤30列出不等式求解即可．
本题考查了一次函数的综合应用，主要考查坐标与图形，勾股定理，平行四边形的性质，平移的性质等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
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