精品解析：北京市顺义牛栏山第一中学2022-2023学年高二下学期期末数学复习试题（一）（解析版）

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2022-2023学年高二（下）期末数学复习试卷（一）
一、选择题共10小题，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用集合交集的定义求解即可.
【详解】因为集合，，
所以，
故选：C.
2. 设命题：，，则为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】由全称量词命题的否定求解即可.
【详解】全称量词命题的否定步骤为：“改量词，否结论”，
因为：，，
所以为，.
故选：A.
3. 在的展开式中，常数项为（ ）
A. 20 B. -20 C. 160 D. -160
【答案】D
【解析】
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的指数为0，即可求出对应的常数项．
【详解】解：二项式展开式的通项公式为，
令，得，
所以常数项为．
故选：．
4. 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.5；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.9．请问王同学第2天去A餐厅用餐的概率是（ ）
A. 0.8 B. 0.7 C. 0.6 D. 0.45
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意结合全概率公式可求得结果.
【详解】记事件表示“第1 天去餐厅用餐”，事件表示“第1天去餐厅用餐”，事件表示“第2 天去餐厅用餐”，
由题意得，,
所以由全概率公式得王同学第2天去A餐厅用餐的概率为

,
故选：B
5. 函数f(x)＝x是（ ）
A. 奇函数，且值域为（0，+∞）
B. 奇函数，且值域为R
C. 偶函数，且值域为（0，+∞）
D. 偶函数，且值域为R
【答案】B
【解析】
【分析】
由奇偶性定义，求出函数f(x)为奇函数，再求出函数的导数，分析其单调性可得在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f（1）＝f（﹣1）＝0；作出函数的草图，分析其值域，即可得答案.
【详解】根据题意，函数f(x)＝x，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝（﹣x）﹣（）＝﹣（x）＝﹣f(x)，即函数f(x)为奇函数，
其导数f′(x)＝1，在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f（1）＝f（﹣1）＝0；
其图象大致如图：

其值域为R；
故选：B.
【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，值域的求解，属于基础题
6. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间值法进行比较即可.
【详解】因为，
，
，
所以.
故选：B.
7. 小王同学制作了一枚质地均匀的正十二面体骰子，并在十二个面上分别画了十二生肖的图案，且每个面上的生肖各不相同，如图所示．小王抛掷这枚骰子2次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】小王抛掷这枚骰子1次，出现龙的图案朝上的概率，即可求出.
【详解】小王抛掷这枚骰子1次，出现龙的图案朝上的概率为，
所以小王抛掷这枚骰子2次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率为.
故选：C.
8. 若曲线在某点处的切线的斜率为1，则该曲线不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求得的导函数，通过方程根的情况判断选项A；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项B；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项C；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项D.
【详解】选项A：，则，由，可得
则在处的切线的斜率为1.
选项B：，则，由，可得
则在处的切线的斜率为1
选项C：，则，由，可得
则在处的切线的斜率为1
选项D：，则，则，
则不存在斜率为1的切线
故选：D
9. 已知是等比数列，则“，”是“为递增数列”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用等比数列的通项公式，分类讨论与，结合公比的取值情况判断得充分性成立，再利用递增数列的定义判断必要性成立，从而得解.
【详解】因为是等比数列，设公比为，则，
当，时，，即，
若，则或，
注意到，当时，，与假设矛盾，舍去，
故，此时，则为递增数列；
若，则，
注意到，当时，，与假设矛盾，舍去，
故，此时，则为递增数列；
综上：当，时，递增数列，即充分性成立；
当为递增数列时，，即，成立，即必要性成立；
所以“，”是“为递增数列”的充分必要条件.
故选：C.
10. 已知函数，，给出下列三个结论：
①一定存在零点；
②对任意给定的实数，一定有最大值；
③在区间上不可能有两个极值点．
其中正确结论的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】依据零点存在定理并分类讨论求得的零点判断①；利用导数并分类讨论判定是否有最大值判断②；举反例否定③
【详解】①当时，，由，可得在存在零点
当时，，由，
，可得在存在零点
当时，在单调递减，值域
又在单调递增，值域，
则与的图象在必相交，
则在存在零点
综上，一定存在零点.判断正确；
②当时，，，在单调递增，存在最大值；
当时，，则，
在上单调递减，值域，
当，时，在上值域
则在上恒成立，则在单调递增，存在最大值；
当时，在上单调递减，
则在上单调递减，，
则，使得
则时，，时，
则在单调递增，在单调递减，存在最大值；
当时，在上单调递增，
当时，，恒成立，
则在单调递增，
当时，单调递增，值域为
又当时，单调递减，值域为
则当时，
若，则在单调递增，
则在单调递增，存在最大值；
若，使得时；时；
则在单调递增，在单调递减，又在单调递增，
则在有最大值；
综上，对任意给定实数，在有最大值.判断正确；
③令，则，，
在上单调递减，值域，
在上单调递增，值域，
又，，
则，使得
则当，或时，，单调递增
当时，，单调递减
则在区间上有两个极值点．判断错误.
故选：C
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.
11. 函数的定义域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用具体函数的定义域求法求解即可.
【详解】因为，
所以，解得，
所以的定义域为.
故答案为：.
12. 不等式的解集是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】写出分式不等式的等价不等式组，再解不等式组即可得解.
【详解】解：因为，所以，即，
等价于，解得：或.
故答案为：.
13. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】函数在区间上单调递增，则在上恒成立，然后利用分离参数法即可得出答案.
【详解】解：，
因为函数在区间上单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
又在上递减，
所以，
所以的取值范围是.
故答案为：.
14. 某地要建造一批外形为长方体的简易工作房，如图所示．房子的高度为3m，占地面积为，墙体ABFE和DCGH的造价均为80元/m2，墙体ADHE和BCGF的造价均为120元/m2，地面和房顶的造价共2000元．则一个这样的简易工作房的总造价最低为______________元．

【答案】4880
【解析】
【分析】设，则可表示出这个简易工作房总造价为，利用基本不等式即可求出.
【详解】设，，则，
则这个简易工作房总造价为，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以一个这样的简易工作房的总造价最低为4880元.
故答案：4880.
15. 已知数列的每一项均不为0，其前项和为，且．
①当时，____________；
②若对任意的，恒成立，则的最大值为_____________．
【答案】 ①. 4 ②. 1
【解析】
【分析】① 由，解出，再由，解出；
② 结合，，可求出数列的递推关系为，则数列的奇数项与偶数项均为公差为3的等差数列，数列为公差为6的等差数列，最后分别讨论，成立的条件，以及证明即可满足对任意的，恒成立，即可求得的最大值
【详解】① ，故，，可得，，可解得；
②当，，故，
，，即数列的奇数项与偶数项均为公差为3的等差数列，即数列为公差为6的等差数列，
若对任意的，恒成立，
由得，，即，可解得；
由得，，即，结合，可解得；
由得，，即，结合，可解得；
当时，

，
由得，，即，
即，结合，可解得；
同理，由上得，，故恒成立，
综上，，即最大值为1.
故答案为：① 4；② 1
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用数列通项与前n项和的关系确定数列的递推公式，再由递推公式分类求解即可.
三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知集合.在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第②问的横线处，求解下列问题.
（1）当时，求；
（2）若______，求实数的取值范围.
【答案】（1）或
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用集合的交并补运算即可得解；
（2）选①③，利用集合的基本运算，结合数轴法即可得解；选②，由充分不必要条件推得集合的包含关系，再结合数轴法即可得解.
【小问1详解】
当时，，而，
所以，则或.
【小问2详解】
选①：
因为，所以，
当时，则，即，满足，则；
当时，，由得，解得；
综上：或，即实数取值范围为；
选②：
因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，
当时，则，即，满足题意，则；
当时，，则，且不能同时取等号，解得；
综上：或，即实数的取值范围为；
选③：
因为，
所以当时，则，即，满足，则；
当时，，由得或，解得或，
又，所以或；
综上：或，实数的取值范围为.
17. 已知等差数列的公差为，前项和为，满足，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等比中项以及等差数列基本量的计算可求解公差，进而可求通项.
（2）根据分组求和以及等差等比数列的求和公式即可求解.
【小问1详解】
，，成等比数列，故，化简得：因为，所以，因此
【小问2详解】
，因此

18. 研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义．中国明确提出节能减排的目标与各项措施，在公路交通运输领域，新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一．中国某地区从2015年至2021年每年汽车总销量如图一，每年新能源汽车销量占比如表一．（注：汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和）

年份
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
新能源汽车销量占比
1.5%
2%
3%
5%
8%
9%
20%
表一
（1）从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率
（2）从2015年至2021年中随机选取两年，设X表示新能源汽车销量超过0.5万辆的年份的个数，求的分布列和数学期望；
（3）对该地区连续三年的新能源汽车销量作统计分析时，若第三年的新能源汽车销量大于前两年新能源汽车销量之和，则称第三年为“爆发年”．请写出该地区从2017年至2021年中“爆发年”的年份．（只需写出结论）
【答案】（1）
（2）的分布列为：








期望
（3）2019年，2021年
【解析】
【分析】（1）根据样本数据进行统计，结合古典概型的计算公式即可求解.
（2）根据超几何分布即可求对应事件的概率进而可得分布列以及期望.
（3）根据“爆炸年”的定义即可分析数据得以求解.
【小问1详解】
从2015年到2021年这七年中，汽车总销量不小于5.5万辆的年份有2016，2017，2018，2019，2020，2021共有6年，故从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率为
【小问2详解】
从2015年至2021年中随机选取两年共有种选法，只有2020年和2021年这两年，新能源汽车销量超过了0.5万辆，其余5年的销量均未超过0.5万辆，
故可取:
;
的分布列为：








期望
【小问3详解】
从2015年到2021年这七年中，新能源汽车销量（单位：万辆）分别为： ，
其中，故只有2021，2018，2019连续三年以及2019，2020，2021这三年第三年的销量大于前两年的销量之和，故“爆发年”的年份为：2019，2021年.
19. 已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若对恒成立，求a的取值范围；
（3）若，证明：．
【答案】（1） 时单调递增， 时，单调递减；
（2） ；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求导，根据导数的符号确定单调区间；
（2）运用参数分离的方法，构造函数求导，计算函数最大值即可；
（3）作图，根据函数图像确定 的范围，再构造函数，利用函数的单调性证明.
【小问1详解】
，显然有 ，当 时， ，单调递增，
当 时， ，单调递减；
【小问2详解】
由 得： ， ，
令 ，则有 ，令 ，
显然 是减函数， ， 当 时， ， 单调递增， 时， ， 单调递减；
，a的取值范围是 ；
【小问3详解】
当 时， ，由（1）的结论作函数图像如下：

，
对于 ，得 ，不妨设 ，则有 ，
由图可知当 时，对应的自变量有2个值 ，其中 ，
要证明 ，只需 取 中较小的数 即可，
， ， ， ，
要证明 ，只需证明 ，在 时， 单调递增，
只需证明 ， ， 只需证明 ，
即 ，构造函数 ，
，
，
， 是增函数，又 当 时， ，
即，命题得证；
综上，（1）当 时，单调递增，当 时，单调递减；（2） .
【点睛】本题的难点是第三问，根据函数的图像确定和 的范围，再将原问题转化为函数的单调性问题.
20. 已知为正整数，数列：，记．对于数列，总有，，则称数列为项0-1数列．若数列A：，：，均为项0-1数列，定义数列：，其中，．
（1）已知数列A：1，0，1，：0，1，1，直接写出和的值；
（2）若数列A，均为项0-1数列，证明：；
（3）对于任意给定的正整数，是否存在项0-1数列A，，，使得，并说明理由
【答案】（1），
（2）见解析 （3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据数列的定义分别求出，，即可得出答案；
（2）记数列：，数列：，分和两种情况讨论，从而可得出结论；
（3）分奇数和偶数两种情况讨论，根据定义分析运算，从而可得出结论.
【小问1详解】
解：因为数列A：1，0，1，：0，1，1，
所以数列：，数列：，
所以，；
【小问2详解】
证明：对于两个0-1数列A：和：，
记数列：，对于，
若，则此时；
若，则此时，
故对于数列：，考虑的值：
若，则；
若，则，
所以与是同一数列，
所以；
【小问3详解】
解：若是奇数，则不存在满足条件的项0-1数列A，，，证明如下：
对于3个项0-1数列A，，，
记，
则，
当时，，
当中有一个不同于其他两个时，，
所以是奇数，
则为奇数个奇数之和，仍为奇数，不可能为；
若为偶数，即，
可构造：，，，
此时数列为，数列，相同，都是，
所以有，
综上所述，当为偶数时，有可能为，
当为奇数时，不可能成立.
【点睛】本题考查了数列的新定义，考查了学生的逻辑思维能力，解题的关键在于对新定义的理解，有一定的难度.