[数学][期末]北京市顺义区2022-2023学年高二下学期期末质量监测试题(解析版)

这是一份[数学][期末]北京市顺义区2022-2023学年高二下学期期末质量监测试题(解析版)，共13页。
1．本试卷总分150分，考试用时120分钟．
2．本试卷共5页，分为选择题（40分）和非选择题（110分）两个部分．
3．试卷所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．第一部分必须用2B铅笔作答：第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答．
4．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自己保留．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，
所以.
故选：C
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】命题“”为全称命题，
则其否定为特称命题，即，
故选：B.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为“”能推出“”，
而“”推不出“”，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 数列是等差数列，若，则（ ）
A. B. 5C. 9D. 15
【答案】B
【解析】因为数列为等差数列，且，所以，
因为，所以，
所以，所以，
故选：B
5. 某班一天上午有4节课，下午有2节课．现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同排法种数有（ ）
A. 48种B. 96种C. 144种D. 192种
【答案】D
【解析】由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有种，
再排其余4节，有种，
根据乘法原理，共有种方法，故选：D．
6. 下列给出四个求导的运算：①；②；③；④．其中运算结果正确的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】①，故正确；
②，故正确；
③，故错误；
④，故正确；
故选：C
7. 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设事件“第1次抽到代数题”，事件“第2次抽到几何题”，
所以，则.
故选：A
8. 已知为等比数列，下面结论中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C D.
【答案】D
【解析】设等比数列的公式为，
对于A，若，则，得，所以或，
所以或，所以A错误，
对于B，若，则，即，
所以，则其正负由的正负确定，所以B错误，
对于C，，当同正时，，当且仅当时取等号，当时，所以C错误，
对于D，因为，当且仅当时取等号，所以D正确，
故选：D
9. 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A. 当时，函数取得极大值
B. 当时，函数取得极小值
C 当时，函数取得极大值
D. 当时，函数取得极小值
【答案】D
【解析】由图可得，时，，单调递减，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
故当时，函数取得极小值，
故选：D.
10. 某银行在1998年给出的大额存款的年利率为，某人存入元（大额存款），按照复利，10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（ ）
A. 1.5B. 1.6C. 1.7D. 1.8
【答案】B
【解析】存入元（大额存款），按照复利，
可得每年末本利和是以为首项，为公比的等比数列，
所以，可得.
故选：B.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 计算：________．（用数字作答）
【答案】2
【解析】原式.
故答案为：
12. 函数的定义域为__________.
【答案】
【解析】要使有意义，只需，
解得，或，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
13. 在的展开式中，常数项为________.(用数字作答)
【答案】
【解析】的展开式的通项为：，
取得到常数项.
故答案为：.
14. 若幂函数在上单调递减，在上单调递增，则使是奇函数的一组整数的值依次是________．
【答案】、3（答案不唯一）
【解析】因为幂函数在上单调递减，
在上单调递增，
所以，又因为是奇函数，
所以需要满足为小于的奇数，为大于的奇数.
故答案为：、3（答案不唯一）.
15. 已知，函数．
给出下列四个结论：①当，函数无零点；
②当时，函数恰有一个零点；
③存在实数，使得函数有两个零点；
④存在实数，使得函数有三个零点．
其中所有正确结论的序号是________．
【答案】①②③
【解析】
∵，
∴，
∴当时，；当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴函数有极小值点是1，无极大值点，
又当时， 且极小值为，
∴结合的图像得：

当时，直线与的图像有两个不同交点，
当时，直线与的图像有一个交点，
当时，直线与的图像没有交点，
当若则（舍），无零点；
当
若，无零点；
若（舍）无零点；
若则（舍），无零点；
若则不妨设，有一个零点；
对于①当时，函数在无零点，函数在无零点；∴①正确；
对于②当时，函数在无零点，函数在恰有一个零点；∴②正确，
对于③当时，函数在有两个零点，函数在无零点；∴③正确，
对于④当时，函数在有两个零点，函数在无零点；∴函数有两个零点；
当时，函数在有一个零点，函数在无零点；∴函数有一个零点；
当或时，函数在无零点，函数在无零点；∴函数无零点；
当时，函数在无零点，函数在无零点；∴函数无零点；
当时，函数在无零点，函数在有 一个零点；∴函数有一个零点；∴④错误，
故答案为：①②③.
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．
16. 已知．
（1）求；
（2）求．
解：（1）
令，可得
（2）令，可得①
令，可得②
①式减②式可得，
17. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值．
解：（1）函数，
，
又，
，
曲线在点处的切线方程为即；
（2），
令，解得或，
当变化时，的变化情况如表所示：
又时，时，，
当时，在上的最大值为，
当时，在上的最小值为．
18. 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
组：10，11，12，13，14，15，16
组：12，13，14，15，16，17，20
假设所有病人的康复时间互相独立，从两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙．
（1）求甲的康复时间不多于14天的概率；
（2）若康复时间大于14天，则认为康复效果不佳．设表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数，求的分布列及数学期望；
（3）组病人康复时间的方差为组病人康复时间的方差为，试判断与的大小．（结论不要求证明）
解：（1）设甲的康复时间不多于14天为事件C，
组中的数据共有7个，基本事件共有7种，且相互独立
又组中的数据不多于14天的有5个，即事件C中包含的基本事件有5个
甲的康复时间不多于14天的概率
（2）甲康复效果不佳的概率，
乙康复效果不佳的概率
表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数
的可能取值是0，1，2
表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数为0
表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数为1
表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数为2
的分布列为
的数学期望为.
（3）.
根据组：10，11，12，13，14，15，16，组：12，13，14，15，16，17，20
组数据波动性较大，所以.
19. 已知为等差数列，为其前项和．若，设．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设，求数列的前项和．
解：（1）设等差数列的公差为，则通项公式为，
，
，又，则
即数列是等比数列，公比为2，首项．
（2）由（1）知数列是等比数列，公比为2，首项，
数列的前项和
20. 已知函数．
（1）若对任意时，成立，求实数的最大值；
（2）若，求证：；
（3）若存在，使得成立，求证：．
解：（1），
，
令解得，
在单减，在上单增，
在取得极小值，也是最小值，
时，成立．
只需即可，
实数的最大值为1．
（2）设，
，
在上单调递减，
，
，
即．
（3）法一：存在时，便得成立，
，
，
令，
由可知，
由（2）知在上单调递减，
，即，
，即，
，由知，
即，
.
法二：，
，
在上单调递减，在上单调递增．
存在时，使得成立，
，且，
令，
，
在上单调递增，
又，
，即即，
在上单调递增，
即.
21 已知整数数列满足：①；②．
（1）若，求；
（2）求证：数列中总包含无穷多等于1的项；
解：（1）因为整数数列满足，
若，可得或；
若，可得，此时不满足，，此时，
当时，不满足，所以，故或.
（2）首先．
否则，记为中第一个小于等于0的项，则或，
从而，与的最小性矛盾，
记为的最小值，则为奇数并且，
根据的最小性，可知，
根据可知，
注意到第一个1后面的项为2，1，2，1，2…周期性出现，
从而数列中总包含无穷多等于1的项.
2
+
0
-
0
+
单调递增
单调递减
单调递增
0
1
2