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2022-2023学年江苏省苏州市八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年江苏省苏州市八年级（下）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省苏州市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若分式x+22x−1的值为0，则x的值是( )
A. −2 B. 0 C. 12 D. 1
2. 为丰富学生的课外生活，学校开展游园活动，小丽同学在套圈游戏中一共套圈15次，套中6次，则小丽套圈套中的频率是( )
A. 25 B. 52 C. 35 D. 53
3. 菱形具有而平行四边形不一定有的性质是( )
A. 对角相等 B. 对边平行 C. 对角线互相平分 D. 四边都相等
4. 如图，在▱ABCD中，∠D=120°，则∠A的度数等于( )
A. 120°
B. 60°
C. 40°
D. 30°
5. 如图，要测量B，C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，得到线段AB，AC，并取AB，AC的中点D，E，连结DE，则他只需测量( )
A. AD长
B. AE长
C. DE长
D. AC长
6. 将 25−10x+x2(x≥5)化简得( )
A. 5−x B. ±(x−5) C. (x−5)2 D. x−5
7. 在正数范围内定义运算“※”，其规则为a※b=a+b2，则方程x※(x+1)=5的解是( )
A. x=5 B. x=1
C. x1=1，x2=−4 D. x1=−1，x2=4
8. 如图，E、F是矩形ABCD的边AB上的两点，CE，DF相交于点O，已知△OCD面积为8，△OEF面积为2，四边形AEOD的面积为5，则四边形BCOF的面积为( )
A. 10
B. 9
C. 8
D. 7
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. ( 3)2=______．
10. 某反比例函数的图象过点(−1,6)，则该反比例函数的解析式为______ ．
11. 关于x的一元二次方程x2+2x−a=0的一个根是2，则另一个根是______ ．
12. 两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2：AC与BD交于点O，AB//CD，若点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰AB的高度是3cm，则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是______ cm．
13. 某汽车测评机构对A款电动汽车与B款燃油汽车进行对比调查，发现A款电动汽车平均每公里充电费用比B款燃油车平均每公里燃油费用少0.6元.当充电费和燃油费用均为200元时.A款电动汽车的行驶里程是B款燃油车的4倍.则A款电动汽车平均每公里充电费用为______ 元.
14. 符合黄金分割比例( 5−12)形式的图形很容易使人产生视觉上的美感.在如图所示的五角星中，AD=BC= 5+12，且C，D两点都是AB的黄金分割点，则CD的长为______ ．
15. 如图，AB、CD都是BD的垂线，AB=4，CD=6，BD=14，P是BD上一点，联结AP、CP，所得两个三角形相似，则BP的长是______．
16. 如图，将一副三角尺中，含30°角的三角尺(△ABC)的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD)的斜边重合，P，Q分别是边AC，BC上的两点，AB与CD交于E，且四边形EPQB是面积为3的平行四边形，则线段CE的长为______ ．
三、解答题（本大题共11小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题4.0分)
计算：( 27− 12)×1 3．
18. (本小题5.0分)
解方程：xx+2+3x−3=1．
19. (本小题5.0分)
先化简，再求值：(a2−1a2−2a+1−11−a)÷1a2−a，其中a满足a2+2a−1=0．
20. (本小题6.0分)
如图，在△ABC和△ADE中，∠DAB=∠EAC，∠C=∠E．
(1)求证：AD⋅BC=AB⋅DE；
(2)若S△ADE：S△ABC=4：9，BC=6，求DE的长．
21. (本小题8.0分)
为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．
等级
成绩x
A
50≤x<60
B
60≤x<70
C
70≤x<80
D
80≤x<90
E
90≤x≤100
请结合统计图，解答下列问题：
(1)本次调查一共随机抽取了______ 名学生的成绩，频数分布直方图中m= ______ ；
(2)所抽取学生成绩的中位数落在______ 等级；
(3)若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？
22. (本小题8.0分)
如图所示，DF是平行四边形ABCD中∠ADC的平分线，EF//AD交DC于点E．
(1)四边形AFED是菱形吗？请说明理由；
(2)如果∠A=60°，AD=5，求四边形AFED的面积．
23. (本小题8.0分)
如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺完成如图作图(保留作图痕迹)．
(1)在图1中，以点O为位似中心，作格点△A′B′C′，使它与△ABC的位似比为2：1；
(2)在图2中，作格点△ACD，使它与△ABC相似，且AC为公共边，∠A为公共角．
24. (本小题8.0分)
如图，反比例函数y=kx(00)的图象交矩形OABC的边BC、AB于D、E两点，连接DE、AC.点B的坐标为(6,4)，设点D的横坐标为m．
(1)请用含m的代数式表示点E的坐标；
(2)求证：DE//AC．
25. (本小题10.0分)
已知矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．
(1)将矩形纸片沿着AC折叠，点B落在点E处，求此时ED的长；
(2)将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，求折痕GH的长．
26. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，直线DF与边AB相交于点D，与边AC相交于点E.与线段BC延长线相交于点F．
(1)若ADDB=1，AEEC=2，求BFFC的值；
(2)若ADDB=12，AEEC=mn，其中m>n>0，求BFFC的值．
(3)请根据上述(1)(2)的结论，猜想ADDB⋅BFFC⋅CEEA= ______ .(直接写出答案，不需要证明)
27. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(4 3.0)，已知点M(5,3 3)在反比例函数y=kx(x>0)图象上．
(1)k= ______ ；
(2)若点A关于点C的对称点D也在反比例函数图象上，求此时点C的坐标；
(3)若点A绕点C顺时针旋转120°所得对应点B刚好落在y轴的正半轴上，求线段AB的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意得：x+2=0且2x−1≠0，
解得：x=−2，
故选：A．
根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可．
本题考查的是分式值为零的条件，熟记分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：小丽同学在套圈游戏中一共套圈15次，套中6次，则小丽套圈套中的频率是615=25．
故选：A．
根据频率=频数÷总数求解即可．
本题主要考查了频数与频率，掌握“频率=频数÷总数”是关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵菱形平行四边形，
∴平行四边形具有的性质，则菱形也具有，
∴对角相等、对边平行、对角线互相平分这三条性质是菱形和平行四边形都具有的性质，
故A、B、C都不符合题意；
∵菱形是特殊的平行四边形，
∴菱形具有的性质，则平行四边形不一定具有，
∴四条边都相等这一菱形具有的性质而平行四边形不一定具有，
故D符合题意，
故选：D．
由菱形平行四边形，可知对角相等、对边平行、对角线互相平分这三条性质是菱形和平行四边形都具有的性质，可判断A、B、C都不符合题意；由菱形是特殊的平行四边形，可知菱形具有的性质，则平行四边形不一定具有，所以四条边都相等这一菱形具有的性质而平行四边形不一定具有，可判断D符合题意，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、菱形的性质等知识，正确理解菱形与平行四边形之间的特殊与一般的关系是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠A=180°−∠D=60°．
故选B．
根据平行四边形的邻角互补即可得出∠A的度数．
本题考查平行四边形的性质，比较简单，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角互补．
5.【答案】C
【解析】解：∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE，
∴要测量B，C两地的距离，他只需测量DE长，
故选：C．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵x≥5，
原式= (x−5)2=x−5．
故选：D．
根据二次根式的性质把原式进行化简即可．
本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数具有非负性是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：x※(x+1)=5，
即x+(x+1)2=5，
x2+3x−4=0，
(x−1)(x+4)=0，
x−1=0，x+4=0，
x1=1，x=−4，
∵在正数范围内定义运算“※”，
∴x=1．
故选：B．
根据已知得出x+(x+1)2=5，求出方程的解即可．
本题考查了新定义和解一元二次方程，关键是能根据新定义得出方程x+(x+1)2=5．
8.【答案】B
【解析】解：连接FC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，
∴△EOF∽△COD，
∴S△OEFS△OCD=(OEOC)2，
即28=(OEOC)2，
∴OEOC=12，
∴S△OEFS△OCF=OEOC=12，
∵S△OEF=2，
∴S△OCF=4，
∴S△CDF=S△OCD+S△OCF=8+4=12，
∴S矩形ABCD=2S△CDF=24，
∴S四边形BCOF=S矩形ABCD−S△OEF−S△OCD−S四边形AEOD
=24−2−8−5
=9，
故选：B．
先证△EOF∽△COD，再根据相似三角形面积之比等于相似比的平方得出OC=2OE，从而得出△OCF的面积，即可求出△CDF的面积，于是得出矩形ABCD的面积，最后根据图形面积之间的关系求出四边形BCOF的面积．
本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，图形之间的面积关系，熟知：相似三角形面积之比等于相似比的平方．
9.【答案】3
【解析】解：原式=3．
故答案为：3
直接进行平方的运算即可．
此题考查了二次根式的乘法运算，属于基础题，注意仔细运算即可．
10.【答案】y=−6x
【解析】解：设反比例函数的解析式为y=kx(k≠0)．
由图象可知，函数经过点P(−1,6)，
∴6=k−1，
得k=−6．
∴反比例函数解析式为y=−6x．
故答案为：y=−6x．
反比例函数的图象过点(−1,6)，将此点坐标代入函数解析式y=kx(k≠0)，即可求得k的值．
此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．
11.【答案】−4
【解析】解：设另一个根为m，由根与系数之间的关系得，
m+2=−2，
∴m=−4，
故答案为：−4，
利用根与系数之间的关系求解．
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
12.【答案】2
【解析】解：设蜡烛火焰的高度是x cm，
由相似三角形的性质得到：1015=x3．
解得x=2．
即蜡烛火焰的高度是2cm．
故答案为：2．
直接利用相似三角形的对应边成比例解答．
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
13.【答案】0.2
【解析】解：设A款电动汽车平均每公里充电费用为x元，则B款燃油车平均每公里燃油费用为(x+0.6)元，
根据题意得：200x=200x+0.6×4，
解得：x=0.2，
经检验，x=0.2是所列方程的解，且符合题意，
∴A款电动汽车平均每公里充电费用为0.2元．
故答案为：0.2．
设A款电动汽车平均每公里充电费用为x元，则B款燃油车平均每公里燃油费用为(x+0.6)元，根据“当充电费和燃油费用均为200元时，A款电动汽车的行驶里程是B款燃油车的4倍”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
14.【答案】1
【解析】解：∵C，D两点都是的黄金分割点，
∴ACAB=AD+CDAB= 5−12，
∵AB=AD+CD+BC，AD=BC= 5+12，
∴AB= 5+1+CD，
将AB= 5+1+CD，AD= 5+12代入AD+CDAB= 5−12，
得： 5+12+CD 5+1+CD= 5−12，
∴2( 5+12+CD)=( 5+1+CD)( 5−1)，
整理得：(3− 5)CD=3− 5，
∴CD=1，
故答案为：1．
根据黄金分割的定义得到ACAB=AD+CDAB= 5−12，继而将AB= 5+1+CD，AD= 5+12代入AD+CDAB= 5−12得： 5+12+CD 5+1+CD= 5−12，解之即可求解．
本题考查黄金分割比例：把线段AB分成两条线段AC和BC，(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即ABAC=ACBC)叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC= 5−12AB，并且线段AB的黄金分割点有两个，解题的关键是熟练掌握黄金分割比例．
15.【答案】2或12或285
【解析】解：设BP=x，则PD=14−x，
当△ABP∽△PDC时，ABPD=BPCD，即414−x=x6，
解得，x1=2，x2=12，
当△ABP∽△CDP时，ABCD=BPPD，即46=x14−x，
解得，x=285，
综上所述，当所得两个三角形相似时，则BP的长为2或12或285，
故答案为：2或12或285．
分△ABP∽△PDC、△ABP∽△CDP两种情况，根据相似三角形的性质列方程计算即可．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
16.【答案】 6
【解析】解：如图所示，
过点Q作QF⊥AB于点F，
设EB=a，PE=x，则FB=12QB=12PE=12x，
在Rt△QFB中，QF= 3FB= 32x，
依题意，EB×QF=3，
∴ 32ax=3，
∴x=2 3a，
∵PE//CB，则PE⊥AC，
又∠ACD=45°，
∴△PCE是等腰直角三角形，
∴PE=PC=x，
又∵四边形EBQP是平行四边形，则PQ=EB=a，PQ//AB，
∴∠CPQ=∠A=30°，
∴CQ=12PQ=12a，
∴PC= 3CQ，
即x= 32a，
∴ 32a=2 3a，
解得：a=2或−2(舍去)，
∴x= 3，
即PE= 3，
∴CE= 2PE= 6，
故答案为： 6．
根据题意作出图形，过点Q作QF⊥AB于点F，设EB=a，PE=x，则FB=12QB=12PE=12x，根据已知条件得出x=2 3a，继而根据含30度角的直角三角形的性质得出x= 32a，解方程得出a=2，进而根据等腰直角三角形的性质即可求解．
本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
17.【答案】解：( 27− 12)×1 3
=(3 3−2 3)×1 3
= 3×1 3
=1．
【解析】先化简括号内的式子，然后计算乘法即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】解：xx+2+3x−3=1，
x(x−3)+3(x+2)=(x+2)(x−3)，
解得：x=−12，
检验：当x=−12时，(x+2)(x−3)≠0，
∴x=−12是原方程的根．
【解析】按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
19.【答案】解：(a2−1a2−2a+1−11−a)÷1a2−a
=[(a+1)(a−1)(a−1)2+1a−1]⋅a(a−1)
=(a+1a−1+1a−1)⋅a(a−1)
=a+2a−1⋅a(a−1)
=a(a+2)
=a2+2a，
∵a2+2a−1=0，
∴a2+2a=1，
当a2+2a=1时，
原式=1．
【解析】先利用分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将等式变形，代入化简式子中求解即可．
本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则和运算顺序是关键．
20.【答案】(1)证明：∵∠DAB=∠EAC，
∴∠DAB+BAE=∠EAC+∠BAE，
∴∠DAE=∠CAB，
∵∠E=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴AD：AB=DE：BC，
∴AD⋅BC=AB⋅DE；
(2)解；∵△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(DEBC)2=49，
∴DE6=23，
∴DE=4．
∴DE的长是4．
【解析】(1)由∠DAB=∠EAC，得到∠DAE=∠CAB，又∠E=∠C，推出△ADE∽△ABC，即可证明问题；
(2)由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求出DE的长．
本题考查相似三角形，关键是掌握相似三角形的性质．
21.【答案】200 16 C
【解析】解：(1)一共调查学生人数为40÷20%=200(人)，A等级人数m=200×8%=16(人)，
故答案为：200，16；
(2)C等级人数为200×25%=50(人)，
由于一共有200个数据，其中位数是第100、101个数据的平均数，而第100、101个数据都落在C等级，
所以所抽取学生成绩的中位数落在C等级；
故答案为：C．
(3)估计成绩优秀的学生有2000×70+24200=940(人)．
(1)由B等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数，总人数乘以A等级对应百分比可得m的值；
(2)总人数乘以C等级人数所占百分比求出其人数，继而根据中位数的定义求解即可；
(3)总人数乘以样本中D、E等级人数和所占比例即可．
本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】解：(1)四边形AFED是菱形．
理由：∵EF//AD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DE//AF，
∴四边形AFED是平行四边形．
∵DF是∠ADC的平分线，
∴∠ADF=∠EDF，
∵DE//AF，
∴∠EDF=∠AFD，
∴∠AFD=∠ADF，
∴AD=AF，
∴平行四边形AFED是菱形．
(2)如答图所示，连接AE，与DF相交于O点，
∵∠DAB=60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴FD=AD=5，
∴OF=OD=52，
∵AE⊥DF，
∴∠AOD=90°，
在Rt△AOD中，AO= AD2−OD2= 52−(52)2=5 32．
故S菱形AFED=12⋅OD⋅AO⋅4=12×52×5 32×4=25 32．
【解析】(1)四边形AFED是菱形．根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形．由题意易得四边形AFED是平行四边形，根据角平分线的定义、平行线的性质可证AD=AF，所以平行四边形AFED是菱形．
(2)可根据已知条件，利用勾股定理求得对角线AE的长，从而求出菱形的面积=对角线积的一半．
此题主要考查菱形的判定和菱形的面积计算．菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．
23.【答案】解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求；
(2)如图所示，△ACD即为所求；
∵AB=2,AD=1,AC= 12+12= 2,BC= 12+32= 10,CD= 12+22= 5，
∴ABAC=ACAD=BCCD= 2，
∴△ACD∽△ADC．
【解析】(1)连接AO并延长到A′使得A′O=2OA，连接AO并延长到B′使得B′O=2OB，连接CO并延长到C′使得C′O=2OC，然后顺次连接A′、B′、C′即可；
(2)如图取格点D，连接CD，则△ACD即为所求．
本题主要考查了画位似图形，相似三角形的判定，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
24.【答案】(1)解：由题意得，点D的坐标为(m,4)，
则k=4m，
则反比例函数表达式为y=4mx，
当x=6时，y=4m6=2m3，
即点E的坐标为(6,2m3)；
(2)证明：由(1)知，BD=6−m，BE=4−2m3，
∴BDBC=6−m6=1−16m，BEBA=4−23m4=1−16m，
∴BDBC=BEBA，
∴DE//AC．
【解析】(1)由题意得，点D的坐标为(m,4)，则k=4m，则反比例函数表达式为y=4mx，进而求解；
(2)证明BDBC=BEBA即可．
本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行线分线段成比例等，有一定的综合性，难度适中．
25.【答案】解：(1)如图1，连接BE交AC于点M，作DN⊥AC于点N，
∵四边形ABCD是矩形，AB=6cm，BC=8cm，
∴DC=AB=6cm，AD=BC=8cm，∠ABC=∠ADC=90°，
∴AC= AB2+BC2= 62+82=10(cm)，
∵将矩形沿着AC折叠，点B落在点E处，
∴AE=AB=6cm，EC=BC=8cm，AC垂直平分BE，∠AEC=∠ABC=90°，
∴EM//DN，
∵S△CAE=S△ACD=12×6×8=24(cm2)，
∴12AC⋅EM=12AC⋅DN=24，
∴12×10EM=12×10DN=24，
∴EM=DN=245，
∴四边形DEMN是平行四边形，
∵∠AME=∠CND=90°，
∴AM=CN= 62−(245)2=185(cm)，
∴ED=MN=AC−AM−CN=10−185−185=145(cm)，
∴此时ED的长是145cm．
(2)如图2，连接BD、BG，
∵∠A=90°，AB=6cm，AD=8cm，
∴BD= AB2+AD2= 62+82=10(cm)，
∵将矩形纸片折叠，点B与点D重合，折痕为GH，
∴GH垂直平分BD，
∴BG=DG，BH=DH，
∴∠GDB=∠GBD，∠HBD=∠HDB，
∵AD//BC，
∴∠GDB=∠HBD，
∴∠GBD=∠HDB，
∴BG//DH，
∴四边形BGDH是平行四边形，
∵AB2+AG2=BG2，AG=8−DG，
∴62+(8−DG)2=DG2，
解得DG=254，
∵12BD⋅GH=DG⋅AB=S四边形BGDH，
∴12×10GH=254×6，
解得GH=152，
∴折痕GH的长是152cm．
【解析】(1)连接BE交AC于点M，作DN⊥AC于点N，由四边形ABCD是矩形，AB=6cm，BC=8cm，得DC=AB=6cm，AD=BC=8cm，∠ABC=∠ADC=90°，则AC= AB2+BC2=10cm，由折叠昨AE=AB=6cm，EC=BC=8cm，AC垂直平分BE，∠AEC=∠ABC=90°，则EM//DN，可求得S△CAE=S△ACD=24cm2，则12×10EM=12×10DN=24，求得EM=DN=245cm，所以四边形DEMN是平行四边形，由勾股定理求得AM=CN=185cm，则ED=MN=AC−AM−CN=145cm．
(2)连接BD、BG，由勾股定理得BD= AB2+AD2=10cm，由折叠可知GH垂直平分BD，则BG=DG，BH=DH，所以∠GDB=∠GBD，∠HBD=∠HDB，而∠GDB=∠HBD，所以∠GBD=∠HDB，则BG//DH，四边形BGDH是平行四边形，由勾股定理得62+(8−DG)2=DG2，求得DG=254cm，即可由12×10GH=254×6=S四边形BGDH，求得GH=152cm．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
26.【答案】1
【解析】解：(1)过C作CG//DF交AB于G，
∴ADDG=AECE=2，
∵ADBD=1，
∴AD=BD，
∴BDDG=BFCF=2；
(2)过C作CG//DF交AB于G，
∴ADDG=AECE=mn，
∴AD= mnDG，
∵ADDB=12，
∴BD=2AD=2mnDG，
∵CG//DF，
∴BDDG=BFFC=2mn；
(3)过点C作CG//DF交AB于点G，
则BFFC=BDDG，ADDG=AECE，
∴BFFC⋅ADDG=BDDG⋅AECE，
∴BF⋅AD⋅EC=BD⋅AE⋅FC，
即ADDB⋅BFFC⋅CEEA=1．
故答案为：1．
(1)过C作CG//DF交AB于G，根据平行线分线段成比例定理得到ADDG=AECE=2，于是得到结论；
(2)过C作CG//DF交AB于G，根据平行线分线段成比例定理得到ADDG=AECE=mn，求得AD= mnDG，于是得到结论；
(3)过点C作CG//DF交AB于点G，根据平行线分线段成比例定理得到BFFC=BDDG，ADDG=AECE，于是得到结论．
本题是相似形的综合题，考查了平行线分线段成比例定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
27.【答案】15 3
【解析】解：(1)∵点M(5,3 3)在反比例函数y=kx(x>0)图象上，
∴k=5×3 3=15 3．
故答案为：15 3；
(2)设C(m,15 3m)，
∵点A的坐标为(4 3.0)，
∴点A关于点C的对称点D为(2m−4 3,30 3m)，
∵点D也在反比例函数图象上，
∴(m−4 3)⋅30 3m=15 3，
∴m=8 33，
∴C(8 33,458)；
(3)过C点作CD⊥x轴于点D，作CE⊥y轴于点E，将△CBE绕C点顺时针旋转120°，得△CAF，延长CF交x轴于点H，则∠DCF=30°，
设C(m,15 3m)，
∴CF=CE=m，CD=15 3m，
∴DH=CD⋅tan30°=15m，CH=CDcos30∘=15 3m 32=30m，
∴FH=CH−CF=30m−m，
∵点A的坐标为(4 3.0)，
∴AH=OD+DH−OA=m+15m−4 3，
∵∠AHF=90°−∠DCH=60°，
∴AH=2FH，
∴m+15m−4 3=2(30m−m)，
解得m=3 3，m=−5 33(舍)，
∴OE=CD=15 3m=5，CE=OD=3 3，
∴AD=OA−OD=4 3−3 3= 3，
∴BC2=AC2=CD2+AD2=28，
∴BE= BC2−CE2= 28−27=1，
∴OB=OE+BE=5+1=6，
∴B(0,6)，
∴AB= (4 3)2+62=2 21．
(1)利用待定系数法求得即可；
(2)设C(m,15 3m)，根据题意得到D为(2m−4 3,30 3m)，代入y=15 3x即可求得m的值，从而求得点C的坐标；
(3)过C点作CD⊥x轴于点D，作CE⊥y轴于点E，将△CBE绕C点顺时针旋转120°，得△CAF，延长CF交x轴于点H，则∠DCF=30°，设C(m,15 3m)，用m表示AH和FH，再在Rt△AHF，根据三角函数关系列出m的方程求得m，进一步求得B点的坐标，然后利用勾股定理即可求得．
本题考查了反比例函数的图象与性质，旋转的性质，解直角三角形的应用，勾股定理等，解题关键是构造直角三角形，运用解直角三角形列出方程．难度极大，充分利用120度角为突破口．
2022-2023学年江苏省苏州市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若分式x+22x−1的值为0，则x的值是( )
A. −2 B. 0 C. 12 D. 1
2. 为丰富学生的课外生活，学校开展游园活动，小丽同学在套圈游戏中一共套圈15次，套中6次，则小丽套圈套中的频率是( )
A. 25 B. 52 C. 35 D. 53
3. 菱形具有而平行四边形不一定有的性质是( )
A. 对角相等 B. 对边平行 C. 对角线互相平分 D. 四边都相等
4. 如图，在▱ABCD中，∠D=120°，则∠A的度数等于( )
A. 120°
B. 60°
C. 40°
D. 30°
5. 如图，要测量B，C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，得到线段AB，AC，并取AB，AC的中点D，E，连结DE，则他只需测量( )
A. AD长
B. AE长
C. DE长
D. AC长
6. 将 25−10x+x2(x≥5)化简得( )
A. 5−x B. ±(x−5) C. (x−5)2 D. x−5
7. 在正数范围内定义运算“※”，其规则为a※b=a+b2，则方程x※(x+1)=5的解是( )
A. x=5 B. x=1
C. x1=1，x2=−4 D. x1=−1，x2=4
8. 如图，E、F是矩形ABCD的边AB上的两点，CE，DF相交于点O，已知△OCD面积为8，△OEF面积为2，四边形AEOD的面积为5，则四边形BCOF的面积为( )
A. 10
B. 9
C. 8
D. 7
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. ( 3)2=______．
10. 某反比例函数的图象过点(−1,6)，则该反比例函数的解析式为______ ．
11. 关于x的一元二次方程x2+2x−a=0的一个根是2，则另一个根是______ ．
12. 两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2：AC与BD交于点O，AB//CD，若点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰AB的高度是3cm，则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是______ cm．
13. 某汽车测评机构对A款电动汽车与B款燃油汽车进行对比调查，发现A款电动汽车平均每公里充电费用比B款燃油车平均每公里燃油费用少0.6元.当充电费和燃油费用均为200元时.A款电动汽车的行驶里程是B款燃油车的4倍.则A款电动汽车平均每公里充电费用为______ 元.
14. 符合黄金分割比例( 5−12)形式的图形很容易使人产生视觉上的美感.在如图所示的五角星中，AD=BC= 5+12，且C，D两点都是AB的黄金分割点，则CD的长为______ ．
15. 如图，AB、CD都是BD的垂线，AB=4，CD=6，BD=14，P是BD上一点，联结AP、CP，所得两个三角形相似，则BP的长是______．
16. 如图，将一副三角尺中，含30°角的三角尺(△ABC)的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD)的斜边重合，P，Q分别是边AC，BC上的两点，AB与CD交于E，且四边形EPQB是面积为3的平行四边形，则线段CE的长为______ ．
三、解答题（本大题共11小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题4.0分)
计算：( 27− 12)×1 3．
18. (本小题5.0分)
解方程：xx+2+3x−3=1．
19. (本小题5.0分)
先化简，再求值：(a2−1a2−2a+1−11−a)÷1a2−a，其中a满足a2+2a−1=0．
20. (本小题6.0分)
如图，在△ABC和△ADE中，∠DAB=∠EAC，∠C=∠E．
(1)求证：AD⋅BC=AB⋅DE；
(2)若S△ADE：S△ABC=4：9，BC=6，求DE的长．
21. (本小题8.0分)
为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．
等级
成绩x
A
50≤x<60
B
60≤x<70
C
70≤x<80
D
80≤x<90
E
90≤x≤100
请结合统计图，解答下列问题：
(1)本次调查一共随机抽取了______ 名学生的成绩，频数分布直方图中m= ______ ；
(2)所抽取学生成绩的中位数落在______ 等级；
(3)若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？
22. (本小题8.0分)
如图所示，DF是平行四边形ABCD中∠ADC的平分线，EF//AD交DC于点E．
(1)四边形AFED是菱形吗？请说明理由；
(2)如果∠A=60°，AD=5，求四边形AFED的面积．
23. (本小题8.0分)
如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺完成如图作图(保留作图痕迹)．
(1)在图1中，以点O为位似中心，作格点△A′B′C′，使它与△ABC的位似比为2：1；
(2)在图2中，作格点△ACD，使它与△ABC相似，且AC为公共边，∠A为公共角．
24. (本小题8.0分)
如图，反比例函数y=kx(0
(1)请用含m的代数式表示点E的坐标；
(2)求证：DE//AC．
25. (本小题10.0分)
已知矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．
(1)将矩形纸片沿着AC折叠，点B落在点E处，求此时ED的长；
(2)将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，求折痕GH的长．
26. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，直线DF与边AB相交于点D，与边AC相交于点E.与线段BC延长线相交于点F．
(1)若ADDB=1，AEEC=2，求BFFC的值；
(2)若ADDB=12，AEEC=mn，其中m>n>0，求BFFC的值．
(3)请根据上述(1)(2)的结论，猜想ADDB⋅BFFC⋅CEEA= ______ .(直接写出答案，不需要证明)
27. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(4 3.0)，已知点M(5,3 3)在反比例函数y=kx(x>0)图象上．
(1)k= ______ ；
(2)若点A关于点C的对称点D也在反比例函数图象上，求此时点C的坐标；
(3)若点A绕点C顺时针旋转120°所得对应点B刚好落在y轴的正半轴上，求线段AB的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意得：x+2=0且2x−1≠0，
解得：x=−2，
故选：A．
根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可．
本题考查的是分式值为零的条件，熟记分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：小丽同学在套圈游戏中一共套圈15次，套中6次，则小丽套圈套中的频率是615=25．
故选：A．
根据频率=频数÷总数求解即可．
本题主要考查了频数与频率，掌握“频率=频数÷总数”是关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵菱形平行四边形，
∴平行四边形具有的性质，则菱形也具有，
∴对角相等、对边平行、对角线互相平分这三条性质是菱形和平行四边形都具有的性质，
故A、B、C都不符合题意；
∵菱形是特殊的平行四边形，
∴菱形具有的性质，则平行四边形不一定具有，
∴四条边都相等这一菱形具有的性质而平行四边形不一定具有，
故D符合题意，
故选：D．
由菱形平行四边形，可知对角相等、对边平行、对角线互相平分这三条性质是菱形和平行四边形都具有的性质，可判断A、B、C都不符合题意；由菱形是特殊的平行四边形，可知菱形具有的性质，则平行四边形不一定具有，所以四条边都相等这一菱形具有的性质而平行四边形不一定具有，可判断D符合题意，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、菱形的性质等知识，正确理解菱形与平行四边形之间的特殊与一般的关系是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠A=180°−∠D=60°．
故选B．
根据平行四边形的邻角互补即可得出∠A的度数．
本题考查平行四边形的性质，比较简单，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角互补．
5.【答案】C
【解析】解：∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE，
∴要测量B，C两地的距离，他只需测量DE长，
故选：C．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵x≥5，
原式= (x−5)2=x−5．
故选：D．
根据二次根式的性质把原式进行化简即可．
本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数具有非负性是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：x※(x+1)=5，
即x+(x+1)2=5，
x2+3x−4=0，
(x−1)(x+4)=0，
x−1=0，x+4=0，
x1=1，x=−4，
∵在正数范围内定义运算“※”，
∴x=1．
故选：B．
根据已知得出x+(x+1)2=5，求出方程的解即可．
本题考查了新定义和解一元二次方程，关键是能根据新定义得出方程x+(x+1)2=5．
8.【答案】B
【解析】解：连接FC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，
∴△EOF∽△COD，
∴S△OEFS△OCD=(OEOC)2，
即28=(OEOC)2，
∴OEOC=12，
∴S△OEFS△OCF=OEOC=12，
∵S△OEF=2，
∴S△OCF=4，
∴S△CDF=S△OCD+S△OCF=8+4=12，
∴S矩形ABCD=2S△CDF=24，
∴S四边形BCOF=S矩形ABCD−S△OEF−S△OCD−S四边形AEOD
=24−2−8−5
=9，
故选：B．
先证△EOF∽△COD，再根据相似三角形面积之比等于相似比的平方得出OC=2OE，从而得出△OCF的面积，即可求出△CDF的面积，于是得出矩形ABCD的面积，最后根据图形面积之间的关系求出四边形BCOF的面积．
本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，图形之间的面积关系，熟知：相似三角形面积之比等于相似比的平方．
9.【答案】3
【解析】解：原式=3．
故答案为：3
直接进行平方的运算即可．
此题考查了二次根式的乘法运算，属于基础题，注意仔细运算即可．
10.【答案】y=−6x
【解析】解：设反比例函数的解析式为y=kx(k≠0)．
由图象可知，函数经过点P(−1,6)，
∴6=k−1，
得k=−6．
∴反比例函数解析式为y=−6x．
故答案为：y=−6x．
反比例函数的图象过点(−1,6)，将此点坐标代入函数解析式y=kx(k≠0)，即可求得k的值．
此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．
11.【答案】−4
【解析】解：设另一个根为m，由根与系数之间的关系得，
m+2=−2，
∴m=−4，
故答案为：−4，
利用根与系数之间的关系求解．
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
12.【答案】2
【解析】解：设蜡烛火焰的高度是x cm，
由相似三角形的性质得到：1015=x3．
解得x=2．
即蜡烛火焰的高度是2cm．
故答案为：2．
直接利用相似三角形的对应边成比例解答．
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
13.【答案】0.2
【解析】解：设A款电动汽车平均每公里充电费用为x元，则B款燃油车平均每公里燃油费用为(x+0.6)元，
根据题意得：200x=200x+0.6×4，
解得：x=0.2，
经检验，x=0.2是所列方程的解，且符合题意，
∴A款电动汽车平均每公里充电费用为0.2元．
故答案为：0.2．
设A款电动汽车平均每公里充电费用为x元，则B款燃油车平均每公里燃油费用为(x+0.6)元，根据“当充电费和燃油费用均为200元时，A款电动汽车的行驶里程是B款燃油车的4倍”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
14.【答案】1
【解析】解：∵C，D两点都是的黄金分割点，
∴ACAB=AD+CDAB= 5−12，
∵AB=AD+CD+BC，AD=BC= 5+12，
∴AB= 5+1+CD，
将AB= 5+1+CD，AD= 5+12代入AD+CDAB= 5−12，
得： 5+12+CD 5+1+CD= 5−12，
∴2( 5+12+CD)=( 5+1+CD)( 5−1)，
整理得：(3− 5)CD=3− 5，
∴CD=1，
故答案为：1．
根据黄金分割的定义得到ACAB=AD+CDAB= 5−12，继而将AB= 5+1+CD，AD= 5+12代入AD+CDAB= 5−12得： 5+12+CD 5+1+CD= 5−12，解之即可求解．
本题考查黄金分割比例：把线段AB分成两条线段AC和BC，(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即ABAC=ACBC)叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC= 5−12AB，并且线段AB的黄金分割点有两个，解题的关键是熟练掌握黄金分割比例．
15.【答案】2或12或285
【解析】解：设BP=x，则PD=14−x，
当△ABP∽△PDC时，ABPD=BPCD，即414−x=x6，
解得，x1=2，x2=12，
当△ABP∽△CDP时，ABCD=BPPD，即46=x14−x，
解得，x=285，
综上所述，当所得两个三角形相似时，则BP的长为2或12或285，
故答案为：2或12或285．
分△ABP∽△PDC、△ABP∽△CDP两种情况，根据相似三角形的性质列方程计算即可．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
16.【答案】 6
【解析】解：如图所示，
过点Q作QF⊥AB于点F，
设EB=a，PE=x，则FB=12QB=12PE=12x，
在Rt△QFB中，QF= 3FB= 32x，
依题意，EB×QF=3，
∴ 32ax=3，
∴x=2 3a，
∵PE//CB，则PE⊥AC，
又∠ACD=45°，
∴△PCE是等腰直角三角形，
∴PE=PC=x，
又∵四边形EBQP是平行四边形，则PQ=EB=a，PQ//AB，
∴∠CPQ=∠A=30°，
∴CQ=12PQ=12a，
∴PC= 3CQ，
即x= 32a，
∴ 32a=2 3a，
解得：a=2或−2(舍去)，
∴x= 3，
即PE= 3，
∴CE= 2PE= 6，
故答案为： 6．
根据题意作出图形，过点Q作QF⊥AB于点F，设EB=a，PE=x，则FB=12QB=12PE=12x，根据已知条件得出x=2 3a，继而根据含30度角的直角三角形的性质得出x= 32a，解方程得出a=2，进而根据等腰直角三角形的性质即可求解．
本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
17.【答案】解：( 27− 12)×1 3
=(3 3−2 3)×1 3
= 3×1 3
=1．
【解析】先化简括号内的式子，然后计算乘法即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】解：xx+2+3x−3=1，
x(x−3)+3(x+2)=(x+2)(x−3)，
解得：x=−12，
检验：当x=−12时，(x+2)(x−3)≠0，
∴x=−12是原方程的根．
【解析】按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
19.【答案】解：(a2−1a2−2a+1−11−a)÷1a2−a
=[(a+1)(a−1)(a−1)2+1a−1]⋅a(a−1)
=(a+1a−1+1a−1)⋅a(a−1)
=a+2a−1⋅a(a−1)
=a(a+2)
=a2+2a，
∵a2+2a−1=0，
∴a2+2a=1，
当a2+2a=1时，
原式=1．
【解析】先利用分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将等式变形，代入化简式子中求解即可．
本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则和运算顺序是关键．
20.【答案】(1)证明：∵∠DAB=∠EAC，
∴∠DAB+BAE=∠EAC+∠BAE，
∴∠DAE=∠CAB，
∵∠E=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴AD：AB=DE：BC，
∴AD⋅BC=AB⋅DE；
(2)解；∵△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(DEBC)2=49，
∴DE6=23，
∴DE=4．
∴DE的长是4．
【解析】(1)由∠DAB=∠EAC，得到∠DAE=∠CAB，又∠E=∠C，推出△ADE∽△ABC，即可证明问题；
(2)由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求出DE的长．
本题考查相似三角形，关键是掌握相似三角形的性质．
21.【答案】200 16 C
【解析】解：(1)一共调查学生人数为40÷20%=200(人)，A等级人数m=200×8%=16(人)，
故答案为：200，16；
(2)C等级人数为200×25%=50(人)，
由于一共有200个数据，其中位数是第100、101个数据的平均数，而第100、101个数据都落在C等级，
所以所抽取学生成绩的中位数落在C等级；
故答案为：C．
(3)估计成绩优秀的学生有2000×70+24200=940(人)．
(1)由B等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数，总人数乘以A等级对应百分比可得m的值；
(2)总人数乘以C等级人数所占百分比求出其人数，继而根据中位数的定义求解即可；
(3)总人数乘以样本中D、E等级人数和所占比例即可．
本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】解：(1)四边形AFED是菱形．
理由：∵EF//AD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DE//AF，
∴四边形AFED是平行四边形．
∵DF是∠ADC的平分线，
∴∠ADF=∠EDF，
∵DE//AF，
∴∠EDF=∠AFD，
∴∠AFD=∠ADF，
∴AD=AF，
∴平行四边形AFED是菱形．
(2)如答图所示，连接AE，与DF相交于O点，
∵∠DAB=60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴FD=AD=5，
∴OF=OD=52，
∵AE⊥DF，
∴∠AOD=90°，
在Rt△AOD中，AO= AD2−OD2= 52−(52)2=5 32．
故S菱形AFED=12⋅OD⋅AO⋅4=12×52×5 32×4=25 32．
【解析】(1)四边形AFED是菱形．根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形．由题意易得四边形AFED是平行四边形，根据角平分线的定义、平行线的性质可证AD=AF，所以平行四边形AFED是菱形．
(2)可根据已知条件，利用勾股定理求得对角线AE的长，从而求出菱形的面积=对角线积的一半．
此题主要考查菱形的判定和菱形的面积计算．菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．
23.【答案】解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求；
(2)如图所示，△ACD即为所求；
∵AB=2,AD=1,AC= 12+12= 2,BC= 12+32= 10,CD= 12+22= 5，
∴ABAC=ACAD=BCCD= 2，
∴△ACD∽△ADC．
【解析】(1)连接AO并延长到A′使得A′O=2OA，连接AO并延长到B′使得B′O=2OB，连接CO并延长到C′使得C′O=2OC，然后顺次连接A′、B′、C′即可；
(2)如图取格点D，连接CD，则△ACD即为所求．
本题主要考查了画位似图形，相似三角形的判定，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
24.【答案】(1)解：由题意得，点D的坐标为(m,4)，
则k=4m，
则反比例函数表达式为y=4mx，
当x=6时，y=4m6=2m3，
即点E的坐标为(6,2m3)；
(2)证明：由(1)知，BD=6−m，BE=4−2m3，
∴BDBC=6−m6=1−16m，BEBA=4−23m4=1−16m，
∴BDBC=BEBA，
∴DE//AC．
【解析】(1)由题意得，点D的坐标为(m,4)，则k=4m，则反比例函数表达式为y=4mx，进而求解；
(2)证明BDBC=BEBA即可．
本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行线分线段成比例等，有一定的综合性，难度适中．
25.【答案】解：(1)如图1，连接BE交AC于点M，作DN⊥AC于点N，
∵四边形ABCD是矩形，AB=6cm，BC=8cm，
∴DC=AB=6cm，AD=BC=8cm，∠ABC=∠ADC=90°，
∴AC= AB2+BC2= 62+82=10(cm)，
∵将矩形沿着AC折叠，点B落在点E处，
∴AE=AB=6cm，EC=BC=8cm，AC垂直平分BE，∠AEC=∠ABC=90°，
∴EM//DN，
∵S△CAE=S△ACD=12×6×8=24(cm2)，
∴12AC⋅EM=12AC⋅DN=24，
∴12×10EM=12×10DN=24，
∴EM=DN=245，
∴四边形DEMN是平行四边形，
∵∠AME=∠CND=90°，
∴AM=CN= 62−(245)2=185(cm)，
∴ED=MN=AC−AM−CN=10−185−185=145(cm)，
∴此时ED的长是145cm．
(2)如图2，连接BD、BG，
∵∠A=90°，AB=6cm，AD=8cm，
∴BD= AB2+AD2= 62+82=10(cm)，
∵将矩形纸片折叠，点B与点D重合，折痕为GH，
∴GH垂直平分BD，
∴BG=DG，BH=DH，
∴∠GDB=∠GBD，∠HBD=∠HDB，
∵AD//BC，
∴∠GDB=∠HBD，
∴∠GBD=∠HDB，
∴BG//DH，
∴四边形BGDH是平行四边形，
∵AB2+AG2=BG2，AG=8−DG，
∴62+(8−DG)2=DG2，
解得DG=254，
∵12BD⋅GH=DG⋅AB=S四边形BGDH，
∴12×10GH=254×6，
解得GH=152，
∴折痕GH的长是152cm．
【解析】(1)连接BE交AC于点M，作DN⊥AC于点N，由四边形ABCD是矩形，AB=6cm，BC=8cm，得DC=AB=6cm，AD=BC=8cm，∠ABC=∠ADC=90°，则AC= AB2+BC2=10cm，由折叠昨AE=AB=6cm，EC=BC=8cm，AC垂直平分BE，∠AEC=∠ABC=90°，则EM//DN，可求得S△CAE=S△ACD=24cm2，则12×10EM=12×10DN=24，求得EM=DN=245cm，所以四边形DEMN是平行四边形，由勾股定理求得AM=CN=185cm，则ED=MN=AC−AM−CN=145cm．
(2)连接BD、BG，由勾股定理得BD= AB2+AD2=10cm，由折叠可知GH垂直平分BD，则BG=DG，BH=DH，所以∠GDB=∠GBD，∠HBD=∠HDB，而∠GDB=∠HBD，所以∠GBD=∠HDB，则BG//DH，四边形BGDH是平行四边形，由勾股定理得62+(8−DG)2=DG2，求得DG=254cm，即可由12×10GH=254×6=S四边形BGDH，求得GH=152cm．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
26.【答案】1
【解析】解：(1)过C作CG//DF交AB于G，
∴ADDG=AECE=2，
∵ADBD=1，
∴AD=BD，
∴BDDG=BFCF=2；
(2)过C作CG//DF交AB于G，
∴ADDG=AECE=mn，
∴AD= mnDG，
∵ADDB=12，
∴BD=2AD=2mnDG，
∵CG//DF，
∴BDDG=BFFC=2mn；
(3)过点C作CG//DF交AB于点G，
则BFFC=BDDG，ADDG=AECE，
∴BFFC⋅ADDG=BDDG⋅AECE，
∴BF⋅AD⋅EC=BD⋅AE⋅FC，
即ADDB⋅BFFC⋅CEEA=1．
故答案为：1．
(1)过C作CG//DF交AB于G，根据平行线分线段成比例定理得到ADDG=AECE=2，于是得到结论；
(2)过C作CG//DF交AB于G，根据平行线分线段成比例定理得到ADDG=AECE=mn，求得AD= mnDG，于是得到结论；
(3)过点C作CG//DF交AB于点G，根据平行线分线段成比例定理得到BFFC=BDDG，ADDG=AECE，于是得到结论．
本题是相似形的综合题，考查了平行线分线段成比例定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
27.【答案】15 3
【解析】解：(1)∵点M(5,3 3)在反比例函数y=kx(x>0)图象上，
∴k=5×3 3=15 3．
故答案为：15 3；
(2)设C(m,15 3m)，
∵点A的坐标为(4 3.0)，
∴点A关于点C的对称点D为(2m−4 3,30 3m)，
∵点D也在反比例函数图象上，
∴(m−4 3)⋅30 3m=15 3，
∴m=8 33，
∴C(8 33,458)；
(3)过C点作CD⊥x轴于点D，作CE⊥y轴于点E，将△CBE绕C点顺时针旋转120°，得△CAF，延长CF交x轴于点H，则∠DCF=30°，
设C(m,15 3m)，
∴CF=CE=m，CD=15 3m，
∴DH=CD⋅tan30°=15m，CH=CDcos30∘=15 3m 32=30m，
∴FH=CH−CF=30m−m，
∵点A的坐标为(4 3.0)，
∴AH=OD+DH−OA=m+15m−4 3，
∵∠AHF=90°−∠DCH=60°，
∴AH=2FH，
∴m+15m−4 3=2(30m−m)，
解得m=3 3，m=−5 33(舍)，
∴OE=CD=15 3m=5，CE=OD=3 3，
∴AD=OA−OD=4 3−3 3= 3，
∴BC2=AC2=CD2+AD2=28，
∴BE= BC2−CE2= 28−27=1，
∴OB=OE+BE=5+1=6，
∴B(0,6)，
∴AB= (4 3)2+62=2 21．
(1)利用待定系数法求得即可；
(2)设C(m,15 3m)，根据题意得到D为(2m−4 3,30 3m)，代入y=15 3x即可求得m的值，从而求得点C的坐标；
(3)过C点作CD⊥x轴于点D，作CE⊥y轴于点E，将△CBE绕C点顺时针旋转120°，得△CAF，延长CF交x轴于点H，则∠DCF=30°，设C(m,15 3m)，用m表示AH和FH，再在Rt△AHF，根据三角函数关系列出m的方程求得m，进一步求得B点的坐标，然后利用勾股定理即可求得．
本题考查了反比例函数的图象与性质，旋转的性质，解直角三角形的应用，勾股定理等，解题关键是构造直角三角形，运用解直角三角形列出方程．难度极大，充分利用120度角为突破口．
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