江西省南昌市第三中学2022-2023学年八年级下学期期末考试数学试卷(含答案)
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2022-2023学年江西省南昌三中八年级(下)期末数学试卷
一.选择题(共6小题,满分18分,每小题3分)
1.(3分)若二次根式在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A.x>2 B.x≥2 C.x≤2 D.x<2
2.(3分)如图,分别以直角三角形的三边为边画三个正方形,较大两个正方形的面积分别为144和169,则最小正方形A的面积是( )
A.5 B.12 C.13 D.25
3.(3分)如图,剪两张对边平行的纸片随意交叉叠放在一起,转动其中一张,重合部分构成一个四边形,则下列结论中不一定成立的是( )
A.∠DAB+∠ABC=180° B.AB=BC
C.AB=CD,AD=BC D.∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD
4.(3分)在平面直角坐标系中,若将直线y=x﹣2向上平移m个单位长度得到直线y=x+2,则m的值为( )
A.0 B.2 C.3 D.4
5.(3分)某中学青年志愿者协会的10名志愿者,一周的社区志愿服务时间如表所示:
时间/h
2
3
4
5
6
人数
1
3
2
3
1
关于志愿者服务时间的描述正确的是( )
A.众数是6 B.中位数是4 C.平均数是3 D.方差是1
6.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,P为边BC上一动点(P不与B、C重合),PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF中点,则AM的取值范围是( )
A.≤AM<4 B.6≤AM<8 C.≤AM<8 D.3≤AM<4
二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分)
7.(3分)已知m=+1,n=﹣1,则m2+n2的值为 .
8.(3分)一组数据由4个数组成,其中3个数分别为2,1,4,且这组数据的平均数为2,则这组数据的众数为 .
9.(3分)如图,已知△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,连接DE并延长至F.使EF=DE,连接CF.若∠B=45°,则∠F的度数为 .
10.(3分)一次函数y=kx+k过定点(m,n),则点(m,m+n)到原点距离为 .
11.(3分)设一个样本数据为x1,x2,x3,…,xn,它的平均数为5,则另一个样本数据3x1﹣5,3x2﹣5,…,3xn﹣5的平均数是 .
12.(3分)如图1,矩形纸片ABCD中,AB=5,AD=12,要在矩形纸片内折出一个菱形,现有两种方案:
甲:如图2,取两组对边中点的方法折出四边形EFGH.
乙:如图3,沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠CAD,∠ACF=∠ACB的方法得到四边形AECF.
下列说法正确的是 (只填序号).
①甲折出的四边形是菱形;②乙折出的四边形不是菱形;③甲、乙折出的四边形面积一样大;④乙折出的四边形面积大.
三.解答题(共11小题,满分84分)
13.(6分)
14.(6分)△ABC的三边长分别为5,x﹣2,x+1,若该三角形是以x+1为斜边的直角三角形,求x的值.
15.(6分)如图,在▱ABCD中,延长边DA至点E,使得AE=AD,连接CE交AB于点F,求证:△AEF≌△BCF.
16.(6分)已知函数y=(m﹣2)x|m﹣1|+4是关于x的一次函数.
(1)求m的值;
(2)在如图中画出该函数图象;
(3)y的值随x的值的增大而 .(填“增大”或“减小”)
17.(6分)在学校组织的社会实践活动中,甲、乙两人参加了射击比赛,每人射击七次,命中的环数如表:
序号
一
二
三
四
五
六
七
甲命中的环数(环)
7
8
8
6
9
8
10
乙命中的环数(环)
5
10
6
7
8
10
10
根据以上信息,解决以下问题:
(1)写出甲、乙两人命中环数的众数;
(2)已知通过计算器求得=8,s甲2≈1.43,试比较甲、乙两人谁的成绩更稳定?
18.(8分)如图,在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A、B,道路AC因为施工需要封闭,该村为方便村民取水,决定在河边新建一个取水点H(A,H,B在同一条直线上),并新修一条道路CH,已知千米,CH=2千米,HB=1千米.
(1)CH是否为村庄C到河边最近的道路,请通过计算加以说明;
(2)已知新的取水点H与原取水点A相距1.5千米,求新路CH比原路CA少多少千米.
19.(8分)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AE⊥BC交CB延长线于点E,CF∥AE交AD延长线于点F.
(1)求证:四边形AECF是矩形.
(2)若四边形ABCD为菱形,H为AB中点,连接OH,若DF=3,AE=4,则OH长为 .
20.(8分)如图,在平面直角坐标系中,线段AB的端点为A(1,0),B(6,10).
(1)求AB所在直线的解析式;
(2)某同学设计了一个动画;
在函数y=﹣2x+b中,输入b的值,得到直线CD,其中点D在x轴上,点C在y轴上.
①在输入过程中,若△ABD的面积为5,直线CD就会发蓝光,求此时输入的b值;
②若直线CD与线段AB有交点,且交点的横坐标不大于纵坐标时,直线CD就会发红光,直接写出此时输入的b的取值范围.
21.(9分)如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,AD=12,CD=13.
(1)求AC的长;
(2)若点E为CD的中点,求AE的长.
22.(9分)如图所示,已知直线l1:y=2x与直线l2:y=﹣x+b交于点A(m,n),点A到x轴的距离为2,且在第一象限.直线l2与x轴交于点B,与y轴交于点C.
(1)求直线l2的解析式;
(2)过x轴上点(2,0)作平行于y轴的直线,分别与直线l1、l2交于点M、点N.
①求线段MN的长度;
②将△AOB沿着直线y=kx(k≠0)折叠,当点A落在直线MN上时,直接写出k的值.
23.(12分)已知:如图,在四边形ABCD中,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E,F,延长DE、BF,分别交AB于点H,交BC于点G,若AD∥BC,AE=CF.
(1)求证:四边形ABCD为平行四边形;
(2)若∠DAH=∠GBA,GF=2,CF=4,求AD的长.
2022-2023学年江西省南昌三中八年级(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共6小题,满分18分,每小题3分)
1.(3分)若二次根式在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A.x>2 B.x≥2 C.x≤2 D.x<2
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣2≥0,再解即可.
【解答】解:二次根式在实数范围内有意义,
则x﹣2≥0,
解得x≥2.
故选:B.
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件,关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数.
2.(3分)如图,分别以直角三角形的三边为边画三个正方形,较大两个正方形的面积分别为144和169,则最小正方形A的面积是( )
A.5 B.12 C.13 D.25
【分析】根据勾股定理和正方形的面积求解即可.
【解答】解:根据图形,直角三角形的边长的平方刚好为对应正方形的面积,
∴直角三角形的斜边平方为169,一条直角边的平方为144,
∴另一条直角边的平方为169﹣144=25,
∴最小正⽅形A的⾯积是25,
故选:D.
【点评】此题考查了勾股定理,关键是借助勾股定理将正方形的面积联系起来.
3.(3分)如图,剪两张对边平行的纸片随意交叉叠放在一起,转动其中一张,重合部分构成一个四边形,则下列结论中不一定成立的是( )
A.∠DAB+∠ABC=180° B.AB=BC
C.AB=CD,AD=BC D.∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD
【分析】根据题意可得四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的性质可判断.
【解答】解:根据题意可得AB∥CD,AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC,AB=CD,∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD,∠DAB+∠ABC=180°
故选:B.
【点评】本题考查了菱形的判定与性质,平行四边形的性质和判定,熟练运用平行四边形的判定和性质解决问题是本题的关键.
4.(3分)在平面直角坐标系中,若将直线y=x﹣2向上平移m个单位长度得到直线y=x+2,则m的值为( )
A.0 B.2 C.3 D.4
【分析】根据一次函数图象的平移规律“上加下减”,可得﹣2+m=2,进一步计算即可.
【解答】解:若将直线y=x﹣2向上平移m个单位长度得到直线y=x+2,
∴﹣2+m=2,
解得m=4,
故选:D.
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换,熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键.
5.(3分)某中学青年志愿者协会的10名志愿者,一周的社区志愿服务时间如表所示:
时间/h
2
3
4
5
6
人数
1
3
2
3
1
关于志愿者服务时间的描述正确的是( )
A.众数是6 B.中位数是4 C.平均数是3 D.方差是1
【分析】根据众数、中位数、平均数及方差的定义求解即可.
【解答】解:这组数据的众数是3和5,中位数是=4,平均数为=4(h),
则方差为×[(2﹣4)2+3×(3﹣4)2+2×(4﹣4)2+3×(5﹣4)2+(6﹣4)2]=1.4,
故选:B.
【点评】本题主要考查方差,解题的关键是掌握众数、中位数、平均数及方差的定义.
6.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,P为边BC上一动点(P不与B、C重合),PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF中点,则AM的取值范围是( )
A.≤AM<4 B.6≤AM<8 C.≤AM<8 D.3≤AM<4
【分析】证明四边形AEPF是矩形,得EF=AP,再由直角三角形斜边上的中线性质得AM=EF=PA,然后求出PA的最小值可得AM的最小值,又由AP<AC,即可求得AM的取值范围.
【解答】解:如图,连接PA,
在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,
∴BC=,
∵PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,
∴∠PEA=∠PFA=∠EAF=90°,
∴四边形AEPF是矩形,
∴EF=AP,
∵M为EF中点,
∴AM=EF=PA,
当PA⊥CB时,PA=,
∴此时AM有最小值,
∵PA<8,
∴PA<8,
∴AM<4,
∴2.4≤AM<4,
故选:A.
【点评】此题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、垂线段最短等知识,熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键.
二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分)
7.(3分)已知m=+1,n=﹣1,则m2+n2的值为 14 .
【分析】直接利用完全平方公式将原式变形,进而计算得出答案.
【解答】解:m2+n2
=(m+n)2﹣2mn,
∵m=+1,n=﹣1,
∴原式=(+1+﹣1)2﹣2×(+1)(﹣1)
=(2)2﹣2×(6﹣1)
=24﹣2×5
=14.
故答案为:14.
【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值,正确运用完全平方公式是解题关键.
8.(3分)一组数据由4个数组成,其中3个数分别为2,1,4,且这组数据的平均数为2,则这组数据的众数为 1 .
【分析】先根据算术平均数的概念求出另外一个数,再由众数的定义求解即可.
【解答】解:由题意知,另外一个数为2×4﹣(2+1+4)=1,
所以这组数据为1、1、2、4,
所以这组数据的众数为1,
故答案为:1.
【点评】本题主要考查众数和算术平均数,解题的关键是掌握众数和算术平均数的定义.
9.(3分)如图,已知△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,连接DE并延长至F.使EF=DE,连接CF.若∠B=45°,则∠F的度数为 45° .
【分析】证明四边形DBCF是平行四边形,由平行四边形的性质可得出答案.
【解答】解:∵D、E分别是AB、AC的中点,
∴DE=BC,DE∥BC,
又EF=DE,
∴DF=DE+EF=BC,
∴四边形DBCF是平行四边形,
∵∠B=45°,
∴∠F=45°,
故答案为:45°.
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质,三角形中位线定理,证明四边形DBCF是平行四边形是解题的关键.
10.(3分)一次函数y=kx+k过定点(m,n),则点(m,m+n)到原点距离为 .
【分析】根据一次函数y=kx+k过定点(﹣1,0),求得m=﹣1,n=0,再根据勾股定理即可求解.
【解答】解:∵y=kx+k=k(x+1),
∴一次函数y=kx+k过定点(﹣1,0),
∴m=﹣1,n=0,
∴点(m,m+n)即点(﹣1,﹣1)到原点距离为,
故答案为:.
【点评】本题考查了一次函数的性质,勾股定理,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
11.(3分)设一个样本数据为x1,x2,x3,…,xn,它的平均数为5,则另一个样本数据3x1﹣5,3x2﹣5,…,3xn﹣5的平均数是 10 .
【分析】解答本题要运用平故答案为均数公式:.
【解答】解:由x1,x2,x3,…,xn,它的平均数为5,得:平均数=(x1+x2+x3+…+xn)=5,
另一个样本数据3x1﹣5,3x2﹣5,…,3xn﹣5的平均数=(3x1﹣5+3x2﹣5+3x3﹣5+…+3xn﹣5)
=×3(x1+x2+x3+…+xn)﹣5
=15﹣5
=10.
故答案为10.
【点评】本题考查了平均数的概念和计算.记住平均数公式:.
12.(3分)如图1,矩形纸片ABCD中,AB=5,AD=12,要在矩形纸片内折出一个菱形,现有两种方案:
甲:如图2,取两组对边中点的方法折出四边形EFGH.
乙:如图3,沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠CAD,∠ACF=∠ACB的方法得到四边形AECF.
下列说法正确的是 ①④ (只填序号).
①甲折出的四边形是菱形;②乙折出的四边形不是菱形;③甲、乙折出的四边形面积一样大;④乙折出的四边形面积大.
【分析】①根据矩形的性质证明EG=EF=FG=GH,进而可以进行判断;
②根据矩形的性质证明△EAC≌△FAC(ASA),可得AE=AF,然后证明四边形AECF是平行四边形,进而可以进行判断;
③根据△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DHG,S△AEH=AB××AD=,可得菱形EFGH的面积=60﹣4×=30;设BE=x,则AE=CE=BC﹣BE=12﹣x,计算菱形AECF的面积=CE•AB=×5≈35.21,进而可以进行判断;
④由菱形EFGH的面积<菱形AECF的面积,进而可以进行判断.
【解答】解:①∵点E,F,G,H分别是矩形ABCD四个边的中点,
∴AH=DH=BF=CF,AE=BE=DG=CG,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
∴△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DHG(SAS),
∴EG=EF=FG=GH,
∴四边形EFGH是菱形,故①正确;
②∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠ECA=∠CAD,
∵∠CAE=∠CAD,
∴∠CAE=∠ECA,
∴EA=EC,
在△EAC和△FAC中,
,
∴△EAC≌△FAC(ASA),
∴AE=AF,
∴AF=EC,
∵AF∥EC,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵AE=AF,
∴四边形AECF是菱形,故②错误;
③∵矩形ABCD中,AB=5,AD=12,
∴矩形ABCD的面积=AB•AD=60,
∵△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DHG,
∴S△AEH=AB××AD=,
∴菱形EFGH的面积=60﹣4×=30;
设BE=x,则AE=CE=BC﹣BE=12﹣x,
在Rt△ABE中,根据勾股定理得:
x2+52=(12﹣x)2,
解得x=,
∴CE=12﹣=,
∴菱形AECF的面积=CE•AB=×5≈35.21,
∴菱形EFGH的面积<菱形AECF的面积,
故③错误,④正确.
综上所述:说法正确的是①④.
故答案为:①④.
【点评】本题考查了菱形的判定与性质,矩形的性质,翻折变换,解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质.
三.解答题(共11小题,满分84分)
13.(6分)
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的乘除运算即可求出答案、
【解答】解:原式=4×(﹣5)﹣43÷
=﹣20﹣
=.
【点评】本题考查二次根式的乘除运算,解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算,本题属于基础题型.
14.(6分)△ABC的三边长分别为5,x﹣2,x+1,若该三角形是以x+1为斜边的直角三角形,求x的值.
【分析】根据勾股定理求解即可.
【解答】解:∵该三角形是以x+1为斜边的直角三角形,
∴52+(x﹣2)2=(x+1)2,
∴x=.
【点评】本题考查了勾股定理,熟练掌握勾股定理是解题的关键.
15.(6分)如图,在▱ABCD中,延长边DA至点E,使得AE=AD,连接CE交AB于点F,求证:△AEF≌△BCF.
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC,AD=BC,根据平行线的性质得到∠E=∠BCF,根据全等三角形的判定定理即可得到结论.
【解答】证明:在▱ABCD中,∵AD∥BC,AD=BC,
∴∠E=∠BCF,
∵AE=AD,
∴AE=BC,
在△AEF与△BCF中,
,
∴△AEF≌△BCF(AAS).
【点评】本题考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定,熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.
16.(6分)已知函数y=(m﹣2)x|m﹣1|+4是关于x的一次函数.
(1)求m的值;
(2)在如图中画出该函数图象;
(3)y的值随x的值的增大而 减小 .(填“增大”或“减小”)
【分析】(1)根据一次函数的定义,可得答案;
(2)找出与x轴、y轴交点坐标,连线即可;
(3)根据一次函数的性质解答即可.
【解答】解:(1)由y=(m﹣2)x|m﹣1|+4是关于x的一次函数,得
,
解得m=0,
函数解析式为y=﹣2x+4,
(2)∵y=﹣2x+4,
当x=0时,y=4,当x=2时,y=0,
过(0,4)和(2,0)画一条直线即可,
〇
(3)∵k=﹣2,
∴y的值随x的值的增大而减小,
故答案为:减小.
【点评】本题主要考查了一次函数的定义,一次函数y=kx+b的定义条件是:k、b为常数,k≠0,自变量次数为1.
17.(6分)在学校组织的社会实践活动中,甲、乙两人参加了射击比赛,每人射击七次,命中的环数如表:
序号
一
二
三
四
五
六
七
甲命中的环数(环)
7
8
8
6
9
8
10
乙命中的环数(环)
5
10
6
7
8
10
10
根据以上信息,解决以下问题:
(1)写出甲、乙两人命中环数的众数;
(2)已知通过计算器求得=8,s甲2≈1.43,试比较甲、乙两人谁的成绩更稳定?
【分析】(1)根据众数的定义解答即可;
(2)根据已知条件中的数据计算出乙的方差和平均数,再和甲比较即可.
【解答】解:(1)由题意可知:甲的众数为8,乙的众数为10;
(2)乙的平均数==8,
乙的方差为:S乙2=[(5﹣8)2+(10﹣8)2+…+(10﹣8)2]=≈3.71.
∵得=8,s甲2≈1.43,
∴甲乙的平均成绩一样,而甲的方差小于乙的方差,
∴甲的成绩更稳定.
【点评】本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.
18.(8分)如图,在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A、B,道路AC因为施工需要封闭,该村为方便村民取水,决定在河边新建一个取水点H(A,H,B在同一条直线上),并新修一条道路CH,已知千米,CH=2千米,HB=1千米.
(1)CH是否为村庄C到河边最近的道路,请通过计算加以说明;
(2)已知新的取水点H与原取水点A相距1.5千米,求新路CH比原路CA少多少千米.
【分析】(1)利用勾股定理的逆定理证明△BCH为直角三角形,然后根据垂线段最短可判断CH为村庄C到河边最近的道路;
(2)在Rt△ACH中利用勾股定理计算出AC=2.5千米,然后计算AC﹣CH即可.
【解答】解:(1)CH为村庄C到河边最近的道路.
理由如下:∵CH=2,HB=1,CB=,
∴CH2+HB2=CB2,
∴△BCH为直角三角形,∠BHC=90°,
∴CH⊥AB,
∴CH为村庄C到河边最近的道路;
(2)在Rt△ACH中,∵AH=1.5千米,CH=2千米,
∴AC==2.5(千米),
∵AC﹣CH=2.5﹣2=0.5(千米),
∴新路CH比原路CA少0.5千米.
【点评】本题考查了勾股定理的应用:在应用勾股定理解决实际问题时往往已知两边计算第三边的长.也考查了勾股定理的逆定理和垂线段最短.
19.(8分)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AE⊥BC交CB延长线于点E,CF∥AE交AD延长线于点F.
(1)求证:四边形AECF是矩形.
(2)若四边形ABCD为菱形,H为AB中点,连接OH,若DF=3,AE=4,则OH长为 .
【分析】(1)先证四边形AECF是平行四边形,再证∠AEC=90°,即可得出结论;
(2)由菱形的性质得OB=OD=5,OA=OC,由勾股定理和三角形的中位线定理即可得出答案.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC.
∵CF∥AE,
∴四边形AECF是平行四边形.
∵AE⊥BC,
∴∠AEC=90°,
∴平行四边形AECF是矩形;
(2)解:如图,∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=AB=BC,AO=CO,
∵四边形AECF是矩形,
∴AF=CE,
∴BE=DF=3,
∵∠AEB=90°,
∴AB===5,
∴BC=AB=5,
∵H为AB中点,
∴AH=BH,
∴OH=BC=.
故答案为:.
【点评】本题考查了矩形的判定和性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及三角形中位线定理等知识,熟练掌握菱形的性质和矩形的判定是解题的关键.
20.(8分)如图,在平面直角坐标系中,线段AB的端点为A(1,0),B(6,10).
(1)求AB所在直线的解析式;
(2)某同学设计了一个动画;
在函数y=﹣2x+b中,输入b的值,得到直线CD,其中点D在x轴上,点C在y轴上.
①在输入过程中,若△ABD的面积为5,直线CD就会发蓝光,求此时输入的b值;
②若直线CD与线段AB有交点,且交点的横坐标不大于纵坐标时,直线CD就会发红光,直接写出此时输入的b的取值范围.
【分析】(1)利用待定系数法求解即可;
(2)①先求出,则,再由△ABD的面积为5,得到,即可建立方程,解方程即可得到答案;②先求出直线CD恰好经过A和恰好经过B时b的值,由此得到当2≤b≤22时,直线CD与线段AB有交点,再求出直线CD与线段AB的交点坐标为,根据交点的横坐标不大于纵坐标,建立不等式,解不等式即可得到答案.
【解答】解:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b',
把A(1,0),B(6,10)代入y=kx+b'中得:,
∴,
∴直线AB的解析式为y=2x﹣2;
(2)解:①在y=﹣2x+b中,当y=0时,,
∴,
∴,
∵△ABD的面积为5,
∴,
∴,
∴,
∴b=0或b=4;
②当直线y=﹣2x+b恰好经过A(1,0)时,则﹣2+b=0,
∴b=2;
当直线y=﹣2x+b恰好经过B(6,10)时,则﹣12+b=10,
∴b=22,
∴当2≤b≤22时,直线CD与线段AB有交点,
联立,解得,
∴直线CD与线段AB的交点坐标为,
∵交点的横坐标不大于纵坐标,
∴,即2b+4≤4b﹣8,
解得b≥6,
综上所述,6≤b≤22.
【点评】本题主要考查了求一次函数解析式,一次函数与几何综合,解一元一次不等式,求两直线的交点坐标等等,灵活运用所学知识是解题的关键.
21.(9分)如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,AD=12,CD=13.
(1)求AC的长;
(2)若点E为CD的中点,求AE的长.
【分析】(1)利用勾股定理求得AC的长度即可;
(2)由勾股定理逆定理判定∠CAD=90°,然后结合直角三角形斜边上中线的性质求得答案.
【解答】解:(1)在△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,则由勾股定理知:AC===5.
(2)∵AC=5,AD=12,CD=13,
∴AC2+AD2=CD2=169.
∴∠CAD=90°.
∵点E为CD的中点,
∴AE=CD=.
【点评】本题主要考查了勾股定理,勾股定理的逆定理和直角三角形斜边上的中线,难度不大,熟悉相关的性质或定理即可解题.
22.(9分)如图所示,已知直线l1:y=2x与直线l2:y=﹣x+b交于点A(m,n),点A到x轴的距离为2,且在第一象限.直线l2与x轴交于点B,与y轴交于点C.
(1)求直线l2的解析式;
(2)过x轴上点(2,0)作平行于y轴的直线,分别与直线l1、l2交于点M、点N.
①求线段MN的长度;
②将△AOB沿着直线y=kx(k≠0)折叠,当点A落在直线MN上时,直接写出k的值.
【分析】(1)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标,由点A的坐标,再利用待定系数法即可求出直线l2的解析式;
(2)①利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点M,N的坐标,再求出MN的长即可;②设翻折后点A落在点F处,连接AF交折痕所在的直线于点P,连接OF,由折叠的性质可知:OA=OF,点P为AF的中点,设点F的坐标为(2,t),由OA=OF可求出t的值,进而可得出点F,P的坐标,再利用待定系数法即可求出k值.
【解答】解:(1)∵点A(m,n),点A到y轴的距离为2,且点A在第一象限,
∴A(m,2),
将A(m,2)代入l1:y=2x得:2m=2,
∴m=1,
∴点A的坐标为(1,2),
将(1,2)代入l2:y=﹣x+b得:2=﹣1+b,
∴b=3,
∴直线的解析式为l2:y=﹣x+3.
(2)①∵过x轴上点(2,0)作平行于y轴的直线,分别与直线l1、l2交于点M、点N,
∴将x=2代入l1:y=2x得:y=4,
∴M(2,4),
将x=2代入l2:y=﹣x+3得:y=1,
∴N(2,1),
∴MN=4﹣1=3;
②设翻折后点A落在点F处,连接AF交折痕所在的直线于点P,连接OF,如图2所示.
由折叠的性质,可知:OA=OF,点P为AF的中点.
设点F的坐标为(2,t),
∵A(1,2),O(0,0),OA2=OF2,
∴12+22=22+t2,
解得:t=±1.
当t=1时,点F的坐标为(2,1),点P的坐标为,
∵点P在直线y=kx上,
∴,
解得:k=1;
当t=﹣1时,点F的坐标为(2,﹣1),点P的坐标为,
∵点P在直线y=kx上,
∴,解得:.
综上可知:k的值为1或.
【点评】本题考查了一次函数的综合应用,掌握一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、折叠的性质以及解一元二次方程是解题的关键.
23.(12分)已知:如图,在四边形ABCD中,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E,F,延长DE、BF,分别交AB于点H,交BC于点G,若AD∥BC,AE=CF.
(1)求证:四边形ABCD为平行四边形;
(2)若∠DAH=∠GBA,GF=2,CF=4,求AD的长.
【分析】(1)证明△DAE≌△BCF,可得AD=CB,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题;
(2)根据平行四边形的性质证明BG=BC,然后根据勾股定理可得CG,进而可以解决问题.
【解答】(1)证明:∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠AED=∠CFB=90°,
∵AD∥BC,
∴∠DAE=∠BCF,
在△DAE和△BCF中,
,
∴△DAE≌△BCF(ASA),
∴AD=CB,
∵AD∥BC,
∴四边形ABCD为平行四边形;
(2)解:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴∠DAH=∠BCG,
AB∥CD,
∴∠CGB=∠GBA,
∵∠DAH=∠GBA,
∴∠CGB=∠BCG,
∴BG=BC,
在Rt△CFB中,
∵BF=BG﹣FG=BC﹣2,CF=4,
∴BC2=BF2+CF2,
∴BC2=(BC﹣2)2+42,
∴BC=5.
∴AD=BC=5.
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质,勾股定理,全等三角形的判定与性质,解决本题的关键是得到△DAE≌△BCF.
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