2022-2023学年江西省九江市濂溪区湖口中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江西省九江市濂溪区湖口中学高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  复数的实部为，且，则复数的虚部为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若是第四象限的角，则是(    )

A. 第一象限的角 B. 第二象限的角 C. 第三象限的角 D. 第四象限的角

3.  下面关于空间几何体的定义或结构特征叙述错误的是(    )

A. 空间中把一个平行四边形按某一方向平移所形成的几何体是四棱柱
B. 有两个侧面都是矩形的三棱柱，它的侧棱垂直于底面
C. 以直角三角形一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆锥
D. 底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影一定是底面正多边形的中心

4.  已知锐角中，角，，的对边分别为，，若，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在中，点在边上，且满足，，则的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列各式中不能化简为的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  在中，，，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  设若对任意，都存在，使得，则可以是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  与垂直的单位向量是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  下列命题中错误的是(    )

A. 若复数满足，则
B. 若复数，满足，则
C. 若复数，则为纯虚数的充要条件是
D. 若复数，则

11.  下列结论正确的是(    )

A. 在中，若，则
B. 在锐角三角形中，不等式恒成立
C. 在中，若，则是直角三角形
D. 在中，若，，三角形面积，则三角形的外接圆半径为

12.  如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系在反射坐标系中，若，则把有序数对称为向量的反射坐标，记为在的反射坐标系中，，，其中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  若函数，，则 ______ ．

14.  设函数，则______．

15.  已知向量、、满足，，、，，则下列四个命题中，所有正确命题的序号是______ ．
若，则的最小值为；若，则存在唯一的，使得；若，则的最小值为；若，则的最小值为．

16.  已知，，若对，恒有，且点满足，为的中点，则 ______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知．
化简；
若是第三象限角，且，求的值．

18.  本小题分
已知复数．
当实数为何值时，复数为纯虚数；
当实数为何值时，复数表示的点位于第四象限．

19.  本小题分
设向量，的坐标为．
若，求的值；
若函数，求的对称轴方程和的值．

20.  本小题分
中，角，，的对边分别是，，，，．
求面积的最大值；
若，求的取值范围．

21.  本小题分
在三角形中，已知，，分别为角，，的对边，．
若，，平分角交于，求的长；
若，为函数的两个不同的零点，求边上的高．

22.  本小题分
已知函数，的图象过点，．
求，的值；
若，且，求的值；
若在上恒成立，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意，设复数，则，
，解得，即复数的虚部为．
故选：．
设出复数，根据，即可得到答案．
本题考查复数的概念及模的求解，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查象限角、轴线角，考查学生计算能力，是基础题．
先求出的表达式，再求的范围，然后求出的范围．
【解答】
解：若是第四象限的角，即： 
所以，

故选C．  

3.【答案】 

【解析】解：对于，由四棱柱的定义：空间中把一个平行四边形按某一方向平移所形成的几何体是四棱柱，故A正确；
对于，根据直线与平面的判定定理，得到这两个侧面的交线垂直于底面，是真命题，故B正确；
对于，由圆锥的定义：以直角三角形一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆锥，故C正确；
对于，底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影不一定是底面正多边形的中心，故D错误．
故选：．
由空间几何体的定义得到，C正确；对于，根据直线与平面的判定定理，得到这两个侧面的交线垂直于底面，是真命题，由此能求出结果．
本题考查命题真假的判断，考查四棱柱、三棱柱、圆锥、棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，
为锐角三角形，，
而，，
由余弦定理可得，，
，
则．
故选：．
利用诱导公式、两角和的余弦公式化简已知条件，求得，利用余弦定理求得．
本题主要考查了诱导公式的应用，考查了两角和与差的三角函数公式，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：可设，则，在中，可得，
可得，即为，
化为，即有，
又，可得，
解得，
由为三角形的内角，可得，
故选：．
设，则，在中，运用正弦定理和三角函数的诱导公式、和差公式和同角的商数关系，解方程可得所求角．
本题考查三角形的正弦定理和三角函数的恒等变换，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：．，A错误；
B.，B错误；
C.，C错误；
D.，D正确．
故选：．
根据向量加法的几何意义进行运算即可．
本题考查了向量加法和数乘的几何意义，考查了计算能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，，
则

故选：．
运用数量积公式则求解即可．
本题考察了向量的数量积的运算，属于简单计算题，关键记住公式即可．
 

8.【答案】 

【解析】解：任意，都存在，使得成立，
，
即，
又，，
，
，
的值域包含，
，，
若或，则或，
或，
只有符合题意．
故选：．
由题意可知的值域包含，若或，则或，所以可得或，从而判断各个选项的正误．
本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：设所求的向量为，
由题意可得，
解之可得，或，
故所求向量为或．
故选：．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，以及单位向量的定义，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，以及单位向量的定义，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：当时满足，故A错误，
当，时满足，但，故B错，
复数，则为纯虚数的充要条件是且，故C错，
，，当时，，，则成立，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合特殊值法，以及纯虚数的定义，即可求解．
本题主要考查纯虚数的定义，以及特殊值法，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于：在中，若，故，利用正弦定理：，故A正确；
对于：在锐角中，，所以，故，
则恒成立，故B正确；
对于：在中，若，由正弦定理得，
即，
或不合题意，舍去，
又，解得，则是直角三角形，故C正确；
对于：在中，若，，三角形面积，
则，解得，
由余弦定理得，所以，则，故D错误．
故选：．
直接利用三角函数的关系式的变换，正弦定理和余弦定理，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查了三角函数的关系式的变换，正弦定理和余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
则，
故，
故，故A正确；
，
则，两边同时平方可得，

，故B错误；
，，
则，，

，故不垂直，故C错误；

，故D正确．
故选：．
选项，根据条件，可得，得到，即可判断；
选项，根据，求出模即可判断；
选项，根据，计算出，即可判断；
选项，由，计算出，即可判断．
本题主要考查平面向量的基本定理，考查转化能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：函数需满足，可得的定义域为，
函数需满足，可得的定义域为，
，
则的定义域为．
故答案为：．
分别求出函数，的定义域，求其交集即可．
本题考查函数的解析式和定义域，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：的周期，
，
，
，

故答案为：．
根据趣意得到函数周期为，通过周期化简式子得到原式等于，进一步化简得到原式等于，代入函数解析式求解即可．
本题主要考查了函数值的求解，解题的关键是周期性的确定，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，、，，
对，若，则
，当且仅当时，取得等号，
的最小值为，的最小值为，正确；
对，若，由得，，
，存在唯一的，使得，正确；
对，若，则，
当且仅当时，取得等号，，，
又，，当且仅当，时取得等号，正确；
对，若，则，由知，
，正确．
故答案为：．
根据向量数量积的定义与性质，函数思想，基本不等式即可求解．
本题考查向量数量积的定义与性质，函数思想，基本不等式，属中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为
，

，
因为对，恒有，
所以对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
所以，
即，所以，
又，
所以．
故答案为：．
根据数量积的运算律得到对恒成立，即可得到对恒成立，根据求出，再根据及数量积的运算计算可得．
本题主要考查了向量的数量积运算，属于中档题．
 

17.【答案】解：原式；
，
，
又是第三象限角，
，
． 

【解析】分子分母利用诱导公式化简，约分即可得到结果；
已知等式左边利用诱导公式化简求出的值，根据为第三象限角，求出的值，代入计算即可得到结果．
此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
 

18.【答案】解：，
复数为纯虚数，
，解得．
复数表示的点位于第四象限，
则，解得，
故的取值范围为． 

【解析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解；
根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查纯虚数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

19.【答案】解：，
，
时，；
时，，
，
或，
，
综上得，或；



，
解，得的对称轴方程为，，





． 

【解析】根据可得出，从而可看出，或，从而可求出的值；
进行数量积的坐标运算，并根据二倍角的正余弦公式，两角和的正弦公式得出，从而解即可得出的对称轴，而可得出，根据两角和的正弦公式即可求出的值．
本题考查了平行向量的坐标关系，二倍角的正余弦公式，两角和的正弦公式，正弦函数的对称轴方程，考查了计算能力，属于基础题．
 

20.【答案】解：由题意可得：，
整理得，
由正弦定理可得：，所以为直角三角形且，
又因为，当且仅当时，等号成立，
则，则，
所以面积，即面积的最大值为．
由题意可知，所以，
因为，设，
则，
令，
因为，则，
可得，故，
又因为，可得，
所以，
构建，
则在上单调递增，且，
可得在上单调递减，所以，
故的取值范围为． 

【解析】根据题意利用正弦定理整理可得，结合基本不等式分析运算即可；
根据题意设，整理可得，结合函数单调性求值域．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：因为，
在三角形中，由正弦定理得，，
因为，，所以．
因为，为函数的两个不同的零点，
所以，
在三角形中，由余弦定理得，，
设边上的高为，因为，
所以，所以． 

【解析】根据已知，由诱导公式及两角和的正弦可求出，然后在三角形中根据正弦定理即可求出的长；
由函数零点与方程根的关系及根与系数的关系可求得与的值，再由余弦定理可求得的值，再由等面积法可求得边上的高．
本题主要考查正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：由过，得，
，，，
又过，，，
，，，，
，；
由知，，
由，得，
，，
，，


；
在上恒成立，只需，
，，
当时，，
．
的取值范围为． 

【解析】根据，两点可确定，的值；
由知，，求出，的值，然后根据，求出其值即可；
在上恒成立，只需，求出在上的最大值即可．
本题考查了三角函数的图象与性质和三角函数值的求法，考查了转化思想和方程思想，属中档题．