2022-2023学年江西省赣州市南康三中高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江西省赣州市南康三中高一（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知向量与不平行，记，，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  给定两个向量，，若，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知化简结果为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  函数的零点个数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  中，已知，，，如果有两组解，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在中，，，，则的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知内角，，所对的边分别为，，，面积为，若，，则的形状是(    )

A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的(    )

A. 先向左平移个单位长度，再横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变
B. 先向左平移个单位长度，再横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变
C. 先横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，再向左平移个单位长度
D. 先横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，再向左平移个单位长度

10.  下列说法正确的是(    )

A. 不等式的解集为
B. 函数的单调递增区间是
C. 已知，则的值是
D. 若，则的值为

11.  定义：，两个向量的叉乘，则以下说法正确的是(    )

A. 若，则
B.
C. 若四边形为平行四边形，则它的面积等于
D. 若，，则的最小值为

12.  下列说法正确的是(    )

A. 若圆心角为的扇形的弦长为，则该扇形中弓形的面积为
B. 已知向量，，则“，的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件
C. 向量，，在轴上的一点，使取得最小值，则点的坐标为
D. 已知扇形的周长是，当扇形面积最大时，则扇形的圆心角的弧度数是

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知的终边过点，若，则______．

14.  设，为单位向量．且、的夹角为，若，，则向量在方向上的投影为______．

15.  在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，则面积的最大值为______ ．

16.  已知平面向量，满足，，，若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知，，且与夹角为，求：
；
与的夹角．

18.  本小题分
已知函数其中的图像如图所示．
求函数的解析式；
若将函数的图像上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图像，求当时，函数的值域．

19.  本小题分
已知中，，，分别为角，，的对边，．
求角的大小；
若，且的面积为，求的周长．

20.  本小题分
如图，，分别是矩形的边和的中点，与交于点．
设，，试用，表示；
若，，是线段上的一动点，求的最大值．

21.  本小题分
如图，在中，点在边上，，，．
求边的长；
若的面积是，求的值．

22.  本小题分
如图所示，摩天轮的半径为，最高点距离地面高度为，摩天轮的圆周上均匀地安装着个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要甲，乙两游客分别坐在，两个座舱里，且他们之间间隔个座舱本题中将座舱视为圆周上的点．

Ⅰ求劣弧的弧长单位：；
Ⅱ设游客丙从最低点处进舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于时间的函数解析式；
Ⅲ若游客在距离地面至少的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：已知，，
由，得，即，
，解得．
故选：．
根据向量平行的条件列出方程组求解即可．
本题考查平面向量共线定理的应用，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为，，
所以，，
若，则，
故．
故选：．
由已知结合向量数量积的性质的坐标表示即可求解．
本题主要考查了向量数量积的性质的坐标表示，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
利用诱导公式及切化弦化简即可．
本题主要考查了诱导公式及同角基本关系的应用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题可知，
点在上，
，
，
，，
．
故选：．
根据平面向量三点共线定理和平面向量基本定理，由对应系数相等列方程求解即可．
本题主要考查了平面向量三点共线定理和平面向量基本定理，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：令函数，即，由于，并且时，
此时，，在内有个交点，原函数有个零点．当时也有个零点．
共有个零点．
故选A．
令函数为零，得到，分析，和之间和的交点个数即可．
本题分类讨论来解答，利用函数性质；
本题还可以画出和的图象，主意到和的点，可以确定是个．
 

6.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
有两组解，
，即，解得．
故选：．
由题意得，列出关于的不等式求解，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基础题．
利用三角形面积公式求，利用余弦定理求，再借助正弦定理求解．
【解答】

解：，，
，
，
，
，
．
故选A．

8.【答案】 

【解析】解：由，可得，即，
因为，可得，
由余弦定理得：，
因为，所以，即，即，
又，所以是等边三角形．
故选：．
由，结合三角形面积公式及向量的数量积运算可得，得，由余弦定理结合条件可得，从而得出结果．
本题考查余弦定理及数量积的应用，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：先将向左平移个单位长度，可得，再横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，可得，故选项A正确；
先将向左平移个单位长度，可得，再横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，可得，故选项B错误；
先将横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，可得，再向左平移个单位长度，可得，故选项C正确；
先将横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，可得，再向左平移个单位长度，可得，故选项D错误．
故选：．
根据三角函数的图象变换规则及三角函数诱导公式求解即可得出答案．
本题考查三角函数的图象变换，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由不等式得，
解得，故A正确．
由于，由，
解得，，即函数的增区间为．
又，取，可得函数的增区间为，故B错误．
已知，则，故C正确．
由于的最小正周期，
则

，故D正确．
故选：．
由题意，解不等式，即可判断；化简，利用三角函数的单调性求解可判断；由结合诱导公式可判断；利用的周期性求解可判断．
本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于，，
若，至少有一个为零向量，则满足；
若，均不为零向量，则，即，同向或反向，即，故A正确，
对于，，，
若，则 ，此时；
若，，此时，故B错误；
对于，若四边形为平行四边形，
则它的面积等于，即，故C正确；
对于，，，
两式平方可得：，，
两式相加得：，即，
又，
当且仅当时等号成立，故的最小值为，故D错误．
故选：．
对于，根据叉乘定义，判断，至少有一个为零向量或，即可判断；
对于，根据叉乘定义，讨论和，即可判断；
对于，结合平行四边面积即可判断；
对于，由，推出，结合向量模的计算以及基本不等式即可判断．
本题考查平面向量的数量积与新定义：叉乘的运算，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于选项，设弓形所在圆的半径为，，，
弓形所在的扇形面积为：，
扇形中除去弓形部分的三角形面积为：，
所以弓形的面积为：，故A错误；
对于选项，因为与的夹角为锐角，所以且与不平行，
所以且，即且，
所以“，的夹角为锐角”可以推出“”，但是“”不能推出“与的夹角为锐角”，
故“，的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件，故B正确；
对于选项，设，则，
，当时，取得最小值，此时，故C正确；
对于选项，设扇形的半径为，则扇形的弧长为，扇形的面积为，
当时，扇形的面积最大，此时扇形的圆心角的弧度数为，故D正确．
故选：．
求出扇形的半径，进而得出扇形面积，扇形中除去弓形部分的三角形面积，从而得出弓形的面积，即可判断；由与的夹角为锐角，求得的范围，结合充分条件与必要条件的概念，即可判断；设，利用数量积的坐标运算求出，结合二次函数的性质求解，即可判断；设扇形的半径为，得出扇形的面积的表达式，结合二次函数的性质求解，即可判断．
本题考查充分条件、必要条件以及向量的数量积相关知识，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由，得，
则，得，
故答案为：
根据三角函数的诱导公式以及三角函数的定义进行求解即可．
本题主要考查三角函数值的计算，结合三角函数的诱导公式以及三角函数的定义是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查两个向量的数量积的运算，一个向量在另一个向量上的投影的定义，属于中档题．
根据题意求得的值，从而求得的值，再根据在上的投影为，运算求得结果．
【解答】
解：、为单位向量，且和的夹角等于，．
，，．
在上的投影为，
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】解：由正弦定理得：，
，即，
，．
由余弦定理可得：，
由基本不等式得：，等且仅当时取得等号，
即，
此时，
面积的最大值为．
故答案为：．
由正弦定理可得，再由面积公式结合余弦定理和基本不等式即可求出最值．
本题考查利用正余弦定理和三角形的面积公式、基本不等式解三角形，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由，得，
又对于任意实数，不等式恒成立，
即对于任意实数，不等式恒成立，
即对于任意实数，不等式恒成立，
即，解得：或，
故答案为：．
由向量的模的运算得：易得，又对于任意实数，不等式恒成立，即对于任意实数，不等式恒成立，由二次不等式恒成立问题得：，即可得到答案．
本题考查了平面向量数量积的计算和不等式的恒成立问题，属于中档题．
 

17.【答案】解：由已知得，
，
．
，
，
．
，
与的夹角为． 

【解析】根据数量积的运算律，求出的值，即可求出答案；
先根据数量积的运算律，求出的值，即可得出的值，进而根据数量积的运算求出的值，然后根据夹角公式，能求出结果．
本题考查向量数量积公式、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

18.【答案】解：由图像知：，，则，，
所以，
因为点在图像上，所以，
所以，解得，
因为，所以，
所以；
由题意得，
因为，则，
所以，当，即时，有最大值；
当，即时，有最小值
所以，即的值域为． 

【解析】根据图像得到，，进而求得，再由点在图像上求解；
利用伸缩变换得到，再利用正弦函数的性质求解．
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，函数的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题．
 

19.【答案】解：，
，即，
，
又，
角的大小为；
由得，，
又，解得，
，
，则，
的周长为． 

【解析】根据已知条件结合正弦定理可得，再由余弦定理可得答案；
由结合三角形的面积可得，再利用余弦定理可求得的值，进而求得周长．
本题考查利用三角恒等变换求值，考查正余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的运用，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：，分别是矩形的边和的中点，
，，
又，
所以．
以为原点，，分别为，轴，建立直角坐标系，

则，，，，直线的方程为：，
设，
则，，
所以，当时等号成立．
故的最大值为． 

【解析】由，分别是矩形的边和的中点，可得，，结合，即可求解；
以为原点，，分别为，轴，建立直角坐标系，利用平面向量的坐标运算求解．
本题考查了平面向量的线性运算、数量积最值求解，属于中档题．
 

21.【答案】解：在中，设，则，
由余弦定理得：，
则，
整理得，即，
解得，故AC；
因为，，
所以，所以为等边三角形，则，
所以，解得，
在中，由余弦定理得，得，
在中，由正弦定理得，即，
解得． 

【解析】在中，利用余弦定理即可求得边的长；
由题可求得，可得是等边三角形，利用三角形面积公式可求得，再在中，由余弦定理求出，最后由正弦定理可求的值．
本题考查利用正余弦定理和三角形的面积公式解三角形，属于中档题．
 

22.【答案】解：Ⅰ，
由弧长公式可得，；
Ⅱ设，其中
由题意，，
，
，，
，
当时，可得，
，得；
Ⅲ令，
，
则，，
，
而甲乙相差，
又，有甲乙都有最佳视觉效果． 

【解析】本题考查三角函数模型的应用，考查运算求解能力，是中档题．
Ⅰ求出，再由弧长公式求；
Ⅱ设，由题意求得、与，得到，当时，可得，求得，则函数解析式可求；
Ⅲ由，结合甲乙相差，即可求得甲乙都有最佳视觉效果的时间．