江苏省金陵中学、海安中学、南京外国语学校2023届高三下学期5月第三次模拟考试数学试卷（含答案）

江苏省金陵中学、海安中学、南京外国语学校2023届高三下学期5月第三次模拟考试数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知复数z满足，则复数z在复平面内所对应的点位于(   )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2、如图，直线l和圆C，当l从开始在平面上按逆时针方向绕点O匀速转动(转动角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数.这个函数的图象大致为(   )

A. B. C. D.

3、已知非零向量a，b满足，，若，则向量a在向量b方向上的投影向量为(   )

A. B. C. D.b

4、已知集合，若A，B均为U的非空子集且，则满足条件的有序集合对的个数为(   )

A.16 B.31 C.50 D.81

5、已知一组数据丢失了其中一个，另外六个数据分别是8，8，8，10，11，16，若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为(   )

A.12 B.20 C.25 D.27

6、约翰·开普勒是近代著名的天文学家、数学家、物理学家和哲学家，有一次在上几何课时，突然想到，一个正三角形的外接圆与内切圆的半径之比2：1恰好和土星与木星轨道的半径比很接近，于是他想，是否可以用正多面体的外接球和内切球的半径比来刻画太阳系各行星的距离呢?经过实践，他给出了以下的太阳系模型：最外面一个球面，设定为土星轨道所在的球面，先作一个正六面体内接于此球面，然后作此正六面体的内切球面，它就是木星轨道所在的球面.在此球面中再作一个内接的正四面体，接着作该正四面体的内切球面即得到火星轨道所在的球面，继续下去，他就得到了太阳系各个行星的模型.根据开普勒的猜想，土星轨道所在的球面与火星轨道所在球面半径的比值为(   )

A. B.3 C. D.9

7、有一直角转弯的走廊(两侧与顶部部封闭)，已知两侧走廊的高度都是6米，左侧走廊的宽度为米，右侧走廊的宽度为1米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊.设可通过的最大极限长度为l米(不计硬管粗细).为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为米，则m的值是(   )

A.7.2 B. C. D.9

8、已知函数的导函数满足：，且.若函数有且只有一个零点，则实数a的值为(   )

A.-e B.-2e C.e D.2e

二、多项选择题

9、已知m，n，l为空间中三条不同的直线，，，，为空间中四个不同的平面，则下列说法中正确的有(   )

A.若，，则

B.已知，，，若，则

C.若，，，则

D.若，，，则

10、记A,B为随机事件，下列说法正确的是(   )

A.若事件A，B互斥，，，则

B.若事件A，B相互独立，，，则

C.若，，，则

D.若，，，则

11、已知双曲线，直线与双曲线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于，两点.当点M变化时，点之变化.则下列结论中正确的是(   )

A. B.  C.P点坐标可以是 D.有最大值

12、三角函数表最早可以追溯到古希腊天文学家托勒密的著作《天文学大成》中记录的“弦表”，可以用来查询非特殊角的三角函数近似值，为天文学中很多复杂的运算提供了便利.有趣的是，很多涉及三角函数值大小比较的问题却不一定要求出准确的三角函数值，就比如下面几个选项，其中正确的是(   )

A. B. C. D.

三、填空题

13、设随机变量，则__________.

14、展开式中的常数____________.

15、已知抛物线，圆，点M的坐标为，P、Q分别为、上的动点，且满足，则点P的横坐标的取值范围是_________.

四、双空题

16、已知数列满足，，当时，________；若数列的所有项仅取有限个不同的值，则满足题意的所有实数a的值为_________

五、解答题

17、已知，，其中，函数的最小正周期为

(1)求函数的单调递增区间：

(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求的取值范围.

18、已知正项数列满足，.

(1)求的通项公式；

(2)记，求数列的前2023项的和.

19、如图，圆锥DO中，AE为底面圆O的直径，，为底面圆O的内接正三角形，四锥的高，点P为线段DO上一个动点.

(1)当时，证明：平面PBC；

(2)当P点在什么位置时，直线PE和平面PBC所成角的正弦值最大.

20、一只不透朋的袋中装有10个相同的小球，分别标有数字0~9，先后从袋中随机取两只小球.用事件A表示“第二次取出小球的标号是2”，事件B表示“两次取出小球的标号之和是m”.

(1)若用不放回的方式取球，求；

(2)若用有放回的方式取球，求证：事件A与事件B相互独立的充要条件是.

21、已知椭圆，椭圆上有四个动点A，B，C，D，，AD与BC相交于P点.如图所示.

(1)当A，B恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线AD与BC的斜率之积是否为定值?若为定值，请求出该定值：否则，请说明理由；

(2)若点P的坐标为，求直线AB的斜率.

22、已知函数，.

(1)若与的图象恰好相切，求实数a的值；

(2)设函数的两个不同极值点分别为，.

(i)求实数a的取值范围：

(ii)若不等式恒成立，求正数的取值范围(e＝2.71828…为自然对数的底数).

参考答案

1、答案：D

解析：，点位于第四象限，选D

2、答案：C

解析：观察图象可知面积S的变化情况是“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，对应的函数图象是变化率先变大再变小，由此可知，选C.

3、答案：A

解析：，，，在方向上的投影向量 选A.

4、答案：C

解析：A中有1个元素，4种情况，B中有7种情况，此时有种情况；

B中有2个元素，种情况，B中有3种情况，此时有种情况；

A中有3个元素， 种情况，B种有1种情况，此时有种情况,，

选C.

5、答案：D

解析：丟失的数据为x，众数为8，平均数.

时，中位数为8，则平均数为8，;时，中位数为x，

则,,时，中位数为10，

则,.，

选D.

6、答案：C

解析：设土星轨道所在球面半径为R，内接正六面体边长为a，

则，，正六面体内切球半径,

正四面体边长b,,，

正四面体内切球半径,，

选C.

7、答案：D

解析：俯视图如图：

设，硬管俯视图长

，

，，选D

8、答案：B

解析：,则满足条件，

，

有且仅有一个零点，，当且仅当即时取""，

，，即时，

，时取""，此时有且仅有一个零点，

选B.

9、答案：BC

解析：

10、答案：BC

解析：

，，A错.

, B对.

令，，，

,

，，C对.

,D错，

选BC.

11、答案：ACD

解析：消y可得，

直线与双曲线只有一个公共点，则,,,A对.

,,,

,,令，，

令，，，,B错

，则，，，，

，C对

，D对

12、答案：BC

解析： ，

，，A错.

对于B，,,,,,

,B正确.

对于C，令 ，,

,

,C正确.

对于D，令，若，令，

,在上;上，

，但，

,D错.

选:BC.

13、答案：

解析：,3表示选出3个，2表示有2个供选择，总数为10，

14、答案：

解析：可看作7个相乘,要求出常数项,提供一项，提供4项，提供2项，.

15、答案：

解析：抛物线: 焦点，准线:，圆心即为抛物线的焦点F，

，，，

，，

，

16、答案：；2

解析：，

，，

当时，

若的所有项仅取有限个不同的值，则，此时，，时，取值有无穷多个.

17、答案：(1)，

(2)

解析：(1)因为,

则,

,

故,

因为最小正周期为,所以,所以,故,

由,解得,

所以的单调递增区间为，.

(2)由(1)及,解得,又为锐角三角形,即

即

解得,

由正弦定理得,又,

则,所以.

18、答案：(1)，

(2)2023

解析：(1)对任意的,因为,

当时,

因为,故.当时,符合,所以，.

(2)

所以当时,,

故

19、答案：(1)见解析

(2)

解析：(1)因为,所以是正三角形, 则,

又底面圆O,底面圆O,所以,

在 中,,所以,

因为是正三角形,所以,

,

所以,

同理可证,

又,BP,平面PBC,所以平面PBC,

所以PA和平面PBC垂直.

(2)如图,建立以O为原点的空间直角坐标系

设,所以,,,

所以,,

设平面PBC的法向量为,则

令,则,故,

设直线EP和平面PBC所成的角为,

则

当且仪当,即时,直线PE和平面PBC所成角的正弦值最大,

故P点在距离O点处.

20、答案：(1)

(2)9

解析：(1)用C表示“第一次取出小球的标号是2”,

则，，，

所以

(2)记第一次取出的球的标号为x,第二次的球的标号为y,用数组两次取球, 则.

充分性

当时,

事件B发生包含的样本点为，，，，，，，,

,,所以.

事件AB发生包含的样木点为,所以.

又因为,所以.

所以事件A与事件B相互独立.

必要性

因为事件A与事件B相互独立, 所以.即.

因为,所以.

事件AB发生包含的样本点为,即,所以.

又因为,,

所以关于x的不等式组 , 有10组整数解.

即关于x的不等式组 , 有10组整数解.

所以得.

综上:事件A 与事件B相互独立的充要条件是.

21、答案：(1)

(2)

解析：(1)由题意知,,所以,所以,设直线CD的方程为,

设,，

联立直线CD与椭圆的方程,整理得,

由,解得,且,则,，

所以

故直线AD与BC的斜率之积是定值,且定值为.

(2)设,,记,

得所以

又A,D均在椭圆上, 所以

化简得,

因为, 所以,同理可得,

即直线,所以AB的斜率为.

22、答案：(1),

(2)(i)(ii)

解析：(1),.

设与的图象的切点为,

所以解得,.

(2)(i)由条件知,

定义域为,.

由题意可知有两个不等实根,

考察函数,所以,

当时,,所以在区间上单调递增;

当时,,所以在区间上单调递减.

故的极大值也是最大值为.

因为有两个不同的零点,所以,即,即;

又当 时,当时,恒成立,故至多一个零点, 不符合题意,

所以.

下证: 当时,有两个不同的零点.

,所以在区间内有唯一零点;

, ,考察函数,

可得,所以,所以在区间内有唯一零点.

综上,a的取值范围为

(ii)由题设条件和(i)可知: ,,

所以:,

若不等式恒成立,两边取对数得 ,

所以,

令,则,恒成立,

所以在时恒成立.

令,则.

若, 即,则当 时,故在上单调递增,

所以恒成立,满足题意;

若,则当时有,故在上单调递减,

所以当时,,不满足题意.

综上所述,正数的取值范围为.