江苏省金陵中学、海安中学、南京外国语学校2023届高三三模数学试题（含解析）

这是一份江苏省金陵中学、海安中学、南京外国语学校2023届高三三模数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知复数z满足，则复数z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转到（转到角不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图像大致是
A．B．
C．D．
3．已知非零向量，满足，，若，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．已知集合，若A，B均为U的非空子集且，则满足条件的有序集合对的个数为（ ）
A．16B．31C．50D．81
5．已知一组数据丢失了其中一个，另外六个数据分别是10，8，8，11，16，8，若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为
A．12B．20C．25D．27
6．约翰·开普勒是近代著名的天文学家、数学家、物理学家和哲学家，有一次在上几何课时，突然想到，一个正三角形的外接圆与内切圆的半径之比恰好和土星与木星轨道的半径比很接近，于是他想，是否可以用正多面体的外接球和内切球的半径比来刻画太阳系各行星的距离呢？经过实践，他给出了以下的太阳系模型：最外面一个球面，设定为土星轨道所在的球面，先作一个正六面体内接于此球面，然后作此正六面体的内切球面，它就是木星轨道所在的球面.在此球面中再作一个内接的正四面体，接着作该正四面体的内切球面即得到火星轨道所在的球面，继续下去，他就得到了太阳系各个行星的模型.根据开普勒的猜想，土星轨道所在的球面与火星轨道所在球面半径的比值为（ ）

A．B．3C．D．9
7．有一直角转弯的走廊（两侧与顶部封闭），已知两侧走廊的高度都是6米，左侧走廊的宽度为米，右侧走廊的宽度为1米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊.设可通过的最大极限长度为l米（不计硬管粗细）.为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为米，则m的值是（ ）

A．7.2B．C．D．9
8．已知函数的导函数满足：，且.若函数有且只有一个零点，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知m，n，l为空间中三条不同的直线，，，，为空间中四个不同的平面，则下列说法中正确的有（ ）
A．若，，则
B．已知，，，若，则
C．若，，，则
D．若，，，则
10．记A，B为随机事件，下列说法正确的是（ ）
A．若事件A，B互斥，，，
B．若事件A，B相互独立，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
11．已知双曲线，直线l：与双曲线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于，两点.当点M变化时，点之变化.则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．点坐标可以是D．有最大值
12．三角函数表最早可以追溯到古希腊天文学家托勒密的著作《天文学大成》中记录的“弦表”，可以用来查询非特殊角的三角函数近似值，为天文学中很多复杂的运算提供了便利，有趣的是，很多涉及三角函数值大小比较的问题却不一定要求出准确的三角函数值，就比如下面几个选项，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．设随机变量，则______.
14．展开式中的常数项为______.
15．已知抛物线：，圆：，点M的坐标为，分别为、上的动点，且满足，则点的横坐标的取值范围是______.
四、双空题
16．已知数列满足，，当时，______；若数列的所有项仅取有限个不同的值，则满足题意的所有实数a的值为______.
五、解答题
17．已知，，其中，函数的最小正周期为.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求的取值范围.
18．已知正项数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前2023项的和.
19．如图，圆锥中，为底面圆的直径，，为底面圆的内接正三角形，圆锥的高，点为线段上一个动点.

(1)当时，证明：平面；
(2)当点在什么位置时，直线PE和平面所成角的正弦值最大.
20．一只不透朋的袋中装有10个相同的小球，分别标有数字0~9，先后从袋中随机取两只小球.用事件A表示“第二次取出小球的标号是2”，事件B表示“两次取出小球的标号之和是m”.
(1)若用不放回的方式取球，求；
(2)若用有放回的方式取球，求证：事件A与事件B相互独立的充要条件是.
21．已知椭圆E：，椭圆上有四个动点A，B，C，D，，AD与BC相交于P点.如图所示.

(1)当A，B恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线AD与BC的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；
(2)若点P的坐标为，求直线AB的斜率.
22．已知函数，.
(1)若与的图象恰好相切，求实数a的值；
(2)设函数的两个不同极值点分别为，（）.
（i）求实数a的取值范围；
（ii）若不等式恒成立，求正数的取值范围（为自然对数的底数）
参考答案：
1．D
【分析】利用复数除法求出z，即可判断.
【详解】因为，
所以点位于第四象限.
故选：D.
2．D
【分析】由题意可知：S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，据此确定函数的大致图像即可.
【详解】观察可知面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，
对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D符合要求.
故选D.
【点睛】本题主要考查实际问题中的函数图像，函数图像的变化趋势等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．A
【分析】依题意可得，根据数量积的定义及运算律求出，即可求出，最后根据计算可得.
【详解】因为，所以，
∴，又，所以，∴或（舍去），
所以，
所以在方向上的投影向量为.
故选：A.
4．C
【分析】根据集合A中元素的个数分类讨论，利用组合以及计数原理知识直接求解.
【详解】1° A中有1个元素，4种情况，B有7种情况，此时有种情况；
2° A中有2个元素，种情况，B有3种情况，此时有种情况；
3° A中有3个元素，种情况，B有1种情况，此时有种情况.
所以满足条件的有序集合对一共有个.
故选：C.
5．D
【分析】设出未知数，根据这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，列出关系式，因为所写出的结果对于的值不同所得的结果不同，所以要讨论的三种不同情况．
【详解】设这个数字是，则平均数为，众数是，若，则中位数为，此时，
若，则中位数为，此时，，
若，则中位数为，，，
所有可能值为，，，其和为．
故选．
【点睛】本题考查众数，中位数，平均数，考查等差数列的性质，考查未知数的分类讨论，是一个综合题目，这是一个易错题目．
6．C
【分析】根据正方体的性质可得内接球的半径，再由正四面体的外接球半径求出正四面体棱长，再由等体积法求正四面体的内切球半径即可得解.
【详解】设土星轨道所在球面半径为R，内接正六面体边长为a，
则，∴，
所以正六面体内切球半径，
设正四面体边长b，外接球球心为，为底面中心，如图，

正四面体中，，，
在中，，
则，，
设正四面体内切球半径，利用等体积法可得
，
解得，
∴，
故选：C.
7．D
【分析】先研究铁管不倾斜时，令，建立，，利用导数求出；再研究铁管倾斜后能通过的最大长度.
【详解】如图，铁管不倾斜时，令，

，，，，
.
令，解得：，令，解得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
此时通过最大长度，∴，∴倾斜后能通过的最大长度，
∴.
故选：D.
8．B
【分析】由函数的性质设，得到.由零点的定义得到，利用基本不等式和正弦函数的有界性求出a的值.
【详解】由函数的导函数满足：，且，不妨设满足条件.
此时.
令，即，有且仅有一个零点.
因为，当且仅当即时取“＝”，
当时，，
又，所以，
此时要么没零点，要么不仅一个零点，
所以是的唯一零点，
此时，解得，
所以.
故选：B.
9．BC
【分析】对于A，由空间中的两直线的位置关系判断，对于B，由平面的性质分析判断，对于C，由线面垂直的性质和面面平行的判定方法分析判断，对于D，在正方体模型中分析判断.
【详解】，，则m与n可能平行，可能相交，也可能异面， A错.
因为，，，所以，
因为，所以，B对.
，，则，又，则，C对.
正方体中，设面为面ABCD，平面为面，面为面，面为面，
则，，，但，D错，
故选：BC.
10．BC
【分析】对于A，根据互斥事件和对立事件的性质分析判断即可，对于B，根据相互独立事件的性质分析判断，对于CD，根据条件概率的公式和对立事件的性质分析判断.
【详解】
，∴，A错.
，B对.
令，，，∴，
，∴，
，∴，C对.
，D错，
故选：BC.
11．ACD
【分析】联立双曲线和直线方程并根据有唯一公共点可得，可判断A正确；利用直线的点斜式方程写出直线的直线方程可解得，，所以B错误；易知，可知当时，，所以点坐标可以是，即C正确；由可利用基本不等式得当时，有最大值，即D正确.
【详解】对于A，联立消y可得，
直线与双曲线只有一个公共点，且，则，
∴，∴，即选项A正确；
对于B，由方程可得，则，∴，
则的直线方程为，令，，
令，，所以，即B错误；
对于C，则易知，若，则，
，取，，即，所以C正确；
对于D，可得
，当且仅当时，等号成立，即D正确；
故选：ACD
12．BC
【分析】对于A，利用三角函数的性质判断出，，即可判断；对于B，判断出，即可判断；对于C，令，，利用导数判断单调性即可判断；对于D，构造函数，利用导数判断出，即可判断，
【详解】对于A，∵，
，
∴，故A错误；
对于B，记，，则，
记，，则，
令，，则恒成立，
所以在上单调递增，所以，
所以，所以在上单调递增，
而，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以，，所以，
所以，，，故，故B正确；
对于C，记，则，
令，得；令，得；
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以对任意，都有，即恒成立，
令，，所以，
对于函数，，因为恒成立，
所以在上单调递增，所以，即在上恒成立，
因为，即，所以，
因为，
所以，故C正确，
对于D，令，若，令，
，由解得：，解得：，
所以在上单调递减；上单调递增，所以，
记，因为，
所以在上单调递增，因为，
所以，即，
所以，则，故D错.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：比较大小类题目解题方法：
（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；
（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.
13．
【分析】根据超几何分布计算公式可得.
【详解】由随机变量服从超几何分布，
可知3表示选出3个，2表示有2个供选择，总数为10，
根据超几何分布公式可得.
故答案为：
14．/6.5625
【分析】利用组合知识处理二项式展开问题即可得解.
【详解】可看作7个相乘，要求出常数项，
只需提供一项，提供4项，提供2项，相乘即可求出常数项，
即.
故答案为：
15．
【分析】利用抛物线的定义和圆的性质得到，转化为，即可解得.
【详解】因为抛物线：的焦点，准线：，所以圆心即为抛物线的焦点F，设，
∴，∴.
∵，
∴，，
∴，∴.
故答案为：
16． 2
【分析】先利用递推公式求出，，再由，求出；利用通项公式判断出a的值为2.
【详解】∵
∴
∴.
∵，∴，
∴.
∴当时，.
因为，所以.
要使的所有项仅取有限个不同的值，则，此时，.
否则时，取值有无穷多个.
故答案为：；2.
17．(1)单调递增区间为，
(2)
【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示可知，由最小正周期为可得，即可知，再利用三角函数单调性即可求得的单调递增区间为，；
（2）根据三角形形状可得，再由正弦定理得，又，所以.
【详解】（1）因为，，
则，
，
故，
因为最小正周期为，所以，所以，故，
由，，解得，，
所以的单调递增区间为，.
（2）由（1）及，即，又，
所以，解得，
又为锐角三角形，即，即，
解得；
由正弦定理得，又，则，
所以.
18．(1)
(2)2023
【分析】（1）由递推关系式，结合累加法求得的通项公式，分析可得的通项公式；
（2）根据的关系式，结合并项求和即可得的前2023项的和.
【详解】（1）对任意的，因为，
当时，
，
因为，故.当时，符合，
所以，.
（2），
所以当时，，
故.
19．(1)证明见解析；
(2)点在距离点处
【分析】（1）利用勾股定理证明出和，再用线面垂直的判定定理证明出平面；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
【详解】（1）因为，，所以是正三角形，则，
又底面圆，底面圆，所以，
在中，，所以，
因为是正三角形，所以，
，，
所以，，
同理可证，
又，，平面，所以平面.
（2）如图，建立以为原点的空间直角坐标系.

设，（），所以，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，故，
设直线和平面所成的角为，
则
，
当且仅当，即时，直线和平面所成角的正弦值最大，
故点在距离点处.
20．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式计算作答.
（2）利用列举法求出概率，结合独立性推理判断充分性，再利用条件概率公式推理判断必要性作答.
【详解】（1）用C表示“第一次取出小球的标号是2”，则，，，，
所以
.
（2）记第一次取出的球的标号为x，第二次的球的标号为y，用数组两次取球，则，
充分性：当时，
事件B发生包含的样本点为，
因此，事件AB发生包含的样本点为，则，
又，于是，所以事件A与事件B相互独立；
必要性
因为事件A与事件B相互独立，则，即，
而，，于是，
事件AB发生包含的样本点为，即，则，
又，，，
因此关于x的不等式组，有10组整数解，
即关于x的不等式组，有10组整数解，从而，得，
所以事件A与事件B相互独立的充要条件是.
21．(1)是定值，定值为
(2)
【分析】（1） 由题意求出直线的斜率，再求可设直线CD的方程为，设，，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，然后求解即可；
（2）设，，，记，表示出点的坐标，将A，D两点的坐标代入椭圆方程，化简得，再由可得，从而可得，进而可得直线的方程，则可求出其斜率.
【详解】（1）由题意知，，，所以，，所以，
设直线CD的方程为，设，，
联立直线CD与椭圆的方程，整理得，
由，解得，且，
则，，
所以
，
故直线AD与BC的斜率之积是定值，且定值为.
（2）设，，，记()，
得.所以.
又A，D均在椭圆上，所以，
化简得，
因为，所以，
同理可得，
即直线AB：，
所以AB的斜率为.
【点睛】关键点睛：此题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，解题的关键是设出直线CD的方程，代入椭圆方程中消元化简，再利用根与系数的关系，再利用直线的斜率公式表示出，结合前面的式子化简计算可得结果，考查计算能力和数形结合的思想，属于较难题.
22．(1)
(2)（i）（ii）
【分析】（1）求导得到导函数，设出切点，根据切线方程的公式得到方程组，解得答案.
（2）求导得到导函数，构造函数，求导得到单调区间，计算极值确定，再排除的情况，得到取值范围，确定，设，转化得到，设出函数，求导计算单调区间，计算最值得到答案.
【详解】（1），，
设与的图象的切点为，则，
解得，.
（2）（i），定义域为，.
有两个不等实根，，
考察函数，，所以，
当时，，所以在区间上单调递增；
当时，，所以在区间上单调递减.
故的极大值也是最大值为.
因为有两个不同的零点，所以，即，即；
当时，当时，恒成立，故至多一个零点，不符合题意，
综上所述：.
下证：当时，有两个不同的零点.
，，所以在区间内有唯一零点；
，令，考察函数，，
可得，所以，所以在区间内有唯一零点.
综上所述：a的取值范围为
（ii）由题设条件和（i）可知：，，，
所以：，
若不等式恒成立，两边取对数得，
所以，
令，则，恒成立，
所以在时恒成立.
令，，则.
若，即，则当时，故在上单调递增，
所以恒成立，满足题意；
若，则当时有，故在上单调递减，
所以当时，，不满足题意.
综上所述，正数的取值范围为.
【点睛】关键点睛：本题考查了利用切线求参数，根据极值点求参数，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中变换得到，再利用换元法构造函数求最值是解题的关键.