2023年北京市石景山区中考数学二模试卷（含解析）

2023年北京市石景山区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  某几何体的三视图如图，则该几何体是(    )

A. 圆柱
B. 圆锥
C. 长方体
D. 三棱柱

2.  实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是(    )
 

A.  B.  C.  D.

3.  若一个多边形的内角和为，则该多边形的边数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，在中，，分别是边，上的点，，若的面积为，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，为的直径，，为上的点，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  一组数据：，，，，，若添加一个数据，则发生变化的统计量是(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

7.  如图显示了某林业部门统计某种树苗在本地区相同条件下的移植成活试验的结果．

下面有四个推断：
当移植的棵树是时，成活的棵树是，所以“移植成活”的概率是；
随着移植棵树的增加，“移植成活”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“移植成活”的概率是；
与试验相同条件下，若移植棵这种树苗，可能成活棵；
在用频率估计概率时，移植棵树时的频率一定比移植棵树时的频率更准确
其中合理的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在中，，点是边上一动点不与
点，重合，过点作交于点设，的长为，
的面积为，则与，与满足的函数关系分别为(    )

A. 一次函数关系，二次函数关系
B. 反比例函数关系，二次函数关系
C. 一次函数关系，反比例函数关系
D. 反比例函数关系，一次函数关系

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.  若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为______．

10.  分式方程的解是______ ．

11.  写出一个比大且比小的整数是          ．

12.  如果，那么代数式的值为______ ．

13.  在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则______填“”，“”或“”．

14.  如图，在矩形中，点，分别为，的中点，若，则的长为______ ．

15.  如图，在中，，平分交于点若
，，则的面积为______ ．
 

16.  有黑、白各张卡片，分别写有数字至把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：
从左至右，按数字从小到大的顺序排列；
黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．
将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字摆在了标注字母______ 的位置，标注字母的卡片写有数字______ ．

三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组：．

19.  本小题分
已知：如图，直线及外一点．

求作：直线，使得．
作法：如图，
在直线上任取一点，连接；
为圆心，长为半径作弧，交直线于点；
分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧在直线外交于一点；
作直线．
直线就是所求作的直线．
使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；
完成下面的证明．
证明：连接．
______ ，
四边形是______ 形______ 填推理的依据．
．

20.  本小题分
已知关于的一元二次方程
求证：该方程总有两个不相等的实数根；
若，且该方程的一个根是另一个根的倍，求的值．

21.  本小题分
如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，过点作交于点．
求证：四边形是矩形；
连接，若，，求的长．

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，函数的图象过点，．
求该函数的解析式；
当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围．

23.  本小题分
某社区通过公益讲座的方式普及垃圾分类知识为了了解居民对相关知识的了解情况及讲座效果，请居民在讲座前和讲座后分别回答了一份垃圾分类知识问卷，从中随机抽取名居民的两次问卷成绩百分制，并对数
据成绩进行整理、描述和分析下面给出了部分信息．
这名居民讲座前、讲座后成绩得分统计图如图：

这名居民讲座前、讲座后成绩的平均数、中位数、方差如下：

结合讲座后成绩，被抽取的名居民中有人获得“参与奖”，有人获得“优秀奖”，有人获得“环保达人奖”，其中成绩在这一组的是：

根据以上信息，回答下列问题：
居民小张讲座前的成绩为分，讲座后的成绩为分，在图中用“”圈出代表居民小张的点；
写出表中的值；
参加公益讲座的居民有人，估计能获得“环保达人奖”的有______ 人

24.  本小题分
年月日，世界泳联跳水世界杯首站比赛在西安圆满落幕，中国队共收获金银，位列奖牌榜第一赛场上运动员优美的翻腾、漂亮的入水令人赞叹不已在米跳台跳水训练时，运动员起跳后在空中的运动路线可以看作是抛物线的一部分建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系．
某跳水运动员进行了两次训练．
第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：

根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；
运动员必须在距水面前完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势，否则就会出现失误在这次训练中，测得运动员在空中调整好入水姿势时，水平距离为，判断此次跳水会不会出现失误，并说明理由；
第二次训练时，该运动员的竖直高度与水平距离近似满足函数关系如图，记该运动员第一次训练的入水点为，若运动员在区域内含，入水能达到压水花的要求，则第二次训练______ 达到要求填“能”或“不能”．

25.  本小题分
如图，是的直径，弦于点，过点作交的延长线于点，点是延长线上一点，．
求证：是的切线；
若，求半径的长．

26.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向右平移个单位长度，得到点．
若，点在抛物线上，求抛物线的解析式及对称轴；
若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．

27.  本小题分
如图，在中，，，平分交于点，点是上一点且，
求的大小用含的式子表示；
连接用等式表示线段与的数量关系，并证明．

28.  本小题分
在平面直角坐标系中，对于点不与点重合和线段，给出如下定义：连接，平移线段，使点与线段的中点重合，得到线段”，则称点为线段的“中移点”已知的半径为．
如图，点，点，
点为与轴正半轴的交点，，求的值；
点为上一点，若在直线上存在线段的“中移点”，求的取值范围．
点是上一点，点在线段上，且若是外一点，点为线段的“中移点”，连接，当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的差用含的式子表示．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：几何体的主视图和俯视图都是宽度相等的长方形，
该几何体是一个柱体，
俯视图是一个圆，
该几何体是一个圆柱；
故选：．
根据一个空间几何体的主视图和俯视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据左视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案．
本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，，
，
故此选项不符合题意；
B、，，
，
正确，
故此选项符合题意；
C、，，异号两数和取绝对值大的数的符号，
，
故此选项不符合题意；
D、，
，
故此选项不符合题意；
故选：．
利用数轴上数的位置判断大小，然后分别进行判断即可．
本题考查的是有理数的大小比较，解题的关键是会利用数轴进行判断．
 

3.【答案】 

【解析】解：由多边形的内角和公式可得，
，
解得：，
故选：．
根据多边形的内角和的公式，解方程即可求出的值．
本题考查的是多边形的内角和，利用内角和公式进行列方程是解决本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
∽，
，
的面积为，
的面积是．
故选：．
由，得到，由，得到∽，由相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求出的面积．
本题考查相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的性质．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，

，
，
，
，
，
，
故选：．
根据圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系易得，从而求得的度数，再利用圆周角定理即可求得答案．
本题主要考查圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，利用其求得，的度数为解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、原来数据的平均数是，添加数字后平均数仍为，故A不符合题意；
B、原来数据的中位数是，添加数字后中位数仍为，故B不符合题意符；
C、原来数据的众数是，添加数字后众数仍为，故C与不符合题意；
D、原来数据的方差，
添加数字后的方差，故方差发生了变化，故D符合题意．
故选：．
依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．
本题主要考查的是统计量的选择，众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：当移植的棵树是时，成活的棵树是，所以“移植成活”的频率是，但概率不一定是，故错误；
随着移植棵树的增加，“移植成活”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“移植成活”的概率是，故正确；
试验条件下“移植成活”的概率是，因此与试验相同条件下，若移植棵这种树苗，可能成活棵，故正确；
在用频率估计概率时，移植棵树时的频率不一定比移植棵树时的频率更准确，故错误；
其中合理的是，
故选：．
根据频率与概率的关系逐项判断即可得出答案．
本题考查用频率估计概率，一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率会稳定在某一个常数的附近，那么事件发生的概率，掌握上述内容是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
与是一次函数关系；
，
与是二次函数关系．
故选：．
由等腰直角三角形的性质，求出与，与满足的函数关系，由一次函数定义，二次函数定义，即可解决问题．
本题考查等腰直角三角形，一次函数定义，二次函数定义，关键是由条件求出与，与满足的函数关系，掌握一次函数定义，二次函数定义．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故答案为：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

11.【答案】或 

【解析】解：，
，
，
，
比大且比小的整数是或．
应用估算无理数大小的方法进行求解即可得出答案．
本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小的方法进行求解是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，




．
故答案为：．
先根据已知条件式得到，再把所求式子去括号并合并同类项化简得到，把整体代入求解即可．
本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的化简求值的方法是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
反比例函数的图象在一、三象限，
，
点，在第一象限，随的增大而减小，
，
故答案为：．
先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性解答．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，比较简单．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
四边形是矩形，
，
、分别为、的中点，
是的中位线，
，
，
故答案为：．
连接，由矩形的性质得，证是的中位线，由三角形中位线定理即可得出答案．
本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理，熟练掌握矩形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图：过作于，

，，
，
平分，，，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
根据角分线性质得出，进而利用所对直角边等于斜边一半得出，利用勾股定理得出，继而得出，利用三角形面积公式解答即可．
此题考查角分线性质，勾股定理，关键是根据角分线性质得出，进而利用勾股定理和三角形面积解答．
 

16.【答案】   

【解析】解：第一行中与第二行中肯定有一张为白，
若第二行中为白，则左边不可能有张黑卡片，
白卡片数字摆在了标注字母的位置，
黑卡片数字摆在了标注字母的位置；
第一行中与第二行中肯定有一张为白，
若第二行中为白，则，只能是黑，黑，
而为黑，矛盾，
第一行中为白；
第一行中与第二行中肯定有一张为白，
若第一行中为白，则，只能是黑，黑，此时黑在白右边，与规则矛盾，
第二行中为白，
第二行中为黑，为黑；
第一行中与第二行中肯定有一张为白，
若第一行中为白，则，只能是黑，黑，与为黑矛盾，
第二行中为白．
故答案为：，．
根据排列规则依次确定白，白，白，白的位置，即可得出答案．
本题考查图形类规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定白，白，白，白的位置．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】利用特殊锐角的三角函数值，二次根式性质，绝对值的性质及负整数指数幂进行计算即可．
本题考查实数的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

18.【答案】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】  菱  四边相等的四边形是菱形 

【解析】解：直线如图所示：
证明：连接．
，
四边形是菱形四边相等的四边形是菱形．
．
故答案为：，菱，四边相等的四边形是菱形．
根据题意，按照步骤补全作图即可；
根据菱形的判定与性质求解即可．
本题考查尺规作图，菱形的判定与性质，解题的关键是根据作图方法判断出．
 

20.【答案】证明：，
该方程总有两个不相等的实数根；
解：设方程的一个根为，则另一个根为，
根据根与系数的关系得，，
，
，
整理得，
解得，，
，
的值为． 

【解析】先计算出根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论；
设方程的一个根为，则另一个根为，利用根与系数的关系得，，消去得到，然后解关于的方程，从而得到满足条件的的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，也考查了根的判别式．
 

21.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
平行四边形是矩形；
解：如图，

四边形是菱形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
由可知，四边形是矩形，
，，
在中，由勾股定理得：，
即的长为的长为． 

【解析】先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，则，然后由矩形的判定即可得出结论；
由菱形的性质得，，，，再证是等边三角形，得，进而由勾股定理得，则，然后由矩形的性质得，，即可解决问题．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：把，代入中得：
，
，
函数的解析式为；
当函数的值大于函数的值时，则，
解得，
当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，
，
． 

【解析】利用待定系数法求解即可；
先求出不等式的解集，再根据当时，，即可得到，解不等式即可得到答案．
本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式的关系，灵活运用所学知识是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：如图所示：

讲座后成绩的中位数是第和第个数的平均数，所以；
估计能获得“环保达人奖”的有人．
故答案为：．
根据统计图可得横坐标是，纵坐标是的点，即代表居民小张的点；
根据中位数的定义可得的值；
用总人数乘以抽样中获得“环保达人奖”的百分比即可．
本题考查了中位数以及用样本估计总体，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．
 

24.【答案】不能 

【解析】解：由表格中的数据可知当时，，当时，，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线的顶点坐标为，
抛物线的解析式为，
把，代入得，，
解得，
抛物线的解析式为，
抛物线的开口向下，
该运动员的竖直高度的最大值为米；
此次跳水不会出现失误，
理由：点时，，
，
此次跳水不会出现失误；
在中，当时，则，
解得或不合题意舍去，
，
在中，当时，则，
解得：或舍去，
第二次入水的位置水平距离为米，
，即第二次入水的位置在点的左边，
第二次训练不能达到要求，
故答案为：不能．
根据对称性求得抛物线的轴对称，进而求出顶点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出最高点的距离即可；
求出当时，的值即可得到结论；
分别求出两次入水点的位置即可．
本题考查了二次函数的应用，正确地理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键．
 

25.【答案】 证明：连接，则，
，
于点，
，
交的延长线于点，点是延长线上一点，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
解：，
，，
，
，
，
，
，，
，
解得，
半径的长是． 

【解析】连接，则，由于点，得，由，，得，则，即可证明是的切线；
由垂径定理得，而，所以，由，则，根据勾股定理得，即可求得，则半径的长是．
此题重点考查切线的性质、垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

26.【答案】解：若，则抛物线为，
点在抛物线上，
，
，
抛物线为，
抛物线的对称轴为直线；
当时，如图．

抛物线的对称轴为直线，
将点向右平移个单位长度，得到点，抛物线与线段恰有一个公共点，
，
；

(ⅱ)当时，如图．

抛物线的对称轴为直线，
抛物线与线段只有一个公共点，
，
综上所述，的取值范围是：或． 

【解析】利用待定系数法求得抛物线的解析式后，利用对称轴公式即可求得抛物线的对称轴；
分、两种情况，结合函数图象，分别求解即可．
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，分类讨论、数形结合是解题的关键．
 

27.【答案】解：，
，
，
，
平分交于点，
，
，
，
；
证明如下：
由得，，，
，
四点、、、共圆，
，即，
又，
，
． 

【解析】根据等腰三角形的性质，等边对等角，与角平分线的定义可得，再利用三角形外角等于和它不相邻的内角和，化简易得；
由条件推得四点、、、共圆，通过四点共圆的性质，推出得，然后等量代换可证．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是熟悉相应的性质定理．
 

28.【答案】解：连接，如图：

点与线段的中点重合，
，
点为与轴正半轴的交点，
，
，
，
解得或，
由可得，点为与轴正半轴的交点时，，
在直线上存在线段的“中移点”，
，解得，
即有最小值，
如图，当点为与轴正半轴的交点时，

点与线段的中点重合，
，
点为与轴正半轴的交点，
，
，
在直线上存在线段的“中移点”，
，解得，
即有最大值，
的取值范围为．
如图，经分析，当点、在同一象限内，存在最小，当、在相对象限内，存在最大值，

，
当，，，，在同一直线上且， 关于原点对称时，有最小值，
设，，则，
，，
，，
． 

【解析】如图，连接，根据“中移点”确定点和的坐标，然后根据勾股定理即可求出的值，
分点为与轴正半轴的交点和负半轴交点两种情况求得的值即可．
如图，当点、在同一象限内，存在最小，当、在相对象限内，存在最大值，再根据三角形三边的关系可得当，，，，在同一直线上且， 关于原点对称时，有最小值，设、的坐标，分别求出，即可．
本题主要考查平移的性质和圆的性质，两点间的距离公式，勾股定理等知识，正确画出图形，明确线段间的关系是解题关键．