2021年北京市石景山区中考数学二模试卷

这是一份2021年北京市石景山区中考数学二模试卷，共30页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

2021年北京市石景山区中考数学二模试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2分）单项式﹣xy2的系数是（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
2．（2分）在下面四个几何体中，左视图是三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2分）如图，直线AB∥CD，AB平分∠EAD，∠1＝100°，则∠2的度数是（　　）

A．60° B．50° C．40° D．30°
4．（2分）若a，b，c分别表示的相反数、绝对值、倒数，则下列结论正确的是（　　）
A．a＞b B．b＜c C．a＞c D．b＝2c
5．（2分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：

甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
183
183
182
182
方差
5.7
3.5
6.7
8.6
要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠OBC＝20°，则∠OAC的度数为（　　）

A．20° B．25° C．30° D．40°
7．（2分）如图所示，在正方形ABCD中，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分），得到长为c的正方形，则下列等式成立的是（　　）

A．a+b＝c B．a2+b2＝c2
C．c2＝（a+b）（a﹣b） D．c2＝（a+b）2﹣4ab
8．（2分）如图是利用平面直角坐标系画出的首钢园中部分场馆建筑的分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示群明湖的点的坐标为（﹣2，0），表示冰壶馆的点的坐标为（﹣3，2），则表示下列场馆建筑的点的坐标正确的是（　　）

A．滑雪大跳台（﹣5，0）
B．五一剧场（﹣3，﹣2）
C．冬奥组委会（﹣5，4）
D．全民畅读艺术书店（5，0）
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）写出一个比0大且比2小的无理数　 　．
10．（2分）一个不透明的盒子中装有4个黄球，3个红球和2个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是　 　．
11．（2分）若一个正多边形的内角是外角的3倍，则这个正多边形的边数为　 　．
12．（2分）已知二元一次方程2x﹣3y＝10，若x与y互为相反数，则x的值为　 　．
13．（2分）如图，在四边形ACBD中，∠ACB＝90°，AB＝AD，E是BD中点，过点E作EF∥AD交AB于点F，连接CF．请写出关于边、角的两条正确结论（不包括已知条件）：
①　 　；
②　 　．

14．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）在双曲线y＝﹣上．若a＜0，则点A在第　 　象限．
15．（2分）某店家进一批应季时装共400件，要在六周内卖完，每件时装成本500元．前两周每件按1000元标价出售，每周只卖出20件．为了将时装尽快销售完，店家进行了一次调查并得出每周时装销售数量与时装价格折扣的关系如下：
价格折扣
原价
9折
8折
7折
6折
5折
每周销售数量（单位：件）
20
25
40
90
100
150
为盈利最大，店家选择将时装打折销售，后四周最多盈利　 　元．
16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，A（0，1），B（1，1），有以下4种说法：
①一次函数y＝x的图象与线段AB无公共点；
②当b＜0时，一次函数y＝x+b的图象与线段AB无公共点；
③当k＞1时，反比例函数y＝的图象与线段AB无公共点；
④当b＞1时，二次函数y＝x2﹣bx+1的图象与线段AB无公共点．
上述说法中正确的是　 　．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）计算：|﹣4|+（π﹣3.14）0﹣﹣6tan30°．
18．（5分）解不等式≤x﹣1，并把它的解集在数轴上表示出来．

19．（5分）已知2x2+3y2＝1，求代数式（2x+y）2﹣4y（x﹣y）的值．
20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的m的值，并求此时方程的根．
21．（5分）如图，在△ABC中，点D是线段AB的中点．
求作：线段DE，使得点E在线段AC上，且DE＝BC．
作法：①分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧相交于点M，N两点；
②作直线MN，交AC于点E；
③连接DE．
所以线段DE即为所求的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AM＝CM，AN＝CN，
∴MN是AC的垂直平分线（　 　）．（填推理的依据）
∴点E是AC的中点．
∵点D是AB的中点，
∴DE＝BC（　 　）．（填推理的依据）

22．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF．
（1）求证：四边形BCEF是矩形；
（2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长．

23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝k（x﹣1）+3（k≠0）经过一个定点P，直线l与反比例函数y＝（x＞0）图象相交于点P．
（1）直线l：y＝k（x﹣1）+3（k≠0）可以看成是直线y＝kx+3（k≠0）沿x轴向　 　（填“左”或“右”）平移1个单位得到的，请直接写出定点P的坐标；
（2）求m的值；
（3）直线y＝kx﹣k+3（k≠0）与x轴、y轴分别交于点M，N．若PM＝2PN，求k的值．
24．（6分）如图，AD是⊙O的直径，P是⊙O外一点，连接PO交⊙O于点C，PB，PD分别切⊙O于点B，D，连接AB，AC．
（1）求证：AB∥OP；
（2）连接PA，若PA＝2，tan∠BAD＝2，求PC长．

25．（6分）第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在北京举行，石景山区作为北京冬奥组委机关驻地和冬奥会滑雪大跳台赛事场地，将迎来作为“双奥之区”的高光时刻．随着冬奥会的脚步越来越近，石景山教育系统大力普及青少年冰雪运动项目和知识，越来越多的青少年走向冰场、走进雪场、了解冰雪运动知识．某校在距离冬奥会开幕倒计时300天之际开展了一次冬奥知识答题竞赛，七、八年级各有200名学生参加了本次活动，为了解两个年级的答题情况，从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩进行调查分析，过程如下（数据不完整）．
收集数据
七年级 66 70 71 78 71 78 75 78 58 a 63 90 80 85 80 89 85 86 80 87
八年级 61 65 74 70 71 74 74 76 63 b 91 85 80 84 87 83 82 80 86 c
整理、描述数据
成绩x/分数
七年级成绩统计情况
八年级成绩统计情况
频数
频率
频数
频率
50≤x≤59
1
0.05
0
0
60≤x≤69
2
0.10
3
0.15
70≤x≤79


6
0.30
80≤x≤89

m
10
0.50
90≤x≤100
1
0.05
1
0.05
（说明：成绩80分及以上为优秀，60～79分为合格，60分以下为不合格）
分析数据
两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
77.5
79
80
八年级
77.4
n
74
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a＝　 　，m＝　 　，n＝　 　；
（2）在此次竞赛中，小冬的成绩在七年级能排在前50%，在八年级只能排在后50%，那么估计小冬的成绩可能是　 　；
（3）估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数为　 　．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝x2+bx+c．
（1）当b＝﹣2时，
①若c＝4，求该函数最小值；
②若2≤x≤3，则此时x对应的函数值的最小值是5，求c的值；
（2）当c＝2b时，若对于任意的x满足b≤x≤b+2且此时x所对应的函数值的最小值是12，直接写出b的值．
27．（7分）已知等边△ABC，D为边BC中点，M为边AC上一点（不与A，C重合），连接DM．
（1）如图1，点E是边AC的中点，当M在线段AE上（不与A，E重合）时，将DM绕点D逆时针旋转120°得到线段DF，连接BF．
①依题意补全图1；
②此时EM与BF的数量关系为：　 　，∠DBF＝　 　°．
（2）如图2，若DM＝2MC，在边AB上有一点N，使得∠NDM＝120°．直接用等式表示线段BN，ND，CD之间的数量关系，并证明．

28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于⊙M内的一点P，若在⊙M外存在点P'，使得MP'＝2MP，则称点P为⊙M的二倍点．
（1）当⊙O的半径为2时，
①在T1（1，0），T2（1，﹣1），T3（﹣，）三个点中，是⊙O的二倍点的是　 　；
②已知一次函数y＝kx+2k与y轴的交点是A（0，a），若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是⊙O的二倍点，求a的取值范围．
（2）已知点M（m，0），B（0，﹣），C（1，﹣），⊙M的半径为2，若线段BC上存在点P为⊙M的二倍点，直接写出m的取值范围．

2021年北京市石景山区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2分）单项式﹣xy2的系数是（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【分析】根据单项式的系数概念即可求出答案．
【解答】解：单项式﹣xy2的系数是﹣1，
故选：A．
2．（2分）在下面四个几何体中，左视图是三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据几何体的左视图是从物体的左面看得到的图形，得到四个图形的左视图，结合选项得到答案．
【解答】解：A、左视图是矩形，故本选项不合题意；
B、左视图是等腰三角形，故本选项符合题意；
C、左视图是矩形，故本选项不合题意；
D、左视图是矩形，故本选项不合题意；
故选：B．
3．（2分）如图，直线AB∥CD，AB平分∠EAD，∠1＝100°，则∠2的度数是（　　）

A．60° B．50° C．40° D．30°
【分析】根据邻补角的定义、角平分线的定义及平行线的性质求解即可．
【解答】解：∵∠1＝100°，
∴∠EAD＝180°﹣∠1＝80°，
∵AB平分∠EAD，
∴∠EAB＝∠BAD＝∠EAD＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠EAB＝40°，
故选：C．
4．（2分）若a，b，c分别表示的相反数、绝对值、倒数，则下列结论正确的是（　　）
A．a＞b B．b＜c C．a＞c D．b＝2c
【分析】分别计算出a，b，c的值，比较大小即可．
【解答】解：∵a＝﹣，b＝，c＝＝，
∴a＜c＜b，故A，B，C选项错误，不符合题意；
∵2c＝2×＝＝b，
∴D选项正确，符合题意，
故选：D．
5．（2分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：

甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
183
183
182
182
方差
5.7
3.5
6.7
8.6
要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：由表格知，乙的方差最小，
所以乙运动员发挥最稳定，
故选：B．
6．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠OBC＝20°，则∠OAC的度数为（　　）

A．20° B．25° C．30° D．40°
【分析】连接OC，由圆周角定理得出∠ACB＝50°，由等腰三角形的性质可得出答案．
【解答】解：连接OC，

∵∠AOB＝100°，
∴∠ACB＝∠AOB＝50°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝20°，
∴∠ACO＝∠ACB﹣∠OCB＝50°﹣20°＝30°，
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠OAC＝30°，
故选：C．
7．（2分）如图所示，在正方形ABCD中，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分），得到长为c的正方形，则下列等式成立的是（　　）

A．a+b＝c B．a2+b2＝c2
C．c2＝（a+b）（a﹣b） D．c2＝（a+b）2﹣4ab
【分析】用两种方法表示剩下正方形的面积，列出等式，化简即可得到答案．
【解答】解：由图可得剩下正方形面积为：（a+b）2﹣4×ab，
根据正方形面积公式，剩下正方形面积也可以表示为：c2，
∴（a+b）2﹣4×ab＝c2，化简得a2+b2＝c2，
故选：B．
8．（2分）如图是利用平面直角坐标系画出的首钢园中部分场馆建筑的分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示群明湖的点的坐标为（﹣2，0），表示冰壶馆的点的坐标为（﹣3，2），则表示下列场馆建筑的点的坐标正确的是（　　）

A．滑雪大跳台（﹣5，0）
B．五一剧场（﹣3，﹣2）
C．冬奥组委会（﹣5，4）
D．全民畅读艺术书店（5，0）
【分析】根据群明湖的点的坐标和冰壶馆的点的坐标，建立平面直角坐标，进而得出馆建筑的点的坐标．
【解答】解：滑雪大跳台（﹣5，0），五一剧场（﹣3，4），冬奥组委会（﹣5，8），全民畅读艺术书店（0，5）；
故选：A．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）写出一个比0大且比2小的无理数　（答案不唯一）　．
【分析】只需要写出一个符合题意的无理数即可．
【解答】解：比0大比2小的无理数都可以，如：，，
故答案为：（答案不唯一）．
10．（2分）一个不透明的盒子中装有4个黄球，3个红球和2个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是　　．
【分析】直接根据概率公式求解．
【解答】解：∵盒子中装有4个黄球，3个红球和2个绿球，共有9个球，
∴从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是＝；
故答案为：．
11．（2分）若一个正多边形的内角是外角的3倍，则这个正多边形的边数为　8　．
【分析】设正多边形的边数为n，利用多边形的内角和公式和外角和定理即可解答．
【解答】解：设正多边形的边数为n，由题意得：
（n﹣2）•180°＝3×360°，
解得：n＝8，
故答案为：8．
12．（2分）已知二元一次方程2x﹣3y＝10，若x与y互为相反数，则x的值为　2　．
【分析】由x与y互为相反数得y＝﹣x，代入2x﹣3y＝10即可得答案．
【解答】解：∵x与y互为相反数，
∴y＝﹣x，
把y＝﹣x代入2x﹣3y＝10得：
2x﹣3（﹣x）＝10，即5x＝10，
∴x＝2，
故答案为：2．
13．（2分）如图，在四边形ACBD中，∠ACB＝90°，AB＝AD，E是BD中点，过点E作EF∥AD交AB于点F，连接CF．请写出关于边、角的两条正确结论（不包括已知条件）：
①　BF＝EF　；
②　∠BFE＝∠BAD　．

【分析】①由等边对等角得到∠D＝∠ABD，再由两直线平行，同位角相等得到∠D＝∠BEF，即得∠ABD＝∠BEF，由等角对等边即得结果；
②由两直线平行，同位角相等即可的结果．
【解答】解：①∵AB＝AD，
∴∠D＝∠ABD，
∵EF∥AD，
∴∠D＝∠BEF，
∴∠ABD＝∠BEF，
∴BF＝EF．
②∵EF∥AD，
∴∠BFE＝∠BAD．
故答案为：BF＝EF；∠BFE＝∠BAD．
14．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）在双曲线y＝﹣上．若a＜0，则点A在第　二　象限．
【分析】把点A（a，b）代入y＝﹣得，ab＝﹣1，由a＜0，得出b＞0，即可判定点A在第二象限．
【解答】解：∵点A（a，b）在双曲线y＝﹣上．
∴ab＝﹣1，a＜0，
∴b＞0，
∴点A在第二象限，
故答案为二．
15．（2分）某店家进一批应季时装共400件，要在六周内卖完，每件时装成本500元．前两周每件按1000元标价出售，每周只卖出20件．为了将时装尽快销售完，店家进行了一次调查并得出每周时装销售数量与时装价格折扣的关系如下：
价格折扣
原价
9折
8折
7折
6折
5折
每周销售数量（单位：件）
20
25
40
90
100
150
为盈利最大，店家选择将时装打折销售，后四周最多盈利　72000　元．
【分析】前两周每周只卖了20件，还剩下360件，后四周每天至少要卖90件，所以分别计算7折，6折，5折的盈利即可．
【解答】解：∵400﹣20×2＝360（件），
∴要在六周内卖完，后四周，每周至少要卖360÷4＝90（件），
当打七折时，售价为700元，成本为500元，故共盈利（700﹣500）×360＝72000（元），
当打六折时，售价为600元，成本为500元，故共盈利（600﹣500）×360＝36000（元），
当打五折时，售价为500元，成本为500元，故共盈利0元，
故答案为：72000．
16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，A（0，1），B（1，1），有以下4种说法：
①一次函数y＝x的图象与线段AB无公共点；
②当b＜0时，一次函数y＝x+b的图象与线段AB无公共点；
③当k＞1时，反比例函数y＝的图象与线段AB无公共点；
④当b＞1时，二次函数y＝x2﹣bx+1的图象与线段AB无公共点．
上述说法中正确的是　②③　．
【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数图象上点的坐标特征以及它们的性质即可判断．
【解答】解：①∵一次函数y＝x的图象经过点（1，1），
∴一次函数y＝x的图象与线段AB有公共点，故①错误；
②∵b＜0，
∴1+b＜1，
∵一次函数y＝x+b的图象经过点（1，1+b），
∴b＜0时，一次函数y＝x+b的图象与线段AB无公共点，故②正确；
③∵当x＝1时，反比例函数y＝＝k＞1，
∴当k＞1时，反比例函数y＝的图象与线段AB无公共点，故③正确；
④∵二次函数y＝x2﹣bx+1的图象经过点（0，1），
∴二次函数y＝x2﹣bx+1的图象与线段AB有公共点，故④错误；
故答案为②③．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）计算：|﹣4|+（π﹣3.14）0﹣﹣6tan30°．
【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝4+1﹣2﹣6×
＝4+1﹣2﹣2
＝1．
18．（5分）解不等式≤x﹣1，并把它的解集在数轴上表示出来．

【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：去分母得：x﹣1≤3x﹣3，
移项合并得：﹣2x≤﹣2，
解得：x≥1．
将解集表示在数轴上如下：

19．（5分）已知2x2+3y2＝1，求代数式（2x+y）2﹣4y（x﹣y）的值．
【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则把原式化简，整体代入计算即可．
【解答】解：（2x+y）2﹣4y（x﹣y）
＝4x2+4xy+y2﹣4xy+5y2
＝4x2+6y2，
∵2x2+3y2＝1，
∴原式＝2（2x2+3y2）＝2．
20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的m的值，并求此时方程的根．
【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个不相等的实数根，则△＞0，列出不等式，即可求出m的取值范围．
（2）根据方程的两个根都是整数，确定出m的值，经检验即可得到满足题意的m的值，并求出方程的根（答案不唯一）．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个不相等的实数根，
∴（2m+1）2﹣4m2＞0，
解得：m＞﹣．
（2）利用求根公式表示出方程的解为x＝，
∵方程的解为整数，
∴4m+1为完全平方数，
则当m的值为0时，方程为：x2+x＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1（不唯一）．
21．（5分）如图，在△ABC中，点D是线段AB的中点．
求作：线段DE，使得点E在线段AC上，且DE＝BC．
作法：①分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧相交于点M，N两点；
②作直线MN，交AC于点E；
③连接DE．
所以线段DE即为所求的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AM＝CM，AN＝CN，
∴MN是AC的垂直平分线（　到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上　）．（填推理的依据）
∴点E是AC的中点．
∵点D是AB的中点，
∴DE＝BC（　三角形中位线性质　）．（填推理的依据）

【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形即可；
（2）先根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理判断MN是AC的垂直平分线，则点E是AC的中点，然后根据三角形中位线性质得到DE＝BC．
【解答】（1）解：如图，

（2）证明：∵AM＝CM，AN＝CN，
∴MN是AC的垂直平分线（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）；
∴点E是AC的中点．
∵点D是AB的中点，
∴DE＝BC（三角形中位线性质）．
故答案为到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；三角形中位线性质．
22．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF．
（1）求证：四边形BCEF是矩形；
（2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长．

【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，再由EF＝DA，得EF＝BC，EF∥BC，则四边形BCEF是平行四边形，再证∠CEF＝90°，即可得出结论；
（2）由勾股定理的逆定理证△CDF是直角三角形，∠DCF＝90°，再由面积法求出CE＝，然后由矩形的性质得∠FBC＝90°，BF＝CE＝，最后由勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵EF＝DA，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCEF是平行四边形，
又∵CE⊥AD，
∴∠CEF＝90°，
∴平行四边形BCEF是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，
∵CF＝4，DF＝5，
∴CD2+CF2＝DF2，
∴△CDF是直角三角形，∠DCF＝90°，
∴△CDF的面积＝DF×CE＝CF×CD，
∴CE＝＝＝，
由（1）得：EF＝BC，四边形BCEF是矩形，
∴∠FBC＝90°，BF＝CE＝，
∴BC＝＝＝，
∴EF＝．
23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝k（x﹣1）+3（k≠0）经过一个定点P，直线l与反比例函数y＝（x＞0）图象相交于点P．
（1）直线l：y＝k（x﹣1）+3（k≠0）可以看成是直线y＝kx+3（k≠0）沿x轴向　右　（填“左”或“右”）平移1个单位得到的，请直接写出定点P的坐标；
（2）求m的值；
（3）直线y＝kx﹣k+3（k≠0）与x轴、y轴分别交于点M，N．若PM＝2PN，求k的值．
【分析】（1）由平移的性质得出向右平移，再令x﹣1＝0，求出定点P的坐标；
（2）将点P的坐标代入反比例函数解析式中，即可得出结论；
（3）先求出点M，N的坐标，进而得出PM2，PN2，利用PM＝2PN，建立方程求解，即可得出结论．
【解答】解：（1）y＝k（x﹣1）+3（k≠0）可以看成是直线y＝kx+3（k≠0）沿x轴向右平移1个单位得到的，
针对于y＝k（x﹣1）+3（k≠0），
令x﹣1＝0，即x＝1时，y＝3，
∴定点P（1，3），
故答案为右；

（2）由（1）知P（1，3），
∵点P在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝1×3＝3；

（3）针对于直线y＝kx﹣k+3（k≠0），
令x＝0则y＝﹣k+3，
∴N（0，﹣k+3），
令y＝0，则kx﹣k+3＝0，
∴x＝1﹣，
∴M（1﹣，0），
由（1）知，P（1，3），
∴PM2＝（1﹣﹣1）2+32＝+9，PN2＝12+k2＝k2+1，
∵PM＝2PN，
∴PM2＝4PN2，
∴+9＝4（k2+1），
∴4k4﹣5k2﹣9＝0，
∴（4k2﹣9）（k2+1）＝0，
∴k＝或k＝﹣．
【注】（3）的第二种方法提示：分k大于0和小于0两种情况，利用相似三角形的性质求出点M的坐标，再将点M的坐标代入直线解析式中，即可得出结论．
24．（6分）如图，AD是⊙O的直径，P是⊙O外一点，连接PO交⊙O于点C，PB，PD分别切⊙O于点B，D，连接AB，AC．
（1）求证：AB∥OP；
（2）连接PA，若PA＝2，tan∠BAD＝2，求PC长．

【分析】（1）连接BD，由切线的性质得出PB＝PD，∠DPO＝∠BPO，得出∠BAD＝∠COD，则可得出结论；
（2）由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案．
【解答】（1）证明：连接BD，

∵PB，PD分别切⊙O于点B，D，
∴PB＝PD，∠DPO＝∠BPO，
∴BD⊥PO，
∴，
∴∠BAD＝∠COD，
∴AB∥OP；
（2）解：由（1）得∠BAD＝∠POD，
∵PD切⊙O于点D，
∴PD⊥OD，
∴tan∠POD＝，
∵AD＝2OD，
在Rt△PDA中，∠PDA＝90°，PA＝2，
∴AD＝PD＝2，
∴OD＝OC＝1，
在Rt△PDO中，∠PDO＝90°，PD＝2，OD＝1，
∴PO＝＝，
∴PC＝PO﹣CO＝﹣1．
25．（6分）第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在北京举行，石景山区作为北京冬奥组委机关驻地和冬奥会滑雪大跳台赛事场地，将迎来作为“双奥之区”的高光时刻．随着冬奥会的脚步越来越近，石景山教育系统大力普及青少年冰雪运动项目和知识，越来越多的青少年走向冰场、走进雪场、了解冰雪运动知识．某校在距离冬奥会开幕倒计时300天之际开展了一次冬奥知识答题竞赛，七、八年级各有200名学生参加了本次活动，为了解两个年级的答题情况，从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩进行调查分析，过程如下（数据不完整）．
收集数据
七年级 66 70 71 78 71 78 75 78 58 a 63 90 80 85 80 89 85 86 80 87
八年级 61 65 74 70 71 74 74 76 63 b 91 85 80 84 87 83 82 80 86 c
整理、描述数据
成绩x/分数
七年级成绩统计情况
八年级成绩统计情况
频数
频率
频数
频率
50≤x≤59
1
0.05
0
0
60≤x≤69
2
0.10
3
0.15
70≤x≤79


6
0.30
80≤x≤89

m
10
0.50
90≤x≤100
1
0.05
1
0.05
（说明：成绩80分及以上为优秀，60～79分为合格，60分以下为不合格）
分析数据
两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
77.5
79
80
八年级
77.4
n
74
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a＝　80　，m＝　0.45　，n＝　80　；
（2）在此次竞赛中，小冬的成绩在七年级能排在前50%，在八年级只能排在后50%，那么估计小冬的成绩可能是　80　；
（3）估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数为　210　．
【分析】（1）根据平均数可求出a的值，再根据频数统计可得出m的值，利用中位数的意义可得n的值；
（2）利用中位数的意义以及七、八年级学生具体成绩判断即可；
（3）求出七、八年级优秀的人数即可．
【解答】解：（1）（66+70+71+78+71+78+75+78+58+a+63+90+80+85+80+89+85+86+80+87）＝77.5，
解得a＝80，
七年级这20名同学的成绩在80≤x≤90d的有9人，即m＝9÷20＝0.45，
将八年级20名学生的成绩从小到大排列处在中间位置的两个数的都是80，因此中位数是80，即n＝80，
故答案为：80，0.45，80；
（2）七年级低于80分的有10人，大于或大于80分的有10人，而八年级低于80分的有9人，高于或等于80分的有11人，
因此在七年级能排在前50%，在八年级只能排在后50%，他的成绩可能是80分，
故答案为：80；
（3）200×（0.45+0.05）+200×（0.50+0.05）
＝100+110
＝210（人），
故答案为：210．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝x2+bx+c．
（1）当b＝﹣2时，
①若c＝4，求该函数最小值；
②若2≤x≤3，则此时x对应的函数值的最小值是5，求c的值；
（2）当c＝2b时，若对于任意的x满足b≤x≤b+2且此时x所对应的函数值的最小值是12，直接写出b的值．
【分析】（1）①利用配方法，把二次函数的解析式写成顶点式即可．
②由题意，判断出x＝2时，y＝5，利用待定系数法可得结论．
（2）当c＝2b时，y═x2+bx+2b，图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣，分三种情形：①当﹣＜b，即b＞0时，②当b≤﹣≤b+2时，即﹣≤b≤0，③当﹣＞b+2，即b＜﹣，分别利用待定系数法，构建方程求解即可．
【解答】解：（1）①由题意，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，
∴顶点坐标为（1，3），
∴函数的最小值为3．
②∵y＝x2﹣2x+c，
∴对称轴x＝1，
∵2≤x≤3，则此时x对应的函数值的最小值是5，
∴x＝2时，y＝5，
∴5＝4﹣4+c，
∴c＝5．
（2）当c＝2b时，y═x2+bx+2b，图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣，
①当﹣＜b，即b＞0时，
在自变量x的值满足b≤x≤b+2的情况下，y随x的增大而增大，
∴当x＝b时，y＝b2+b•b+2b＝2b2+2b最小值，
∴2b2+2b＝12，解得，b1＝﹣3（舍去），b2＝2；
②当b≤﹣≤b+2时，即﹣≤b≤0，
∴x＝﹣，y的值最小，
∴b2﹣+2b＝12，方程无解．
③当﹣＞b+2，即b＜﹣，
在自变量x的值满足b≤x≤b+2的情况下，y随x的增大而减小，
故当x＝b+2时，y＝（b+2）2+b（b+2）+2b＝2b2+6b+4为最小值，
∴2b2+6b+4＝12．解得，b1＝1（舍去），b2＝﹣4；
综上所述，满足条件的b的值为2或﹣4．
27．（7分）已知等边△ABC，D为边BC中点，M为边AC上一点（不与A，C重合），连接DM．
（1）如图1，点E是边AC的中点，当M在线段AE上（不与A，E重合）时，将DM绕点D逆时针旋转120°得到线段DF，连接BF．
①依题意补全图1；
②此时EM与BF的数量关系为：　EM＝BF　，∠DBF＝　120　°．
（2）如图2，若DM＝2MC，在边AB上有一点N，使得∠NDM＝120°．直接用等式表示线段BN，ND，CD之间的数量关系，并证明．

【分析】（1）①根据题意作图即可；②连接DE，根据SAS，证△BDF≌△EDM，即可得出EM＝BF，∠DBF＝120°；
（2）过点D作DG∥AC交AB于G，得出DG为△ABC的中位线，再根据ASA证△NDG≌△MDC，得出DN＝DM，NG＝CM，然后根据各边关系得出BN+ND＝CD．
【解答】解：（1）①如图1；
②连接DE，
∵D为BC的中点，E为AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE＝AB且DE∥AB，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC，
∵D为BC的中点，
∴BD＝BC＝DE，
∵DE∥AB，
∴∠CDE＝∠ABC＝60°，
∴∠BDE＝120°＝∠BDM+∠EDM，
∵∠BDM+∠BDF＝∠MDF＝120°，
∴∠BDF＝∠EDM，
∴△BDF≌△EDM（SAS），
∴EM＝BF，∠DBF＝∠DEM，
∵∠CED＝60°，
∴∠DEM＝120°，
∴∠DBF＝∠DEM＝120°；
故答案为EM＝BF，120°；
（2）如图2，过点D作DG∥AC交AB于G，
∴∠BDG＝∠C＝60°，∠BGD＝∠A＝60°，
∴△BDG为等边三角形，
又∵D是BC边上的中点，
∴BD＝DG＝BC，DG为△ABC的中位线，
∴DG＝DC，
∵∠NDM＝120°＝∠NDG+∠GDM，∠GDC＝120°＝∠GDM+∠MDC，
∴∠NDG＝∠MDC，
∴△NDG≌△MDC（ASA），
∴DN＝DM，NG＝CM，
∵BN+NG＝BG，DM＝2CM，
∴DN＝2NG，
∴BN+DN＝BG，
∵BG＝AB，CD＝BC，
∴BG＝CD，
∴BN＝CD﹣ND，
即BN+ND＝CD．


28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于⊙M内的一点P，若在⊙M外存在点P'，使得MP'＝2MP，则称点P为⊙M的二倍点．
（1）当⊙O的半径为2时，
①在T1（1，0），T2（1，﹣1），T3（﹣，）三个点中，是⊙O的二倍点的是　T2、T3　；
②已知一次函数y＝kx+2k与y轴的交点是A（0，a），若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是⊙O的二倍点，求a的取值范围．
（2）已知点M（m，0），B（0，﹣），C（1，﹣），⊙M的半径为2，若线段BC上存在点P为⊙M的二倍点，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）①⊙O的半径为2时，⊙O的二倍点到O的距离小于2，且大于1，求出T1（1，0），T2（1，﹣1），T3（﹣，）与圆心的距离即可得答案；
②过O作OC⊥AB于C，一次函数在第二象限的图象上的所有点都是⊙O的二倍点，k＞0，且1＜a≤2且OC＞1，用a的代数式表示OC，列出不等式，即可解得a的范围；
（2）画出图形，找到“临界点”，列出不等式即可解得m范围．
【解答】解：（1）∵对于⊙M内的一点P，若在⊙M外存在点P'，使得MP'＝2MP，则称点P为⊙M的二倍点，
∴⊙O的半径为2时，⊙O的二倍点到O的距离小于2，且大于1，
①∵T1（1，0），T2（1，﹣1），T3（﹣，），
∴OT1＝1，OT2＝＝，OT3＝＝，
∴⊙O的二倍点的是T2、T3，
故答案为：T2、T3．
②若k＜0，则y＝kx+2k在第二象限的图象是一条射线（不含端点），不可能所有点都是⊙O的二倍点，故k＞0，
又x＝﹣2时，y＝0，即直线y＝kx+2k过定点B（﹣2，0），过O作OC⊥AB于C，如图：

由OB＝|﹣2|＝2，OA＝a可得AB＝，
而S△AOB＝OB•OA＝AB•OC可得OC＝，
∵一次函数在第二象限的图象上的所有点都是⊙O的二倍点，一次函数y＝kx+2k与y轴的交点是A（0，a），
∴1＜a≤2且OC＞1
∴，
解得＜a≤2；
（2）①当⊙M从B左侧沿x正方向移动时，线段BC上存在点P为⊙M的二倍点，如图：

则满足BM＜2，且CM＞1，
∴﹣﹣m＜2，且＞1，
解得m＞﹣，且m＜1﹣或m＞1+，
结合图形可得，此时线段BC上存在点P为⊙M的二倍点，﹣＜m＜1﹣，
②当M移动到B右侧，线段BC上存在点P为⊙M的二倍点，如图：

则满足BM＞1，且CM＜2，
∴m﹣（﹣）＞1，且＜2，
解得m＞，且1﹣＜m＜，
结合图形可得，此时线段BC上存在点P为⊙M的二倍点，＜m＜，
综上所述，线段BC上存在点P为⊙M的二倍点，则﹣＜m＜1﹣或＜m＜．