【暑假提升】浙教版数学八年级（八升九）暑假-专题第14讲《二次函数 单元综合检测(能力提升)》预习讲学案

第14讲 二次函数 单元综合检测(能力提升)一、单选题1．已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y=2（x+3）2-2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的定义判断即可；y＝2x﹣1是一次函数；y＝﹣2x2﹣1是二次函数；y＝3x3﹣2x2不是二次函数；④y=2（x+3）2-2x2，不是二次函数；y＝ax2+bx+c，没告诉a不为0，故不是二次函数；故二次函数有1个；故答案选A．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确判断是解题的关键．2．设y＝y1﹣y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是（　　）A．正比例函数 B．一次函数C．二次函数 D．以上均不正确【答案】C【解析】【分析】设y1＝k1x，y2＝k2x2，根据y＝y1﹣y2得到y＝k1x﹣k2x2，由此得到答案．解：设y1＝k1x，y2＝k2x2，则y＝k1x﹣k2x2，所以y是关于x的二次函数，故选：C．【点睛】此题考查列函数关系式，正确理解正比例函数的定义是解题的关键．3．已知抛物线（m是常数）与x轴仅有一个交点，且与y轴交于正半轴，则m的值为（       ）A．－7或1 B．－1 C．－7 D．1【答案】C【解析】【分析】二次函数与x轴仅有一个交点，则，与y轴交于正半轴，则，求解满足条件的m即可．二次函数与x轴仅有一个交点，则，即，解得，又因为二次函数图象与y轴交于正半轴，则，将1和-7代入分别得到0和16，则应把m=1舍去，故m=-7，故选C．【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴、y轴交点问题，解决题目应熟练掌握判定二次函数与x轴交点个数的方法，以及判断二次函数图象与y轴交点位置的方法．4．二次函数的图象过四个点，下列说法一定正确的是（       ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【解析】【分析】求出抛物线的对称轴，根据抛物线的开口方向和增减性，根据横坐标的值，可判断出各点纵坐标值的大小关系，从而可以求解．解：二次函数的对称轴为：，且开口向上，距离对称轴越近，函数值越小，，A，若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；B,若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；C，若，所以，则一定成立，故选项正确，符合题意；D，若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质及不等式，解题的关键是：根据二次函数的对称轴及开口方向，确定各点纵坐标值的大小关系，再进行分论讨论判断即可．5．若直线（m为常数）与函数的图象恒有三个不同的交点，则m的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据已知解析式画出函数图象，进而得出常数m的取值范围．根据题意作图，当时，，故直线与函数的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数的图象，利用数形结合的思想是解题的关键．6．已知函数，若函数在0≤x≤1上的最大值是2，则a的值为（       ）A．﹣2 B．﹣6 C．﹣2或3 D．﹣6或【答案】D【解析】【分析】先求得其对称轴为x＝a，再分a＜0、0≤a≤1和a＞1根据二次函数的单调性分别求得其最大值，由最大值为2，可求得a的值．∵，∴其对称轴为x＝a，开口向下，当a＜0即a＜0时，在0≤x≤1上y随x的增大而减小，∴当x＝0时有最大值，最大值＝﹣a+＝2，解得a＝﹣6＜0，符合题意；当0≤a≤1即0≤a≤2时，y的最大值＝﹣a2+a2﹣a+＝2，∴a＝3（不合题意，舍去），或a＝﹣2（舍去）；当a＞1即a＞2时，在0≤x≤1上y随x的增大而增大，∴当x＝1时，有最大值＝﹣1+a﹣a+＝2，∴a＝，综上可知a的值为﹣6或．故选：D．【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，分类讨论是解题的关键.7．点在抛物线上，若，关于a，b的数量关系，下列描述正确的是（       ）A． B． C． D．无法确定【答案】A【解析】【分析】将P代入抛物线表达式，从而得到，根据a的范围得到结果的符号，即可比较．解：∵在上，∴，∴，∵∴，∴，∴，∴．故选A．【点睛】本题考查了二次函数图像上的点，不等式的性质，解题的关键是利用作差法，求出a-b的符号进行比较．8．若a、b是关于x的方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实根，则（a+2）（b+2）的最小值为（　　）A．7 B．10 C．14 D．16【答案】D【解析】【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，可得出关于t的一元一次不等式，解之即可得出t的取值范围，根据根与系数的关系可得出a+b＝2t，ab＝t2﹣2t+4，将其代入（a+2）（b+2）＝ab+2（a+b）+4中可用含t的代数式表示出（a+2）（b+2），再利用二次函数的性质即可解决最值问题.解：∵方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0有实数根，∴△＝（﹣2t）2﹣4×1×（t2﹣2t+4）≥0，∴t≥2.∵a、b是关于x的方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实根，∴a+b＝2t，ab＝t2﹣2t+4，∴（a+2）（b+2）＝ab+2a+2b+4＝ab+2（a+b）+4＝t2﹣2t+4+4t+4＝t2+2t+8＝（t+1）2+7.∵1＞0，t≥2，∴当t≥2时，（a+2）（b+2）的值随t的增大而增大，∴当t＝2时，（a+2）（b+2）取得最小值，最小值＝（2+1）2+7＝16.故选：D.【点睛】本题主要考查了根的判别式、二次函数的性质、根与系数的关系，准确计算是解题的关键．9．如图，正三角形和正三角形的边，在同一条直线上，将向右平移，直到点与点重合为止，设点平移的距离为，，．两个三角形重合部分的面积为，现有一个正方形的面积为，已知，则S关于的函数图像大致为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】分0≤x≤2、2＜x＜4、4≤x≤6三种情况，分别求出函数表达式，即可求解．解：∵，∴，①当0≤x≤2时，则两个三角形重合部分为边长x的正三角形，则：，故，为二次函数，图象开口向上，当x=2时，S=2；②当2＜x＜4时，两个三角形重合部分为边长为2的正三角形，故S=2；③当4≤x≤6时，同理可得：，图象开口向上，当x=4时，S=2；当x=6时，S=0；故选：A．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，分类求出函数表达式，是解决本题的关键．10．二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3．与y轴负半轴交于点C，在下面五个结论中：①2a﹣b＝0；②a+b+c＞0；③c＝﹣3a；④只有当a＝时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a值可以有三个．其中正确结论是（       ）A．③④ B．①③⑤ C．③④⑤ D．②③④⑤【答案】A【解析】【分析】先根据图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3确定出AB的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，∴AB＝4，∴对称轴x＝﹣＝1，即2a+b＝0．故①错误；②根据图示知，当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0．故②错误；③∵A点坐标为（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，而b＝﹣2a，∴a+2a+c＝0，即c＝﹣3a．故③正确；④如图1，作DE⊥x轴于点E，要使△ABD是等腰直角三角形，则AD＝BD，∠ADB＝90°，∵DE⊥x轴，∴点E是AB的中点，∴DE＝BE，即||＝＝2，又∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，∴||＝2，a＞0，解得a＝，∴只有当a＝时，△ABD是等腰直角三角形，∴故④正确．⑤要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，当AB＝BC＝4时，∵AO＝1，△BOC为直角三角形，又∵OC的长即为|c|，∴c2＝16﹣9＝7，∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＝﹣，与2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得a＝；同理，当AB＝AC＝4时，∵AO＝1，△AOC为直角三角形，又∵OC的长即为|c|，∴c2＝16﹣1＝15，∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＝﹣．与2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得a＝；同理，当AC＝BC时，在△AOC中，AC2＝1+c2，在△BOC中BC2＝c2+9，∵AC＝BC，·∴1+c2＝c2+9，此方程无解．经解方程组可知只有两个a值满足条件．故⑤错误．综上所述，正确的结论是③④．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系、二次函数的图象与性质、等腰三角形的判定等，熟练掌握知识点是解题的关键．二、填空题11．当m____________________________时，函数是二次函数．【答案】不等于和3【解析】【分析】我们一般把形如(为常数)的函数称之为二次函数，其中二次项系数不能为0，据此进一步求解即可.根据二次函数的定义可得：，即：，∴，且，即当不等于和3时，原函数为二次函数，故答案为：不等于和3.【点睛】本题主要考查了二次函数的定义的运用，熟练掌握相关概念是解题关键.12．中______，______，______.【答案】     5     2     0【解析】【分析】根据二次项系数、一次项系数、常数项的定义解答.解：在中，a＝5，b＝2，c＝0．【点睛】本题考查的是二次函数的一般形式、各项系数与常数项．13．如图，“爱心”图案是由函数的部分图像与其关于直线的对称图形组成．点是直线上方“爱心”图案上的任意一点，点是其对称点．若，则点的坐标是______．【答案】【解析】【分析】根据对称性表示出A，B两点的坐标，利用勾股定理列式求解即可；∵A，B关于直线对称，∴设，则，如图所示，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴或（舍），∴，∵在上，∴，即，整理得：，解得，（舍），∴，∴点A的坐标为；故答案是．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用及对称点的表示，解题的关键是设点的坐标，表示出AB的长度．14．如图，在平面直角坐标系中，点A(，2)在抛物线y=ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上．以CD为边在抛物线内作正方形CDFE，点E，F分别在抛物线上，则线段CD的长为_______．【答案】【解析】【分析】通过待定系数法求出函数解析式，然后设点C横坐标为m，则CD=CE=2m，从而得出点E坐标为（m，2-2m），将点坐标代入解析式求解．解：把A(，2)代入y=ax2中得2=a，解得a=1，∴y=x2，设点C横坐标为m，∵四边形CDFE为正方形，∴CD=CE=2m，∴点E坐标为（m，2-2m），∴m2=2-2m，解得m=-1-（舍）或m=-1+．∴CD=2m=-2+2．答：线段CD的长是-2+2．故答案为：-2+2．【点睛】本题考查二次函数与正方形的结合，解题关键是熟练掌握二次函数与正方形的性质．15．在平面直角坐标系中，二次函数的图象上两点A，的横坐标分别为，2．若为直角三角形，则的值为______．【答案】或【解析】【分析】分两种情况讨论，如图，当时，利用 建立方程求解即可；当 利用建立方程求解即可；从而可得答案.解：如图，当时，     A，的横坐标分别为，2, ， 过作于 则 解得： （负根舍去）当 同理可得： 解得：（负根舍去）综上：或【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，二次函数的性质，掌握“利用勾股定理求解两点之间的距离”是解题的关键.16．已知二次函数y＝（x－m）2＋m2＋1，且．（1）当m＝1时，函数y有最大值__________．（2）当函数值y恒不大于4时，实数m的范围为__________．【答案】     2     【解析】【分析】（1）根据顶点式将代入解析式即可求得最大值；（2）根据顶点式求得最大值，根据顶点的位置以及自变量的取值范围，分情况讨论求得最值，进而求得的范围．（1）当m＝1时，二次函数y＝（x－1）2＋12＋1，则顶点为则函数有最大值，故答案为：（2）二次函数y＝（x－m）2＋m2＋1，且．对称轴为，顶点坐标为①当时，时，函数取得最大值即解得，不符合题意，舍去②当，时，函数取得最大值解得 ③当时，时，函数取得最大值解得综上所述，【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握的性质是解题的关键．17．如图，点、、、...、在抛物线图象上，点、、、...、在抛物线的对称轴上，若、、...、都为等边三角形（点是抛物线的顶点）且，则的坐标为______．【答案】##【解析】【分析】根据二次函数的性质求得的坐标，进而根据，以及等边三角形的性质求得，找到规律，进而求得的坐标．如图，过点作点、、、...、在抛物线的对称轴上，对称轴为则点、、、...、的横坐标为，，，在抛物线上，解得抛物线解析式为：设，，则的纵坐标为，的横坐标为解得（舍去）或的纵坐标为，的横坐标为，即点、、、...、在抛物线上，且在第一象限，纵坐标为同理可得的纵坐标为，横坐标为 ……的纵坐标为，横坐标为故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的性质，等边三角形的性质，勾股定理，坐标系中点的规律问题，找到规律是解题的关键．18．已知，为抛物线（）上任意两点，其中．若对于，都有，则的取值范围是__________．【答案】a≥1或a≤-1##a≤-1或a≥1【解析】【分析】先根据题意求出，，然后由，得到即，再由，可以推出恒成立，则要使恒成立则，由此进行求解即可．解：∵，为抛物线（）上任意两点，∴，，∵对于，都有，∴，∴，∴，∴，∵，，∴恒成立，∴要使恒成立则，∴，∴或，故答案为：或．【点睛】本题主要考查了二次函数上点的坐标特点，平方差公式和绝对值，以及不等式，解题的关键在于能够准确判断出恒成立．三、解答题19．已知抛物线经过点，，．连接AB，BC．令．(1)若，，求的值；(2)若，，求a的值；(3)若，请直接写出h的取值范围．【答案】(1)1(2)(3)【解析】【分析】（1）把点A，B，C三点横坐标代入可求出，再根据两点间距离公式可求出，从而可求出的值；（2）方法同（1）得，即，求出a的值即可；（3）方法同（1）得出，从而可判断出h的取值范围．(1)当，时，，∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，∴当时，当时，；当时，；∴∴，∴，∴的值为1；(2)当时，，∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，∴当时，当时，；当时，；∴，∴，，∵，∴，∴，∴，解得，，∴的值为；(3)由（1）可知，当时，有，∵，∴，∴，∴点离抛物线的对称轴最远，∴h的取值范围是【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．20．如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B、C两点．B点坐标为．(1)求抛物线解析式；(2)若抛物线上有一点D（在第一象限内），使得，求点D的坐标．【答案】(1)抛物线解析式为(2)【解析】【分析】(1)把B(1,1)代入得，从而得到抛物线解析式；(2)先根据待定系数法求直线AB的解析式，再联立直线和抛物线解析式解方程组，求出C的坐标，然后求出，再根据二次函数图象上点的坐标特征，可设，利用三角形面积公式，解出t的值即可得到D点坐标．(1)把代入得：，∴抛物线解析式为；(2)设直线AB的函数解析式为，把，代入得：，，∴直线AB的解析式为，将与联立得：或，∴，，∴，设，∵，∴，解得：，（舍），∴．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.也考查了待定系数法求一次函数解析式．21．已知：二次函数的图象经过点．(1)求的值；(2)设、、均在该函数图象上，①当时，、、能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；②当取不小于5的任意实数时，、、一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．【答案】(1)(2)①当时，、、不能作为同一个三角形三边的长，理由见解析；②见解析【解析】【分析】（1）把代入二次函数即可求解；（2）①把m=4代入解析式求出、、，然后根据三角形构成的条件：任意两边之和大于第三边判断即可；②把、、代入求得、、，根据三角形构成的条件，当时，>0来判断即可。(1)解：把代入二次函数得：，．(2)解：①答：当时，、、不能作为同一个三角形三边的长．理由是当时，、、，代入抛物线的解析式得：，，，，当时，、、不能作为同一个三角形三边的长．②理由是：把、、代入得：，，，，，，，都是大于的，，，根据三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边（也可求出两小边的和大于第三边），当取不小于5的任意实数时，、、一定能作为同一个三角形三边的长．【点睛】本题考查了二次函数点的坐标特征，和构成三角形的条件，掌握三角形三边关系定理是解题的关键。22．（1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，3），顶点为D①求抛物线的解析式； ②求△ABD的面积．（2）将图①中的抛物线y轴右侧的部分沿y轴折叠到y轴的左侧，将折叠后的这部分图象与原抛物线y轴右侧的部分（包括点C）的图象组成新的图象，记为图像M，如图②．①直接写出图像M所对应的函数解析式；②直接写出图像M所对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围．【答案】（1）①；②8；（2）① ；②或【解析】【分析】（1）①用待定系数法即可求解；②当−（x−1）2＋4＝0时，解得 x1＝−1，x2＝3．则AB＝3−（−1）＝4，进而求解；（2）①根据点的对称性，折叠后的这部分函数的表达式为y＝−（x＋1）2＋4，进而求解；②观察函数图象即可求解．解：（1）①把C（0，3）代入y＝−（x−1）2＋k，得3＝−（0−1）2＋k，解得 k＝4．∴y＝−（x−1）2＋4；②由y＝−（x−1）2＋4．可知顶点D（1，4）．当−（x−1）2＋4＝0时，解得 x1＝−1，x2＝3．∴A（−1，0），B（3，0）．∴AB＝3−（−1）＝4．∴S＝×4×4＝8；（2）①根据点的对称性，折叠后的这部分函数的表达式为y＝−（x＋1）2＋4，∴；②从函数图象看，M所对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围为：x＜−1或0＜x＜1．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．23．在建筑工人临时宿舍外，有两根高度相等且相距10米的立柱AB，CD垂直于水平地面上，在AB，CD间拉起一根晾衣绳，由于绳子本身的重力，使绳子无法绷直，其形状可近似看成抛物线，已知绳子最低点距离地面米．以点B为坐标原点，直线BD为x轴，直线AB为y轴建立平面直角坐标系，如图1所示．(1)求立柱AB的长度；(2)一段时间后，绳子被抻长，下垂更多，为了防止衣服碰到地面，在线段BD之间与AB相距4米的地方加上一根立柱MN撑起绳子，这时立柱左侧的抛物线的最低点相对点A下降了1米，距立柱MN也是1米，如图2所示，求MN的长；(3)若加在线段BD之间的立柱MN的长度是2.4米，并通过调整MN的位置，使抛物线的开口大小与抛物线的开口大小相同，顶点距离地面1.92米．求MN与CD的距离．【答案】(1)3(2)(3)4【解析】【分析】（1）根据AB=CD，以及抛物线图像的对称轴性可知抛物线的对称轴x=5，据此可得求出系数b和顶点坐标(5,)，再代入顶点坐标即可求出c，则抛物线与y轴的交点坐标可求，即AB可求；（2）根据题意可得抛物线F1的顶点坐标为(3,2)，则设抛物线F1的解析式为，再根据A点坐标即可求出抛物线F1的解析式为，即当x=4时即可求出MN的长；（3）设顶点坐标为(a,1.92)， M点坐标为(m,0)，根据题意有，根据抛物线F1的开口大小与抛物线的开口大小相同，设抛物线F1的解析式为，根据A(0,3)即可求出a=3.6，根据M点坐标为(m,0)，得到N点坐标为(m,2.4)，结合抛物线F1过N点，可求得m-a=2.4，即可求出m，则问题得解．(1)根据题意有B(0,0)、D(10,0)，抛物线的顶点的纵坐标为，∵AB=CD，B(0,0)、D(10,0)，∴根据题意可知抛物线的对称轴为x=5，∴，即b=，即：，∵顶点的纵坐标为，∴则抛物线的顶点坐标为(5,)，∴将(5,)代入，得：，解得c=3，即抛物线解析式：，∴当x=0时，y=3，∴抛物线与y轴的交点A坐标为：(0,3)，∴AB=3；(2)根据题意有BM=4，∵抛物线F1的顶点相对A下降了1米，顶点距离立柱MN也是1米，∴抛物线F1的顶点的纵坐标为3-1=2，横坐标为4-1=3，∴抛物线F1的顶点坐标为(3,2)，∴设抛物线F1的解析式为，∵抛物线F1与y轴交于点A(0,3)，∴代入A点坐标有：，解得，∴抛物线F1的解析式为，∵根据题意有M、N两点的横坐标相同，M(4,0)，∴当x=4时，，∴N点坐标(4,)，∴MN=；(3)根据题意有抛物线F1的纵坐标为1.92，则设顶点坐标为(a,1.92)，设M点坐标为(m,0)，根据题意有，∵抛物线F1的开口大小与抛物线的开口大小相同，∴设抛物线F1的解析式为，∵抛物线F1过A(0,3)，∴当x=0时，，解得a=3.6，∵MN=2.4，M点坐标为(m,0)，∴N点坐标为(m,2.4)，∵抛物线F1过N点，∴当x=m时，，解得m-a=2.4，∴m=a+2.4=3.6+2.4=6，即BM=6，∴MD=BD-BM=10-6=4，即MN与CD的距离为4．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及顶点式求二次函数解析式等知识，理解两个抛物线开口大小相同即是二次项系数相同以及正确表示出函数解析式是解答本题的关键．24．已知关于的二次函数．（1）求函数图象的顶点坐标；（2）若函数满足：对于任意的实数，都有成立．①求的值：②直线与函数的图象交于，两点，与函数的图象交于，两点，若对于任意的，都有，结合函数图象，直接写出的取值范围．【答案】（1）；（2）①；②【解析】【分析】（1）把函数解析式化为顶点式，从而可得答案；（2）①分别求解与的最值，再分三种情况讨论：当 逐一分析对于任意的实数，是否都有成立，从而可得答案；②分别求解当时，的顶点坐标，再确定直线过定点 从而可得当时，的图象关于对称，从而证明 再结合抛物线的图象的性质可得答案.解：（1） 函数的顶点坐标为： （2） 当时，函数取得最大值 ， 当时，函数取得最小值 当时，有 对于任意的实数，不成立．当时，最大值为 的最小值为 此时 此时： 即：对于任意的实数，都有成立．当时，有此时：对于任意的实数，不成立．综上： ②当时，，，顶点坐标分别为： 过定点，如图，关于成中心对称， 当时，与关于成中心对称， 对于抛物线，越大，抛物线的开口越小，越小，抛物线的开口越大，当的开口宽度比大时，总有 所以当 则 综上：对于任意的，都有时，【点睛】本题考查的二次函数的性质，顶点坐标，二次函数的最值，二次函数的图象，灵活运用二次函数的知识是解本题的关键.25．如图1，抛物线，其中，点A（-2，m）在该抛物线上，过点A作直线l∥x轴，与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C.（1）求m的值.（2）当a=2时，求点B的坐标.（3）如图2，以OB为对角线作菱形OPBQ，顶点P在直线l上，顶点Q在x轴上.①若PB=2AP，求a的值.②菱形OPBQ的面积的最小值是 .【答案】（1）当x=-2时，y=4a-4（a-1）=4（2）点B的坐标为（1,4）（3）① ②菱形的最小面积=16【解析】（1）把x=-2代入抛物线即可得到y的值；（2）先求出抛物线表达式，然后求出x的解；（3）利用抛物线的对称轴即可求出点B的坐标和a的值以及菱形OPBQ的面积的最小值.解：（1）当x=-2时，   （2）当a=2时，抛物线表达式为 当y=4时，， 解得 把-2舍去，点B的坐标为（1,4）（3）①当点P在线段AB上时，设CP=x，则AP=2+x,BP=OP=4+2x在Rt△OCP中，，          解得   ∴CP=0，CB=PB=4，点B的坐标是（4,4） 由题可知抛物线的对称轴：直线   又由点A与点B关于对称轴对称，则，解得当点P在射线BA上时，设CP=x，则AP=x-2,BP=OP=2x-4在Rt△OCP中，，解得（舍去），，     ∴CP=，PB=，CB=点B的坐标是（,4）由点A与点B关于对称轴对称，则，解得 ②菱形的最小面积=16“点睛”本题考查待定系数法确定二次函数解析式、二次函数性质等知识，解题的关键是由点A与点B关于对称轴对称求出a的值，会运用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．