【暑假提升】沪教版数学高一暑假-第06讲《一元二次不等式的解法》同步讲学案
展开第六讲 一元二次不等式的解法
【教学目标】
1. 掌握一元二次不等式的解法；
2. 知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组；
3. 厘清一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；
4. 学会用区间的形式表示不等式的解集.
一、应知应会
【难度系数：★★ 参考时间：10 min】
（一）知识回顾
1. 作差法比较两个实数的大小；
2. 不等式的基本性质.
（二）典例测试
1. 设，且则与的大小关系是 . 【答案】
2. ，则从小到大的排列是 . 【答案】
3. 已知，则的取值范围是 . 【答案】
4. 是互异的四个正数中最大的数，且 ，则与的大小关系是 .
【答案】
（三）引入
以前我们学习过一元一次不等式的解法，结合一次函数的图像我们能够得到一元一次不等式解集如下：
（1）当时，一元一次不等式的解集是，一元一次不等式的解集是. （2）当时，一元一次不等式的解集是；一元一次不等式的解集是. |
一元二次不等式的形式是怎么样的呢？又如何求解呢？
二、知识梳理
【难度系数：★★ 参考时间：15 min】
（1）一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次，这样的不等式叫做一元二次不等式（second oRdeR inequality with one unknown），它的一般形式为或.
（2）一元二次不等式的解法
法1：把或先分解因式，借用初中学过的积的符号法则将其实现等价转化一次不等式组，进而求出其解集的并集.
法2：利用一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的内在关系，结合二次函数的图像，研究不等式在、和时各种解集的情况.
二次函数 的图象 | |||
一元二次方程 的根 | 有两实根 或 | 有两相等的实根 【重根】 | 无实根 |
不等式 的解集 | 【两根之外】 | ||
不等式 的解集 | 【两根之间】 |
思考：若，则一元二次不等式及其解集如何？
三、典型例题
【难度系数：★★ 参考时间：30 min】
例1. 求不等式的解集（1）； （2）.
【答案】（1）； （2）
例2. 解下列不等式：
（1）； （2）； （3）.
【答案】（1）； （2）； （3）
【小结】解一元二次不等式的步骤：先判断二次项系数的正负，再看判别式，最后比较根的大小. 解集要么为【两根之外】，要么为【两根之间】. 具体地：
①设不等式，对应方程有两个不等实根和，且，则不等式的解为：或（两根之外）
②设不等式，对应方程有两个不等实根和，且，则不等式的解为： （两根之间）
【注】①若不等式中，可在不等式两边乘转化为二次项系数为正的情况，然后再按上述①②进行；②解一元二次不等式要结合二次函数的图象，突出配方法和因式分解法.
例3. 解关于的不等式：
（1） （2）
【答案】（1）当时，或；当时，；当时，或
（2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为；当时，解集为.
【小结】解含参数的一元二次不等式时，一般要对参数进行分类讨论，分类讨论取决于：
①不等式的二次项系数决定对应的二次函数的抛物线开口方向；
②由含参数的判别式，决定解的情况；
③比较含参数的两根的大小.
例4. 解不等式组：.
【答案】
【注】解不等式时，要注意不等式的解集的处理，看清楚是取交集还是并集，然后借助数轴，并注意区间的开闭性及其正确表示.
例5. 某服装公司生产的衬衫， 每件定价80元， 在某城市年销售8万件. 现该公司在该市设立代理商来销售衬衫. 代理商要收取代销费， 代销费为销售金额的（即每销售100元收取元）. 为此， 该衬衫每件价格要提高到元才能保证公司利润， 由于提价每年将少销售万件， 如果代理商每年收取的代理费不小于16万， 求的取值范围.
【答案】
【提示】单价，年销量年销售额，
年代理费
例6. （1）若不等式的解集是，求的值；
（2）已知不等式的解集为，求不等式的解集.
【答案】（1）；（2）
【解析】教科书式步骤示范
（2）由题意得，一元二次方程两根为2和3
由韦达定理，得.
可化为.
的解集为，，
，即，其解集为.
例7. （1）已知，
I. 如果对一切，恒成立，求实数的取值范围；
II. 如果对，恒成立，求实数的取值范围.
（2）已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）I. ；II. ；（2）
【提示】（1）II. 【前后呼应】链接P109【定区间动轴】开口向上，求二次函数最小值
“对称轴漂流记”，对称轴，①；②；③
（2）分类讨论：①；②
A组 双基过关
【难度系数：★★ 参考时间：15 min】
- 不等式的解集是 . 【答案】
2. 不等式的解集是，则实数 ， . 【答案】，
3. 二次函数部分对应值如下表：
x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
y | 6 | 0 | -4 | -6 | -6 | -4 | 0 | 6 |
则不等式的解集是 . 【答案】
【提示】对称轴，“左右护法”
- 关于的不等式的解集只有一个元素，则实数 . 【答案】
5. 不等式的解集是………………………………………………………………（ A ）
A. B.
C. D.
6. 不等式对恒成立，则的取值范围是…………………（ B ）
A. B. C. D.
7. 已知的不等式，其中，则它的解是……………………… （ A ）
A. B. C. D.
8. 解不等式.
【答案】
B组 巩固提高
【难度系数：★★★ 参考时间：15 min】
- 若不等式的解集为R，则实数的取值范围是…………………（ B ）
A. B. C. D.
2. 关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 …………………………………………………………………………………………………… （ B ）
A. B.
C. D.
3. 一元二次不等式的解集是，则的值是………………………（ D ）
A. 10 B. −10 C. 14 D. −14
- 若不等式的解集是，那么实数的值是………………（ C ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
- 满足不等式的的取值范围是__________________.
【答案】 【提示】函数，方程，不等式
6. 不等式的解集是，则不等式的解集是_________________. 【答案】 【提示】，等价变形
C组 拓展延伸
【难度系数：★★★★ 参考时间：20 min】
1. 函数的定义域为，则实数的取值范围是 .
【答案】
2. 已知，且，则的取值范围是 .
【答案】
3. 是一元二次不等式的解集为的……………………………… （ B ）
. 充分非必要条件 . 必要非充分条件
. 充要条件 . 既非充分也非必要条件
4. 已知不等式的解集是，不等式的解集是，不等式的解集是，那么…………………………………………………………………………… （ A ）
. . 1 . . 3
5. 关于的方程的一根比1大，另一根比1小，则………………… （ C ）
. . 或
. . 或
【科普】一元二次方程根的分布P109【不同区间，只看三点】
6. 不等式的解集是，求不等式的解集.
【答案】
7. 关于的不等式.
【答案】①时，；
②时，；
③时，.
8. 设函数.
（1）若对一切实数，恒成立，求实数的取值范围；
（2）若对于一切，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【提示】（2）知道谁的范围，谁就是主元【C位】；求谁的范围，谁就是参数【辅助】
设，由，得
9. 关于的一元二次方程有两实数根，且，求实数的取值范围.
【答案】
【科普】一元二次方程根的分布P109
【提示】不同区间，只看端点
D组 综合训练
【难度系数：★★★ 参考时间：30 min】
- 不等式的解集是……………………………………………………………… （ C ）
A. B.
C. D. R
2. 已知集合，，则………………………… （ B ）
A. B. C. D.
3. 若不等式的解集为，则不等式 的解集为（ C ）
A. B. 或
C. D. 或
4. 设实数，关于的一元二次不等式 的解集为（ B ）
A. B. C. D.
5. 已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为R，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
6. 已知的图象过点，且.
（1）求函数的解析式；
（2）若，解关于的不等式.
【答案】（1）.
（2）①当时，原不等式的解集为；
②当时，原不等式的解集为；
③当时，原不等式的解集为.
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