【暑假提升】(人教A版2019)数学高一（升高二）暑假-第04讲《空间向量及其运算》讲学案

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第04讲 空间向量及其运算
【知识点梳理】
知识点一：空间向量的有关概念
1．空间向量
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度或模：空间向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||.
知识点诠释：
（1）空间中点的一个平移就是一个向量；
（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。
2．几类常见的空间向量
名称
方向
模
记法
零向量
任意
0
0
单位向量
任意
1

相反向量
相反
相等
a的相反向量：－a
的相反向量：
相等向量
相同
相等
a＝b
知识点二：空间向量的线性运算
(1)向量的加法、减法
空间向量的运算
加法
＝＋＝a＋b

减法
＝－＝a－b
加法运算律
①交换律：a＋b＝b＋a
②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
(2)空间向量的数乘运算
①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
当λ>0时，λa与向量a方向相同；
当λ<0时，λa与向量a方向相反；
当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．
②运算律
结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
知识点诠释：
（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；
（2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则．
（3）空间向量加法的运算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，
即：
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，
即：；


知识点三：共线问题
共线向量
(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．
(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.
(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.
(4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa.

知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题：
（1）存在唯一实数，使得；
（2）存在唯一实数，使得，则．
注意：不可丢掉，否则实数就不唯一．
（3）共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；（进而证线面平行）
②证明三点共线。
注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。
知识点四：向量共面问题
共面向量
(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．
(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y.
（4）共面向量定理的用途：
①证明四点共面
②线面平行（进而证面面平行）。
知识点五：空间向量数量积的运算
空间向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积为0.
(2)常用结论(a，b为非零向量)
①a⊥b⇔a·b＝0.
②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.
③cos〈a，b〉＝.
(3)数量积的运算律
数乘向量与数量积的结合律
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
交换律
a·b＝b·a
分配律
a·(b＋c)＝a·b＋a·c
知识点诠释：
（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．
（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．
知识点六：利用数量积证明空间垂直关系
当a⊥b时，a·b＝0.
知识点七：夹角问题
1.定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。

根据空间两个向量数量积的定义：，
那么空间两个向量、的夹角的余弦。
知识点诠释：
（1）规定:
（2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向;如果,那么与垂直,记作。
2.利用空间向量求异面直线所成的角
异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。
在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。
知识点八：空间向量的长度
1. 定义：
在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：
将其推广：
；。
2.利用向量求线段的长度。
将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。

【题型归纳目录】
题型一：空间向量的有关概念及线性运算
题型二：共线向量定理的应用
题型三：共面向量及应用
题型四：空间向量的数量积
题型五：利用空间向量的数量积求两向量的夹角
题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度



【典型例题】
题型一：空间向量的有关概念及线性运算
1．（2022·全国·高二课时练习）下列说法正确的是（       ）
A．零向量没有方向
B．空间向量不可以平行移动
C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
2．（2022·全国·高二课时练习）下列命题为真命题的是（       ）
A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B．若，则､的长度相等且方向相同
C．若向量､满足，且与同向，则
D．若两个非零向量与满足，则.
3．（2022·全国·高二课时练习）化简所得的结果是（       ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高二课时练习）正六棱柱中，设，，，那么等于（       ）
A． B． C． D．
5．（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（       ）

A． B．
C． D．
（多选题）6．（2022·福建宁德·高二期中）如图正四棱柱，则下列向量相等的是（       ）

A．与 B．与
C．与 D．与
7．（2022·全国·高二课时练习）在长方体中，若，，，则与有相等模的向量共有______个．
8．（2022·全国·高二课时练习）若、、、为空间不同的四点，则下列各式为零向量的序号是_______．
①；②；
③；④．
9．（2022·全国·高二课时练习）化简算式：______．
10．（2022·全国·高二课时练习）已知为正方体且，，，则______．
11．（2022·全国·高二课时练习）平行六面体中，若，，，那么______．
12．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在长方体中，E为棱上任意一点.只考虑以长方体的八个顶点及点E的两点为始点和终点的向量，分别写出：


(1)的相等向量，的负向量；
(2)用另外两个向量的和或差表示；
(3)用三个或三个以上向量的和表示（举两个例子）.
13．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在以长方体的八个顶点的两点为始点和终点的向量中．

(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量．
14．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC､BD､EF，点E､F､G分别是BC､CD､DB的中点，请化简下列算式，并标出化简得到的向量.

(1)；
(2).
题型二：共线向量定理的应用
1．（2022·全国·高二课时练习）已知空间四边形ABCD，点E､F分别是AB与AD边上的点，M､N分别是BC与CD边上的点，若，，，，则向量与满足的关系为（       ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高二课时练习）若，，，则､､（       ）
A．可组成锐角三角形 B．可组成直角三角形
C．可组成钝角三角形 D．不构成三角形
3．（2022·全国·高二）若空间中任意四点O，A，B，P满足，其中m＋n＝1，则（       ）
A．P∈AB B．P∉AB
C．点P可能在直线AB上 D．以上都不对
4．（2022·全国·高二）下列命题中正确的是（       ）.
A．若与共线，与共线，则与共线.
B．向量，，共面，即它们所在的直线共面
C．若两个非零空间向量与满足，则
D．若，则存在唯一的实数，使
5．（2022·江苏·高二课时练习）（多选题）下列命题中不正确的是（            ）
A．若与共线，与共线，则与共线
B．向量，， 共面，即它们所在的直线共面
C．若两个非零空间向量，，满足，则∥
D．若∥，则存在唯一的实数λ，使=λ
6．（2022·全国·高二课时练习）在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心，若，则______．
7．（2022·江苏·高二课时练习）设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数______．．
8．（2022·全国·高二课时练习）已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ+m+n=，那么λ+m+n的值为________.
9．（2022·全国·高二课时练习）已知非零向量，不共线，则使与共线的的值是________．
10．（2022·全国·高二课时练习）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？

11．（2022·湖南·高二课时练习）如图，已知M，N分别为四面体A－BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3. 求证：B，G，N三点共线．

12．（2022·湖南·高二课时练习）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线．
题型三：共面向量及应用
1．（2022·上海市控江中学高二期中）下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（       ）
A． B．
C． D．
2．（2022·江苏常州·高二期中）对于空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（       ）
A．一定不共面 B．一定共面
C．不一定共面 D．与点位置有关
3．（2022·江苏·高二课时练习）A，B，C三点不共线，对空间内任意一点O，若，则P，A，B，C四点（       ）
A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断是否共面
4．（2022·江苏· 高二期中）已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（       ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高二课时练习）已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（       ）
A．2 B． C．1 D．
6．（2022·全国·高二课时练习）已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数等于_________．
7．（2022·全国·高二课时练习）O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝______．
8．（2022·全国·高二课时练习）已知是空间任一点，四点满足任三点均不共线，但四点共面，且，则________.
9．（2022·江苏·高二课时练习）如图四棱锥中，四边形为菱形，，则______．

10．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值.

11．（2022·江西南昌·高二期中（理））已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量，，，.
(1)求证：四点共面；
(2)平面平面.
12．（2022·全国·高二课时练习）在长方体中，E是棱的中点，O是面对角线与的交点．试判断向量与、是否共面．
13．（2022·全国·高二课时练习）已知向量不共面，并且，判断向量是否共面，并说明理由．
14．（2022·湖南·高二课时练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使．求证：E，F，G，H四点共面．

题型四：空间向量的数量积
1．（2022·江苏徐州·高二期中）如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（       ）

A．1 B． C． D．
（多选题）2．（2022·全国·高二课时练习）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（       ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高二课时练习）在棱长为2的正四面体中，点满足，点满足，则点与平面的位置关系是______；当最小且最小时，______．
4．（2022·全国·高二课时练习）化简：________.
5．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高二阶段练习）在三棱锥中，已知，，，则___________
6．（2022·江苏·沛县教师发展中心高二期中）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点，分别是，的中点，则的值为_________.
7．（2022·全国·高二单元测试）在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，_______．
8．（2022·全国·高二课时练习）已知空间四边形中，，则______．
9．（2022·全国·高二课时练习）三棱锥中，，，，则______．

10．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，若E､F分别是AB､AD的中点，则___________，___________，___________，___________.

11．（2022·河南焦作·高二期末（理））已知在四面体ABCD中，，，则______．
12．（2022·江苏·高二课时练习）如图，在三棱锥中，平面，，，．

(1)确定在平面上的投影向量，并求；
(2)确定在上的投影向量，并求．
13．（2022·全国·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，G、H分别是侧面和的中心．设，，．

(1)用向量、、表示、；
(2)求；
(3)判断与是否垂直．
题型五：利用空间向量的数量积求两向量的夹角
1．（2022·全国·高二）在正四面体中，、分别为棱、中点，则异面直线与所成角的余弦值为（            ）

A． B． C． D．
2．（2022·湖北·荆门市龙泉中学高二期中）在平行六面体中，，，，，则（       ）
A． B． C．0 D．
3．（2022·湖南·高二期末）如图所示，平行六面体中，，，若线段，则（       ）


A．30° B．45° C．60° D．90°
4．（2022·江苏·高二课时练习）已知空间向量满足，，则与的夹角为（       ）
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不对
5．（2022·全国·高二课时练习）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（       ）

A．
B．
C．向量与的夹角是
D．与所成角的余弦值为
6．（2022·全国·高二期末）若向量，，，夹角为钝角，则的取值范围是______.
7．（2022·河南濮阳·高二开学考试（理））空间四边形 ， ， ，则 的值为__________．
8．（2022·全国·高二课时练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点．

(1)求；
(2)求与的夹角的大小；
(3)判断与是否垂直．
9．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长度为4，且.用向量法求:

(1)的长;
(2)直线与所成角的余弦值.
10．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高二期末）平行六面体，

(1)若，，，，，，求长；
(2)若以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则AC与所成角的余弦值．
11．（2022·全国·高二课时练习）已知是空间向量，根据下列各条件分别求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
12．（2022·全国·高二课时练习）已知都是空间向量，且，求.
13．（2022·全国·高二课时练习）已知在平行六面体中，，，，且.

（1）求的长；
（2）求与夹角的余弦值.
14．（2022·全国·高二课时练习）如图，平行六面体中，，，与AB、AD的夹角都为求：

（1）的长；   
（2）与AC所成的角的余弦值．
题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度
1．（2022·辽宁·辽河油田第一高级中学高二期末）在平形六面体中，其中，，，，，则的长为（       ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖北·高二期末）若、、为空间三个单位向量，，且与、所成的角均为，则（       ）
A．5 B． C． D．
（多选题）3．（2022·全国·高二）在四棱柱中，底面是边长为1的正方形，，则下列选项正确的是（       ）

A． B．
C．若，则 D．若直线与交于点O，则
4．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））如图，在平行六面体中，，，，，，点为棱的中点，则线段的长为______．

5．（2022·江苏省响水中学高二期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为__________.

6．（2022·全国·高二课时练习）设空间中有四个互异的点A､B､C､D，若，则的形状是___________.
7．（2022·四川·南部县第二中学高二阶段练习（理））已知空间向量､､是两两互相垂直的单位向量，=___________.
8．（2022·江苏·扬州中学高二期中）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为，且两两夹角为，则的长为________.
9．（2022·江苏·沛县教师发展中心高二阶段练习）如图：二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，则的长等于__________.

10．（2022·浙江·义乌市商城学校高二阶段练习）如图，二面角等于，A、是棱l上两点，BD、AC分别在半平面、内，，，且，则CD的长等于________.

11．（2022·辽宁丹东·高二期末）六面体的所有棱长都为2，底面ABCD是正方形，AC与BD的交点是O，若，则___________.
12．（2022·江苏宿迁·高二阶段练习）如图，三棱柱中，，，点，分别在和上，且满足，.

(1)证明：平面；
(2)若为中点，求的长.
13．（2022·全国·高二课时练习）已知三个平面两两垂直且交于点O，若空间一点P到三个平面的距离分别为2，3，6，则线段OP的长度为多少？
14．（2022·湖南·高二课时练习）如图，已知平行六面体中，，，，，求的长．

15．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知在平面内，D是斜边的中点，，且O到平面的距离为，，，求线段的长.

16．（2022·浙江·乐清市第二中学高二阶段练习）如图，棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形），是棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，.

(1)用向量，，表示；
(2)求.