【暑假提升】(人教A版2019)数学高一（升高二）暑假-1.2《第1课时 空间向量基本定理》讲学案（必修1）

1.2　空间向量基本定理

第1课时　空间向量基本定理

知识点一　空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，

使得p＝xa＋yb＋zc.

我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．

知识点二　空间向量的正交分解

1．单位正交基底

如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示．

2．向量的正交分解

由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．

题型一、空间的基底

1．设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（     ）

A．，， B．，， C．，， D．，，

3．已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使向量，，成为空间的一个基底的是（       ）

A． B．

C． D．

4．已知向量、、可以构成空间向量的一组基底，则这三个向量中哪一个向量可以与向量和向量构成空间向量的另一组基底？

5．（多选）设是空间的一组基底，则下列结论正确的是（       ）

A．基底中的向量可以为任意向量

B．空间中任一向量，存在唯一有序实数组，使

C．两两共面

D．也可以构成空间的一组基底

题型二、用空间基底表示向量

1．如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（       ）

A． B．

C． D．

2．在四面体中，，，，点在上，且，是的中点，则（       ）

A． B．

C． D．

3．如图，在平行六面体中，，，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点在线段上，且，记，，．试用，，表示．

4．如图，在正方体中，点E是AB与OD的交点，M是与CE的交点，试分别用向量，，表示向量和．

1．在长方体中，可以作为空间向量一个基底的是(        )

A．          B．          C．          D．

2．若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（       ）

A． B．

C． D．

3．（多选）若向量构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（       ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

4．下列命题中正确的个数是（       ）．

①若与共线，与共线，则与共线．

②向量，，共面，即它们所在的直线共面．

③如果三个向量，，不共面，那么对于空间任意一个向量，存在有序实数组，使得．

④若，是两个不共线的向量，而（且），则是空间向量的一组基底．

A．0 B．1 C．2 D．3

5．（多选）下列命题中，不正确的命题有（       ）

A．是共线的充要条件

B．若，则存在唯一的实数，使得

C．若A，B，C不共线，且，则P，A，B、C四点共面

D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底

6．在四面体中，，点在上，且为中点，则（       ）

A． B．

C． D．

7．如图，在三棱锥中，设，若，则=（            ）

A． B．

C． D．

8．如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（            ）

A． B．

C． D．

9．如图所示，已知在三棱锥中，向量，，，已知M为BC的中点，试用、、表示向量．

1．已知，，是不共面的三个向量，下列能构成一组基的是（       ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

2．设向量是空间一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是　　

A． B． C． D．或

3．已知是空间的一个基底，若，则下列可以为空间一个基底的是（       ）

A．  B． C． D．

4．在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（       ）

A． B． C． D．

5．在四棱柱中，，，则（       ）

A． B．

C． D．

6．如图，在平行六面体中，为和的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（       ）

A． B． C． D．

7．如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（       ）

A． B．=

C．= D．=

8．（多选）已知是空间中的一个基底，则下列说法正确的是（       ）

A．存在不全为零的实数，，，使得

B．对空间任一向量，存在唯一的有序实数组，使得

C．在，，中，能与，构成空间另一个基底的只有

D．不存在另一个基底，使得

9．（多选）如图，在长方体中，、、分别是棱、、上的点，且满足，，，则（       ）

A． B．

C． D．

10．若为空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是______．（填序号）

①，，；             ②，，；

③，，；                    ④，，．

11．如图，在四面体中，是的中点，设，，，请用､､的线性组合表示___________.

12．在长方体中，是的中点．

(1)设，，，用向量、、表示；

(2)设，，，用向量、、表示．

13．如下图所示，平行六面体，且，，．设、分别是侧面和的中心，用，，表示．

14．如图，在平行六面体中，P是的中点，点Q在上，且，设，，.试用､､表示､.

15．如图，在三棱柱中，M是的中点.，，.将向量､分别表示为､､的线性组合.

16．如图，在平行六面体中，点E，F分别是棱和的中点，以，，为基底表示．

17．如图，四面体中，，D为的中点，E为的中点，将用向量表示出来.