【暑假小初衔接】浙教版数学六年级（六升七）暑假预习-第02讲《绝对值及有理数的大小比较》同步讲学案

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第02讲 绝对值及有理数的大小比较

一、绝对值
1．定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.
要点：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：

（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
2．性质：
（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．
（2）互为相反数的两个数的绝对值相等.
（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
二、有理数的大小比较
1．数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．
2．法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
两数同号
同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号
正数大于负数
－数为0
正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0
要点：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．
3． 作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．
4． 求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．
5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．



例1．下列各式中，不成立的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据绝对值的意义直接进行排除选项即可．
解：A、，故此选项不符合题意；
B、，，则，故此选项不符合题意；
C、，，则，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意．
故选D．
【点睛】
本题考查了绝对值：若a＞0，则；若a＝0，则；若a＜0，则．
例2．下列各数中，正数的个数是（  ）   

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据绝对值和相反数的意义分别化简各数，再根据正数的定义判断即可．
解：|－5|＝5＞0，－（－1）＝1＞0，－|－3|＝－3＜0，－（－4）＝4＞0，
∴正数有：|－5|，－（－1），－（－4），共3个．
故选：B．
【点睛】
本题考查了绝对值和相反数的意义以及正数的定义，熟练掌握绝对值和相反数的意义以及正数的定义是解决本题的关键，注意，大于0的叫正数，小于0的叫负数，0既不是正数也不是负数．
例3．绝对值等于它本身的数是（       ）
A．正数 B．负数 C．零 D．以上答案都不对
【答案】D
【解析】
【分析】
根据绝对值的性质解答．一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
解：绝对值等于它本身的数是0和正数．
故选：D．
【点睛】
本题考查了绝对值的性质，解题的关键是同时要明确绝对值的定义：数轴上的点到原点距离叫表示该点的数的绝对值．
例4．若．则的相反数是（       ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据绝对值的性质求出a、b的值，计算出，再根据相反数的定义解答．
解：∵，
∴a-1=0，b-2=0，
∴a=1，b=2，
∴=1+2=3，
∴的相反数是-3，
故选：C．
【点睛】
此题考查绝对值的性质，相反数的定义，熟记绝对值的性质是解题的关键．
例5．下列说法正确的是（       ）
A．一个数的绝对值的相反数一定不是负数 B．一个数的绝对值不是负数
C．一个数的绝对值是正数 D．一个数的绝对值一定是非正数
【答案】B
【解析】
【分析】
根据绝对值和相反数的定义进行逐一判断即可．
解：A、一个数的绝对值的相反数一定不是正数，故此说法不符合题意；
B、一个数的绝对值不是负数，故此说法符合题意；
C、一个数的绝对值是正数或0，故此说法不符合题意；
D、一个数的绝对值一定是非负数，故此说法不符合题意．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了绝对值和相反数的定义，解题的关键在于能够熟练掌握：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
例6．若，则m是（       ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数
【答案】C
【解析】
【分析】
根据绝对值的意义判断即可．
解：当即时，则m≥0，即m是非负数；
故选C．
【点睛】
本题考查了有理数的绝对值，属于常考题型，熟练掌握绝对值的意义是关键．
例7．下列说法中，正确的是（       ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．，则
【答案】D
【解析】
【分析】
根据绝对值的意义逐项判断即可．
A.若，则，但，故A错误；
B.若，则，但，故B错误；
C.若，则，但，故C错误；
D.若，则，故D正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了绝对值，明确绝对值的意义是解题的关键．
例8．如果a+b+c=0，且|a|＞|b|＞|c|．则下列说法中可能成立的是（　　）
A．b为正数，c为负数 B．c为正数，b为负数
C．c为正数，a为负数 D．c为负数，a为负数
【答案】C
【解析】
分析：根据不等式|a|＞|b|＞|c|及等式a+b+c=0，利用特殊值法，验证即得到正确答案．
详解：由题目答案可知a，b，c三数中只有两正一负或两负一正两种情况，
如果假设两负一正情况合理，
要使a+b+c=0成立，
则必是b＜0、c＜0、a＞0，
否则a+b+c≠0，
但题中并无此答案，则假设不成立，D被否定，
于是应在两正一负的答案中寻找正确答案，
若a，b为正数，c为负数时，
则：|a|+|b|＞|c|，
∴a+b+c≠0，
∴A被否定，
若a，c为正数，b为负数时，
则：|a|+|c|＞|b|，
∴a+b+c≠0，
∴B被否定，
只有C符合题意．
故选C．
点睛：本题考查绝对值数及不等式，需要一步步进行推理验证，每一个环节都需要认真推敲．
例9．在0，，0.05这四个数中，最小的数是（　　）
A．0 B． C． D．0.05
【答案】C
【解析】
【分析】
根据负数＜0＜正数确定有理数的大小判断即可．
解：∵＜＜0＜0.05
∴在0，，，0.05这四个数中，最小的数是，
故选：C．
【点睛】
本题考查有理数的大小比较，熟练掌握负数＜0＜正数是解题的关键．
例10．如果，那么下列结论成立的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据的值逐个判断各选项即可．
解：因为，所以，A、B选项错误，不符合题意；
，，，所以，C选项正确，符合题意，D选项错误，不符合题意；
故选C
【点睛】
此题考查了绝对值以及有理数大小的比较，熟练掌握有理数的有关性质是解题的关键．
例11．比较的大小，下列正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小，可得答案．
解：，根据正数大于负数，可知最大；
，根据负数比较大小，绝对值大的反而小，
可得，
所以．
故选C．
【点睛】
本题考查了有理数大小比较，先化简，再比较大小．掌握比较方法是关键：正数大于0，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小.
例12．在﹣2，﹣1，0，1这四个整数中，绝对值最小的整数为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【答案】C
【解析】
【分析】
﹣2，﹣1，0，1的绝对值分别是2，1，0，1，
根据有理数比较大小的方法，可得
0＜1＜2，
∴在﹣2，﹣1，0，1这四个数中，绝对值最小的整数为0．
故选：C．
例13．下列四个式子，正确的是（       ）
①；②；③；④．
A．③④ B．① C．①② D．②③
【答案】D
【解析】
【分析】
利用绝对值的性质去掉绝对值符号，再根据正数大于负数，两个负数比较大小，大的数反而小，可得答案．
①∵，
，
∴，故①错误；
②∵，，
，
∴，故②正确；
③∵，
，
∴，故③正确；
④∵，，
，
∴，故④错误．
综上，正确的有：②③．
故选：D．
【点睛】
本题考查了绝对值的化简以及有理数大小比较，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
例14．实效m，n在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
从数轴上可以看出m、n都是负数，且m＜n，由此逐项分析得出结论即可．
解：因为m、n都是负数，且m＜n，|m|＞|n|，
A、m＞n是错误的；
B、-n＞|m|是错误的；
C、-m＞|n|是正确的；
D、|m|＜|n|是错误的．
故选C．
【点睛】
此题考查有理数的大小比较，关键是根据绝对值的意义等知识解答．
例15．如果a为整数，且，那么a的值为（       ）
A．或0或1 B．1或0 C．或0 D．0或1或2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件确定，再根据a是整数得到a的值.
因为，所以．因为a是整数，所以或0或1，
故选：A.
【点睛】
此题考查有理数的绝对值的性质以及有理数的大小比较，此题中确定a的取值范围是解题的关键.
例16．把几个互不相同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4，7，…}，…，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，2018﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为对称集合，例如{2，2016}就是一个对称集合，若一个对称集合所有元素之和为整数M，且23117＜M＜23897，则该集合总共的元素个数是（　　）
A．22 B．23 C．24 D．25
【答案】B
【解析】
分析：根据题意可知对称集合都是成对出现的，并且这对对应元素的和为2018，然后通过估算即可解答本题．
详解：∵在对称集合中，如果一个元素为a，则另一个元素为2018-a，
∴对称集合中的每一对对应元素的和为：a+2018-a=2018，2018×11=22198，2018×11.5=23207，2018×12=24216，
又∵一个对称集合所有元素之和为整数M，且23117＜M＜23897，
∴该集合总共的元素个数是11.5×2=23．
故选B．
点睛：本题考查有理数、是探究性问题，关键是明确什么是对称集合，集合中的各个数都是元素，明确对称集合中的元素个数，在此还要应用到估算的知识．

一、单选题
1．的绝对值是（     ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根据绝对值的性质计算即可得出答案．
由题意得：．
故选：B．
【点睛】
本题考查了绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质．
2．有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则的值为（   ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据数轴，首先确定的大致范围，再根据绝对值的意义，相反数的定义即可求出答案．
解：由图可得，，
，
．
故选：C．
【点睛】
本题考查了数轴、绝对值和相反数的知识，能够理解和熟练应用相关知识点是解题的关键．
3．如果一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数一定是（       ）
A．正数 B．负数 C．正数或零 D．负数或零
【答案】D
【解析】
【分析】
直接根据绝对值的意义求解．
解：∵一个数的绝对值等于这个数的相反数，
∴这个数为零或负数．
故选：D．
【点睛】
本题考查了绝对值的意义，解决本题的关键是熟记负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0．
4．若，则x的值是（       ）
A．22 B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据绝对值的意义求解即可．
解：∵，
∴x=22或x=-22，
故选：C．
【点睛】
本题考查绝对值的意义，属于基础题，熟练掌握绝对值的意义即可求解．
5．m与互为相反数，则m的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可得，即可求解．
解：∵m与互为相反数，
∴

故选：C．
【点睛】
本题考查相反数的概念，解题的关键是掌握两数互为相反数，它们的和为0．
6．如图，表示绝对值相等的数的两个点是（       ）

A．点C与点B B．点C与点D C．点A与点B D．点A与点D
【答案】D
【解析】
【分析】
根据数轴可以把A、B、C、D四个点表示的数写出来，然后根据写出的数即可得到那两个数的绝对值相等，从而可以得到问题的答案．
解：由数轴可得，点A、B、C、D在数轴上对应的数依次是：−3，2，-1，3，
则|−3|＝|3|，
故点A与点D表示的数的绝对值相等，
故选：D．
【点睛】
本题考查数轴，解题的关键是利用数形结合的思想找出所求问题需要的条件．
7．若有理数a的值在与之间，则a的值可以是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据有理数大小比较的法则解答即可．
解：，
，
若有理数的值在与之间，则的值可以是．
故选：D．
【点睛】
本题考查了有理数大小比较，要熟练掌握并正确运用有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小．
8．无理数在数轴上位置的描述，正确的是（          ）
A．在点的左边 B．在点的右边
C．和原点的距离小于3 D．和原点的距离大于3
【答案】D
【解析】
【分析】
比较-和选项中的数的大小，依据右边的数总是大于左边的数即可判断．
A．，则-在-4的右边，故A项错误；
B．，则-在-3的左边边，故B项错误；
C．-和原点的距离是π，，故C项错误；
D．-和原点的距离是π，，故D项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了实数的大小比较，理解数轴上右边数的总是大于左边的数是解题的关键．
9．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则a、﹣a、|b|的大小关系为当（       ）

A．﹣a＜a＜|b| B．a＜﹣a＜|b| C．|b|＜a＜﹣a D．a＜|b|＜﹣a
【答案】B
【解析】
【分析】
数轴上a、b的位置得出a0，|a|0，|b|>-a，根据以上结论即可求出答案．
解：由数轴可知：a0，|a|0，|b|>-a
∴a，-a，|b|的大小关系为a