【暑假小初衔接】人教版数学六年级（六升七）暑假预习-第02讲《有理数和数轴》同步讲学案

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第2讲 有理数和数轴

一、有理数的分类

按照性质分类
按照符号分类
分类


【注意】1. 所有的分数都是有理数；
2. π是无理数，所以不是分数；
3. 正数 和 0 统称为非负数； 负数 和 零 统称为非正数。

题型一：有理数的概念
【例1】在，，，0，中，有理数有（    ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据有理数的定义，即可求解，分数与整数统称为有理数．
【详解】解：在，，，0，中，有理数有，，，0，共4个
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的定义，理解有理数的定义是解题的关键．
[变式1]在数π，0，，，，25中，有理数有（    ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据有理数的概念进行解答．
【详解】解：π不是有理数；
0，25，是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
，，是有限小数，属于有理数；
故有理数有0，，，，25，共5个．
故选：D．
【点睛】本题考查的是认识有理数问题，关键是能判断一个数是否是有理数．
[变式2]下列结论正确的是（    ）
A．有理数包括正数和负数
B．有理数包括整数和分数
C．是最小的整数
D．两个有理数的绝对值相等，则这两个有理数也相等
【答案】B
【分析】根据有理数的相关联的知识点分析判断即可．
【详解】∵有理数包括正有理数，零和负有理数，
∴A错误，不符合题意；
∵有理数包括整数和分数，
∴B正确，符合题意；
∵没有最小的整数，
∴C错误，不符合题意；
∵两个有理数的绝对值相等，则这两个有理数相等或互为相反数，
∴D错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了有理数的相关概念，正确理解相关概念是解题的关键．
题型二：“0”的意义
【例2】下列说法正确的是（    ）
A．0既不是正数，也不是负数 B．非负数就是正数
C．一个数前面加上“”号这个数就是负数 D．正数和负数统称为有理数
【答案】A
【分析】根据有理数的有关概念判断即可．
【详解】解：A、0既不是正数，也不是负数，故符合题意；
B、非负数就是0和正数，故不符合题意；
C、一个数前面加上“”号，这个数不一定是负数，如，故不符合题意；
D、零和正数和负数统称为有理数，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查有理数，关键是根据有理数的有关概念判断．
[变式1]下列说法错误的是（    ）
A．0既不是正数，也不是负数
B．零上4摄氏度可以写成，也可以写成
C．若盈利100元记作元，则元表示亏损20元
D．向正北走一定用正数表示，向正南走一定用负数表示
【答案】D
【分析】根据0的特征、正负数的意义和相反意义的量进行判断即可．
【详解】解：A．0既不是正数，也不是负数，故选项正确，不符合题意；
B．零上4摄氏度可以写成，也可以写成，故选项正确，不符合题意；
C．若盈利100元记作元，则元表示亏损20元，故选项正确，不符合题意；
D．规定向正北走用正数表示，向正南走才用负数表示，故选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了0的特征、正负数的意义和相反意义的量，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．
[变式2]下列语句正确的是（　　）
①一个数前面加上“”号，这个数就是负数；
②如果是正数，那么一定是负数；
③一个有理数不是正的就是负的；
④表示没有温度；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】根据正负数的定义和0的意义进行逐一判断即可．
【详解】解：①一个正数前面加上“”号，这个数就是负数，说法错误；
②如果是正数，那么一定是负数，说法正确；
③0是有理数，但是0既不是正数也不是负数，说法错误；
④表示有温度，说法错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查了正负数的定义和0的意义，熟知相关知识是解题的关键．
题型三：有理数的分类
【例3】下列说法中错误的是（　　）
A．圆周率π是无限不循环小数，它不是有理数 B．负整数和负分数统称为负有理数
C．正有理数和负有理数组成全体有理数 D．不是分数，是整数
【答案】C
【分析】根据有理数的定义及分类方法分析即可．
【详解】A．圆周率π是无限不循环小数，它不是有理数，正确，不符合题意；
B．负整数和负分数统称为负有理数，正确，不符合题意；
C．正有理数，0和负有理数组成全体有理数，故不正确，符合题意；
D．不是分数，是整数，正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的两种分类方式是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数．
[变式1]在有理数中，整数一共有（    ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据整数的定义，即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得：属于整数，
整数一共有4个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了有理数，利用整数的定义是解题的关键．
[变式2]是（   ）
A．有理数 B．整数 C．有限小数 D．无理数
【答案】A
【分析】根据有理数的分类，进行判断即可．
【详解】解：是无限循环小数，是有理数；
故选：A．
【点睛】本题考查有理数的分类．熟练掌握有理数的分类方法，是解题的关键．
题型四：“0”的意义
【例4】下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④是无限循环小数；⑤正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法为（    ）
A．①②③④⑤ B．①②③④ C．②③④⑤ D．①②④⑤
【答案】B
【分析】根据有理数的分类进行分析解答即可．
【详解】解：没有最小的整数，故①错误，
0既不是正数也不是负数，但是有理数，故②错误，
非负数是正数和0，故③错误，
是有限小数，故④错误，
正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，故⑤正确，
综上可知，错误的说法为①②③④，
故选：B
【点睛】此题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
[变式1]下列说法：
①是负分数；
②有理数不是正数就是负数；
③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；
④非正数就是负数；
⑤不仅是有理数，而且是分数；
⑥是无限不循环小数，所以不是有理数；
⑦无限小数不都是有理数．
其中错误的说法的个数为（   ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数定义及分类、无理数定义逐项验证即可得到答案．
【详解】解：①正确，是负分数；
②错误，有理数分为正数、负数和；
③错误，有理数分为整数与分数，整数分为正整数、负整数和；分数分为负分数与正分数；
④错误，非正数包含正数和；
⑤错误，是无理数；
⑥错误，是分数，属于有理数；
⑦正确，无限循环小数可以化为分数，属于有理数；无限不循环小数为无理数；
综上所述，错误的说法有②③④⑤⑥，
故选：C．
【点睛】本题考查有理数定义及分类、无理数定义，熟记相关概念及分类是解决问题的关键．
[变式2]给出下列各数：，，，，，，其中非负数的个数为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，找出0或正数即可求解．
【详解】解：在，，，，，，中，非负数有，，，，共4个，
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的分类，掌握非负数的意义是解题的关键．

二、 数轴
1. 数轴
（1）概念：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，它规定了原点、正方向和单位长度，这条直线叫做数轴；
（2）三要素：
①原点：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；
②正方向：通常规定直线上从原点向右（或向上）为正方向，从原点向左（或向下）为负方向；
③单位长度：直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3……；从原点向左，用类似的方法，依次表示-1，-2，-3……


2. 数轴上的点与有理数的关系
（1）所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。
（2）所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数）

3. 利用数轴表示两数大小
①在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；
②正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；
③两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。

4. 数轴上特殊的最大（小）数
（1）最小的自然数是0，无最大的自然数；
（2）最小的正整数是1，无最大的正整数；
（3）最大的负整数是-1，无最小的负整数

5. a可以表示什么数
（1）a>0，表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；
（2）a