备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价（四十六） 与球有关的切、接问题

课时验收评价（四十六） 与球有关的切、接问题

1．正方体的外接球与内切球的表面积之比为(　 )

A.  B．3

C．3   `D.

解析：选C　设正方体的外接球的半径为R，内切球的半径为r，棱长为1，则正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，即2R＝，所以R＝，正方体内切球的直径为正方体的棱长，即2r＝1，即r＝，所以＝，正方体的外接球与内切球的表面积之比为＝＝3.

2．将一个棱长为3 cm的正方体铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为(　 )

A．4π cm3  B.π cm3

C．9π cm3   D.π cm3

解析：选B　正方体的棱长为3，要使制作成球体零件的体积最大，则球内切于正方体，所以球的直径为3 cm，半径为 cm.所以可能制作的最大零件的体积为π×3＝π cm3.

3.一个几何体的三视图如图所示，若这个几何体的体积为10，则该几何体的外接球的表面积为(　 )

A．39π  　　 B．50π

C．100π  　　 D．125π

解析：选C　根据几何体的三视图可以得到该几何体为四棱锥，如图所示，该四棱锥的底面是长方形，长为6，宽为5，四棱锥的高即为PD，所以V＝×5×6×h＝10，解得h＝.由题意易知该四棱锥的外接球等价于长方体外接球，设四棱锥的外接球的半径为r，所以(2r)2＝52＋62＋()2，解得r＝5，所以外接球的表面积S＝4π×52＝100π.

4．已知△ABC的顶点都在球O的球面上，AB＝6，BC＝8，AC＝10，三棱锥O-ABC的体积为40，则该球的表面积等于(　 )

A．400π  B．300π

C．200π  D．100π

解析：选A　依题意知△ABC为直角三角形，其所在圆面的半径为AC＝5，设三棱锥O-ABC的高为h，则由××6×8h＝40得h＝5，设球O的半径为R，则由h2＋52＝R2，得R＝10，故该球的表面积为4πR2＝400π.故选A.

5.如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为(　 )

A.  B.

C.   D.

解析：选C　如图，平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆，

∵正方体棱长为1，∴AC＝CD1＝AD1＝.∴内切圆半径r＝tan 30°·AE＝×＝.∴截面面积为S＝πr2＝π·＝.故选C.

6．已知三棱锥P-ABC，PC为其外接球O的直径，PA＝PB，若D为棱AB上与A，B不重合的一点，则∠PDC(　 )

A．必为锐角  B．必为直角

C．必为钝角  D．无法确定

解析：选C　因为PC为三棱锥P-ABC外接球的直径，所以PA⊥AC，PB⊥BC，

又PA＝PB，

所以Rt△PAC≌Rt△PBC，

所以AC＝BC，

如图所示，PD<PA，CD<AC，

在△PDC中，

cos∠PDC＝<＝0，

所以∠PDC为钝角．故选C.

7．正三棱锥S-ABC的底面是面积为的正三角形，高为2，则其内切球的表面积为(　 )

A.        B.      C.       D.

解析：选D　如图，O为底面正三角形ABC的中心，SO⊥平面ABC，SO＝2，

则正三棱锥S-ABC的体积为V＝××2＝，

延长AO交BC于D，则D为BC的中点，

所以S△ABC＝BC2＝，则BC＝2，

所以AD＝AB＝，OD＝AD＝，

所以S△SBC＝·BC·＝×2×＝，

所以正三棱锥S-ABC的表面积为S＝＋3×＝6，

设内切球半径为r，则×S×r＝V，即×6·r＝，解得r＝，

所以内切球的表面积为4πr2＝.故选D.

8．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P为上底面圆的圆心，AB为下底面圆的直径，E为下底面圆周上一点，则三棱锥P-ABE外接球的表面积为(　 )

A.π      B.π       C.π  D．5π

解析：选B　

由题意与圆的性质，△ABE为直角三角形，∠E＝90°，

如图所示，设外接球半径为R，底面圆心为Q，外接球球心为O，

由外接球的定义，OP＝OA＝OB＝OE＝R，易得O在线段PQ上，

又圆柱的轴截面是边长为2的正方形，所以底面圆半径AQ＝BQ＝1，

因为PQ⊥AQ，则OA2＝OQ2＋AQ2⇒R2＝(2－R)2＋12，解得R＝，

所以外接球表面积为4πR2＝.故选B.

9.把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点(皮球不变形)，则皮球的半径为(　 )

A．10 cm  B．10 cm

C．10 cm  D．30 cm

解析：选B　依题意，在四棱锥S-ABCD中，所有棱长均为20 cm，连接AC，BD交于点O，连接SO，则SO＝AO＝BO＝CO＝DO＝10 cm，易知点O到AB，BC，CD，AD的距离均为10 cm，在等腰三角形OAS中，AO＝SO＝10 cm，SA＝20 cm，所以O到SA的距离d＝10 cm，同理可证O到SB，SC，SD的距离也为10 cm，所以球心为四棱锥底面ABCD的中心O，所以皮球的半径r＝10 cm.

10．(2022·全国乙卷)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(　 )

A.      B.        C.         D.

解析：选C　不妨设四棱锥的底面是正方形，边长为a，底面正方形外接圆的半径为r，则r＝a，四棱锥的高h＝，所以四棱锥的体积V＝a2＝

≤＝＝，当且仅当＝1－，即a2＝时等号成立，此时四棱锥的高h＝＝＝，故选C.

11．表面积为81π的球，其内接正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的高是7，则这个正四棱柱的底面边长为________．

解析：由题意知，正四棱柱的体对角线即为球的直径，设球的半径为R，则4πR2＝81π，解得R＝，

设正四棱柱的底面边长为a，则＝2R，解得a＝4.

答案：4

12．表面积为Q的多面体的每一个面都与体积为36π的球相切，则这个多面体的体积为________．

解析：因为球的体积为36π.

设球的半径为R，所以＝36π，解得R＝3.

因为表面积为Q的多面体的每一个面都与体积为36π的球相切，

所以球的半径就是球心到多面体面的距离，

所以多面体的体积为QR＝Q.

答案：Q

13．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为________．

解析：由三视图可得如图所示的几何体，AB＝AC＝4，CD＝2，且△BAC，

△ACD，△BCD，△BAD均为直角三角形，所以多面体的外接球的球心为BD的中点，而BD＝＝6，则外接球半径为r＝3，表面积为4πr2＝36π.

答案：36π

14．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的表面上，若AB＝AC＝1，AA1＝2，∠BAC＝，则球O的体积为________．

解析：设△ABC的外接圆圆心为O1，半径为r，连接O1O，如图，易得O1O⊥平面ABC，∵AB＝AC＝1，AA1＝2，∠BAC＝，∴2r＝＝＝2，即O1A＝1，O1O＝AA1＝，∴OA＝＝＝2，即直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球半径R＝2，∴V球＝π×23＝.

答案：