备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价（七十一） 二项分布及其应用、正态分布

课时验收评价（七十一） 二项分布及其应用、正态分布

一、点全面广强基训练

1．如果生男孩和生女孩的概率相等，则有3个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为(　 )

A.        B.        C.  D.

解析：选B　设女孩个数为X，女孩多于男孩的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝C×2×＋C×3＝3×＋＝.

2．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，7)，若P(ξ<2)＝P(ξ>4)，则μ与D(ξ)的值分别为(　 )

A．μ＝，D(ξ)＝  B．μ＝，D(ξ)＝7

C．μ＝3，D(ξ)＝7  D．μ＝3，D(ξ)＝

解析：选C　∵随机变量ξ服从正态分布N(μ，7)，∴正态曲线关于x＝μ对称．∵P(ξ<2)＝P(ξ>4)，∴μ＝＝3，D(ξ)＝σ2＝7.

3．甲、乙、丙三人参加学业水平测试，已知他们通过测试的概率分别为，，，且每人是否通过测试相互独立，则这三人中至少有一人通过测试的概率为(　 )

A.        B.          C.  D.

解析：选D　所求事件的对立事件为“三人均未通过测试”，概率为××＝，故至少有一人通过测试的概率为1－＝.故选D.

4.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(－1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为(　 )

附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4.

A．1 193      B．1 359      C．2 718    D．3 413

解析：选B　对于正态分布N(－1,1)，可知μ＝－1，σ＝1，正态曲线关于直线x＝－1对称，故题图中阴影部分的面积为×[P(－3<X<1)－P(－2<X<0)]＝×[P(μ－2σ<X<μ＋2σ)－P(μ－σ<X<μ＋σ)]＝×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9，所以点落入题图中阴影部分的概率P＝＝0.135 9，投入10 000个点，落入阴影部分的个数约为10 000×0.135 9＝1 359.故选B.

5．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)＝3，则D(X)＝(　 )

A.        B.         C.  D.

解析：选B　由题意知，X～B，∴E(X)＝5×＝3，解得m＝2，∴X～B，∴D(X)＝5××＝.故选B.

6．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠．若该电梯在底层有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(X＝4)＝________.

解析：由题意知，X～B，则P(X＝k)＝Ck×5－k，k＝0,1,2,3,4,5.故P(X＝4)＝C4×1＝.

答案：

7．已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率为________．

解析：设“从1号箱取到红球”为事件A，“从2号箱取到红球”为事件B.

由题意，P(A)＝＝，P(B|A)＝＝，

所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，

所以两次都取到红球的概率为.

答案：

8．(2023·杭州调研)已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)＝3，D(X)＝2，则p＝________，P(X＝1)＝________.

解析：因为随机变量X服从二项分布B(n，p)，E(X)＝3，D(X)＝2，所以解得即随机变量X服从二项分布B.P(X＝1)＝C××8＝.

答案：　

9．一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1,2,3需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.2，各部件的状态相互独立．

(1)求设备在一天的运转中，部件1,2中至少有1个需要调整的概率；

(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求当X为何值时需要调整的概率最小．

解：(1)部件1,2都不需要调整的概率为(1－0.1)×(1－0.2)＝0.72，

则部件1,2中至少有1个需要调整的概率为P＝1－0.72＝0.28.

(2)由题意，X的所有可能取值为0,1,2,3，且

P(X＝0)＝0.9×0.8×0.8＝0.576，

P(X＝1)＝0.1×0.8×0.8＋0.9×0.2×0.8＋0.9×0.8×0.2＝0.352，

P(X＝2)＝0.1×0.2×0.8＋0.1×0.8×0.2＋0.9×0.2×0.2＝0.068，

P(X＝3)＝0.1×0.2×0.2＝0.004，

因为0.004<0.068<0.352<0.576，

所以3个部件都需要调整时，即X＝3时，需要调整的概率最小．

10．某学校举行“百科知识”竞赛，每个班选派一位学生代表参加，某班经过层层选拔，李明和王华进入最后决赛，决赛方式如下：给定4个问题，假设李明能且只能对其中3个问题回答正确，王华对其中任意一个问题回答正确的概率均为.由李明和王华各自从中随机抽取2个问题进行回答，而且每个人对每个问题的回答均相互独立．

(1)求李明和王华回答问题正确的个数均为2的概率；

(2)设李明和王华回答问题正确的个数分别为X和Y，求X，Y的期望E(X)，E(Y)和方差D(X)，D(Y)，并由此决策派谁代表该班参加竞赛更好．

解：(1)∵李明回答问题正确的个数为2的概率p1＝＝＝；王华回答问题正确的个数为2的概率p2＝2＝；∴李明和王华回答问题正确的个数均为2的概率p＝p1p2＝×＝.

(2)由题意知，李明回答问题正确个数X的所有可能的取值为1,2，

∴P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝，

∴E(X)＝1×＋2×＝，D(X)＝2×＋2×＝；

∵王华回答问题正确的个数Y～B，∴E(Y)＝2×＝，D(Y)＝2××＝；

∵E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)，∴派李明代表该班参加竞赛更好．

二、重点难点培优训练

1．某景区内有一项“投球”游戏，游戏规则如下：游客投球目标为由近及远设置的A，B，C三个空桶，每次投一个球，投进桶内即成功，游客每投一个球交费10元，投进A桶，奖励游客面值20元的景区消费券；投进B桶，奖励游客面值60元的景区消费券；投进C桶，奖励游客面值90元的景区消费券；投不进则没有奖励．游客各次投球是否投进相互独立．

(1)向A桶投球3次，每次投进的概率为p，记投进2次的概率为f(p)，求f(p)的极大值点P0；

(2)游客甲投进A，B，C三桶的概率分别为P0，P0，P0，若他投球一次，他应该选择向哪个桶投球更有利？说明理由．

解：(1)3次向A桶投球投进2次的概率f(p)＝Cp2(1－p)＝－3p3＋3p2.

则f′(p)＝－9p2＋6p.令f′(p)＝0，得p＝.

当p∈时，f′(p)>0；

当p∈时，f′(p)<0.

∴f(p)在上单调递增，在上单调递减，

∴f(p)的极大值点P0＝.

(2)由(1)得游客甲投进A，B，C三桶的概率分别为，，.

设投进A桶的纯收入为X元，E(X)＝10×＋(－10)×＝－；

设投进B桶的纯收入为Y元．E(Y)＝50×＋(－10)×＝2；

设投进C桶的纯收入为Z元，E(Z)＝80×＋(－10)×＝－1；

因为E(X)<E(Z)<E(Y)，所以游客甲选择向B桶投球更有利．

2．我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列，为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X(单位：nm)．

(1)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于10 nm的有4个．现从这7个零件中随机抽取3个．记ξ表示取出的零件中直径大于10 nm的零件的个数，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)；

(2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取6个零件进行检测，若合格的零件数η超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及η的方差；

(3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径X～N(9,0.04)，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4 nm的概率．

参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|≤σ)≈0.682 7，P(|X－μ|≤2σ)≈0.954 5，P(|X－μ|≤3σ)≈0.997 3，0.977 2510≈0.794 4,0.954 510≈0.627 7.

解：(1)由题意，可知ξ可取0,1,2,3，则有

P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.

故ξ的分布列为

从而ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

(2)η可取的值为0,1,2,3,4,5,6，则有

P(η＝4)＝C42＝；P(η＝5)＝C5＝；P(η＝6)＝6＝.

所以技术攻坚成功的概率P(η≥4)＝P(η＝4)＋P(η＝5)＋P(η＝6)＝，

因为η～B，所以η的方差D(η)＝6××＝.

(3)由X～N(9,0.04)，则可知σ＝0.2，

由于P(|X－μ|≤2σ)≈0.954 5，则P(8.6≤X≤9.4)≈0.954 5，

所以P(9≤X≤9.4)＝P(8.6≤X≤9.4)≈0.477 25，

所以P(X>9.4)＝－P(9≤X≤9.4)≈0.022 75，

则P(X≤9.4)＝1－P(X>9.4)≈0.977 25，

记“从生产的零件中随机取出10个，至少有一个零件直径大于9.4 nm”为事件A，

则P(A)＝1－P()≈1－0.977 2510≈1－0.794 4＝0.205 6.

故至少有一个零件直径大于9.4 nm的概率为0.205 6.