2023届青海省海东市高三第三次联考数学（文）试题含解析

2023届青海省海东市高三第三次联考数学（文）试题

一、单选题

1．集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出集合，再结合交集的定义可求.

【详解】因为，，所以．

故选：C.

2．已知，则复数z在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】根据复数的乘法求复数，再根据复数的几何意义分析判断.

【详解】由题意可得：，

所以复数z对应的点为，位于第四象限.

故选：D.

3．l，m是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，若，，则“l//m”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】根据给定条件，举例判断面面位置关系的命题，再结合充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】长方体中，平面ABCD，平面分别视为平面，，直线，分别为直线l，m，

显然有l//m，而与相交，即l//m不能推出；

长方体中，平面ABCD，平面分别视为平面，，直线，分别为直线l，m，

显然有，而l与m是异面直线，即不能推出l//m，

所以“l//m”是“”的既不充分也不必要条件.

故选：D

4．设等差数列的前n项和为，若，则（    ）

A．44 B．48 C．55 D．72

【答案】A

【分析】利用基本量法可得，故可求的值.

【详解】设的公差为d，则，即，

则，

故选：A.

5．已知向量，，若，则（    ）

A．0 B．

C．1 D．2

【答案】C

【分析】根据平面向量的坐标运算求解.

【详解】由题意可得：，

若，则，解得.

故选：C.

6．图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶距离水面2米，水面宽度为8米，则当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米

【答案】D

【分析】以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系，设拱桥所在抛物线的方程为，根据抛物线过点，求出的值，即可得到抛物线方程，再令，求出的值，即可得解.

【详解】以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系，

可设拱桥所在抛物线的方程为，

又抛物线过点，则，解得，

则抛物线的方程为，当时，，

故当水面宽度为米时，拱顶与水面之间的距离为米.

故选：D

7．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】B

【分析】根据三角函数的图像变换求解.

【详解】因为，

所以，

故为了得到的图象，只需将的图象向右平移个单位长度.

故选:B.

8．某单位组织开展党史知识竞赛活动，现把100名人员的成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图（每组数据均左闭右开），则下列各选项正确的是（    ）

A．

B．估计这100名人员成绩的中位数为76.6

C．估计这100名人员成绩的平均数为76.2（同一组数据用该区间的中点值作代表）

D．若成绩在内为优秀，则这100名人员中成绩优秀的有50人

【答案】C

【分析】由频率分布直方图的性质求，判断A，根据中位数和平均数的定义求中位数和平均数，判断BC，由频率分布直方图求成绩优秀的频率，再求成绩优秀的人数.

【详解】由直方图可得，所以，故A错误.

因为前3组的频率之和为，

前4组的频率之和为，

所以中位数在内，设中位数为x，

则.所以，故B错误.

由直方图可得平均数为

，所以C正确.

因为成绩在内的频率为0.4，所以这100名人员中成绩优秀的有40人，故D错误.

故选：C.

9．若数列满足，则（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【分析】利用数列的周期性即可求得的值.

【详解】因为，所以.又因为，

所以，

所以是周期为4的数列，故.

故选：B

10．执行如图所示的程序框图，若输出的的值为32，则判断框内可填入的条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题目条件，按照程序框图进行，直到符合输出值从而确定判断条件.

【详解】由题意可得，，

不满足条件，则，，

不满足条件，则，，

不满足条件，则，，

不满足条件，则，，

不满足条件，则，，

由于输出值为，所以此时满足条件，而不满足条件，

故根据每个选项可得，判断框内可填入的条件可以是“”．

故选：C

11．已知是奇函数的导函数，且当时，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由，可分类讨论确定的正负，两边同时乘以对原式进行化简，则可利用导数的乘法运算法则构造函数,再求导，利用函数的单调性判断大小.

【详解】当时，，则由，得；

当时，，则由，得．

令，则，

故g（x）在上单调递增，在上单调递减．

又f（x）是奇函数，所以是偶函数，

故，即，，

即．

与和的大小关系不确定．

故选：A．

12．如图，已知过原点的直线与双曲线相交于两点，双曲线的右支上一点满足，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】取的中点，连接，利用两角和的正切公式求出，即直线的斜率为，再设，，利用点差法得到，从而求出离心率.

【详解】如图，取的中点，连接，则，所以，

设直线的倾斜角为，则，

所以，

所以直线的斜率为，

设，，则，

由，得到，

所以，所以，则.

故选：C

二、填空题

13．写出一个被直线平分且与直线相切的圆的方程：________．

【答案】（答案不唯一，符合题意即可）

【分析】根据题意可得圆心在直线上，且圆心到直线的距离等于半径，取特列分析验证即可.

【详解】对于圆：，可得圆心为，半径，则有：

因为，即在直线上，所以该圆被直线平分；

又因为圆心到直线的距离，

所以该圆与直线相切；

即符合题意.

故答案为：.

14．某课外兴趣小组对某地区不同年龄段的人群阅读经典名著的情况进行了相关调查，相关数据如下表．

根据表中数据，人群数量与赋值变量之间呈线性相关，且关系式为，则______．

【答案】

【分析】将样本中心点代入回归直线即可构造方程求得结果.

【详解】由表格数据知：，，

，解得：.

故答案为：.

15．如图，在棱长为2的正方体中，P为的中点，则三棱锥的体积为______．

【答案】2

【分析】先求三棱锥的高，再应用体积公式求解计算即可.

【详解】连接，在正方体中，

因为四边形为正方形，则，而平面，平面，

即有，又，平面，平面，则平面，

而平面，因此，同理平面，又平面，

即有，因为，平面,平面，

所以平面．

连接，设，连接OP，则OP是的中位线，

所以，，

所以OP⊥平面，即OP是三棱锥的高．

因为，所以．

因为，所以．

故答案为：2.

16．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在上，其解析式为，若函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，当时，，则______．

【答案】/

【分析】根据奇偶性及得到的周期为，根据周期性及所给函数解析式计算可得.

【详解】因为，所以．

因为是奇函数，所以，

所以，所以的周期为．

因为，所以令，可得，所以．

因为，，

所以．

故答案为：

三、解答题

17．在中，内角的对边分别为，且．

(1)求角的值；

(2)若，求边上的中线的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）切化弦后，结合两角和差公式和诱导公式可求得，进而得到；

（2）利用余弦定理和基本不等式可求得范围，根据，平方后，结合向量数量积定义和运算律可求得结果.

【详解】（1），，

，又，.

（2）由余弦定理得：（当其仅当时取等号），

，，

，

，

，即的最大值为.

18．清明期间，某校为缅怀革命先烈，要求学生通过前往革命烈士纪念馆或者线上网络的方式参与“清明祭英烈”活动，学生只能选择一种方式参加.已知该中学初一、初二、初三3个年级的学生人数之比为，为了解学生参与“清明祭英烈”活动的方式，现采用分层抽样的方法进行调查，得到如下数据.

(1)求，的值；

(2)从该校各年级被调查且选择线上网络方式参与“清明祭英烈”活动的学生人任选两人，求这两人是同一个年级的概率.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据分层抽样的原理，按比例计算出a，b；

（2）根据条件，求出任取2人的总方式和任取2人是同一个年级的总方式，再求出概率即可.

【详解】（1）由题可知，，解得，；

（2）由（1）知，选择网络方式的，初一有3人（分别记为），

初二和初三都是2人（分别记为和），

任取2人有，

，

共21种方法；

同一个年级的有共5种方法，

故2人是同一年级的概率为.

19．如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，底面ABCD，为棱上的一点.

(1)证明：；

(2)若三棱锥的体积为，求的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）过点作，垂足为，根据等腰三角形的性质得到，利用余弦定理求出，从而得到，由线面垂直得到，即可证明平面，从而得证；

（2）设，，则，求出，即可求出，从而得解.

【详解】（1）证明：过点作，垂足为，

在等腰梯形中，因为，，所以，，

在中，，则，则，

因为底面，底面，所以，

因为，平面，所以平面，

又平面，所以.

（2）设，，则，

因为，

所以，

又，所以，解得，

即当三棱锥的体积为时，.

20．已知椭圆（a>0，b>0）的右焦点F在直线上，A，B分别为C的左、右顶点，且．

(1)求C的标准方程；

(2)过点的直线l与C交于P，Q两点，线段PQ的中点为N，若直线AN的斜率为，求直线l的斜率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出焦点F的坐标，进而根据列出方程，求出，得到，求出答案；

（2）设直线l的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，进而表达出N点的坐标，根据直线AN的斜率求出答案.

【详解】（1）设，其中．

由直线与x轴的交点坐标为，得c＝1

因为，所以，则，

代入，得，所以，故C的标准方程为．

（2）当直线l的斜率不存在时，直线l与无交点，舍去，

设直线l的方程为，

设，

联立方程，消去y并整理得，

由，得．

因为，所以N的横坐标为，

N的纵坐标为．

易知，所以直线AN的斜率为，

解得或．

因为，所以，即直线l的斜率为．

21．已知函数．

(1)若，求的图象在处的切线方程；

(2)若恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程；

（2）参变分离可得，令，利用导数可求得，由此可得范围.

【详解】（1）当时，，则，

，又，切线方程为：，即.

（2）定义域为且恒成立，，

令，则，

，

令，则，

在上单调递增，又，

当时，，即；当时，，即；

在上单调递减，在上单调递增，，

，即实数的取值范围为.

【点睛】思路点睛：本题考查导数的几何意义、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的基本思路是采用参变分离的方式，将问题转化为变量与分离所得函数最值之间的大小关系的问题，通过求解函数最值得到变量的取值范围.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为 （为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

(2)若曲线与直线有两个公共点，求的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）消参将参数方程转化为直角坐标方程，根据极坐标与直角坐标转化的规则将极坐标方程转化为直角坐标方程；

（2）对曲线C和l作几何解释，列方程求解.

【详解】（1）由 得 ， 得，

即曲线C的直角坐标方程为，

由， ，得直线l的直角坐标方程为；

（2）由（1）可知，曲线C是圆心为，半径为3的圆，

因为曲线C与直线l有两个公共点，必有，

解得，即m的取值范围为.

23．已知函数

(1)求不等式的解集；

(2)若的最大值为，且正数，满足，求的最小值．

【答案】(1)

(2)3

【分析】（1）分类讨论去掉绝对值号求解；

（2）根据绝对值不等式求出的最大值，利用均值不等式求解即可.

【详解】（1）当时，不等式转化为，恒成立．

当时，不等式转化为，解得．

当时，不等式转化为，无解．

综上所述，不等式的解集为．

（2）由，得．

，

当且仅当时，等号成立，故的最小值为3．