2022青海省海东市高二下学期期末数学（文）试题含解析

海东市2021~2022学年第二学期学业水平测试

高二数学试卷（文科）

考生注意：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.

2.请将各题答案填写在答题卡上.

3.本试卷主要考试内容：人教A版选修1-1，选修1-2，选修4-4.

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的四则运算进行展开计算即可选出选项.

【详解】解:原式为

.

故选:A

2. 点的极坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由直角坐标和极坐标的关系确定的极坐标.

【详解】由题设，且在第四象限，

所以极坐标为.

故选：B

3. 关于下面演绎推理：

大前提：指数函数均为单调函数．

小前提：是指数函数．

结论：是单调函数．

下列表述正确的是（    ）

A. 大前提错误导致结论错误 B. 小前提错误导致结论错误

C. 推理形式错误导致结论错误 D. 此推理结论正确

【答案】B

【解析】

【分析】判断大前提和小前提的正误后能求出结果．

【详解】解：是幂函数，而非指数函数，

是因为小前提错误导致结论错误．

故选：B．

4. 已知复数满足，则虚部为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题知，进而求解虚部即可.

【详解】解：因为，所以，所以的虚部为.

故选：D

5. 执行如图所示的程序框图，则输出的（    ）

A.  B.  C. 3 D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据程序框图及其执行逻辑得到周期为3，并求出前3个值，利用周期性确定输出值.

【详解】由题设，且，

时，，

时，，

时，，

…

所以周期为3，而当时输出.

故选：B

6. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】利用不等式的性质及对数函数单调性即可得到二者之间的逻辑关系.

【详解】由，得，则；

由，得，但不能得到

故“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

7. 给出下列类比推理命题，其中类比结论正确的是（    ）

A. 由“已知a，b为实数，若，则”类比推出“已知a，b为复数，若，则”

B. 由“已知a，b，c为实数，若，则”类比推出“已知，，为平面向量，若，则”

C. 由“在平面内，若直线a，b，c满足，，则”类比推出“在空间内，若直线a，b，c满足，，则”

D. 由“若圆O的半径为r，则圆O的面积为”类比推出“若球O的半径为R，则球O的表面积为”

【答案】B

【解析】

【分析】A由复数的性质判断；B利用作差法及向量数量积运算律判断；C由线线垂直判断线线位置关系；D根据球体表面积公式判断.

【详解】A：若，则，但不能比大小，错误；

B：由，则，故，正确；

C：空间中，，则可能异面、相交或平行，错误；

D：对于半径为R的球体，其表面积为，错误.

故选：B

8. 已知直线的参数方程为（为参数），则的倾斜角是（    ）

A. 10° B. 100° C. 110° D. 170°

【答案】B

【解析】

【分析】将直线参数化为标准形式即可得出斜率，求出倾斜角.

【详解】因为，

所以直线的斜率为，所以的倾斜角是.

故选：B.

9. 已知函数在上有零点，则的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由参变量分离法可知关于的方程在上有解，令，利用导数求出函数的最小值，即为实数的最小值.

【详解】函数在上有零点，

等价于关于的方程在上有解，

即在上有解.

令，则

由，得；由，得.

则在上单调递增，在上单调递减.

因为，，

所以，则，

即的最小值为.

故选：D.

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.

10. 若复数z满足，则的最大值为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先由得到，再将的最大值转化为圆上的点到的距离的最大值，由圆心到的距离加半径求出最大值即可.

【详解】设，则．

因为表示以为圆心，以2为半径的圆，所以可理解为

圆上的点到的距离，最大值为圆心到的距离加半径，即，

故的最大值为．

故选：B.

11. 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为，转盘乙得到的数为，构成数对，则所有数对中满足的概率为（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】列举出数对所有可能的结果，并确定满足的数对个数，根据古典概型概率公式可得结果.

【详解】数对所有可能的结果有：，，，，，，，，，共个；

其中满足的数对有：，，，共个；

所求概率.

故选：C.

12. 已知抛物线的焦点为F，准线为，过的直线与抛物线交于A，B两点，与准线交于C点，若，且，则（    ）

A. 4 B. 12 C. 4或16 D. 4或12

【答案】A

【解析】

【分析】利用焦半径将线段比转化，设出直线方程，联立得两根之积，列出方程，求出的值.

【详解】如图，过A，B向作垂线，垂足分别为D，E，则.

设，，因为，，

所以.因为，所以，.

设直线的方程为，

联立方程组得，则.

因为，

所以或.

因为，所以，故.

故选：A

第II卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 曲线上任意一点P到直线的距离的最大值为________．

【答案】5

【解析】

【分析】将曲线、直线化为普通方程，利用点到直线距离求圆上点到直线距离的最大值即可.

【详解】由题设，对应普通方程为，即为圆心，半径为2的圆；

对应普通方程为，

所以到直线的距离为，

故上点到距离的最大值为.

故答案为：5

14. 若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于_________.

【答案】10

【解析】

【分析】

求得双曲线的，由双曲线的定义可得，代入已知条件解方程即可得到所求值．

【详解】解：双曲线的，

由双曲线的定义可得，

由，可得，

解得舍去）．

故答案为：．

【点睛】本题考查双曲线的定义和方程，考查定义法的运用，以及运算能力，属于基础题．

15. 已知某商品的广告费（万元）与销售额（万元）之间的数据如下：

根据上表数据可得线性回归方程为,则当投入8万元广告费时,销售额约为_______万元.

【答案】8.64
 

【解析】

【分析】根据线性回归方程过点,求出点的坐标,代入回归方程求出后,将代入方程即可.

【详解】解:由题意可得,,

则,解得,

故.

当时,.

故答案为: 8.64

16. 小张、小明、小红三人去选报课外社团活动，每人选报的活动不是篮球就是围棋，且每人只能选报其中一种．

①如果小张选报的是篮球，那么小明选报的是围棋．

②小张或小红选报的是篮球，但是不会两人都选报篮球．

③小明和小红不会两人都选报围棋．

同时满足上述三个条件的不同选报方案有________种．

【答案】

【解析】

【分析】利用假设法，假设小张选报的是篮球，推出矛盾，即可得到小张选报的是围棋，同时得到小红选报的一定是篮球，从而得解；

【详解】解：根据题意，如果小张选报的是篮球，由①可得小明选报的是围棋，

由于③，则小红选报的是篮球，

此时小张和小红选报的都是篮球，与②矛盾，即小张不能选报篮球，故小张选报的是围棋，

故符合题意的选报有小张报围棋，由②知小红选报的一定是篮球，

小明选报篮球或围棋均可，故同时满足①②③三个条件的不同选报方案有2种；

故答案为：．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. “双十一”发展至今,已经从一个单纯的网络促销活动变成社会经济重大现象级事件.为了了解市民“双十一”期间网购情况,某统计小组从网购的消费者中,随机抽取了当天100名消费者,其中男女各半.若消费者当天消费金额不低于1000元,则称其为网购达人.已知抽取的100名消费者中,网购达人中女性消费者人数是男性消费者人数的2倍,且女性消费者中,网购达人占.

（1）请完成答题卡上的列联表；

（2）能否有99%的把握认为是否为网购达人与性别有关？

参考公式：,其中

参考数据：

【答案】（1）表格见解析   

（2）有99%的把握认为是否为网购达人与性别有关联.

【解析】

【分析】(1)根据比例和总人数得出网购达人中男性和女性消费者各多少人,再求出女性消费者中,网购达人的数目,因为消费者中男女各半,补全联表中其他数据即可;

(2)根据(1)中表格数据,计算的值,对应表中的数据,判断是否有99%的把握认为是否为网购达人与性别有关联即可.

【小问1详解】

解:由题意可得女性消费者中,网购达人有人,

非网购达人有人,

则男性消费者中,网购达人有人,

非网购达人有人,

故得列联表如下：

【小问2详解】由(1)可得,

则有99%的把握认为是否为网购达人与性别有关联.

18. 在平面直角坐标系中，曲线参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是

（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线交于，两点，点，求的值.

【答案】（1），；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）消去参数得曲线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式得直线的直角坐标方程.

（2）求出直线的参数方程，再利用参数的几何意义求解作答.

【小问1详解】

由消去参数，得，

把代入，得，

所以曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为.

【小问2详解】

依题意，点在直线上，其参数方程为（为参数），

将直线的参数方程代入曲线的普通方程并整理得，

设，对应的参数分别是，，则，，

所以.

19. 随着人们生活水平的提高，私家车占比越来越大，汽车使用石油造成的空气污染也日益严重．新能源汽车不仅降低了对石油进口的依赖，也减少了对整个地球环境的污染．某新能源车2016〜2021年销量统计表如下：

通过数据分析得到年份编号x与对应的新能源车销量y（单位：万辆）具有线性相关关系．

（1）求该新能源车销量y（单位：万辆）关于年份编号x的线性回归方程；

（2）根据（1）中的线性回归方程预测2025年和2026年该新能源车销量的平均值．

参考公式：，．

【答案】（1）   

（2）万辆

【解析】

【分析】（1）根据表中数据及参考公式，求出，，进而求得回归直线方程；

（2）将和代入上式的线性回归方程中及平均数的定义即可求解.

【小问1详解】

由题意可得，．

，，

则，

从而，

故该新能源车销量y关于年份编号x的线性回归方程为．

【小问2详解】

当时，；

当时，．

则2025年和2026年该新能源车销量的平均值为万辆．

20. 在各边长均不相等的中，内角的对边分别为，且满足．

（1）用分析法证明；

（2）用反证法证明为锐角．

【答案】（1）证明见解析   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）将所证不等式转化为证明，对已知等式应用基本不等式即可得到结论；

（2）假设，可知；利用余弦定理和基本不等式可得，由此可知假设错误，得到结论.

【小问1详解】

要证，只需证：，

为三边，只需证，即证，

即证，又（当且仅当时取等号），

互不相等，成立，.

【小问2详解】

假设，则；

由余弦定理得：，

（当且仅当时取等号），互不相等，，

，与矛盾，假设不成立，为锐角.

21. 已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，过的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为45°，到直线l的距离为．

（1）求椭圆C的焦距；

（2）若，求椭圆C的方程．

【答案】（1）2    （2）

【解析】

分析】（1）设出直线方程，利用点到直线距离公式得到，求出椭圆焦距；

（2）联立直线方程和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，根据向量的线性关系得到，代入两根之和，两根之积，求出，求出椭圆方程.

【小问1详解】

由题意知直线l的方程为．

因为到直线l的距离为，所以，解得：，

所以椭圆C的焦距为2．

【小问2详解】

由（1）知直线l的方程为，设，，

联立方程组消去x得，

所以，．

因为，所以，

所以，，

消去得，

解得：，从而，

所以椭圆C的方程为．

22. 已知函数

（1）当时，求的最大值；

（2）若对任意的恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，可求得函数的最大值；

（2）由参变量分离法可得对任意的恒成立，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围.

【小问1详解】

解：当时，，该函数的定义域为，

则，

由，得；由，得.

则在上单调递增，在上单调递减，

故的最大值为.

【小问2详解】

解：对任意的恒成立，等价于对任意的恒成立.

设，其中，则，

由，得；由，得.

则在上单调递增，在上单调递减.

从而，故，即的取值范围是.