2023届陕西省安康中学高三下学期5月学业质量检测（三）数学（文）试题含解析

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2023届陕西省安康中学高三下学期5月学业质量检测（三）数学（文）试题 一、单选题1．已知集合，，则下列结论正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据不等式的运算求解得到，进而根据集合的概念以及运算，即可得出答案.【详解】由可得，，等价于，解得，即，.解可得，或，所以，.对于A项，因为，所以，故A项错误；对于B项，因为，所以，故B项错误；对于C项，因为，所以，所以，故C项正确；对于D项，因为，所以，故D项错误.故选：C.2．设复数的实部与虚部互为相反数，则（    ）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】根据复数的乘法运算化简复数z，根据实部与虚部互为相反数列式计算，即得答案.【详解】，由已知得，解得，故选：D3．如图，在圆内接四边形中，.若为的中点，则的值为（    ）A．-3 B． C． D．3【答案】C【分析】根据余弦定理得到，确定为圆的直径，为等边三角形，建立坐标系，确定点坐标，计算向量的数量积得到答案.【详解】连接，由余弦定理知，所以.由正弦定理得，所以为圆的直径，所以，所以，从而，又，所以为等边三角形，以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系.则，所以.故选：C.4．某市为比较甲､乙两个旅游景点的经营状况，将这两个旅游景点2021年12个月的月收入（单位：万元）绘制成了如下茎叶图：则（    ）  A．甲景点的月收入的中位数小于乙景点的月收入的中位数B．甲景点的月收入的平均数小于乙景点的月收入的平均数C．甲景点的月收入的极差大于乙景点的月收入的极差D．甲景点的月收入的方差小于乙景点的月收入的方差【答案】D【分析】根据数据的中位数、平均数、极差、方差的概念与性质逐项判断即可.【详解】甲景点的月收入的中位数为，乙景点的月收入的中位数为，故不正确；甲景点的月收入的平均数为33，乙景点的月收入的平均数为33，故不正确；甲景点的月收入的极差为，乙景点的月收入的极差为，故C不正确；观察茎叶图可知，甲景点的月收入更集中，乙景点收入较分散，所以甲景点的方差小于乙景点的月收入的方差，D选项正确.故选：D.5．设实数x，y满足约束条件，则的最大值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据约束条件画出可行域，进而利用直线的截距即可确定最优解，进而可求最值.【详解】  作出可行域如图中阴影部分所示.联立，可得，当直线经过点时，截距最大，则.故选：C.6．已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，则（    ）A．2 B． C．4 D．【答案】A【分析】由已知可得.点作，垂足为，根据已知结合几何性质，可得.然后在在中，即可得出答案.【详解】由已知可得，，.  如图所示，过点作，垂足为.由题得，所以.根据抛物线的定义可知，所以是等边三角形.因为，所以.在中，.故选：A.7．执行如图所示的程序框图，如果输入的，，那么输出的值为（    ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根据程序框图，逐步执行计算，求出的值，判断返回继续执行，直到满足条件，执行输出，即可得出答案.【详解】执行第一次循环，得，，，，；执行第二次循环，得，，，，；执行第三次循环，得，，，，；执行第四次循环，得，，，，；执行第五次循环，得，，，，.因为，所以退出循环，输出.故选：B.8．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）  A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】设的最小正周期为，由图象可知，可推得或.根据，可推得.分别求解以及，即可得出答案.【详解】设的最小正周期为，由图象可知，则，所以，所以或.又由题图知，，则，解得.解可得，不满足条件；解可得，，当且仅当时，符合题意.所以，，此时.故选：B.9．在正方体中，分别为棱的中点，则平面与平面的位置关系是（    ）A．垂直 B．相交不垂直 C．平行 D．重合【答案】A【分析】结合正方体的结构特征，利用线线垂直证明线面垂直，证得平面，可得平面平面.【详解】设棱的中点分别为，连接，连接，如图所示，  正方体中，平面，平面，，正方形中，，，平面，平面，平面，∴，分别为棱的中点，，，∴，同理可证，平面，，∴平面，平面，∴，同理可证，平面，，∴平面，平面，故平面平面.故选：A.10．中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设该马第天行走的里程数为，分析可知，数列是公比为的等比数列，利用等比数列的求和公式求出的值，即可求得的值.【详解】设该马第天行走的里程数为，由题意可知，数列是公比为的等比数列，所以，该马七天所走的里程为，解得.故该马第五天行走的里程数为.故选：D.11．已知函数，在区间上，若为增函数，为减函数，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用辅助角公式化简两函数，再利用整体代换法结合三角函数的性质求范围即可.【详解】由题意得.令，由，得.因为在区间上，为增函数，为减函数，所以，解得，所以.故选：A12．已知四边形是等腰梯形，，梯形的四个顶点在半径为4的球面上.若是该球面上的任意一点，当四棱锥的体积最大时，其高为（    ）A． B． C． D．6【答案】C【分析】先求出四边形的外接圆的直径，设球心为，四边形的外接圆圆心为，在Rt中，由求出，因为四棱锥的底面的面积为定值，所以当高最大时体积最大，求解即可.【详解】因为四边形是等腰梯形，，过点作，垂足为，则，所以.在中，，所以，即.同理可得.所以四边形的外接圆的直径为.设球心为，四边形的外接圆圆心为，如图所示.    在Rt中，，即，解得.又因为四棱锥的底面的面积为定值，所以当高最大时体积最大，其高最大为.故选：C. 二、填空题13．已知等差数列的前项和为，，，则的公差为__________.【答案】【分析】设的公差为，由已知可得出，求解即可得出答案.【详解】设的公差为，由题意得.则，所以.故答案为：.14．志愿者在打赢疫情防控阻击战中贡献了自己的力量，现从3名男性志愿者和2名女性志愿者中，任选3名参加社区志愿服务，则既有男性志愿者又有女性志愿者的概率为__________.【答案】/0.9【分析】根据古典概型的概率计算公式，即可求得答案.【详解】从5名志愿者中任选3人，共有种选法；男性志愿者和女性志愿者都有人入选，分为2男1女和2女1男两种情况，共有种选法，因而所求的概率，故答案为：15．已知抛物线的顶点为，与坐标轴交于三点，则过四点中的三点的一个圆的标准方程为__________.【答案】（答案不唯一）【分析】由抛物下方程求得P、A、B、C四点坐标，任取三点代入圆的一般方程计算并化简为标准方程即可.【详解】令，则，解得，不妨设；令0，得，则；抛物线的顶点的坐标为.设所求圆的方程为.当圆过三点时，,所以圆的方程为.当圆过三点时，,所以圆的方程为.当圆过三点时，,所以圆的程为.当圆过三点时，,当圆过三点方程为.故答案为：（答案不唯一）16．已知函数，，若有2个不同的零点，则实数的取值范围是__________.【答案】【分析】设，根据的范围，讨论求得的解析式.根据解析式得出函数的性质，作出的图象，根据函数图象，即可得出答案.【详解】设，当时，，；当时，，；当时，，.综上可得，.函数的定义域为，由复合函数单调性可知函数单调递增.又，作出的图象如图所示  由图象可知，当时，曲线与恒有两个交点，即有两个零点，所以的取值范围是.故答案为：.【点睛】思路点睛：根据函数的解析式（或导函数）得出函数的性质，然后作出函数的图象，结合函数的图象，即可得出参数的取值范围. 三、解答题17．已知的内角所对的边分别为，且.(1)求；(2)证明：.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据正弦定理结合已知可得，再利用余弦定理化简可得，利用余弦定理计算即可求得答案.（2）对于，利用正弦定理边化角可得，结合两角和差的正弦公式化简即可证明结论.【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得.因为，所以由余弦定理可得，两式联立，整理得，即.在中，由余弦定理得.（2）证明：因为，由正弦定理可得，因为，所以，则，所以，由，得，即，则，所以.18．如图，在三棱锥中，，，为的中点.(1)证明：；(2)若，，，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）取的中点，根据已知可判定平面，进而即可得出证明；（2）连接，根据已知求出，.根据勾股定理求得.进而即可判定平面.然后根据锥体的体积公式，即可得出答案.【详解】（1）如图，取的中点，连接.又为的中点，所以.又，所以.因为，所以.又因为，平面，平面，所以平面.因为平面，所以.（2）如图，连接，因为，，所以.因为，所以.在中，，，，所以，所以.又，，平面，平面，所以平面.，所以三棱锥的体积.19．科教兴国，科技强国，人工智能教育是将人工智能与传统教育相结合，借助人工智能和大数据技术打造的智能化教育平台，为了解我国人工智能教育发展状况，通过中国互联网数据平台得到我国2016年—2021年人工智能教育市场规模统计表.如下表所示，若用x表示年份代码（2016年用1表示，2017年用2表示……依次类推），用y表示市场规模（单位：亿元），年份编号123456年份201620172018201920202021市场规模亿元25435445495416542054 (1)根据统计表中的数据，计算市场规模的平均值，及与的样本相关系数，并判断两个变量与的相关关系的强弱（若，则认为相关性较强；否则没有较强的相关性，精确到0.01）；(2)若与的相关关系拟用线性回归模型表示，试求关于的线性回归方程，并据此预测2023年中国人工智能教育市场规模（精确到0.1）.附：线性回归方程，其中，，样本相关系数；参考数据：，.【答案】(1)，，与具有较强的相关性(2)，2676.9亿元 【分析】（1）根据已知数据，即可求得，，，进而根据样本相关系数公式，求出的值，即可得出答案；（2）根据已知条件可求得，，即可得出线性回归方程，代入，即可得出答案.【详解】（1）由已知可得，.又，所以，，则样本相关系数.因为样本相关系数，所以与具有较强的相关性，且正相关.（2）设y关于x的线性回归方程为，其中，，所以关于的线性回归方程为.把代入得（亿元）.故据此预测2023年中国人工智能教育市场规模将达到约2676.9亿元.20．已知函数.(1)若 在上单调递增，求a的取值范围；(2)若存在零点且零点的绝对值小于2，求a的取值范围【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用单调性与导函数正负的关系即可求解，（2）分情况讨论函数的单调性，根据单调性确定函数的最值，进而可确定零点所在的区间，即可根据不等式求解.【详解】（1），因为在上单调递增,则当时，，，即而当时，，则有，所以若在上单调递增，a的取值范围是（2）若，，单调递增，且有，由f（x）存在零点且零点的绝对值小于2，可知存在唯一零点 由，则，.若，令，解得，当时，，单调递减，当时，，单调递增. 则取极小值，即，又，则，，又， ，且当趋向于正无穷时,趋向于正无穷，故此时存在两个零点，分别设为，又，则，由题意，则有，即，故，综上，a的取值范围是.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值,零点以及不等式恒成立问题．函数零点问题常见方法：① 分离参数，利用导数求解的单调性，进而确定最值.② 数形结合( 图象与图象的交点)；③讨论参数.21．已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点，.直线（不经过点）与椭圆交于两点，，直线与椭圆交于另一点，点满足，且在直线上.(1)求的方程；(2)证明：直线过定点，且存在另一个定点，使为定值.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）设方程为，代入点的坐标，得出方程组，求解即可得出答案；（2）设的方程为，与椭圆方程联立，根据韦达定理表示出坐标关系，得出的方程为.令，整理可得，即可得出定点.进而由已知可推得，即可得出的轨迹，得出答案.【详解】（1）设的方程为，则，解得，所以的方程为.（2）  由题意可知直线的斜率存在且不为0，设的方程为，设点，，则，.联立，消去，得，则，且，.所以，所以的方程为.令，则，所以直线恒过定点，设为点.又因为，在上，所以，则点在以为直径的圆上，从而的中点，使为定值.【点睛】思路点睛：设的方程为，与椭圆联立得出方程，根据韦达定理得出坐标关系.进而整理化简，即可得出定点坐标.22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(1)求的普通方程和的直角坐标方程；(2)若与有公共点，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2). 【分析】（1）根据曲线的参数方程与直线的极坐标方程转化为普通方程即可；（2）写出曲线的三角参数方程，与直线的直角坐标方程联立，通过求三角函数的值域即可得出实数的取值范围.【详解】（1）因为，且所以的普通方程为.因为所以的直角坐标方程为.（2）由（1）可设的参数方程为（为参数，）.，其中.当时，取得最大值5；当时，取得最小值.所以实数的取值范围为.23．设，且.(1)若，求的最小值；(2)求的最小值.【答案】(1)8(2)3 【分析】（1）根据，将所求式子分子“1”替换，结合基本不等式即可得最小值；（2）法1：利用三个数和的完全平方公式变形，再结合重要不等式即可求最小值；法2：利用柯西不等式求解最小值即可.【详解】（1）因为，所以，当且仅当时，等号成立.所以的最小值为8.（2）法1：，故由已知得，当且仅当时，等号成立.所以的最小值为3.法2：，故，当且仅当时，等号成立.所以的最小值为3.