2023年湖南省长沙市雅礼教育集团中考数学一模试卷（含解析）

2023年湖南省长沙市雅礼教育集团中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数是有理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  第十四届全国人民代表大会在政府工作报告中指出：年国内生产总值预期目标增长为左右，城镇新增就业人左右，将数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列国产新能源汽车标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，，若，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  某学校位同学在年体育中考一分钟跳绳测试中，取得的成绩单位：次分钟分别为：，，，，，，，则这位同学成绩的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

8.  如图，点，，在上，，是的切线，为切点，的延长线交于点，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  某种型号油电混合动力汽车计划从甲地开往乙地，如果纯用电行驶，则电费为元，如果纯燃油行驶，则燃油费为元已知每行驶千米，纯燃油费用比纯用电费用多元如果设每行驶千米纯用电的费用为元，那么下列方程正确的是(    )

A.  B.  C.  D. ．

10.  如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；作射线，过点分别作交于点，于点若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  要使代数式有意义，则应满足的条件是______ ．

12.  不等式组的解集是______．

13.  若圆锥的底面圆半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积是______结果保留

14.  如图，在矩形中，对角线、交于点，已知，，则的长为______ ．

15.  为了解某校学生对于“社会主义核心价值观”的知晓情况，从该校全体名学生中，随机抽取了名学生进行调查，结果显示有名学生能熟练背诵，由此，估计该校全体学生中能熟练背诵“社会主义核心价值观”的学生有______ 名

16.  五一返校上课后，为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和小韬同学，数学老师决定在某外卖平台上点杯单价都是元的奶茶奖励他们从奶茶店到学校的每份订单配送费都为元，由于数学老师是该平台的会员，因此每单都可以使用一个平台赠送的元平台红包对每份订单的总价减免元订单总价不含配送费，同一订单只允许使用一个红包但根据该奶茶店的优惠活动，当订单总价不含配送费满元时，元的平台红包可兑换为一个元的店家红包，即可以给订单总价不含配送费减免元当数学老师同时点了杯奶茶准备下单付款时，小函同学说：“老师，我们可以换一种下单方式，优惠更多”请同学们分析小函同学的下单方式，并计算出本次外卖总费用包含配送费最低可为______ 元

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
先化简再求值：，其中．

19.  本小题分
如图，某校教学楼与实验楼的水平间距米，在实验楼顶部点测得教学楼顶部点的仰角是，底部点的俯角是，求教学楼的高度是多少？结果保留根号．

20.  本小题分
幸福成都，美在文明为助力成都争创全国文明典范城市，某校采用四种宣传形式：宣传单宣传、电子屏宣传、黑板报宣传、志愿者宣传每名学生从中选择一种最喜欢的宣传形式，学校就最喜欢的宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．

请结合图中所给信息，解答下列问题：
本次调查的学生共有______ 人，请补全条形统计图；
扇形统计图中，“志愿者宣传”对应的扇形圆心角度数为______ ；
本次调查中，在最喜欢“志愿者宣传”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，若从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的志愿者活动，请用列表或画树状图的方法，求选出两人恰好是甲和乙的概率．

21.  本小题分
如图，中，，直线是边的垂直平分线，连接．
若，求的度数；
若，，求的面积．

22.  本小题分
受益于国家对高新技术企业的大力扶持，某新材料公司的利润逐年增高，据统计，该公司年的利润为亿元，年的利润为亿元．
求该企业从年至年利润的年均增长率；
若年保持前两年利润的年均增长率不变，该企业年的利润能否超过亿元？

23.  本小题分
如图，在菱形中，对角线、交于点，点，分别为边，上的中点，连接．
求证：；
若，，求菱形的周长．

24.  本小题分
如图，四边形内接于，对角线、交于点且为直径，延长、交于点，连接，若，请回答下列问题：
求证：∽；
若，求的值；
设，与四边形的面积之比为，请求出关于的函数关系式．

25.  本小题分
对于以为自变量的两个函数与，令，我们不妨把函数称之为函数与的“辅助函数”例如：以为白变量的函数与，它们的“辅助函数”为，同时，由于恒成立，所以借助该辅助函数可以证明：不论自变量取何值恒成立．
已知以为白变量的函数，请求出函数与的“辅助函数”，并证明：不论自变量取何值，恒成立；
已知以为自变量的函数与当时，对于的每一个值，函数与的“辅助函数”恒成立，求的取值范围；
已知以为自变量的函数与、、为常数且，，点、、是它们的“辅助函数”的图象上的三点，且满足，求函数的图象截轴得到的线段长度的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是有理数．
故选：．
根据有理数的定义，可得答案．
本题考查了实数，掌握有理数与无理数的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种表示数的方法叫做科学记数法，根据其定义即可得出答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是重要知识点，必须熟练掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为，故A选项不符合题意；
B.因为，故B选项符合题意；
C.因为，故C选项不符合题意；
D.因为，故D选项不符合题意．
故选：．
A.应用合并同类项法则进行求解即可得出答案；
B.应用积的乘方运算法则进行计算即可得出答案；
C.应用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可得出答案；
D.应用完全平方公式进行计算即可得出答案．
本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则和完全平方公式，熟练掌握运算法则进行求解是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：点关于轴的对称点坐标为．
故选：．
根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
本题考查了关于轴、轴对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
故选：．
根据两直线平行，内错角相等分别求出、，再根据平角的概念计算即可．
本题考查的是平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：将这组数据重新排列为：，，，，，，，，
所以这组数据的众数为，中位数为，
故选：．
根据众数和中位数的定义求解即可．
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

8.【答案】 

【解析】解：
，
，
是的切线，为切点，
，
，
故选：．
由圆周角定理易求的度数，再根据切线的性质定理可得，进而可求出的度数．
本题考查了圆周角定理、切线的性质定理的运用，熟记和圆有关的各种性质和定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：每行驶千米，纯燃油费用比纯用电费用多元，且每行驶千米纯用电的费用为元，
每行驶千米纯燃油的费用为元．
根据题意得：．
故选：．
根据每行驶千米纯燃油费用与纯用电费用间的关系，可得出每行驶千米纯燃油的费用为元，利用行驶路程总费用每行驶千米所需费用，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作于点，
由题意可知，为的平分线，
，
，
，
在中，，
．
故选：．
过点作于点，由题意可知，为的平分线，即可得，由平行线的性质可得，则，从而可得答案．
本题考查作图基本作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质及作图方法是解答本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：代数式有意义，
，
．
故答案为：．
根据二次根式及分式有意义的条件解答即可．
本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：；
所以不等式组的解集为：．
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据圆锥的侧面积公式：，
故答案为：．
根据圆锥的底面半径为，母线长为，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积．
此题主要考查了圆锥侧面积公式．掌握圆锥侧面积公式：是解决问题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，，
，
，
故答案为：．
根据矩形的性质和勾股定理得出，进而利用矩形的性质解答即可．
本题考查矩形的性质，勾股定理，关键是根据矩形的对角线相等且平分解答．
 

15.【答案】 

【解析】解：估计该校全体学生中能熟练背诵“社会主义核心价值观”的学生有名，
故答案为：．
用总人数乘以样本中能熟练背诵“社会主义核心价值观”的学生数所占比例即可．
本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
 

16.【答案】 

【解析】解：第一种下单方式为直接购买两种奶茶合计费用为：
元；
第二种下单方式为下两个订单，每个订单买一杯奶茶合计费用为：
元．
故选择第二种更划算，最低费用为元．
故答案为：．
分别计算两种下单的方式，比较哪一种总费用更低即可．
本题考查了实数运算的实际应用，分类讨论是解题的关键．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】先计算负整数指数幂、零次幂，再化简二次根式和绝对值，最后加减．
本题考查了实数的运算，掌握零次幂、负整数指数幂的意义、二次根式的化简及绝对值的意义是解决本题的关键．
 

18.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

19.【答案】解：过点作，垂足为，

由题意得：，米，
在中，，
米，
在中，，
米，
米．
答：教学楼的高度是米． 

【解析】过点作于点，由锐角三角函数定义求出、的长，即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确作出辅助线构造解直角三角形是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：本次调查的学生共有：人，
组的人数为：人，
补全统计图如图：

故答案为：；
“志愿者宣传”对应的扇形圆心角度数为：，
故答案为：；
根据题意画树形图：

共有种情况，被选取的两人恰好是甲和乙有种情况，
则被选取的两人恰好是甲和乙的概率是．
根据的人数和所占的百分比求出总人数即可，用总人数减去其它组的人数即可求出的人数，进而补全统计图；
求出所占是百分比，然后乘以即可；
根据题意先画出树状图，得出所有等情况数和选取的两人恰好是甲和乙的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
本题考查了列表法与树状图法以及统计图，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 

21.【答案】解：，，
，
是的垂直平分线，
，
，
；

在中，，，，
由勾股定理得：，
，，
，
的面积是． 

【解析】根据直角三角形的性质求出，根据线段垂直平分线的性质得出，求出，再求出答案即可；
根据勾股定理求出，求出，再根据三角形的面积公式求出的面积即可．
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，三角形的面积等知识点，能熟记线段垂直平分线的性质是解此题的关键．
 

22.【答案】解：设该企业从年至年利润的年均增长率为，
由题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
答：该企业从年至年利润的年均增长率为；
由题意可知，亿元，
，
该企业年的利润能超过亿元． 

【解析】设该企业从年至年利润的年均增长率为，根据该企业年的利润该企业年利润该企业从年至年利润的年均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可；
利用该企业年的利润该企业年的利润该企业从年至年利润的年均增长率，再将其与亿元比较后，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

23.【答案】证明：四边形是菱形，
，
点，分别为边，上的中点，
是的中位线，
，
；
解：由知是的中位线，，
，，
四边形是菱形，
，，
在中，
，
，
，
，
菱形的周长． 

【解析】由菱形的性质得到，根据三角形的中位线定理和平行线的性质即可证得结论；
由三角形的中位线定理结合平行线的性质求出，，根据菱形的性质和三角函数的定义求出，根据勾股定理求出，即可求出菱形的周长．
本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，解直角三角形，灵活运用菱形的性质是解决问题的关键．
 

24.【答案】证明：，
，
又，
∽；
解：设，，则，，
由∽可得，，
，
，
同时可得：和都是等腰三角形，
，
，
又，
，

；
解：由，设，则，，则，
由可知：，
∽，
由可知：∽，
∽，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，，
∽，
，
的面积：四边形的面积． 

【解析】由，得到根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
设，，则，，根据相似三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，得到，于是得到；
由，设，则，，则，证得∽，于是得到∽，根据等腰三角形的性质得到，于是得到，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：，
辅助函数，
，
恒成立，
恒成立；
当时，与的“辅助函数”恒成立，
“辅助函数”恒成立，
恒成立，
当时，，
；
函数与“辅助函数“为，
将点、、代入得：
，，，
，
，
，
解不等式得：，且，
设函数与轴交于、，
、是方程的两根，即、是方程的两根，
，，
，
，且，
，且，
函数的图象截轴得到的线段长度的取值范围大于小于且不等于． 

【解析】辅助函数，由，知恒成立，故恒成立；
由当时，与的“辅助函数”恒成立，可得恒成立，而当时，，可得；
函数与“辅助函数“为，将点、、代入可得：，，，有，根据，得，故，且，设函数与轴交于、，可得，，得，从而可求出函数的图象截轴得到的线段长度的取值范围大于小于且不等于．
本题考查一次函数，反比例函数，二次函数的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“辅助函数“的定义．